Об алгебраически замкнутых группах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 3 (2013)

75-летию Альфреда Львовича Шмелькина посвящается

УДК 510.53+512.54.0+512.54.03+512.54.05+512.543.72

ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТЫХ ГРУППАХ

В. Г. Дурнев (Ярославль), О.В.Зеткина (Ярославль), А. И.Зеткина (Ярославль)

Аннотация

Устанавливается разрешимость в любой алгебраически замкнутой группе G каждого уравнения вида

w(xi, ...,Xn) = g,

где w(xi,... ,xn) — непустое несократимое групповое слово от неизвестных xi, ..., хп,а g — произвольный элемент группы G.

Ключевые слова: группа, алгебраически замкнутая группа, уравнение над группой

Библиография: 4 названия.

AN ALGEBRAICALLY CLOSED GROUPS

V. G. Durnev (Yaroslavl), O. V. Zetkina (Yaroslavl), A. I. Zetkina (Yaroslavl)

Abstract

Establish the solubility in any algebraically closed group G of each equation of the form

w(xi, ...,xn) = g,

where w(x1,... ,xn) - nonempty irreducible group word unknown x1, ...., xn, and g - arbitrary element of group G.

Keywords: group, algebraically closed group, equation over group

Bibliography: 4 titles.

50

В. Г. ДУРНЕВ, О. В. ЗЕТКИНА, А. И. ЗЕТКИНА

Напомним, что группа О называется алгебраически замкнутой, если любая система уравнений и неравенств над этой группой

т р

&т^х1}... ,хп,дх,... ,дк) = 1& & и^(х1}... ,хп,дъ ... ,дк) = 1,

г=1 з=1

где Wi(xl,... ,Хп,д1,... ,дк) (г = 1,... ,т) и и (хь ... ,Хп,д1,... ,дк) (з = 1, ..., р) — групповые слова от переменных х1, ..., хп и произвольных элементов д1, ... , дк группы О, имеющая решение в некотором расширении этой группы, имеет решение уже в самой группе О.

Изучение алгебраически замкнутых групп было начато в работах У. Скотта [1] и Б. Неймана [2]. Особую роль в этих исследованиях сыграла работа А. Макинтайра [3]. Еще в работе Б. Неймана было установлено, что любая алгебраически замкнутая группа является простой, поэтому, в частности, любая нетривиальная вербальная подгруппа алгебраически замкнутой группы совпадает со всей группой.

Хорошо известно, что любая алгебраически замкнутая группа является полной, т.е. для любого ее элемента д и произвольного натурального числа п уравнение хп = д разрешимо в этой группе.

Нетрудно показать, что для произвольного элемента д любой алгебраически замкнутой группы в этой группе разрешимо уравнение [х,у] = д, где [х,у] = х-1у-1 ху — коммутатор элементов х и у, т.е. любой элемент алгебраически замкнутой группы является коммутатором. Нам не встречались явные упоминания этого факта в доступной литературе.

Следующая теорема существенно усиливает эти утверждения.

Теорема 1. В любой алгебраически замкнутой группе О каждое уравнение вида

т(хъ ...,хп) = д, (1)

где т(х1,..., хп) — непустое несократимое групповое слово от неизвестных х1, ..., хп, а д — произвольный элемент группы О, имеет решение.

Доказательство. Рассмотрим два возможных случая.

1) д — элемент бесконечного порядка алгебраически замкнутой группы О. В этом случае т(х1,... ,хп) и д — элементы бесконечного порядка группы

О * {{х1,... , хп)). Поэтому группа О является подгруппой ИКЫ-расширения

((О * ((х1,...,хп )),ь | Ь-ш(х1,... ,хп)Г1 = д)),

в котором выполняется равенство w(tx1t-1,... , ЬхпЬ-1) = д. Поэтому уравнение (1) разрешимо в группе О.

2) д — элемент конечного порядка т алгебраически замкнутой группы О.

В свободной группе ((х1,... , хп)) элемент w(x1,... , хп) равен элементу вида ик(х1,... ,хп), где к — натуральное число, а и(х1,... ,хп) не является собственной степенью в этой группе. Тогда и(х1,... , хп) — элемент порядка кт [4]

ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТЫХ ГРУППАХ

51

в группе

((x1,...,xn | ukm(x1}. . . ,Xn) = 1 }}.

Поэтому uk (x1}... , xn) и g — элементы порядка m в группе

G * ((xi, ... ,xn I ukm(xi,... ,xn) = 1 }}.

Значит группа G является подгруппой группы

(( G * (( x1,... ,xn I ukm(x1,... ,xn) = 1}}, 11 tuk(x1}... ,xn)t-1 = g,

в которой выполняется равенство w(tx1t-1,... , txnt-1 ) = g. Поэтому уравнение (1) разрешимо в группе G. □

Доказанная теорема означает, что в алгебраически замкнутой группе ширина любой вербальной подгруппы равна единице.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Scott W. R. Algebraically closed groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1951. Vol. 2. P. 118—121.

2. Neumann B. H. A note on algebraically closed groups // J. London. Math. Soc. 1952. Vol. 27. P. 227—242.

3. Macintyre A. On algebraically closed groups // Ann. of Math. 1972. Vol. 96. P. 53—97.

4. Линдон Р., ШуппП. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Поступило 18.09.2013