О закономерностях переноса частиц поверхностно-активного вещества капиллярно-гравитационными волнами Текст научной статьи по специальности «Физика»

2010

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2010-2012

УДК 532.59+532.6

О ЗАКОНОМЕРНОСТЯХ ПЕРЕНОСА ЧАСТИЦ ПОВЕРХНОСТНО-АКТИВНОГО ВЕЩЕСТВА КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫМИ ВОЛНАМИ

© 2011 г. Д. Ф. Белоножко, А.А. Очиров, О.В. Посудников

Ярославский госуниверситет им. П.Г Демидова

belonozhko@mail.ru

Поступила в редакцию 24.08.2011

Во втором приближении по амплитуде капиллярно-гравитационной волны построены аналитические выражения, описывающие вызываемое распространением волны дрейфовое движение частиц поверхностно-активного вещества. Выяснилось, что зависимость скорости дрейфового движения от упругости пленки поверхностно-активного вещества имеет сложный немонотонный характер.

Ключевые слова: капиллярно-гравитационные волны, свободная поверхность, вязкость, поверхностноактивное вещество, дрейф Стокса.

1. Формулировка задачи

Еще со времен Стокса известно, что распространение капиллярно-гравитационных волн по свободной поверхности жидкости сопровождается весьма интересным нелинейным эффектом, обнаруживающимся в расчетах второго порядка малости по амплитуде волны и проявляющимся в медленном дрейфе частиц жидкости в направлении распространения волн [1]. Настоящая работа посвящена изучению закономерностей переноса частиц поверхностно-активного вещества (ПАВ), распределенного на поверхности жидкости, по которой распространяется капиллярно-гравитационная волна.

Пусть в декартовой системе координат 0ху2 с осью 02, направленной против направления действия силы тяжести g, вязкая несжимаемая жидкость заполняет полупространство 2 < 0. Жидкость имеет плотность р и кинематическую вязкость V. На ее свободной поверхности равномерно распределено ПАВ с поверхностной плотностью Г0 и коэффициентом поверхностной диффузии О. Принималось, что по свободной поверхности жидкости в положительном направлении оси Ох в начальный момент времени t = 0 начинает распространяться бегущая периодическая волна заданной длины. Рассматривалась задача определения дрейфовой скорости, с которой бу -дут двигаться частички ПАВ.

В процессе распространения волны будет иметь место перераспределение ПАВ по свободной поверхности, так что концентрация ПАВ окажется функцией времени и горизонтальной

координаты. Локальные изменения концентрации ПАВ будут причиной локальных изменений величины коэффициента поверхностного натяжения у В качестве модели зависимости поверхностного натяжения от поверхностной концентрации Г ПАВ принималось допущение о локальном термодинамическом равновесии между поверхностной фазой ПАВ и жидкостью. Это означает, что локальное изменение концентрации ПАВ мгновенно вызывает изменение локального значения коэффициента поверхностного натяжения в соответствии с изотермой у = у(Г), считающейся известной.

Математическая формулировка задачи определения поля скоростей и поверхностного распределения ПАВ имеет вид [2]:

— + (и -У)и = - - Ур + V Ди + g;

дt р

V-и = 0; (и = и ех + уег);

Я? Я?

^ = ?:

3Е 3Е — + и— = V; 3ґ 3х

3%

р - 2pv (п • (п -V) и) = -у—-

3х

1 +

2 Л

-3/2

- pv[( т • (п • V)U) + (п • (т • V)U)] +

+

3Г

"37

+

1+

1+

л-

2

-1/2

3у

3х

= 0;

з (Ги) +^ггзи+3Г) V

3х Зх і 3г Зх )

ЗГг*

dz

-D

1+|§

ox

1+

( д 2рОГ Ox 2

Ox

д2Г dx~

= 0.

w = A2 M

exp

\

4v(t-т)

exp(2rT)

4t~-

Здесь ю0 = kg(1+a2k2) — круговая

a = Vy 0/(Pg) (:

верхностной концентрацией Г0). Параметр г = = Ю0Яе(5) меньше нуля и определяется значением комплексной частоты обезразмеренной на Ю0 .

Безразмерная комплексная частота S является кор -нем дисперсионного уравнения:

(

Здесь ex и ez — орты координатных осей; n и Т — орты внешней нормали и касательной к возмущенной волновым движением свободной поверхности жидкости z = ^ = ^(t, x, z); ^ = ^(t, x, z) — профиль свободной поверхности; u = u(t, x, z) — горизонтальная и v = v(t, x,z) — вертикальная ком -поненты поля скоростей U в жидкости; p = =p(t, x, z) — давление; Г = Г(ґ, x) — поверхностная концентрация ПАВ.

2. Принцип построения и общая форма решения задачи

Построение выражения для скорости горизонтального дрейфа осуществлялось с помощью методики, развитой в [3]. Сначала строились выражения для компонент поля скоростей в первом и во втором приближениях по амплитуде капиллярно-гравитационной волны. Затем осуществлялся переход от эйлерова представления поля скоростей к лагранжеву. В результате получалось выражение для скорости индивидуальной жидкой частицы. В построенном выражении сохранялись только нециклические по времени слагаемые, описывающие дрейфовую составляющую движения индивидуальной жидкой частички. Считалось, что непосредственно на поверхности полученное выражение описывает дрейфовую скорость частичек ПАВ.

Выяснилось, что в непосредственной близости к возмущенной волновым движением поверхности наиболее существенная часть горизонтального дрейфового движения индивидуальных частиц жидкости и поверхностно-активного вещества происходит с горизонтальной скоростью:

(S + 2Р2)2 +

(

1-

л

S (S + 5)

/у

( ( 4р;

1-

S2 +1

л

S (S + 5)4р4

л/s+Р4;

у

Р=

V k2

Л=-

k3 Г0

pC і dr

Dk2

с

dT. (1)

частота ка-

пиллярно-гравитационной волны с волновым числом k на поверхности идеальной жидкости, имею-

ис-

щей капиллярную постоянную а = пользуется среднее значение коэффициента поверхностного натяжения у0 = у(Г0), соответствующее равномерному распределению ПАВ с по-

Параметр в имеет смысл безразмерной вязкости жидкости; безразмерная величина Л характеризует упругость пленки ПАВ; безразмерное значение 5 отвечает за интенсивность поверхностной диффузии ПАВ. Через эти же параметры весьма сложным образом выражается величина M = M(k, в, Л, 5), входящая в выражение (1) для скорости дрейфового движения w.

3. Результаты анализа построенного решения

Выяснилось, что известное свойство декремента затухания капиллярно-гравитационных волн достигать максимума при некотором значении упругости пленки ПАВ [4] взаимосвязано с интенсивностью переноса ПАВ капиллярно-гравитационной волной. Величина упругости пленки ПАВ, при которой затухание капиллярно-гравитационной волны максимально, является одновременно тем значением упругости, при которой максимальна величина M в формуле (1) для скорости дрейфового движения частичек жидкости и ПАВ. Таким образом, условия, когда амплитуда дрейфового движения наиболее велика, одновременно являются условиями, когда и быстрота его затухания тоже экстремальна. Выяснилось, что увеличение коэффициента поверхностной диффузии и вязкости уменьшают отчетливость обнаруженного эффекта.

Список литературы

1. Longuet-Higgens M.S. // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1953. V. 245, No 903. P. 535-581.

2. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. // ЖТФ. 2004. Т. 74. Вып. 11. С. 22-28; 29-37.

3. Белоножко Д.Ф., Козин А.В. // ЖТФ. 2010. Т. 80. Вып. 4. С. 32-40.

4. Lucassen-Reyenders E.H., Lucassen J. // Adv. Coll. Interface Sci. 1969. V. 2. P 347-395.

x

X

0

2

z

ON THE REGULARITIES OF THE TRANSPORT OF SURFACTANT PARTICLES OWING TO CAPILLARY-GRAVITATIONAL WAVES

D.F Belonozhko, A.A Ochirov, O. V Posudnikov

Analytical relations describing the drift of surfactant particles drift caused by propagation of capillary-gravitational waves are constructed as a second approximation of the amplitude of a capillary gravitational wave. The velocity of the drift is found to behave in a complicated and non-monotonic manner as a function of the elasticity of the surfactant film.

Keywords: capillary-gravitational waves, free surface, viscosity, surfactant, Stokes drift.