CC BY
10
УДК 539.3
В.В.ТАРАБАН
Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет)
О ЗАВИСИМОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ВЯЗКОСТИ РАЗРУШЕНИЯ ОТ РАЗМЕРОВ ТРЕЩИНЫ В МАТЕРИАЛЕ
Исследуется задача об ударном нагружении материала с трещиной. При помощи структурно-временного критерия разрушения получены выражения для динамической вязкости разрушения. Установлено, что временные диаграммы динамической вязкости разрушения качественно зависят от размеров трещины.
The problem of dynamic loading of a material with the crack is investigated. Expressions for dynamic fracture toughness by means of incubation-time criterion were received. I was shown that the diagrams of dependence of dynamic fracture toughness on time to fracture change qualitatively with the length of crack.
Принято считать, что наблюдаемые в экспериментах эффекты немонотонности динамической вязкости разрушения [2, 3] связаны с изменением механических свойств материала при высоких значениях интенсивности и скорости внешнего нагружения (переход материала в вязкоупругое состояние). В настоящей работе предлагается аналитический способ определения динамической вязкости разрушения. Эффект немотонности динамической вязкости разрушения зависит от размеров трещины при условии, что материал сохраняет свои упругие свойства вплоть до момента разрушения.
Рассматривается задача о внезапном нагружении нормальным давлением поверхности прямолинейной трещины длиной 2a . Граничными условиями на линии y = 0 будут
оyy (х,0, t) = -pH(t) при |x| < a ; тxy (x,0, t) = 0 при 0 < |x| < x ;
V(x,0, t) = 0 при |x| > a,
где p = const; H(t) - функция Хевисайда.
На бесконечном удалении от трещины выполняются следующие условия:
U(x, y, t) ^ 0, V(x, y, t) ^ 0 при x2 + y2 ^ x.
Компоненты перемещения и тензора напряжений могут быть представлены через две скалярные функции ф( x, у, t) и у( x, у, t), удовлетворяющие волновым уравнениям
d 2ф
d 2у
с, Дф = —Т, c2 Ду = 2 1 dt2 2 dt2
так, что
U =_дф+дУ V = _дф_д^•
дх dy
2 А А 2 д
°хх = _Pci Дф + 2Pc2 —
dy
dy дх
ду + дф дх dy
2 Аф о 2 д Сду дфл
°yy =_Pci Дф_ 2Pc2 Т"
дх
dy дх
У
t ху = _Pc
d2у d2у + 2 d2ф
дх2 дУ
дхду
где А - оператор Лапласа; ^ и c2 - скорость продольных и поперечных волн соответственно; р - плотность материала.
Воспользуемся некоторыми результатами [6]. Тогда задача сводится к решению интегрального уравнения
1
F & р) _ JF (n, р) щ, п р )dn = -Д
(0 1)
(1)
ISSN 0135-3500. Записки Горного института. Т.163
2
с ядром
щ, л, Р) =
(1 - с2)
ад
| w(z, р) ^0 (щУo(z^)dz - тр21о (пр^К (прл)
где У0(z) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка; 10( z) и К0( z) - модифицированные функции Бесселя нулевого порядка первого и второго рода соответственно;
w( z, р) = z
Гл 2 тр2 ^ 1 - с +
2—2
1 + П р
+
+ -
—2
2 р
4 z ^
z ^ - (^¿¿рХ
^2 + с2 р2
"Л
с = с2 / с1; р = ра / с2;
т =
3с4 - 4с2 + 3 5сб - 6с4 + 2с +1
-; п = —
4
8т
Коэффициент интенсивности напряжений определяется в виде
КI (0 = я (0 рл/^а, (2)
где I = 1с2 / а ; я(I) - оригинал функции р (1, р)
^ =| е" "я (0*.
р 0
(3)
Решение интегрального уравнения (1) осуществлялось численно. Численное обращение преобразования Лапласа (3) проводилось методом Беллмана [1].
Для анализа условий разрушения в вершине трещины воспользуемся структурно-временным критерием разрушения [4]
| КI ^ < К1ст,
(4)
где т - структурное время разрушения; К1с -статическая вязкость разрушения.
Вычислим динамическую вязкость разрушения (критическое значение коэффици-
ента интенсивности напряжений, инициирующее разрушение материала в момент времени 1С):
Кы = Я (I Сс2 /а)рСл/гса .
Минимальная разрушающая нагрузка рС определяется подстановкой зависимости (2) в критерий (4) при условии достижения в последнем равенства. В результате получаем выражение для динамической вязкости разрушения
К1й = К1с
ГТ1 С / Т
Т I
Я (л)
Я (!с / Т )
ds
(5)
- (С-т)/Т
где Т - характерный размер задачи (время пробега волны на расстояние половины длины трещины), Т = а / с2.
Результаты расчетов зависимости динамической вязкости разрушения от времени до разрушения по формуле (5) для высокопрочной стали (V = 0,29; т = 7 мкс, с1 = 6 мм/мкс, К1с = 47 МПам12) представлены на рисунке. Очевидно, если размер задачи Т сравним по величине со структурным временем разрушения (рассмотрены случаи Т/т = 0,3 и Т / т = 1), имеет место заметный эффект немонотонности динамической вязкости разрушения. В этом диапазоне длин трещин разрушение возможно при значениях коэффициента интенсивности напряжений, меньших статической вязкости разрушения. Данная диаграмма зависимости динамической вязкости разрушения от времени до разрушения качественно и по порядку чисел совпадает с экспериментальной диаграммой [2]. С увеличением Т / т немоно-
КЫ /К1с
2 -
Т/ т = 1 50 0,3
1с / Т
Зависимость динамической вязкости разрушения от времени до разрушения
х
-1
1
1
0
1
3
5
- 213
Санкт-Петербург. 2005
тонность динамической вязкости разрушения постепенно сглаживается. Если размер задачи много больше структурного времени разрушения (рассмотрен случай Т/т = 50), то диаграммы Ки = Ки (1С / Т) практически не отличаются от классических диаграмм [5], для которых справедлива эмпирическая формула К.Рави-Чандара и В.Кнаусса: С
КЫ = К1с +
1С
Таким образом, проведенный анализ позволяет сделать вывод, что динамическая вязкость разрушения зависит не только от механических свойств материала, но и от геометрических параметров конкретной задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bellman R. Numerical inversion of the Laplace transform / R.Bellman, R.Kalaba, J.Lockett. Amsterdam, 1966. 249 p.
2. Kalthoff J.F. Fracture behavior under high rates of loading // Engng. Fract. Mech. 1986. Vol.23. P.289-298.
3. Knauss W.G. Fundamental problems in dynamic fracture // Adv. Fracture Res.: Proc. 6th ICF / S.R. Vallury. Oxford. N.Y. 1984. Vol.1. P.625-652.
4. Petrov Y.V. On the modeling of fracture of brittle solids / Y.V.Petrov, N.F.Morozov // ASME J. Appl. Mech. 1994. Vol.61. P.710-712.
5. Ravi-Chandar K. An experimental investigation into dynamic fracture: 1. Crack initiation and arrest / K.Ravi-Chandar, W.G.Knauss // Internal J. Fracture. 1984. Vol.25. P.247-262.
6. Sih G.C. Impact response of a finite crack in plane extension / G.C.Sih, G.T.Embley, R.S.Ravera // Int. J. Solids Structures. 1972. Vol.8. P.977-993.
214 -
ISSN 0135-3500. Записки Горного института. Т.163
