О законе Ома в тонких токовых слоях магнитосферы Земли Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.92

О ЗАКОНЕ ОМА В ТОНКИХ ТОКОВЫХ СЛОЯХ МАГНИТОСФЕРЫ

ЗЕМЛИ

А. Г. Коржов, X. В. Малова, В. Ю. Попов

(.кафедра математики) E-mail: hmalova@yandex.ru

При помощи аналитической аппроксимации численных результатов самосогласованной модели магнитосферного тонкого токового слоя получены аналитические и численные оценки зависимости полного поперечного тока от величины электрического поля, нормальной компоненты магнитного поля, температуры ионов и электронов. Показано, что зависимость тока от параметров е, 7}, Ьп нелинейна. Оценен относительный вклад различных компонент плазмы в полный ток.

Введение

Целью настоящей работы является аналитическое и численное исследование закона Ома в токовом слое (ТС) хвоста магнитосферы Земли [1], в котором существует крупномасштабное электрическое поле и течет поперечный электрический ток. Во время суббурь ТС сжимается до предельно малой толщины порядка ионного ларморовского радиуса [2]. Поскольку такой предельно тонкий токовый слой (TTC) может являться ключевым фактором, влияющим на характер геомагнитных возмущений, задача изучения его свойств является весьма актуальной. Еще в 1980-е годы были предприняты попытки оценить масштаб электрического тока через хвост и оценить круг основных параметров, влияющих на структуру ТС [3]. Однако эти оценки, во-первых, были достаточно грубые, а во-вторых, не удавалось оценить вклад электронной компоненты плазмы в полный ток. В работах [4, 5] представлена самосогласованная модель TTC, которая позволяет получить самосогласованные профили магнитного поля, плотности плазмы и тока в хвосте магнитосферы Земли для широкого диапазона параметров. Однако в этой модели выбрана специальная система координат, где электрическое поле не учитывается. Для учета крупномасштабного электрического поля и электронного тока самосогласованный профиль плотности плазмы, полученный в модели [5], был аппроксимирован аналитической формулой, а для аналитического представления электронных токов использовалось дрейфовое приближение [6, 7]. Это позволило перейти в систему координат с ненулевым электрическим полем и получить аналитические и численные оценки для зависимости полного поперечного тока от величины электрического поля, нормальной компоненты магнитного поля, температур ионов и электронов. Также оценен относительный вклад различных компонент плазмы в полный ток.

1. Аппроксимация численных результатов самосогласованной модели TTC

Рассмотрим следующую конфигурацию электрических и магнитных полей, характерную для TTC [5]:

B=(B0th(z/L),0,Bn), (1)

E=(Q,Ey,Ez(z)) (2)

Причем Ez(z) —0 при Z —L, где L — характерная ширина ТС и bn = < 1.

Обычно предполагают, что Вп поддерживается дипольным магнитным полем Земли, а Вх -компонента создается самосогласованно током хвоста. Амбиполярное электрическое поле Ег(г) возникает из-за разной динамики замагниченных электронов и неадиабатических ионов в TTC [5] и определяется самосогласованным потенциалом, который имеет вид, схожий с гауссовской функцией, и затухает на расстояниях порядка ширины слоя L. Для его аппроксимации использовалась функция

ф(г) = фо ехр ( — а\

[L2

а\ > О,

(3)

При такой аппроксимации потенциала электрическое поле

Е= ( 0,Ey,EZQ — ехр

-ai

L2

(4)

где Его = 20О11 ■

Аналогично концентрацию ионов в соответствии с численной самосогласованной моделью будем аппроксимировать функцией Гаусса с максимумом в центре слоя:

п(г) = «о ( 1 + /Зехр (

«2 > 0, (5)

где параметры ¡3, а\, «2 определялись по численным результатам самосогласованной модели [5] так, чтобы

51 =

('У'гшгп 'У'арргох)/

где 7 — точность дрейфового приближения. Зависимости параметров в и фо от величины е = ^ (отношения тепловой скорости к средней потоковой скорости в движущейся системе координат) при ■Д- = у- = 6, Ьп = 0.25 показаны на рис. 1.

* е\\ 1е±.

В специальной системе координат де Хоффман-на-Теллера, движущейся в положительном направлении оси X со скоростью Унт = сЕу/Вп, поля имеют вид

£'. = 0, Е[,= 0, Е'г{г) = ЕМ-

ВI = В«.

4 = 0,

В'х(г) = Вх(г), В'у(г) = ^Ег(г),

^ Вп

Это преобразование справедливо при условии

£

^ С 1, которое в действительности характерно для хвоста магнитосферы Земли. В такой системе координат на границе ТС зададим ионную функцию распределения как суперпозицию функций распределений ионов, входящих в слой и выходящих из него [5, 8]:

/(V) = /о+ ехР

(о' + и'в)2 + и'1

+ /о ехР

+

"т

(6)

где Т) = — температура ионов, V? — тепловая скорость ионов в неподвижной системе координат, которая отличается от скорости в движущейся си-

стеме на малую величину, — 7,2

9 £2

~°т + с~ф (3Десь и далее будем обозначать индексом Е величины, взятые на границе токового слоя).

2. Вычисление концентрации и плотности тока ионов

Вычисление концентрации и плотности тока ионов основывается на законе сохранения потока

импульса для поля и частиц [6, 7], т.е. на согласовании параметров функции распределения с параметрами магнитного поля.

В случае стационарных полей закон сохранения записывается в виде [3]

д_

дХ]

{Р,! + 7у)=0.

(7)

где

1 (Е2 + В2

-5ц -(£,£)+ В,(8) тензор натяжений электромагнитного поля,

Ра =

/П,•£),•£);/ (г, г)) йV

(9)

— тензор плотности потока импульса. После интегрирования х-компоненты (7) по г-координате с учетом (1) и (6) получается выражение для концентрации ионов (равной концентрации электронов) на границе слоя:

п =

ВЬ'2

(1+ег!(1))

87}

7г + 7гег! (р-) + л/тгехр (-772 V

(10)

В1 = у^В^-КВ2 — поле на границе слоя. Видно, что

в2^'2 в2

п и при е' < 1 и «и - 7Т+ у/же') при

е' 1. Величина е определяется следующим образом: е = ^. Для характерных параметров задачи е и е' можно считать совпадающими.

Для характерного значения В1 = 20 нТ и Г,- = = 2^-3 кэВ значения концентрации согласуются с экспериментальными данными, представленными в работе [9].

Далее, интегрируя уравнение го1:.В= пренебрегая величиной В2 по сравнению с и выражая и'в через известные в неподвижной системе величины: и'0 = "Оонт = у£> + > гДе у£> _ средняя потоковая скорость, измеренная в неподвижной системе

Рис. 1. Зависимости параметров ¡3 и фо от величины е при у- = у- = 6, Ьп = 0.25

координат, получим формулу для ионного тока через слой в неподвижной системе координат:

7гт,л. уонт

\

1 +

от ехр

иР1ГГ

(И)

Видно, что для характерных параметров ТС зависимость ионного тока от величины электрического поля мало отличается от линейной, в то время как зависимость от температуры и величины е нелинейна.

Приведем асимптотики в зависимости от параметра е: // = ^ (1 ПРИ А =

= + + при е» 1.3а-

висимость ионного тока от температуры и электрического поля для различных значений е представлена на рис. 2.

3. Учет электронного тока

Для описания замагниченных электронов, источники которых считаются расположенными вне ТС

симметрично относительно нейтральной плоскости, будем использовать дрейфовое приближение [5, 6] и характеризовать их усредненными температурами

Те\\ = тео|ц и Те± = слоя.

тек;±

заданными на границе

Условие применимости приближения ведущего центра выглядит так [2]: «С 1, что для дан-

ной модели эквивалентно условию ^ 1 > гДе р{г = 0) = ^±(0)щщ — ларморовский радиус электрона в центре слоя, /?(0) = ЬЬп — радиус кривизны силовых линий магнитного поля в центре слоя.

Используя закон сохранения магнитного момента и оценки для ширины токового слоя 1й£з^ при Ьп < е < 1 и Ь и ^ для е > 1 [4], запишем для

заданного значения параметра 7 = соотношение между параметрами модели, определяющее в пространстве основных параметров задачи разрешенную область применимости дрейфового приближения:

1/з ! \ 1/з

Ь„е2/9 ( Ц-

7

2/3

т.

171;

(12)

0.032

-

- 8=1.5,/

// 8 = 0^^

-

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Еу, мВ/м

Рис. 2. Зависимость ионного тока от температуры и электрического поля для различных значений е

0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

8

Рис. 3. Значения Ьп в заштрихованных областях удовлетворяют условиям дрейфового приближения

(7 = 0.1)

Диапазоны значений Ьп, при которых справедливо дрейфовое приближение показаны на рис. 3. Видно, что существует область малых значений параметров е и Ьп (для реальных температур), в которой электроны нельзя рассматривать в дрейфовом приближении.

Плотность перпендикулярной составляющей электронного тока состоит из трех слагаемых и имеет вид [31

je± = h + Je +jm = С menev

41

menev^±

x

[Д. (ДУ)Д] в

+

Я. V-

B

+ епес-

\ЕВ\

В2

(13)

Первое слагаемое этого выражения связано с токами кривизны и намагничивания и вносит основной вклад в полный электронный ток, электронный ток и третье — с током в скрещенных полях. Два последних слагаемых вносят существенно меньший вклад. Поскольку в центре слоя слагаемое [Д,(ДУ)Д] ^ ^ [ЖВ]_ ^ ^ | ^ т0 вт0р0е слагаемое

Проинтегрируем (13) с учетом (1), законов сохранения энергии и магнитного момента электрона, а также аналитических выражений для потенциала и концентрации (3), (5), полученных аппроксимацией результатов самосогласованной численной модели [5]. Получим следующие приближенные аналитические выражения для электронных токов (индексом Ь помечены величины, взятые на границе токового слоя):

/2

(h)y =

cnL{ 1 + 6)те1>'L

y 2 1 J L±

(14)

(IE)y = -\e\nL{[ + l3)c

20o«i Во

7Г Ьп

(15)

(Jm)y —

cnLmev'l±

BL

(1 + /3)(1п(2/6,г) — 1) +

1 exp(—

+ t +-

.4 a 2

an -

(16)

В этих формулах стоят значения скоростей, вычисленные в движущейся системе отсчета, а заданными считаются скорости, измеренные в неподвижной системе. Связь между этими скоростями имеет вид

,2

v Ц\

.,/2

(t>L|| +

сЕ,

У

LL

= ЕЛ + С

bnBL Е2

2 У

ВГ

(17)

(18)

В соответствии с формулами (10), (14)—(16) электронный ток Ie ~ £2 для малых е и Ie ~ е для больших е и обратно пропорционален 7} и Ьп.

На рис. 4 представлены графики зависимостей полного электронного тока для электронов различных температур. Сравнивая их с ионным током для Tj = 2 кэВ, Ь,г = 0.25, е= 1, получим, что для выбранных значений параметров задачи доля электронных токов в полном токе составляет около одной трети.

Выводы

Анизотропные токовые структуры могут образовываться в начальной фазе суббури в результате утоньшения токового слоя магнитосферного хвоста и, по-видимому, играют ключевую роль в динамике магнитосферы в целом. Исследование факторов, влияющих на ток через хвост магнитосферы является задачей, которая до сих пор была практически не исследована. В настоящей работе проведены оценки тока в хвосте магнитосферы Земли на основании аналитической модели TTC, с учетом электронной и ионной компонент плазмы.

■7}/Г,=8 —

VAot и.ша

0.010-1-1-1-1-1-1-1-1- 0.024

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Еу, мВ/м

Еу, мВ/м

Рис. 4. Зависимости электронных и ионных токов от Еу и доля электронной составляющей в полном

токе через слой

Получены аналитические формулы для электронных токов в дрейфовом приближении. Выражения для ионного тока получены в результате согласования параметров ионной функции распределения с параметрами магнитного поля.

В рамках приближения ведущего центра получены ограничения на характерные значения малых параметров Ьп и е.

Показано, что токи в TTC хвоста магнитосферы Земли обладают следующими свойствами:

1. Зависимость электронного тока от поля Еу для характерных значений поля ~ 1 ^ слабо отличается от линейной.

2. Зависимость ионного тока от электрического поля Еу слабо нелинейна.

3. Зависимость ионного тока от 7} и е нелинейна.

4. Полный ток через слой является нелинейным по параметрам е, Ьп, 7}.

Результаты, полученные в настоящей работе, согласуются с экспериментальными оценками, приведенными, например, в работе [9].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 08-02-00407, 08-06-00283)

и Программой поддержки научных школ (грант НШ-5359.2006.2). Работа Х.В. Маловой выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты 05-05-64993, 06-05-90631).

Литература

1. Ness N.F. // J. Geophys. Res. 1965. 70. P. 2989.

2. Sergeev V.A., Mitchell D.G., Russell C.T. et al. 11 J. Geophys. Res. 1993. 98. P. 17345.

3. Lyons L.R., Speiser 7.W. 11 J. Geophys. Res. 1985. 90. P. 8543.

4. Zelenyi L.M., Sitnov M.I., Malova H.V. et al. 11 Nonlinear processes in Geophysics. 2000. 7. P. 127.

5. Zelenyi L.M., Malova H.V., Popov V.Yu. et al. // Nonlinear Processes in Geophysics. 2004. 11. P. 1.

6. Галеев А.А. Основы физики плазмы. T. 1. M., 1983.

7. Франк-Каменецкий Д.A. Лекции по физике плазмы. М„ 1968.

8. Burkhart G.R., Drake J.F., Dusenbery P.В. et al. // J. Geophys. Res. 1992. 97. P. 13799.

9. Runov A.V., Sergeev V.A., Nakamura R. et al. j j Annales Geophysicae. 2006. 24. P. 247.

Поступила в редакцию 20.06.2007