О запирании сверхвысоких давлений в толстостенных сферических сосудах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Любую пару соседних завитков, имеющих один знак, взаимно уничтожим регулярной гомото-пией, обратной к "протаскиванию через бесконечность" (рис. 3). А любую пару соседних завитков с противоположными знаками можно взаимно уничтожить регулярной гомотопией (неподвижной на V П e¿) в диске U', изображенной на рис. 2. Отметим, что все указанные гомотопии неподвижны на V П e¿. Таким образом, петлю 7i|e¿ можно преобразовать с помощью регулярной гомотопии, неподвижной на V П e¿, в положительно ориентированную окружность с 0 или 1 положительным завитком. Заметим, что количество завитков равно (так как индекс самопересечения по модулю 2 регулярной замкнутой кривой сохраняется при движениях Рейдемейстера 2-го и 3-го типов, а значит, и при любой регулярной гомотопии). Поэтому к такому же виду можно преобразовать и петлю 72 к-

Отсюда следует, что петли 7i|e¿ и 721ei можно соединить регулярной гомотопией, неподвижной на V П e¿.

Случай 2: петля 7i|e¿ нестягиваема. В данном случае петля 7i|e¿ пересекает ленту Мёбиуса МР2\£/'. Петля 7i|e¿ по лемме 2 регулярно гомотопна некоторой кривой, пересечение которой с указанным листом Мёбиуса является простой дугой, а пересечение с диском U' имеет вид простой дуги с некоторым количеством маленьких завитков. При этом соответствующая регулярная гомотопия неподвижна в малой окрестности Ffle¿ вершины v.

Взаимно уничтожим пары соседних завитков, как в случае 1, с помощью регулярной гомотопии, неподвижной на V П e¿. То есть в данном случае получаем, что нестягиваемую петлю 7i|e¿ можно преобразовать с помощью регулярной гомотопии, неподвижной на V П e¿, в петлю, пересечение которой с листом Мёбиуса RP2 \ U' является простой дугой, а пересечение с диском U' имеет вид простой дуги с 0 или 1 положительным завитком. Как и в случае 1, получаем, что количество завитков равно Д. Поэтому к такому же виду можно преобразовать и петлю 721e¿, что и завершает доказательство леммы. □

Автор приносит благодарность Е. А. Кудрявцевой за постановку задачи и полезные обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пермяков Д. А. Регулярная гомотопность погружений графов в поверхности // Матем. сб. 2016. 207, № 6.

93-112.

2. Reidemeister К. Elementare Begründung der Knotentheorie // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. 1926. 5. 24-32.

Поступила в редакцию 01.03.2017

УДК 539.31

О ЗАПИРАНИИ СВЕРХВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЙ В ТОЛСТОСТЕННЫХ СФЕРИЧЕСКИХ СОСУДАХ

Н. Ф. Андрианов1

Получена аналитическая формула, позволяющая рассчитать максимальное давление внутри многослойного сферического сосуда при обеспечении линейного снижения давления между слоями.

Ключевые слова: сверхвысокое давление, многослойный сферический сосуд.

An analytical formula is obtained, which allows us to find the maximum pressure within a multilayer spherical vessel in the case of a linear decrease of pressure between the layers.

Key words: super high pressure, multilayer spherical vessel.

Из технических приложений теории упругости наибольший интерес представляют вопросы создания сосудов и аппаратов сверхвысоких давлений — газостатов, аппаратов для синтеза алмазов и т.д. В данной проблеме наиболее разочаровывает факт ограниченной прочности существующих

1 Андрианов Николай Филиппович — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. ВНИИНЕФТЕМАШ (Москва), e-mail: ZWETMETMASCHQmail.ru.

материалов. Разными техническими приемами удается запирать давление, в два раза (только в два раза) превышающее пределы прочности материала аппаратов, при использовании предварительно напряженных конструкций за счет посадок с натягом, автофретиррования и т.п. При этом идти по пути увеличения размеров стенок сосудов бесполезно. В заметке предпринимается попытка подступиться к решению данной проблемы.

Рассмотрим контейнер для запирания сверхвысоких давлений в виде сферического сосуда с внутренним г и наружным К радиусами, внутри которого действует давление Р.

Согласно решению, полученному Г. Ламе [1], радиальные и тангенциальные напряжения в таком сосуде распределятся по следующему закону:

Р

(То

Р

Ъ = -777Г

ёУ-1

1 3

1 + 2VP

(1)

Здесь р, г ^ р ^ R, — радиальная координата точки внутри стенки контейнера.

Определим критическое значение давления (Р*), при котором материал на внутренней поверхности контейнера перейдет в пластическое состояние. Для этого воспользуемся условием текучести X. Треска [2], которое, приближенно считая ау = 2ту, можно написать в виде

(Tt-(Tp = ay. (2)

Здесь ау, Ту — пределы текучести материала при растяжении и сдвиге. Используя (1) при р = г и (2), получаем

Р* = | [1 " К3] • (3)

где К = г/R.

Отметим, что lim Р* = 0,666 ау.

Д—)-оо

Известно [3], что даже при очень высоких гидростатических давлениях механические свойства материалов практически не меняются. Таким образом, если на наш сосуд снаружи действует подкрепляющее давление Рн, то внутреннее давление Р* в (3) может быть увеличено на эту же величину.

Разделим наш сосуд на два по сфере радиуса р2 = VrR- При этом у них будут одинаковые коэффициенты К2 = (r/R)1/2. Между слоями подадим максимальное давление Р\, которое будет внутренним для внешнего слоя и подкрепляющим для внутреннего. Величину Р\ определим, применяя (3) для внешней сферы:

Pl = ^[l-Kl]-ay.

При этом с учетом подкрепляющего давления во внутреннем сосуде можно создать давление в два раза выше:

Р^ = 2Р1 = ^[1-К!]-ау. (4)

Получившееся давление Р2* в (4) оказалось выше, чем Р* в (3). Действительно,

Р*-Р* = ^[1-Kl]2 -ау>0.

Таким образом, мы смогли увеличить предельное давление внутри сферического сосуда, не изменяя его геометрических размеров.

Естественно, что если каждый из двух сосудов дополнительно разделить на два и создать соответствующие промежуточные давления, то эта процедура вновь позволит увеличить внутреннее давление.

Определим предельное давление Р**, которое можно запереть внутри нашего сосуда, используя данный процесс.

Разобьем сосуд на N слоев с одинаковыми К^ = (r/R)l/N. Отметим, что lim К^ = 1. При

N-* оо

этом максимальное внутреннее давление будет равно

-V • PN. 1 = N • Н [1 _ KN3] • ау.

Переходя к пределу при N —> оо, получим

Р** = ау2Ы(К/г). (5)

В отличие от однослойного сосуда при увеличении внешнего радиуса в (5) внутреннее давление может быть сделано сколь угодно большим! Например, если выберем внешний радиус сферы, в 128 раз превышающий внутренний, получим для 16-слойного сосуда = 6,37сгу, а предельное значение составит Р** = 8,3 (Ту.

Естественно, остается открытым вопрос о практическом изготовлении таких сосудов. Возможное решение — это конструкция типа "клубок", обмотка которого рассчитана таким образом, что внешние слои нагружаются постепенно, по мере роста давления во внутреннем герметичном контейнере, а при достижении заданного давления Р** внутренние напряжения будут линейно убывать от слоя к слою.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тимошенко С.П., Гудиер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979.

2. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969.

3. Бриджмен П. У. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. Влияние высокого гидростатического давления на механические свойства материалов. М.: Либроком, 2010.

Поступила в редакцию 07.09.2016

УДК 531.19

ОБ ОДНОЙ ОСОБЕННОСТИ ПРИ ВЫВОДЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА ИЗ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ЭНТРОПИИ

А. М. Шматков1

Показано, что в общем случае распределение Гиббса может не доставлять максимума энтропии.

Ключевые слова: принцип максимума энтропии, распределение Гиббса, равновероятное распределение.

It is proved that the Gibbs distribution may not provide the entropy maximum.

Key words: entropy maximum principle, Gibbs distribution, equiprobability distribution.

Докажем утверждение, похожее на теорему из § 6 известного учебника [1]. Для лучшего понимания существа вопроса сохраним формулировки, обозначения и т.д., использованные в [1], настолько, насколько это возможно.

Рассмотрим консервативную механическую систему с п степенями свободы, состояние которой описывается n-мерным вектором обобщенных импульсов р и n-мерным вектором обобщенных координат q. Тогда энтропия имеет вид f р(р, q) In р(р, q) dpdq, где р(р, q) — соответствующая плотность распределения вероятности.

Теорема. Пусть Е и V — заданные положительные константы. Рассмотрим распределения, p(p,q), удовлетворяющие условию f H(p,q)p(p,q) dpdq = Е, причем f H(p,q) dpdq = EV, где V = f dpdq, a H(p, q) — гамильтониан системы. На этом множестве энтропия, имеет единственный максимум, который достигается на равномерном распределении.

Доказательство. Вычислим первую вариацию энтропии, покажем, что энтропия имеет единственную стационарную точку — равномерное распределение и что вторая вариация в этой точке отрицательна.

1 Шматков Антон Михайлович — доктор физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Ин-та проблем механики РАН, e-mail: shmatkovQipmnet.ru.