О w-методе в теории квазилинейных краевых задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

О W-МЕТОДЕ В ТЕОРИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

© Т.В. Жуковская

Zhukovskaya T.V. On the W-Method in the Theory of Quasi-Linear Boundaiy Value Problems. This paper is devoted to the solvability of quasi-linear boundary value problems. The W-method is used to obtain an equivalent equation with a general Volterra operator on the space of summable functions.

Пусть в нелинейном функционально -дифференциальном уравнении выделена "линейная часть".

Рассмотрим краевую задачу для такого уравнения

2к= Рх, 1х = а . (1)

Здесь Z: £[а> А] -> £[а; ь], I: £[я ь] -> Я - линейные ограниченные операторы, Р : И\а ^ -» Ца, Ь], а е К.

Воспользуемся "\У-подстановкой" Н.В. Аз-белева [1] для записи задачи (1) в удобном для исследования виде.

Пусть некоторая краевая задача

х = у, 1х = г,

%)'■ Ца, Ь] -> Ца, Ь], У 6 Ца, *], Г <= Я, ОДНОзначно разрешима. Ее решение представимо формулой х = 1¥у + Хг, где Ж Ца> Ь] -> В[а> щ -оператор Грина, X - решение однородного уравнения 2дХ= 0, удовлетворяющее условию IX = 1. Таким образом, взаимно обратные отображения (Ж, X) : Ь[а> Ь] х К -> £[а Ь], со1 (2о, I) : Оуа> щ Ца> щ х Я устанавливают изоморфизм пространств Буа щ и щ х Я. Следовательно, задачу (1) можно записать в виде

ЯЖу + 7Хг = Р(Цу + Хг), г = а.

Обозначив 0 = ZW : Ца> ь] -> Ца> ь],

= В е Ца> Ф = Р(1У, X) : Ь[а> щ -> Ца, *], и подставив г = а, получим уравнение

Оу + Ва = Ф(у, а). (2)

О п р е д е л е н и е [2]. Пусть для каждого у е [О, Ь - а] определено измеримое множество ву с [а, Ь], тея ву = у, причем у < 1] => еу с ел. Оператор <7 : Ь^а щ -> Ь[а называется обобщенно вольтерровым, если V у е [О, Ь - а]

{(Gy\)(t) - (Gyi)(t)\ V t е щ).

Будем считать операторы Q, Ф(-, а) : Ь\а> А] Ца, Ь]> обобщенно вольтерровыми. Уравнения с обобщенно вольтерровыми операторами близки к уравнениям с запаздывающим аргументом [2].

Теорема 1. Пусть для спектрального радиуса р оператора Q выполнено неравенство р (Q) < 1. Пусть, далее, оператор Ф(-, а) вполне непрерывен. Тогда уравнение (2) локально разрешимо и любое его локальное решение продолжаемо.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Пусть, кроме того, существует такая постоянная т, что для любого у е (а, Ь\ имеет место общая априорная оценка ||у||, < т всех

е1

определенных на ву решений уравнения (2). Тогда задача (1) имеет решение.

Рассмотрим, например, следующую краевую задачу

(I- S - V- W)Z*yx + А\1х = Ф(2ох + A2IX),

1х= а. (3)

Здесь операторы S, V, W : Ца> щ -> £[а ь] линейные, ограниченные вольтерровые, ||5|| < 1,

V - вполне непрерывен, W - т-вольтерров [2], оператор Ф : L[a -> Ца> А] обобщенно воль-[I фу| I ’

В этом случае оказываются выполненными условия теоремы 2, и задача (3) разрешима.

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 278 с.

2. Жуковский Е.С. К теории уравнений Вольтерра // Дифферент ур. 1989. Т. 25, № 9. С. 1599-1605.

V уи у2 £ Ца> Ь] {У\(0 = У2ОУ, V / е ву) =>

Поступила в редакцию 26 декабря 1996 г.