CC BY
21
УДК: 517.977
О ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО БИНАРНО УПРАВЛЯЕМОГО ОБЪЕКТА
© 2009 А. М. Фрумкин
доц. кафедры электротехники, электроники и автоматики, к.т.н., e-mail: [email protected]
Курский государственный технический университет
В статье описывается композиция определений и утверждений, посвященная задаче оптимального быстродействия для бинарно управляемого объекта с двумерным фазовым пространством.
Ключевые слова: бинарно управляемый объект, управление, переход, траектория перехода, время управления, локально-оптимальное управление, оптимальное относительно множества управление.
Решение задачи оптимального быстродействия для управляемого объекта (в смысле [Болтянский 1969]) является кусочно-постоянной функцией. Обычно это управление ищется с использованием принципа максимума. Если задача оптимального быстродействия ставится для бинарно управляемого объекта [Фрумкин 2009], то оптимальное управление (как и любое другое возможное) кусочно-постоянно. В данном случае можно попытаться решить задачу без применения принципа максимума, путем непосредственного анализа сумм выдержек времени для возможных управлений. Такой подход реализуется в данной статье для бинарно управляемого объекта с двумерным фазовым пространством.
Поиск управлений проводится путем качественного исследования фазовых траекторий объекта в пространстве состояний, - плоскости пар вещественных чисел Я2. В силу ограниченного объема статьи в ней в сокращении приводятся только наиболее важные, с точки зрения автора, доказательства. В статье используются некоторые специальные обозначения. Начало и конец доказательства помечаются значками 3,4. Противоречие обозначается значком g. Через к 1(х), к 2(х) обозначаются первый и второй компоненты пары хеЯ2. Промежуток в множестве натуральных чисел N обозначается как ш,п (ш,пе^. Для а,ЬеЯ применяются обозначения: 1(а,Ь)=(ш1п(а,Ь),шах(а,Ь)), 1[а,Ь]=[ш1п(а,Ь),шах(а,Ь)]. В Я2 выделяются следующие подмножества. Нуль-ось: Р0={хеЯ2: к 2(х)=0}. Открытые верхняя и нижняя
полуплоскости: Р+={хеЯ2: к 2(х)>0}, Р_={хеЯ2: к 2(х)<0}. Замкнутые полуплоскости Р+=Р+иР0, Р_=Р_иР0. Для произвольного W^R2 будем использовать обозначения: ¥0=Р0п¥, W_=P_nW, W+=P+nW, W_=W_uW0, W+=W+uW0.
Бинарно управляемым объектом назовем пару фазовых потоков в Я2
[Арнольд 1975]. Бинарным псевдоуправлением длины nеN (п> 1) назовем пару (д,т ), где д: 1 ,п®{0,1}, т :1,п®Я. Далее, если п невелико, д и т будут определяться
перечислением значений. Для того чтобы подчеркнуть последовательность выбора потоков, псевдоуправление (q,t ) будем называть q-псевдоуправлением.
Переходом из состояния seR2 под псевдоуправлением (q,t ) назовем последовательность х: 0 ,n®V, задаваемую соотношениями x0=s, и Vke 1 , n
Xk = gq (Xk_i,tk)- ^ ,
чк При 0<k<n xk назовем состояниями переключения, xn - конечным
состоянием. В данном случае также будем говорить, что псевдоуправление (q,t ) переводит состояние х0 в состояние xn. Если обозначить переход как w(s,q,t ), то траектория перехода (или траектория псевдоуправления)
Tr(s,q,t) ={xe R2:$ke In, te I[0,tk]:x = gqk(wk_1(s>q,t),t)}
Псевдоуправление (q,t ) назовем управлением, если Vke 1, n t k> 0. Суммы m
0m(t) = ^t k
k=1 при 1< m<n назовем моментами переключения управления (q,t ), T(t )=0 n(t ) - временем управления. Управление назовем каноническим, если Vke 1, n
t k>0 и Vke 1 , n-1 qk+1=0(qk)-
Управление (q,t ) локально-оптимально переводит x в у, если найдется e >0, обладающее следующим свойством. Если управление (q',t ') переводит x в у и Tr(x,q',t ') лежит в e -окружении Tr(x,q,t ), то время (q',t ') не меньше времени (q,t ).
Назовем псевдоуправление (q,t ), переводящее x в у, простым относительно Wc R2 (или W-простым), если его траектория лежит в W. Если W-простое псевдоуправление (q,t ) переводит x в у, будем говорить, что x и у q-связаны в W. Если описанное псевдоуправление является управлением, то x,ye W назовем правильно q-связанными. W-простое управление назовем оптимальным относительно W (или W-оптимальным), если время любого другого W-простого управления, переводящего x в у, не меньше, чем время (q,t ).
Будем предполагать, что потоки (g0,g1) порождены непрерывно
дифференцируемыми функциями f0:R2®R, f1:R2®R, которые обладают также следующими свойствами:
1) для каждого qe {0,1} частные производные 91fq, 92fq по обоим аргументам отрицательны (свойство диссипативности) и ограничены;
2) функция fq имеет на нуль-оси особую точку (р q,0): fq(p q,0)=0. Согласно первому свойству другого нуля не существует. При этом р 0<р 1.
Уточним некоторые общие свойства функций f0, f1. Индексы qe{0,1} в общих рассуждениях опущены. По теоремам существования [Арнольд 1975] для каждого xeR2 существует и единственно решение задачи Коши v''=f(v,v'), v(0)=p 1(x), v'(0)=p 2(x), продолжаемое на все множество R. Это решение обозначим u(x,t). Фазовый поток, определяемый функцией f, есть g : (x,t)® (u(x,t),u'(x,t)).
Для xeR2\{(p ,0)} обозначим Tp(x)=sup{t>0: Vte (0,t) u'(x,t )^0},
Tp'(x)=sup{t>0: Vte (0,t) u''(x,t )^ 0}, Tn(x)=inf{t<0: Vte (t,0) u'(x,t )^ 0},
Tn'(x)=inf{t<0: Vte (t,0) u''(x,t )^ 0}. Возможно, что какие-либо из описанных величин принимают бесконечные значения. Индексы p ("positive") и n ("negative") далее никак не связаны с нумерацией объектов, для которой используется символ "n".
Утверждение 1. Для хеЯ2\{(р ,0)} Тр(х)>0, Тр'(х)>0 и Тп(х)<0, Тп'(х)<0. В промежутках [Тп(х),0] и [0,Тр(х)] и(х,) строго монотонна. В промежутках [Тп'(х),0] и [0,Тр'(х)] и'(х,.) строго монотонна.
ЗПроведем рассуждения с объектами Тр(х), Тп(х), и(х, ). Пусть к 2(х)^ 0. Тогда, в силу непрерывности и'(х,), найдется окрестность ноля, в которой и'(хД)^ 0, то есть Тр(х)>0, Тп(х)<0. В промежутке (Тп(х),Тр(х)) и'(х, ) сохраняет знак к 2(х), поэтому, в силу теоремы о среднем, и(х,) строго монотонна на [Тп(х),Тр(х)].
Пусть к 2(х)=0 и ^х)^ 0, например f(x)>0. Тогда для некоторого е >0 и'(хД)<0 при 1е (_е ,0), то есть Тп(х)<0, и и'(хД)>0 при 1е (0,е ), то есть Тр(х)>0. На промежутке [Тп(х),0] функция и(х,.) монотонно убывает. На промежутке [0,Тр(х)] функция и(х,.) монотонно возрастает. Случай Дх,0)<0 рассматривается аналогично. Рассуждения с объектами Тр'(х), Тп'(х), и'(х,.) сходны.4
Сужение и(х,) на промежутки [Тп(х),0] и [0,Тр(х)] (сужение и'(х,) на промежутки [Тп'(х),0] и [0,Тр'(х)]) обозначим соответственно ип(х,), ир(х,) (ип'(х,), ир'(х,)). Эти функции, в силу монотонности, имеют обратные. В дальнейших рассуждениях
используются функции
8п(х,.)=и'(х,)0[ип(х,)]_1={(а ,р ): 3 1е[Тп(х),0]: а =и(хД)лр =и'(хД)}, 8р(х,.)=и'(х,)0[ир(х,)]_1={(а ,р ): 3 1е[0,Тр(х)]: а =и(хД)лр =и'(хД)}, о п(х,.)=и(х,)0[ип'(х,)]_1={(а ,р ): 3 1е [Тп'(х),0]: а =и'(хД)лр =и(хД)}, о р(х,.)=и(х,)0[ир'(х,)]_1={(а ,р ): 3 1е [0,Тр'(х)]: а =и'(хД)лр =и(хД)}.
Для описания их областей определения удобны функции
д п(х) = Ит u(x,t), д Р(х) = Ит u(x,t)
^Т,М+ р ^ Тр(х)-
ФПМ = lim u/(x,t), дР(х) = lim u/(x,t)
^ТПМ+ м ^ Тр(х)-
Утверждение 2. В промежутке [Тп(х),0] функция и(х,) является решением уравнения у'=8п(х,у), а в промежутке [0,Тр(х)] и(х,) _ уравнения у'=Бр(х,у). В промежутке 1(к 1(х),дп(х)) Бп(х,.) дифференцируема и удовлетворяет уравнению
8'(у)=^у,8)/8. В промежутке 1(к 1(х),д р(х))) Бр(х,.) также удовлетворяет уравнению
8'(у)=^У,8)/8.
ЗПервая часть утверждения следует из определения функций Б. Например, при 1е [Тп(х),0] и'(хД)=и'(х,[ип(х,)]_1(и(хД)))=8п(х,и(хД)). Вторая доказывается по правилам дифференцирования (значки "п","р","х" опущены):
8'(2)=и"(и_1(2)).[и_1]'(2)=Ди(и_1(2)),и'(и_1(2)))/и'(и_1(2))=Д2,8(2))/8(2). 4
Функции о п, о р будут использоваться для исследования траекторий в окрестности нуль-оси.
Утверждение 3. Пусть хеР0\{(р ,0)}. Тогда о п(х,) и о р(х,) _ монотонны, [о п(х, )]_1 есть сужение Бп на 1[к 1(х),о п(д п'(х))], [о р(х, )]_1 есть сужение Бр на 1[к 1(х),о р(д р'(х))], о (х)=о п(х,)ио р(х, ) есть функция. Функция ф (а ,Ь )=о ((к 1(х) +а ,0),р ) в окрестности нуля имеет представление ф (а ,Ь )=к 1(х)+Ь 2/Дх)+у (а ,Ь ), причем "е >0 найдется 8 >0: шах{|а| ,|Ь| }<0^|у (а ,Ь )| <е (|а| +|Ь| )|Ь| .
Для xеQ+=Pf\{(р ,0)} определим функцию
Sn(x,•), еслиxе Po л ^) < 0 S+ и,) = 0(^x0 иSp(x,•)) п P+) = < Sn(x,•) иSp(x,•), если xе P+
Sp(x,•), еслиxе Po л f(x) > 0
Здесь "С1" _ знак замыкания. Для xеQ+ область определения 8+(х,) _ это промежуток 1+(х)=[1+(х),И+(х)] ненулевой длины, границы которого определяются формулами
РдпМ, если (x е Po л ^) < 0) V xе P+
l +(^ = ^к1(x), если x е Po л f (x) > 0
Рдp(x), если (x е Po л f(x) > 0) V xе P+
^(X) jк1(x), еслиxе Po л f(x) < 0
Симметрично определяются функции 1_,И_ для точки хеО_=Р_\{(р ,0)}. Многие рассматриваемые далее понятия и утверждения симметрично формулируются для Р+ и Р_, но для краткости приводятся формулировки только для Р+ Полные формулировки приводятся лишь в итоговых утверждениях. Индексы + и _ не будут использоваться, если из рассуждений ясно, о каких понятиях идет речь.
Утверждение 4. Если х,уе 0+, то либо 1(х)с 1(у), либо 1(у)с 1(х).
Пару (х,у) будем называть тривиальной (и обозначать этот факт как х~у), если х и у принадлежат одной траектории потока.
Утверждение 5. Отношение H={x,yеQ+: —I (х~у)л"Хе 1(х)п1(у) Б(х,Х )<Б(у,Х )} есть отношение строгого порядка со следующим критерием принадлежности:
(х,у)еН — (х~у)/(к l(y)<1(x)vк 1(у)>И(х)\(к 1(у)е [1(х),И(х)]лк 2(у)>Б(х,к 1(у)))).
Отношение H={x,yеQ+: "Хе 1(х)п1(у) Б(х,Х )< Б(у,Х )} обладает свойством рефлексивности, транзитивности и квазиантисимметричности: (хНу/уНх)ох~у. Оно обладает следующим критерием принадлежности:
(х,у)еН к l(y)<1(x)vк 1(у)>И(х)\(к 1(у)е [1(х),И(х)]лк2(у)> Б(х,к 1(у)))
Отношения Н и Н аналогичны отношениям порядка < и < в Я, поэтому далее они будут обозначаться этими символами.
В дальнейших рассуждениях участвуют обе функции ^, ^. Соответствующие им
объекты ^,Т,8,о ,<,...) помечаются верхним или нижним индексом де {0,1}. Множество 0е Я2 назовем простым, если найдется порождающая 0 пара точек (х,у)еР0х Р0, обладающая свойствами:
а) 1+0(у)< к 1(х)<к 1(у)< И_1(х); б) 0 =х (х,у)={г: к 1(х)<к 1^)<к Ду^Б^хд 1^))<к 2(г)<30+(у,к 1(2))};
в) "ге 0 f1(z)>f0(z).
Из свойств ^, f1 следует, что (хеР0лр 0<к 1(х)<р ^^(х^Дх), потому простые множества существуют. Далее будут исследоваться управления, простые относительно некоторого простого множества 0 .
Утверждение 6. Для хе0 +\{(р 0,0),(р 1,0)} выполняются следующие утверждения.
1) если _¥<Тп0(х)< т <0л^0(х,[т ,0])с0+, то к 1(у)<к 1(х)л>0(х,т )>1х;
2) если 0<т< Тр0(х)<¥л^0(х,[0,т ])с0+, то к 1(у)>к 1(х)л>0(х,т )<1х;
3) если _¥<Тп1(х)<т <0л»1(х,[т ,0])с0+, то к 1(у)<к 1(х)л>1(х,т )<0х;
4) если 0<т< Тр1(х)<¥л^1(х,[0,т ])с0+, то к 1(у)>к 1(х)л>1(х,т )>0х.
3Докажем второе утверждение. Пусть хе 0 0. Это возможно только, если
к 1(х)<р 0<р 1^0<^(х)<^(х). Из утверждения 3 следует, что в некотором интервале (0,8 1) функции о р0(х,) и о р1(х, ) возрастают, причем " Ье (0,8 1) о р0(х,Ь )>о р1(х,Ь ). Отсюда следует, что в некотором интервале (к 1(х),к 1(х)+8 ) обратные функции Б0(х,.), Б1(х,.) также возрастают, но 80(х, )<81(х, ).
Если хе0 +, то, используя утверждение 2, получим Э2Б0(х,к 1(х))<Э2Б1(х,к 1(х)), то есть снова в некотором интервале (к 1(х),к 1(х)+8 ) 80(х,)<81(х,).
Так как движение происходит в Р+, к 1(у)>к 1(х). Пусть y=g0(x,т )> 1х. Если к 1(у)< ^(х), то Б^у^к 2(у)=Б0(х,у). Если к ^^(х), то 10(х)< к ДхК^хК^х) ^ 80(х,И1(х))>0=81(х,И1(х)). Таким образом, найдется Хе (к 1(х),И1(х)): Б1(х,Х )< Б0(х,Х ).
Рассмотрим функцию ф (1 )=Б1(х,1 )_Б0(х,1 ). В некотором промежутке (к 1(х),к 1(х)+8 ) ф (1 )>0. Положим а =М{1е (0,Х ]: ф (1 )=0}. В силу
непрерывности ф ф (а )=0, то есть Б1(х,а )=Б0(х,а )=Ь . Из ф '(а )>0 следует, что слева вблизи а ф <0, что потиворечит определению а . Поэтому ф '(а )< 0 или, согласно утверждению 2, ^(а ,Ь )> f1(а ,Ь ). С другой стороны, (а ,Ь )е 0^0(а ,Ь )<f1(a ,Ь )g. Все остальные варианты рассматриваются аналогично.4 Утверждение 6 имеет следствия.
Утверждение 7. 0+-простое 10-псевдоуправление, переводящее х в у, единственно. Если хе0 \{(р 0,0)}, 0+-простое 01-псевдоуправление, переводящее х в у, единственно.
Из этого утверждения следует
Утверждение 8. Если существует 0+-простое каноническое управление с заданным переходом 2:0, п®0 +, то такое управление единственно. Поэтому в 0+ можно сравнивать не только управления, но и переходы.
Утверждение 9. Пусть х,уе0 +\{(р 0,0),(р 1,0)}. Для существования 0 ^простого 10-управления, переводящего х в у, необходимо и достаточно выполнение условий: к 1(х)<к 1(у)/х< 0у/у< 1х. Для существования 0 ^простого 01-управления, переводящего х в у, необходимо и достаточно выполнения условий: к 1(х)
<к 1(у)лх< 0у/у< ^(х^ Ь1(у).
Из утверждения 7 следует, что отношение {((х,у),(т 10,т 00): (х,у)е0 +х 0 + л(10, (т 10,т 00)) 0+-просто переводит х в у } является функцией, которая паре (х,у) ставит в соответствие два числа т 10(х,у), т 00(х,у). Аналогично определяются функции т 01(х,у), т 11(х,у) для 01-связанных пар. Если х,у 10 и 01-связаны, пару (х,у) назовем типовой. Если х,у правильно 10 и 01-связаны, пару (х,у) назовем правильной. Для того чтобы типовая пара была правильной, достаточно, чтобы т 10(х,у)> 0, т 00(х,у)> 0. Типовой
паре (х,у) соответствуют состояния переключения
»0(х,у^0(х,т 01(х,у)^1(у,т l0(y,x)), sl(x,y)=gl(x,т lo(x,У))=go(У,т 01(у,х)) и временная разность ю (х,у)=т 10(х,у)+т 00(х,у)_т 01(х,у)_т 11(х,у).
Типовые пары (х1,у1), (х2,у2) назовем 0-связанными, если х2=81(х1,у1) лу1=80(х2,у2) и 1-связанными, если х2=в0(х1,у1) лу1=81(х2,у2). Если пары (х1,у1), (х2,у2) 0-связаны или 1-связаны, то (х1,у2) _ типовая пара и ю (х1,у2)=ю (х1,у1)+ю (х2,у2).
Если (х,у) _ правильная пара, то множество В(х,у)={2еО+: х< 02< 0ул^< 12< 1х} назовем клеткой данной пары и будем говорить, что пара (х,у) порождает клетку.
Утверждение 10. Пусть пара (х,у) _ правильная. Тогда имеют место неравенства к 1(х)<к 1(80(х,у))<к 1(у), к 1(х)<к 1(81(х,у))<к 1(у)
и функции
ф 0={(а ,ь ): (к 1(х)<а<к ^(х^лр =Б0(х,а )) v(к ^(х^))
<а< к 1(у)лР =Б1(у,а )) }, ф 1={(а ,р ): (к 1(х)<а<к ^(х^лр =8Дх,а )) v(к 1(81(х,у))
<а< к 1(у)лР =Б0(у,а )) }
обладают свойством "ае [к 1(х),к 1(у)] ф 0(а )<ф 1(а ).
При этом В(х,у)={2еЯ2: к 1(2)е[к 1(х),к 1(у)] лф 0(к 1(2))<к 2(2)<ф 1(к 1(2)).}
и граница В(х,у) Бг(В(х,у))=ф 0иф 1.
Утверждение 11. Если (х,у) _ правильная пара и 2еВ(х,у), то (х,2) и (2,у) _ правильные пары.
Утверждение 12. Пара, порождающая клетку, единственна.
Множество Хс0+ назовем ячейкой, если найдется такая правильная пара (х,у),
что Хс В(х,у)/В(х,у)\Хс Бг(В(х,у)). Эта пара порождает ячейку. Если пара, порождающая ячейку Х, нетривиальна, то она единственна. Обозначим эту пару через р(Х).
Ячейки образуют полукольцо множеств [Шилов 1972], а функция ячейки Р0, если порождающая пара тривиальна ю (^ = [ю^Ш), если порождающая пара нетривиальна
является усиленно-аддитивной. Эти утверждения доказываются по аналогии с утверждениями об обычных брусах в Я2. Ячейки являются жордановыми множествами. Определим плотность ю ' по площади т 2, Э(ю ',т 2).
Утверждение 13. Для 2е 0 +. Э(ю ',т 2)(2)=_1/(к 2(2))2.
WРассмотрим для хе0 + отображение Б1: (^Д^®^^,^),^). Его производная (линейная функция пары (т 1,т 0)):
DFl(tl,to)(т 1,т o)=Dlgo(gl(x,tl),to)0D2(gl(x,tl))(т 1)+D2go(g1(x,t1),to)(т 0). (1)
Отсюда (с учетом D1g0(x,0)=E): DF1(0,0)(т 1,т 0)=т 1У1(х)+т 0У0(х). Здесь
уд(х)=(к 2(x),fд(к 1(х),к 2(х))) _ векторное поле, порождающее поток gg (д=1,0). Дифференцируя (1) с использованием теорем о дифференцируемости по начальному значению и равенства D11g0(x,0)=0, получаем
D2Fl(0,0)(т 1,т 0,Л 1,Л 0)=т 0Л 0^(х)(У0(х))+[т 0Л 1+т 1Л o].DVo(x)(Vl(x))
+т 1Л 1^У1(х)(У1(х)).
Так как ^>^, векторы У1(х) и У0(х) при хеР+ линейно независимы, DF1(0,0) обратим, и по теореме об обратной функции F1 обратима в некоторой окрестности точки (0,0). Обозначим через Т1 обратную функцию и через Х 1(1), Х 0(1) координаты вектора ИеЯ2 в базисе (у1(х),у0(х)). Тогда DT1(x)=[DF1(0,0)]_1: h ® (Х 1(Ь),Х 0(Ь)). В частности, найдется такая окрестность х, в которой выполняется утверждение: если (х,х+И) _ нетривиальная правильная пара, то Х 1(1)>0, Х 0(1)>0. Определим вторую производную Т1 в точке х, следуя [Шилов 1972]:
D2Tl(x)(hl,h2)=_[DFl(0,0)]_1(D2Fl(0,0)([DFl(0,0)]_1(hl),[DFl(0,0)]_1(h2)).
При D2Tl(x)(h,h)= _( Х 02(1)Х 1(^00)+2Х 0^)Х 1^)Х 1(и01)+Х 12(1)Х 1(ип),
Х 02(1)Х 0(и00)+2Х 0(1)Х 1(1)Х 0(и01)+Х 12(1)Х 0(и11) X
где Uoo=DVo(x)(Vo(x)), Uol=DVo(x)(Vl(x)), Ull=DVl(x)(Vl(x)).
Аналогичные рассуждения проводятся с функцией F0: (^Д^®*^^,^),^). В результате получаем два первых члена формулы Тейлора для т (х,х+1 (р,де{0,1}). Например,
т 10(х,х+:Ь)=Х 1(1)_(Х 02(1)Х 1(и00)+2Х 0(1)Х 1^)Х 1(Чл)+Х 12(1)Х 1(ип))
+у 10(х,1)| I ^ 2,
причем (в силу непрерывности Dv0(x), Dv1(x) по х) у 10(х,1)®0 при || ^|® 0 равномерно по х в любом компактном множестве Ус0 +. Используя аналогичные выражения для т 00 и т 01 т 11, получаем
ю (х,х+1)=Х 0(1)Х 1(1)(Х 1(ии)+Х 0(ию)_Х 1(и01)_Х 0(Цц))+У (х,1)|| Щ 2.
Далее, пусть (х,х+1 _ правильная пара. Обозначим
т 0™п=шт{т 00(х,х+1),т 01(х,х+1)} т 0шах=шах{т 00(х,х+1),т 01(х,х+1)}, т 1ш1п=ш1п{т 10(х,х+1),т 11(х,х+1)} т 1шах=шах{т 10(х,х+!),т 11(х,х+1)}.
Для каждого де {0,1} верны включения
Fд([0,т ™п]х [0,т 0™п])еВ(х,х+1)сFд([0,т 1шах]х [0,т 0шах]).
Площади множеств слева и справа от В(х,х+1 могут быть оценены с помощью замены переменных и теоремы о среднем. В результате получаем
т 2(В(х,х+1))=д (у,(х),У1(х))Х 0(1)Х 1(1)+Л (х,1)| | Щ 2.
Здесь т^0(х).^(х)) = [сЙ^М^М)! = у1 v0(x) • Vl(x) - (vo(x), Vl(x))2 ) _
площадь параллелограмма, натянутого на У0(х), У1(х) и ^ (х,1)®0 при || ^|® 0 равномерно по х в любом компактном множестве Ус0 +.
Для 2е 0 + выберем компактный шар Ус0 + с центром 2. Тогда можно утверждать, что найдутся а 0™п>0, а 0шах>0, а 1ш1п>0, а 1шах>0, 0<а <1: "хеУ 0<а 0™п<| | У0(х)| I <а 0шахл)<а ™п<| | У1(х)| | <а ^л (У0(х),У1(х))| < а 11 у,(х)| 111 У1(х)| | , то есть
т (У0(х),У1(х))>(1_а )|| у0(х)| 111 у^х)| | и "h || Щ 2<с|1 (У0(х),У1(х))|
Х 0(1)Х 1(Ь)| ,
где с=(а 0шах/а ™п+а 1шах/а 0™п)/(1_а ).
Отсюда следует, что в шаре У для нетривиальной правильной пары (х,х+1 имеет
место соотношение:
ю (х,х+!)=т 2(В(х,х+1))((Х 1(и01)+Х 0(и01)_Х 1(иш)_Х 0(ию))/т (У0(х),У1(х))
+у '(х,Ю)
и у '(х,1)®0 при || ^|® 0 равномерно по х в У. Теперь найдем такое 8 , что в 8 -окрестности 2 величина ф (х)=(Х Ди^+Х 0(и01)_Х 1(иш)_Х 0(^0))/^ (У0(х),У1(х)) была близка ф (2) и для любого хе У при 11 ^ | <8 величина у '(х,1 близка к нулю. Тогда для любой нетривиальной ячейки А, лежащей в 8 -окрестности 2, ю '(А)/|1 2(А) будет близка к ф (2), то есть Э(ю ',т 2)(2)=ф (2). Для того, чтобы получить окончательный результат, необходимо вычислить ф (2), используя выражения для у0,у1 и правила дифференцирования. 4 Если пара (х,у) _ правильна относительно 0 + то, согласно
, Л г ф2^) ^
ю(х,у) = - I ------- —2 < 0
в(хУ)<к2(г))2
утверждению 13, . Таким образом, верно
Утверждение 14. Если пара (х,у) _ правильна относительно 0 + то ю (х,у)< 0 причем знак равенства имеет место только в случае, если пара (х,у) тривиальна.
Отсюда следует
Утверждение 15. Пусть существует 0 +-простое управление, переводящее х в у.
Тогда х,у 10-связаны и управление (10, (т 10(х,у),т 00(х,у))) 0 +-оптимально
Это утверждение доказывается индукцией по длине управления. Для того чтобы полностью распространить его на множество 0+, сначала доказывается
Утверждение 16. Если (х,у) _ правильная относительно 0+ пара, то 01-
траектория может пересекаться с нуль-осью только в точках х, у или 80(х,у).
Далее исследуется каждый из вариантов расположения точки на нуль-оси.
Утверждение 17. Пусть (х,у) _ правильная относительно 0+ пара, причем х, у или 80(х,у) лежит на нуль-оси. Тогда ю (х,у)< 0, причем равенство имеет место только для тривиальной пары.
ЗПриведем в качестве примера схему доказательства для случая нетривиальной пары (х,у), когда на нуль-оси только одна точка х. Этот вариант возможен только при условии к 1(х)<р 0, когда 0<^(х)<^(х). Тогда с использованием функций о р0(х, ) и о р1(х, ) показываем, что для любого ае (а1,а0), где а^/^х), а0=1#0(х), найдется такое 8 >0, что при 0<Х <8 х+(а Х 2,Х )е Int(B(x,y)) (Int _ знак внутренней части), (х,х+
(а Х 2,Х ))_ правильная пара и функция ф (Х )=ю (х,х+(а Х 2,Х )) имеет в нуле
ф'(0) = -(л/(а0-а-|)(а0-а) + ,/(а0-атНа-ат) + а-1 -а0) < 0 ^ ^
производную г ^ 0 1 0 ^ 0 1 1 1 0 при а1<а0. В
итоге найдется 2еШ(В(х,у)): ю (х,2)<0. Но пары (х,2) и (81(х,2),81(2,у)), (2,у), (80(х,2),80(2,у)) попарно 0 или 1-связаны так, что
ю (х,у)=ю (х,2)+ю (81(х,2),81(2,у))+ю (2,у)+ю (80(х,2),80(2,у)). (2)
Так как все отмеченные пары, кроме (х,2), правильны относительно 0 +, то
ю (х,у)<0. Случаи, когда на нуль-оси находятся только у или только 80(х,у),
рассматриваются аналогично. Далее последовательно доказываются случаи двух и трех точек на нуль-оси. В каждом случае указывается 2еШ(В(х,у)), для которой выполняется (2), и для всех пар в правой части утверждение уже доказано.4
Сформулируем итоговое утверждение.
Утверждение 18. Если существует 0+-простое управление, переводящее х в у, то х,у 10-связаны и управление (10, (т 10+(х,у),т 00+(х,у))) 0 +-оптимально. Если существует 0 -простое управление, переводящее х в у, то х,у 01-связаны, и управление (01, (т 01_ (х,у),т 11_(х,у))) 0 -оптимально.
Вторая часть утверждения основана на том, что все сформулированные для 0+ понятия и утверждения имеют симметричный аналог для 0__. Рассмотрим множество 0 '={хе0 : р 0<к 1(х)<р 1}.
Утверждение 19. Пусть каноническое управление (д,т ) длины п 0 '-просто переводит х в у, 2 _ соответствующий переход из х. Тогда отношение
У={(ш,у): ше 1 , пл30<Кт ш: V лк2(у)=0}
является отображением из 1п в Тг(х,д,т ).
Образ У, 1ш(У)=2г(х,д,т ), _ это множество существенных точек пересечения Тг(х,д,т ) с нуль-осью. Обозначим через 12г(х,д,т ) число элементов области определения У, Dm(V), через ф _ монотонную нумерацию Dm(V) и 2г(х,д,т )=У0ф . Индекс потока, в котором происходит переход через нуль-ось, Ьк=д(ф (к)). Индекс ак ("_" или "+") полуплоскости, в которую происходит переход, определяется с использованием биекции V ={(0,_),(1,+)}: ак=у (Ьк).
Утверждение 20. Пусть при условиях утверждения 19 п=12г(х,д,т )> 1, w=zr(x,q,т ). Расширим последовательности w,Ь,a: w0=x, wn+1=y, Ь0=^Ь1, Ьп+1=^Ьп, а0=п (Ь0), ап+1=п (Ьп+1). Тогда "0< к< п Ьк+1=^Ьк и точки wk, wk+1 правильно 0'а
(Ьк,Ьк+1)-связаны в к .
Утверждение 21. При условиях утверждения 20 определим неканоническое управление (д',т ') длины 2(п+1) соотношениями: "0< к< п+1 д2к+1=Ьк, д2к+2=Ьк+1,
т2к+1 = тькьк+1^к^к+1), т2к+ 2 = ^к+А+^к,^^ ■
Данное управление переводит х в у, и его время меньше времени исходного управления (д,т ).
Описанное управление назовем сокращением управления (д,т ), а соответствующий переход _ сокращением его перехода. Для того чтобы исследовать оптимальность управлений относительно множеств, окружающих отрезок 0 0, прежде всего необходимо показать оптимальность 1 и 0-управлений, переводящих точки на нуль-ось.
Утверждение 22. Пусть хе0 +, Тр0(х)<¥, т >0 и (10,(т ,Tp0(g1(x,т )))
_р0^(х,т ))>Тр0(
0+-простое управление. Для выполнения неравенства т +Тр°^1(х,т ))>Тр0(х) достаточно, чтобы " zеg1(x,[0,т ]) выполнялось неравенство к 2ф^0(2,Тр0(2))(у1(2)_ У0(2)))>0.
Пусть хе0 +, Тп1(х)>_¥, т <0 и (01,(т ,Tn1(g0(x,т ))) _ 0+-простое
псевдоуправление. Для выполнения неравенства т +Тп1^0(х,т ))<Тп1(х) достаточно, чтобы для любого zеg0(x,[т ,0]) выполнялось неравенство к 2ф^0(2,Тп1(2))(У1(2)_
У0(2)))>0.
ЗРассмотрим первую часть утверждения. Обозначим для zеg1(x,[0,т ]) Т=Тр0(2) и рассмотрим функции F(t,0 )=go(g1(z,0 ),Т+0 ), p(t,0 )=к 2(F(t,0 )). По правилам дифференцирования DF(0,0)(т 1,т 0)=т 1D1g0(z,T)(v1(z))+т 0у0^0(2,Т)), то есть
Э1р(0,0)=к 2(Dlgo(z,T)(Vl(z))), Э2р(0,0)=к 2(Vo(go(z,T)))=fo(к 1^0(2,Т)),0)<0.
Следовательно, по теореме о неявной функции в некоторой окрестности ноля ф ={(0 ,t): p(t,0 )=0} _ дифференцируемая функция и ф '(0)=_Э1р(0,0)/Э2р(0,0). Для того чтобы величина 0 +Тр0^1(2,0 )), как функция 0 , возрастала в окрестности нуля, достаточно выполнения неравенства ф '(0)+1>0^Э1р(0,0)_Э2р(0,0)>0. С учетом равенства v0(g0(z,T))=D1g0(z,T)(v0(z)) последнее неравенство эквивалентно следующему:
к 2(^0(2,Т)(У1(2)_У0(2)))>0.4
Утверждение 23. Пусть хе0 +, Тр0(х)<¥ и y=g0(x,Tp0(x)). Тогда найдется окрестность У точки х и 8 >0, обладающие свойством "2еУ "те (0,8 )
л (2,т )=т +Tp0(gl(z,т ))+т ol_(go(gl(z,т ),Tp0(gl(z,т ))),у)+т 11_
(go(gl(z,T ),Тр0^1(2,т ))),у)_Тр0(х)>0.
ЗСохраним обозначения из доказательства утверждения 23. Для 2 в окрестности х определим функции у(2^0(2,Тр0(2)), у (2,т )=к 1(g0(g1(z,т ),ф (т ))). Функция у (2,) каждому т ставит в соотвествие абсциссу точки попадания на нуль-ось при управлении (10,(т ,Tp0(g1(z,т ))). По правилам дифференцирования находим Э2у (2,0)=у '(2,0)=к 1(D1g0(z,T)(v1(z))). Условие у '(2,0)< 0 означает, что D1g0(z,T) меняет ориентацию базиса (у^Ху^)), то есть при некотором tе [0,Т] оператор D1g0(z,t) вырожден g. Следовательно, у '(2,0)>0, то есть найдется константа с1(2)>0: у (2,т )>с1(2)т при достаточно малом т . Функция л 1(2,т )=т +Tp0(g1(z,т ))_Тр0(2) дифференцируема, то есть при достаточно малом т л 1(2,т )<с2(т )т . Используя утверждение 3, легко показать, что при достаточно малом а >0 т 01(у(2)+(а ,0),у(2))
+т 11(у(2)+(а ,0),у(2))>с3(2^л^а . Отсюда при малом т л (т )>а(2^Л^т (1_Ь(2^Л^т )>0.
Степень малости т , как и описанные константы, зависит от 2, но, в силу непрерывной дифференцируемости потоков g0, g1, для некоторого компактного шара с центром в х эти величины можно сделать постоянными. Внутренность шара есть искомая область У 4
Утверждение 24. Если хе0 + и Тр0(х)<¥, то управление (0,Тр0(х)) локально-оптимально переводит х в y=g0(x,Tp0(x)). Если хе0 _ и Тр1(х)<¥, то управление (1,Тр1(х)) локально-оптимально переводит х в g1(x,Tp1(x)).
3 Проведем для хе 0 + с сохранением обозначений из двух предыдущих доказательств. Случай к 1(у)<р 0 невозможен. Если к 1(у)>р 1, то найдется такое е >0, что управление (0,Тр0(х)) оказывается единственным переводящим х в у управлением, траектория которого лежит в е -окружении траектории G=g0(x,[0,Tp0(x)]). Поэтому
рассмотрим случай р 0<к 1(у)<р 1. Будем искать радиус е для окружения G из
следующих условий. Сначала найдем е 1 и 8 1 так, чтобы 11 2_х| |
<е 1Х)<т <8 1^л (2,т )>0. Функция у (х,) обратима. Найдем такое е 2, чтобы 0<а <е 2
^[у (х, )]_1(а )<8 1. Далее, учитывая, что вблизи точки у траектория G близка к параболе, найдем е 3 таким, чтобы при | а | <е 3 расстояние от у+(а ,0) до G совпадало с | а | . Далее на основе утверждения 22, с учетом ограниченности скорости потока в окрестности у и непрерывности D1g1(z,t), найдем е 4, обеспечивающее следующее условие: при 2е0 /I 2_у| | <е 4 любое управление (01,(т ,Tp1(g0(z,т ))), простое относительно е 4-окрестности у, переводит 2 на нуль-ось медленнее, чем управление (1,Тр1(2)). Найдем такое е 5, чтобы при 0<а 1,а 2<е 5 || 80_(у+(а 1,0),у_(а 2,0))_у|| <е 4. Примем е =ш1п{е 1,е 2,е 3,е 4,е 5,к 1(у)_р 0,р 1_к 1(у)}.
Пусть каноническое управление (д,т ) отлично от (0,Тр0(х)), переводит х в у и Тг(х,д,т ) лежит в е -окружении G. Пусть 12г(х,д,т )=0. Тогда фазовая точка не может выйти из 0+. Так как управление имеет хотя бы один 1-фрагмент, конечная точка должна быть правее у g. Следовательно, 12г(х,д,т )> 1. Обозначим w=zr(x,q,т ). w1 лежит правее у и | w1_y| <е . Индукцией по п=12г(х,д,т ) докажем, что время (д,т ) не меньше, чем Тр0(х). Пусть 12г(х,д,т )=1. В этом случае, согласно выбору е и утверждению 23, 101-переход (х^Дх^^^^уХу) медленнее 0-перехода (х,у) и время сокращения (д,т ) больше Тр0(х), а значит и время (д,т ) больше Тр0(х).
Предположим, что это утверждение верно в случае 12г(х,д,т )< пе N. Рассмотрим 12г(х,д,т )=п+1. Пусть w2 лежит правее у. Тогда, согласно утверждению 23, 0-переход (8^х^2)^2) быстрее, чем 101-переход ^(х^^Дх^)^). Рассмотрим объединение (конкатенацию) 10-управления, переводящего х в w2 и фрагмента сокращения (д,т ), который переводит w2 в у. Время этого управления меньше времени (д,т ). С другой стороны, оно удовлетворяет предположению индукции и его время не меньше, чем Тр0(х), то есть время (д,т ) больше, чем Тр0(х).
Пусть w2 лежит левее у. В этом случае | w2_y| <е и в силу выбора е 01-переход ^^^^уХу) быстрее перехода (w1,80_(w1,w2),w2). Поэтому время сокращения (д,т ) больше времени 101-управления с переходом (х^+^^^^^уХу), то есть, в силу утверждения 23, больше Тр0(х).4
Аналогичными методами доказываются:
Утверждение 25. Если 10-управление переводит хе0+ в уе0 0, то это управление локально-оптимально. Если 01-управление переводит хе0_ в уе0 0, то это управление локально-оптимально.
Утверждение 26. Если хе0 _, уе0 0 и z=g1(x,Tp1(x))<0+y, то управление (10,(Тр1(х) +т 10+(2,у),т 00+(2,у))) _ локально оптимально. Если хе0 +, уе0 0 и y<1_z=g0(x,Tp0(x)), то управление (01,(Тр0(х)+т 01_(2,у),т 11_(2,у))) _ локально оптимально.
Далее упростим предположения об ^, ^ и 0 : будем считать, что ^, ^ _ линейны и 0 =0 =х ((р 0,0),(р 1,0)) _ простое множество.
Утверждение 27. Если хеР+ и к 1(х)>р 0, то Тр0(х)<¥ и "0<т <Тр1(х) выполнено неравенство т +Tp0(g1(x,т ))>Тр0(х). Если хе Р+ и к 1(х)<р 1 и Тп1(х)>_¥, то "Тп0(х)<т <0 выполнено неравенство т +Тп1^0(х,т ))<Тп1(х).
3Докажем первую часть утверждения, используя утверждение 22. Условие
Тр0(2)<¥ для zеg1(x,[0,т ]) следует из диссипативности ^. Для е=У1(2)_У0(2) вектор-функция s(t)=D1g0(z,t)(e) удовлетворяет уравнению 8'(t)=Dv0(g0(z,t))(e) с начальным условием 8(0)=е. Обозначим Х (t)=к 1(8(t)), л (t)=к ^^Д^р 0. Тогда (с учетом линейности ^) л "=f0(Л ,л ')=а0л +Ь0л ', Х ''=а0Х +Ь0Х '. В силу л (0)>0, л '(0)>0 найдется t1>0: л (_^)=0. При этом, в силу а0,Ь0<0, л '(_t1)>0. Вектор (л (^Хл '(_t1)) сонаправлен с е, поэтому найдется 1 >0: Х (0=1 л (^). Отсюда следует, что равенство Х '(^=0 эквивалентно и Х '(Тр0(2))>0, то есть условие
утверждения 22 выполнено. Вторая часть утверждения доказывается сходно, но необходимо проанализировать варианты неосциллирующих траекторий. 4 Аналогичное утверждение формулируется для Р_. Следующие три утверждения доказываются аналогичными методами.
Утверждение 28. Если хеО +л^0(х,Тр0(х))еО 0, то управление (0,Тр0(х)) О -оптимально переводит х в у. Если хе О _л^=g1(x,Tp1(x))е О 0, то управление (1,Тр1(х)) О -оптимально переводит х в у.
Утверждение 29. Если хеО+л^е О 0/х<0+у, то управление (10,(т 10+(х,у),т 00+(х,у)) О -оптимально переводит х в у. Если хе О л^е О 0л^<1_х, то управление (01,(т 01_ (х,у),т 11_(х,у)) О -оптимально переводит х в у.
3Докажем первую часть утверждения. Пусть (д,т ) О -просто переводит х в у. Индукцией по 12г(х,д,т ) докажем, что его время не меньше, чем время 10-управления Т10=т 10+(х,у)+т 00+(х,у). Если 12г(х,д,т )=0, то (д,т ) -просто, и наше предположение следует из утверждения 18. Пусть 12г(х,д,т )=1. Тогда единственная точка wеZr(x,q,т ) лежит справа от у (в противном случае фазовая точка не достигнет у). По
утверждению 27 0-переход (81(х,у),у) быстрее 10-перехода (81(x,y),81(x,w),w), то есть 10-переход (х,81(х,у),у) быстрее 10-перехода (х^Дх^)^), являющегося частью
сокращенного перехода (д,т ). Следовательно, предположение снова верно. Предположим, что оно верно в случае любых х,у, удовлетворяющих условию теоремы и 12г(х,д,т )< nеN. Рассмотрим случай 12г(х,д,т )=п+1, w=zr(x,д,т ). По определению
^+1* у.
Пусть к 1(у). Рассмотрим фрагмент сокращения (д,т ), который
переводит х в wn+1. Время этого фрагмента меньше времени (д,т ). С другой стороны, он удовлетворяет предположению индукции и его время не меньше чем время 10-перехода (х^Дх^^)^^). Но (как и в случае п=1) это время больше, чем Т10, то есть время (д,т ) больше, чем Т10.
Пусть к 1(wn+1)<к 1(у) лх< 0+wn+1. Снова рассмотрим фрагмент сокращения (д,т ), который переводит х в wn+1. Его время меньше времени (д,т ) и, по предположению индукции, не меньше времени 10-перехода (х^Дх^^)^^). Далее, по утверждению 18 время 1010-перехода (х^Дх^+^^+^^^уХу) больше Т10. Таким образом, время сокращения (д,т ) больше Т10, то есть время (д,т ) больше Т10.
Пусть к l(Wn+l)<к 1(у) л Wn+l<o+x. Тогда Wn+l<°+Wl. Если к 1^)>к 1(у), то,
повторяя рассуждения для случая п=1, доказываем, что время (д,т ) больше Т10.
Если к 1(w1)<к 1(у), то дуги (81(x,w1),w1) и (wn+1,81(wn+1,y)) пересекаются в
некоторой точке У, поэтому время (д,т ) больше, чем время 1010-перехода (х,81(х,у),у,81(у,у),у). По утверждению 18 время этого перехода больше Т10, то есть время
(д,т ) больше Т10. Все возможные варианты исследованы. 4
Утверждение 30. Пусть хеО_, уеО0 и к ^(х^^х)))^ 1(у). Тогда управление (10,(Тр1(х)+т ^^(х^Чх^уХт 00+(g1(x,Tp1(x)),y)) О -оптимально переводит х в у.
Пусть хеО +, уеО0 и к 1(у)<к 1(g0(x,Tp0(x))). Тогда управление (01,(Тр0(х)+т 01_ (g0(x,Tp0(x)),y),т 11_(g0(x,Tp0(x)),y)) О -оптимально переводит х в у.
Опишем практическое применение результатов работы. При проектировании процедур «сильного» регулирования электротехнических устройств часто грубая модель второго порядка предлагается на основе наблюдения фазовых траекторий, полученных экспериментально. Утверждения 24_26 позволяют предложить оптимальное управление на основании минимального набора свойств ^, ^. Последние утверждения позволяют уточнить эти выводы путем наиболее простой аппроксимации функций ^, ^ в небольшой окрестности целевой точки на нуль-оси, в которой фазовая точка оказывается по истечении малого «сверхпереходного» промежутка времени после возмущения. Область О включает эту окрестность и потому исследование оптимальности относительно О приемлемо.
Библиографический список
Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. _ М.: Наука, 1975. _
240 с.
Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. _ М.: Наука, 1969. _ 408 с.
Фрумкин А.М. О предельных процессах в бинарно управляемом объекте. [Электронный ресурс] // Ученые записки : электронный научный журнал Курского государственного университета. _ Курск: Курск.гос.ун-т, 2009. _ № 1. _ Режим доступа к журналу: http://scientific-notes.ru, свободный. _ Загл. с экрана № гос. регистрации 0420800068.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. Ч. 1_2. _ М.: Наука, 1972. _ 624 с.
