CC BY
49
К 150-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ А.М.ЛЯПУНОВА
УДК 517. 925 В. А. Плисс
О ЖИЗНИ И ТВОРЧЕСТВЕ АЛЕКСАНДРА МИХАЙЛОВИЧА ЛЯПУНОВА
1. Александр Михайлович Ляпунов родился 25 мая 1857 г. в семье директора Демидовского лицея в г. Ярославле.
В детстве А. М. Ляпунов получил блестящее домашнее образование. В 1870 г. он поступил в третий класс Нижегородской гимназии, которую окончил с золотой медалью в 1876 г. В том же году А. М. Ляпунов поступил на физико-математический факультет Петербургского университета.
Петербургская математическая школа в это время представляля собой один из самых мощных математических коллективов в мире. Руководил этой школой ее создатель Пафнутий Львович Чебышёв.
Сам П. Л. Чебышёв и его знаменитые ученики А. Н. Коркин и Е. И. Золотарёв были профессорами университета. Кроме них в университете преподавали другие замечательные профессора, среди которых особенно блистали К. А. Поссе и Д. К. Бобылёв. Особое влияние на развитие исключительного математического таланта А. М. Ляпунова оказали лекции П. Л. Чебышёва, о чем он сам часто говорил и писал впоследствии.
Первые самостоятельные научные работы «О равновесии тяжелых тел в тяжелых жидкостях, содержащихся в сосуде определенной формы» и «О потенциале гидростатических давлений» А. М. Ляпунов выполнил под руководством Д. К. Бобылёва. Эти работы были удостоены золотой медали Петербургского университета и в 1881 г. были опубликованы в «Журнале физико-химического общества».
В 1880 г. А. М. Ляпунов окончил университет и по предложению Д. К. Бобылева был оставлен при кафедре механики.
В 1882 г. после сдачи магистерстких экзаменов А. М. Ляпунов стал искать себе тему для работы над диссертацией. Вот что пишет об этом сам А. М. Ляпунов1.
В 1882 г., желая подыскать подходящую тему для магистерской диссертации, я не раз
беседовал с Чебышёвым по поводу различных математических вопросов, причем Чебышёв
1На протяжении всего первого параграфа цитирование ведется по первому тому собрания сочинений [1].
© В. А. Плисс, 2007
всегда высказывал мнение, что заниматься легкими, хотя бы и новыми вопросами, которые можно разрешить общеизвестными методами, не стоит, и что всякий молодой ученый, если он уже приобрел некоторый навык в решении математических вопросов, должен попробовать свои силы на каком-нибудь серьезном вопросе, представляющем известные теоретические трудности. При этом он предложил мне следующий вопрос: «Известно, что при некоторой величине угловой скорости эллипсоидальные формы перестают служить формами равновесия вращающейся жидкости. Не переходят ли они при этом в какие-либо новые формы равновесия, которые при малом увеличении угловой скорости мало отличались бы от эллипсоидов». При этом он прибавил: «Вот если бы Вы разрешили этот вопрос, на Вашу работу сразу обратили бы внимание».
Столь сложную задачу за короткий срок, отведенный на подготовку магистерской диссертации, не под силу было решить даже самому Ляпунову. Он по этому поводу пишет: «После нескольких неудачных попыток я должен был отложить решение вопроса на неопределенное время. Но вопрос этот навел меня на другой, именно на вопрос об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия, который и составил предмет моей магистерской диссертации».
В 1885 г. А. М. Ляпунов защитил магистерскую диссертацию «Об устойчивости эллипсоидных форм равновесия жидкости». Защита состоялась в Петербургском университете. Эта диссертация сразу же сделала А. М. Ляпунова весьма заметной фигурой в Петербургском математическом обществе и принесла ему известность в Европе. Весной 1895 г. А. М. Ляпунов был утвержден в звании приват-доцента и получил предложение занять кафедру механики в Харьковском университете.
Первый петербургский период жизни А. М. Ляпунова (1876-1895) закончился. Начался харьковский период (1895-1902). Его А. М. Ляпунов считал самым счастливым временем своей жизни. На мой взгляд, он был и самым плодотворным.
В бытность свою в Харькове А. М. Ляпунов развил совершенно новый мощный метод характеристических функций. Это позволило ему доказать знаменитую предельную теорему в теории вероятностей.
Больше всего внимания А. М. Ляпунов уделяет проблемам устойчивости движения механических систем с конечным числом степеней свободы. Еще до переезда в Харьков, в 1888 г., А. М. Ляпунов начинает публиковать работы, посвященные этому вопросу. Однако именно в Харькове он добился наибольшего успеха в теории устойчивости. В 1892 г. он публикует свою знаменитую книгу «Общая задача об устойчивости движения» [2], которая принесла ему всемирную славу. В сентябре 1892 г. в Московском университете А. М. Ляпунов защитил свой труд «Общая задача об устойчивости движения» в качестве докторской диссертации. После защиты докторской диссертации А. М. Ляпунов в 1893 г. был утвержден ординарным профессором.
Публикация работ А. М. Ляпунова по теории устойчивости движения и прилегающим к ней проблемам теории обыкновенных дифференциальных уравнений продолжается вплоть до конца харьковского периода. Однако, по-видимому, и впоследствии А. М. Ляпунов много размышлял над проблемами теории усточивости, ибо в его архивах была найдена рукопись замечательной, но неоконченной работы, публикация которой была осуществлена лишь много лет спустя [3, 4].
Для решения задач теории устойчивости А. М. Ляпунов предлагает два подхода, которые называет просто: Первая метода и Вторая метода. Первый метод Ляпунова состоит в том, чтобы построить в рядах решения заданной системы в окрестности состояния равновесия, и по виду этих рядов судить об устойчивости или неустойчиво-
сти этого состояния равновесия. В этом направлении А. М. Ляпунов доказал одну из своих самых замечательных теорем — теорему об условной устойчивости. Подробнее о существе и судьбе этой теоремы я расскажу чуть позже.
Второй метод состоит в том, чтобы построить функцию (так называемую функцию Ляпунова), по которой можно было бы непосредственно, не прибегая к решению системы, судить об устойчивости или неустойчивости соответствующего решения. Об этих своих функциях А. М. Ляпунов доказал четыре теоремы — две об устойчивости и две о неустойчивости. Далее А. М. Ляпунов высказывается следующим образом: «Варьируя условия, которым должны удовлетворять искомые функции, можно было бы, конечно, предложить и множество других теорем, подобных доказанным. Но для приложений, которые мы имеем в виду, последние совершенно достаточны. Поэтому ими и ограничимся».
Эти теоремы второго метода и предпринятые приложения этих теорем принесли А. М. Ляпунову уникальную славу. И сейчас вряд ли найдется ученый, занимающийся математическим естествознанием, который ничего не знал бы о функциях Ляпунова.
В качестве приложения теорем второго метода А. М. Ляпунов исследовал так называемые сомнительные случаи в проблеме устойчивости состояния равновесия автономной и периодической системы. В этом направлении у А. М. Ляпунова было чрезвычайно много последователей. Трудно даже перечислить всех авторов, занимавшихся исследованием этих самых сомнительных случаев.
В «Общей задаче об устойчивости движения» А. М. Ляпунов ограничился лишь двумя сомнительными случаями: одного нулевого корня и двух чисто мнимых корней. Впоследствии он изучил еще случай двух нулевых корней при непростом элементарном делителе [3-5].
В 1901 г. А. М. Ляпунов был избран академиком по кафедре прикладной математики, остававшейся вакантной после смерти П. Л. Чебышёва (1894 г.). Через год в 1902 г. А. М. Ляпунов переехал в Петербург. Харьковский период в жизни А. М. Ляпунова закончился.
По переезде в Петербург А. М. Ляпунов возвращается к той задаче, что поставил ему П. Л. Чебышёв в самом начале карьеры, т. е. к задаче о фигурах равновесия вращающейся жидкости. Самым большим достижением этого периода является то, что А. М. Ляпунов установил существование форм равновесия, близких к эллипсоидальным. Огромным достижением А. М. Ляпунова является также и то, что он доказал устойчивость этих новых форм равновесия вращающейся жидкости.
По поводу этих работ лучше всего высказался В. А. Стеклов:
«И тем подвигом, которым он пытался начать свою ученую деятельность, он блестяще
закончил, как увидим, свою славную жизнь, так преждевременно прерванную. Работу,
совершенную Александром Михайловичем, нельзя и назвать иначе как подвиг.»
В 1917 г. А. М. Ляпунов переехал в Одессу, где скончался 3 ноября 1918 года.
2. Теперь я коротко опишу сущность «Первой методы» и ее влияние на дальнейшее развитие математики. При этом я постараюсь быть возможно ближе к текстам самого А. М. Ляпунова [2] (включая и нумерацию формул).
Рассматривается система уравнений возмущенного движения
¿Х1 ¿Х2 v ¿Хп ч
--- = А-| , ---- = А2, . . . , - = А. ( 1)
А ’ А ’ ’ А у ’
«Все Xs в уравнении (1) суть известные функции величин
Xi, Х2, . . . , Xn, t,
обращающиеся в нуль при
XI = Х2 = ... = Хп = 0.
Мы сделаем теперь относительно них некоторые предположения и везде далее будем трактовать уравнения (1) исключительно в этих предположениях.
Мы допустим, что функции Хд даны не только для вещественных, но и для комплексных значений величин XI, х2, ... ,хп, модули которых достаточно малы, и что по крайней мере для всякого вещественного Ь, большего или равного Ь0, функции эти разложимы в ряды по целым положительным степеням величин XI, х2, . . . ,хп, абсолютно сходящиеся для всяких хд, удовлетворяющих условиям
| X11 < Ах, |х2 | < А2,..., |хп| < Ап,
где Ах, А2, . . . , Ап суть или отличные от нуля постоянные, или такие функции от Ь, которые никогда не делаются нулями.
Таким образом, для всякого из указанных значений Ь все Хд будут голоморфными функциями величин хх, х2, ... ,хп, по крайней мере пока Ь вещественно и больше Ь0. Пусть
XI 11 I \ ' п(т1 ,то ,...,тп) тл то тп
д = Рд1х1 + Рд2х2 + ... + Р8„х„ + ^ Р, хх 1 х2 2 . . . х„ П ,
где сумма распространена на все целые неотрицательные числа тх, т2,... , тп, удовлетворяющие условию
Ш1 + Ш2 + ... + Ш„ > 1.
В этих разложениях все коэффициентырд^, Рд(т1 ’т2’...’тп) суть функции Ь, которые согласно нашему предположению, должны оставаться конечными, а по характеру самой задачи — вещественными для всякого вещественного Ь, большего или равного Ь0. Мы будем предполагать, кроме того, что для всех таких значений это суть функции непрерывные.»
Далее А. М. Ляпунов обращается к первому приближению системы (1):
¿Хь
——= р.э1Х1 + рв2Х2 + ■ ■ ■ + РзпХ„, в = 1,2,...,п. (15)
аЬ
«Предполагая, что все коэффициенты psi определенным образом заданы по крайней мере для всех значений t, не меньших некоторого предела to, и представляют непрерывные и ограниченные вещественные функции t.»
Для описания поведения решений этой системы А. М. Ляпунов вводит понятие характеристичного числа. Сначала это делается для произвольной непрерывной при t ^ to функции x(t): величину
Ао = — lim - ln \x(t)\ t—— ^ t
А. М. Ляпунов называет характеристичным числом функции x(t). Характеристичным числом группы функций xi, Х2, ..., xn называется «наименьшее из характеристичных чисел функций, входящих в группу».
Характеристичным числом решения xi, Х2, ..., xn системы (15) называется характеристичное число этой группы функций.
Систему п решений А. М. Ляпунов называет нормальной, если
«всякая линейная комбинация всяких входящих в ее состав решений будет обладать характеристичным числом, равным характеристичному числу группы комбинируемых решений. »
Заручившись понятиями характеристичного числа и нормальной системы решений, А. М. Ляпунов далее вводит чрезвычайно важное понятие правильной системы.
«Мы знаем (лемма V, следствие), что сумма характеристичных чисел функций
е/£ РввМ и е-/£ РввМ
не более нуля.
Поэтому, если ^ есть характеристичное число второй из этих функций, то сумма Я характеристичных чисел решений нормальной системы не может превосходить числа —^. Притом равенство Я = — ^ возможно только при условии, что сумма характеристичных чисел рассматриваемых двух функций равна нулю.
Это равенство
Я + ^ = 0
для уравнений с постоянными или периодическими коэффициентами действительно имеет место. Но может иметь место и во многих других случаях.
Вообще при существовании сейчас сказанного равенства систему линейных дифференциальных уравнений (15) мы будем называть правильной, а в противном случае — неправильной.»
Используя понятия характеристичного числа и правильной системы, А. М. Ляпунов строит решение системы (1) при следующих предположениях.
«Рассматривая по-прежнему только вещественные значения і, не меньшие некоторого предела і0, будем предполагать в этих уравнениях все коэффициенты р>(т1’т2’---’тп) непрерывными и ограниченными вещественными функциями і. Притом будем предполагать, что могут быть найдены такие положительные постоянные М и А, при которых для рассматриваемых значений і будут справедливы неравенства
р(ті ,гп2 ______М_______ ^
в I Хт1+т2 + ,-,+т" '
Относительно системы первого приближения (15) А. М. Ляпунов предполагает, что она правильная и среди ее характеристичных чисел имеется к положительных — Аі, А2, ..., А к.
Решение строится в виде рядов
к
х8 = ^ь(т1’т2’'''’тк)аГ ОТ ...«Г е .=1 (5 = 1, 2,..., п). (25)
«Суммирование распространяется на все целые неорицательные значения чисел ті, т2,.. . , тп, подчиненные условию ті + т2 + ... + тп > 0; аі, а2, ... , а — посто-
Ь(ті ,Ш2 ,тк)
^ суть не зависящие от постоянных а^ непрерывные
функции і, характеристичные числа которых не менее нуля.»
Ряды (25) А. М. Ляпунов строит методом последовательных приближений. Для вычисления этих приближений используется последовательность линейных систем
(Іхіт') сМ
Пусть
(Іхі^ сМ
:р8Іж(11) + р82ж21} + . . . + р8„жП1) (в = 1, 2, .. . ,п),
(6)
„(т) _1_ ^ „.(т)
+.. + И т(т) 2, 1, со 1 л СО + . ,п), (7)
Х11, Х21, ... , Хп1
Х12, Х22, ... , Хп2
х1^ .. ,п .2 • н , хпп
есть нормальная система решений линейной однородной системы (6), при этом «решение Ж18, Ж2Я, ..., обладает характеристичным числом Ая.» Таким образом, первые к решений этой нормальной системы имеют положительные характеристичные числа.
Через Д А. М. Ляпунов обозначает определитель нормальной системы, а через Д^- — его минор, соответствующий элементу х^-.
В качестве первого приближения А. М. Ляпунов выбирает линейную комбинацию первых к решений нормальной системы:
хя(1) = «1ХЯ1 + «2ХЯ2 + ... + акхак (в =1, 2, .. ., п).
Дальнейшие приближения строятся по следующему правилу.
«Допустим, что все коэффициенты функций для которых ^ < т, найдены и
представляют относительно постоянных 0.1 целые однородные функции ^-й степени. Тогда функции Я(т), по свойству своих выражений через величины , представятся относительно тех же постоянных под видом целых однородных функций т-й степени.
Пусть
р(т) _ V"4 гр(т 1 ,
А * 2-^1 г]
п(т) __ \ ' гр(ті ,Ш2
~^Ні - 2^1И и2
ти) ті то
к а 1 а9 2
где Т суть функции £, не зависящие от постоянных а3. Тогда, делая
(т)
г* '
ЕЕ^
= 1 І = 1
«г*,
каждый из интегралов
(і,
■,тк )
(І,
в котором подинтегральная функция обладает положительным характеристичным числом, будем брать в пределах от <х> до і. Что же касается тех, для которых характеристичные числа подинтегральных функций отрицательны или нули, то, вообще делая
Т(ті ,т2 ,
Т(ті ,т2 ,■■
будем только предполагать, что постоянным С приписываются какие-либо не зависящие от постоянных а определенные значения.»
а
п п
тк
а
1
2
к
0
Таким образом, последовательные приближения строятся применением формул Коши для интегрирования линейных неоднородных систем.
Здесь особенно важен выбор пределов интегрирования в f yjmi’m2’'' ’mfc) dt.
Далее А. М. Ляпунов доказывает сходимость рядов (25) и окончательное утверждение формулирует в виде следствия.
«Следствие. Можно найти такую положительную постоянную а, что при всяких ai, а2,... , ak, удовлетворяющих условиям
|as | < a (s = 1, 2,. .. , k)
и для всякого положительного t ряды (25) будут абсолютно сходящимися, представляя притом непрерывные функции t, удовлетворяющие уравнениям (1).
Эти функции при беспредельном возрастании t будут стремиться к нулю.-»
Это утверждение позволяет А. М. Ляпунову сформулировать замечательные теоремы об устойчивости по первому приближению и об условной устойчивости.
«Теорема I. Если система дифференциальных уравнений первого приближения есть правильная и если все ее характеристичные числа положительны, то невозмущенное движение устойчиво.
Теорема II. Если система дифференциальных уравнений первого приближения есть правильная, а в группе ее характеристичных чисел находятся положительные, то невозмущенное движение всегда обладает известною условною устойчивостью. А именно, если число положительных характеристичных чисел есть k, то для устойчивости достаточно, чтобы начальные значения ai, a2,... , an неизвестных функций удовлетворяли некоторым n — k уравнениям вида
Fj(ai, a2,... , an) = 0 (j = 1, 2,... , n — k),
где Fj суть голоморфные функции величин as, уничтожающиеся при ai = a2 = ... ... = a„ = 0.
Уравнения эти таковы, что позволяют выражать все as как вещественные голоморфные функции некоторых k вещественных независимых величин.»
Связанные с «первой методой» понятия, методы исследования и сами результаты А. М. Ляпунова сильно обогнали свое время. Понадобилось без малого 40 лет и недюжинный талант О. Перрона, чтобы математики начали понимать проблемы абсолютной устойчивости и связанных с нею понятий и методов.
В 1928 году О. Перрон опубликовал статью [5].
В этой работе О. Перрон рассмотрел систему (1) в предположении, что система первого приближения есть система с постоянными коэффициентами (pj = const), при этом он не удерживает предположения А. М. Ляпунова об аналитичности нелинейностей, считая только, что они представляют собой липшицевы функции с малой константой Липшица. Предполагая, что все собственные числа матрицы коэффициентов линейного приближения имеют ненулевые действительные части, Перрон доказывает теорему об условной устойчивости, пользуясь терминологией Ляпунова. Для доказательства этой теоремы О. Перрон вводит систему интегральных уравнений, представляющую собой простое применение упоминавшихся уже формул Коши к системе (1). Далее он решает эту систему с помощью метода последовательных приближений. Эти
приближения оказываются, естественно, такими же, что и у А. М. Ляпунова, и с той же расстановкой пределов интегрирования.
По существу теорема Перрона есть обобщение теоремы А. М. Ляпунова, достигнутое его же методами. Эта теорема с некоторыми ее обобщениями, предпринятыми самим О. Перроном, оказалась весьма важной при изучении гиперболических инвариантных множеств динамических систем, или, как сейчас чаще говорят, при изучении гиперболических хаосов.
Однако примерно к началу 70-х годов прошлого века стало ясно, что гиперболический хаос есть явление довольно редкое, значительно чаще встречаются хаотические движения, хотя и устойчивые в каком-то смысле, но не гиперболические. Таков, например, развитый турбулентный поток несжимаемой жидкости. При исследовании таких хаосов методы Перрона совершенно недостаточны.
На первый план здесь выходит «первая метода» А. М. Ляпунова.
Такова прозорливость нашего великого соотечественника. Гений есть Гений.
Summary
V. A. Pliss. About life and works of Alexandr Mikhajlovich Lyapunov. Dedicated 150-years of A. M. Lyapunov birthday.
Литература
1. Ляпунов А. М. Собрание сочинений. Т. I. М.: Изд-во АН СССР, 1954.
2. Ляпунов А. М. Собрание сочинений. Т. II. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956.
3. Ляпунов А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1963.
4. Lyapunov A. M. Stability of motion. N.Y. and London: Academic Press, 1966.
5. Perron O. Uber stabilität and asymptotisches varhalten der integrale von differentialglei-hungssystemen // Math. Zeitsch. B. 29. 1928.
Статья поступила в редакцию 12 декабря 2006 г.
