CC BY
12О ВЗАИМОСВЯЗЯХ ПОВЕДЕНЧЕСКИХ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЕЙ ВРЕМЕННЫХ СЕТЕЙ ПЕТРИ
Д. И. Бушин, И. Б. Вирбицкайте
Институт систем информатики им. А. П. Ершова, 630090, Новосибирск, Россия
УДК 519.7
Для временных сетей Петри определяется и исследуется семейство поведенческих эквивалент-ностей в семантиках интерливинг — частичный порядок и линейное время — ветвистое время. Изучаемые эквивалентности основаны на понятии временного процесса, т. е. временного расширения причинной сети за счет глобальных моментов времени, поставленных в соответствие срабатываниям переходов. Устанавливаются взаимосвязи эквивалентностей и строится иерархия классов эквивалентных временных сетей Петри.
Ключевые слова: временные сети Петри, временные процессы, поведенческие эквивалентности, семантики интерливинга, шага и частичного порядка, трассовая и бисимуляцион-ная эквивалентности.
The intention of the paper is to introduce and investigate a family of behavioral equivalences of "interleaving/partial order" and "linear time/branching time" spectra, in the context of time Petri nets. The definitions of the equivalences under consideration heavily rely on the notion of processes of time Petri nets — timed extensions of causal nets by adding global time moments to transition firings. We establish the interrelations between the equivalences and construct a hierarchy of equivalent time Petri nets.
Key words: time Petri nets, time processes, behavioral equivalences, interleaving, step and partial order semantics, trace and bisimulation equivalences.
Введение. Поведенческие эквивалентности обычно используются при спецификации и верификации систем с целью сравнения их поведения, а также упрощения их структуры. В теории параллельных систем и процессов известно большое разнообразие поведенческих эквивалентностей, взаимосвязи между которыми хорошо изучены (см., например, [1, 2]). Можно выделить два критерия классификации семантик, относительно которых определяются и исследуются модели и эквивалентности параллельных недетерминированных систем. Первый критерий — степень точности, с которой учитываются точки недетерминированного выбора альтернативных действий системы. На основе этого критерия был сформирован так называемый спектр семантик линейное время — ветвистое время. Типичным представителем семантики линейного времени является трассовая эквивалентность. При трассовом подходе сравниваются поведения систем, представленные в виде множеств последовательностей действий, выполняемых системами, — языков систем. При таком подходе не учитывается
Работа выполнена при финансовой поддержке DFG-РФФИ (грант № 436 RUS 113/1002/01, код проекта 09-01-91334).
информация о недетерминированном выборе. Представителем семантики ветвистого времени является бисимуляционная эквивалентность, строго учитывающая точки выбора дальнейших альтернативных выполнений системы. Две системы считаются бисимуляционно-эквивалентными, если внешний наблюдатель не может обнаружить различий в поведении систем с учетом точек недетерминированного выбора. На основе второго критерия классификации семантик построен так называемый спектр интерливинг — частичный порядок. Семантики различаются по степени, с которой учитывается отношение причинной зависимости между действиями системы, представленное частичным порядком, причем отсутствие частичного порядка означает, что действия параллельны. В интерливинговой семантике выполнение системы моделируется в виде последовательности выполняемых действий, не отражающей явно их причинную зависимость. В литературе было предпринято много попыток выйти за рамки интерливингового подхода, чтобы позволить внешнему наблюдателю с помощью эквивалентностей различать системы, учитывая параллелизм, используемый при их вычислениях. В результате появилось большое количество эквивалентностей, основанных на моделировании причинной зависимости с помощью частичных порядков (см., например, [3]).
Известно, что анализ поведения параллельных систем реального времени (коммуникационных протоколов, систем управления производством, распределенных операционных систем и т. д.) — сложная задача, которую невозможно решить без использования формальных методов и средств. С этой целью в последнее десятилетие разработаны различные модели, учитывающие временные характеристики функционирования систем: временные автоматы, временные сети Петри, временные структуры событий и т. д. Понятие времени было введено также в поведенческие эквивалентности. Иерархия взаимосвязей временных эквивалентно-стей в семантиках интерливинг — частичный порядок и линейное время — ветвистое время в контексте локальных структур событий с непрерывным временем построена в работе [4]. В [5] получены теоретико-категорийные бисимуляции, которые совпадают с временными расширениями эквивалентностей с частичным порядком в контексте временных первичных структур событий. Заметим, что временные сети Петри являются обобщением временных структур событий.
В данной работе определяется и исследуется семейство поведенческих эквивалентностей в семантиках интерливинг — частичный порядок и линейное время — ветвистое время в контексте временных сетей Петри. Изучаемые эквивалентности основаны на понятии временного процесса [6], т. е. временного расширения причинной сети (семантической модели, включающей переходы, связанные отношениями причинной зависимости и параллелизма) за счет глобальных моментов времени, поставленных в соответствие срабатываниям переходов. При этом рассматриваются только корректные по времени процессы, т. е. процессы, временная функция которых удовлетворяет специально разработанным свойствам корректности. Устанавливаются взаимосвязи эквивалентностей и строится иерархия классов эквивалентных временных сетей Петри.
1. Временные сети Петри. В данном пункте рассматриваются базовые определения, связанные со структурой и поведением временной сети Петри [7-9].
Пусть N — множество натуральных чисел, R — множество действительных чисел. Определим множество Interv = {[dl,d2 С R | dl < d2 & dl,d2 Е N}. Пусть Act — множество действий.
Определение 1. Временная сеть Петри (ВСП) — это набор TN = (N = (P, T, F, M0, L), D), где N = (P, T, F, M0, L) — (помеченная) базовая сеть Петри (СП) с конечным множе-
ством P мест, конечным множеством T переходов (P П T = 0), отношением инцидентности F С (P х T) U (T х P), начальной разметкой M0 С P, помечающей функцией L : T — Act, ставящий в соответствие каждому переходу t Е T действие L(t) Е Act, и D : T —> Interv — статическая временная функция, ставящая в соответствие каждому переходу t Е T временной интервал D(t) Е Interv.
Для элемента x Е P U T определим множество x = {y | y F x} его входных элементов и множество x* = {y | x F y} его выходных элементов. Будем считать, что для каждого перехода t Е T выполнены неравенства I* t 1> 0 и | t* 1> 0. Если D(t) = di,^], то через Eft(t) = d1 и Lft(t) = d2 будем обозначать соответственно раннее и позднее времена срабатывания перехода t.
Разметка M ВСП TN определяется как произвольное подмножество M С P мест. Переход t Е T готов сработать при разметке M (обозначается M —— ), если *t С M. Пусть En(M) — множество всех переходов, готовых сработать при разметке M.
Состояние ВСП TN — это пара S = (M,I), где M — разметка; I : En(M) —> R — динамическая временная функция переходов из En(M). Начальное состояние — это пара So = (M0,I0), где I0(t) = 0 для всех t из En(M0). Переход t готов сработать в состоянии S = (M, I) в относительный момент времени в, если выполнены следующие условия:
1) t Е En(M);
2) (M\*t) П t* = 0;
3) Eft(t) < I(t) + в;
4) W Е En(M) о I(t') + в < Lft(t').
Будем считать, что переход t находится в контакте в состоянии S, если для него выполнены условия 1, 3, 4, но не выполнено условие 2. Пусть Contact(S) обозначает множество всех переходов, находящихся в контакте в состоянии S.
Если переход t готов сработать в состоянии S = (M, I) в относительный момент времени в, то его срабатывание меняет состояние S на новое состояние S' = (M',I') (обозначается
о ол
S S ) по следующему правилу:
— M = M\*t;
— M' = M U t*;
( I(t) + в, t Е En(M),
— W Е T о I'(t') = I 0, t' Е En(M')\En(M),
^ не определено, иначе.
-pr a (ilA) a a (tl,0n) a f ^ „N
Последовательность S0 — o1,...,on-1 — Sn (n > 0) называется последовательностью срабатываний ВСП TN. Состояние S ВСП TN называется достижимым, если существует последовательность срабатываний, приводящая в состояние S. Пусть RS(TN) обозначает множество достижимых состояний ВСП TN.
Будем говорить, что ВСП TN является:
— свободной от контактов, если для каждого S Е RS(TN) верно равенство Contact(S) = 0;
— прогрессирующей по времени, если для любого множества переходов {t1,t2,... ,tn}, таких что t* П*ti+1 = 0 и t*n П*t1 = 0 для каждого 1 < i< n, верно неравенство Eft(ti) > 0.
1<i<n
В дальнейшем будем рассматривать только свободные от контактов и прогрессирующие по времени ВСП.
2. Временные процессы ВСП. Введем понятие сети. Тройка (B, E, G) называется сетью, если B = 0 — множество условий, E = 0 — множество событий (E П B = 0), G С (B U
E) x (EUB) — отношение инцидентности, такое что {x | (x, y) Е G}U{y | (x, y) Е G} = EUB. Для произвольного элемента x Е B U E через *x = {y | (y,x) Е G} и x• = {y | (x,y) Е G} будем обозначать множества его входных и выходных элементов соответственно.
Рассмотрим понятие (помеченной) С-сети. Пара C = (N, l) называется (помеченной) С-сетью, если N = (B, E, G) — сеть, такая что:
1) G* — частичный порядок (антисимметричность исключает циклы);
2) yx Е (B U E) о I x = {y Е (B U E) | y ^ x} — конечное множество;
3) УЬ Е B о ^ < 1 Л < 1,
и l : E — Act — функция пометки, ставящая в соответствие каждому событию е Е E действие l(e) Е Act. Множества входных и выходных условий С-сети C будем обозначать соответственно *C = {Ь Е B ^ Ь = 0} и C* = {Ь Е B | ЬЧ = 0}. Компоненты С-сети C будем записывать с нижним индексом C. Для произвольного левозамкнутого относительно ^с подмножества событий E' С Ec определим множество Cut(E') = (E'• (J *C)\*E'.
Пусть C = (B,E,G,l) и C' = (B', E',G',l') — С-сети. Отображение в : BUE — B'UE' — изоморфизм между C и C' (обозначается в : C — C'), если выполнены следующие условия:
1) в — биективное отображение, такое что в(B) = B' Л e(E) = E';
2) Wx,y Е B U E о G(x,y) = а(в(x), в(y));
3) Уе Е E о l(e) = У(в(е)).
С-сети C и C' изоморфны (обозначается C ~ C'), если существует изоморфизм в : C ~ C. Введем понятие процесса ВСП TN.
Определение 2. Пусть TN = (N = (P,T, F, M0, L), D) — ВСП. Тогда р = (C = (B,E,G,l),p) — процесс ВСП TN, если р : B U E — P U T — гомоморфизм, удовлетворяющий следующим свойствам:
1) p(B) С P и p(E) С T;
2) Уе Е E о <р('е) =• р(е) Л <р(е') = <р(е)';
3) Уе Е E о l(e) = L(p(e)).
Пусть р = (C, ф) и р' = (C', р') — процессы ВСП TN и TN' соответственно. Отображение в : BC U EC —> BC U EC/ — изоморфизм между р и р' (обозначается в : Р — р'), если в : C — C' и yx Е BC U EC о tp(x) = ф'(в(x)). Процессы р и р' изоморфны (обозначается р — р'), если существует изоморфизм в : р — р'.
Процесс р0 = (C0,p0) ВСП TN называется начальным, если M0 = p0(*C0) и ECo = 0. Будем говорить, что в ВСП TN процесс р = (C,p) допустим после процесса р' = (C',p'), если p(*C) = p(C'•). Для ВСП TN множество всех ее процессов, допустимых после процесса р, обозначим через P(TN, р), а множество всех ее процессов, допустимых после начального процесса, — через P(TN).
Пусть р = (C, р), р' = (C', р') Е P(TN) и р = (C, ф) Е P(TN, р). Тогда процесс р — префикс процесса р', если Ec С Ec — левозамкнутое множество относительно ^с' и р = p'Ec. Процесс C — суффикс процесса р', если Eq = Ec \EC и р = р'|_g. Тогда р' — расширение р
на процесс ф, а ф — расширяющий процесс для р (обозначается р --— р'). Будем записывать
р —> р , если существует процесс р, такой что р —> р . Приведем определение временного процесса ВСП TN.
Определение 3. Временной процесс ВСП TN — это пара п = (р,т), где р = (C,р) — процесс ВСП TN и т : E — R — временная функция, ставящая в соответствие каждому событию е Е E глобальное время т(е) Е R его выполнения. Длительность временного процесса п равна Ыте(п) = тах{тп(е) | е Е En}.
Пусть п = (р = (С,ф),т) и п' = (р' = (С',ф'),т') — временные процессы ВСП ТЫ и ТЫ' соответственно. Отображение в : Ве и Ее ^ Ве' и Ее' — изоморфизм между п и п' (обозначается в : п — п'), если в : р — р' и Ух Е Ес о т(х) = т'(в(х)). Временные процессы п и п' изоморфны (обозначается п — п'), если существует изоморфизм в : п — п'.
Следствие 1. Для любых п и п', таких что п — п', верно Ьгте(п) = Ьгте(п').
Каждому временному процессу п = (С = (В,Е,О,1),ф,т) ВСП ТЫ поставим в соответствие временное помеченное частично упорядоченное мультимножество (ВПЧУММ)
= (Е, Xе = (< П(Е х Е)),1,т). Пусть п = (Е, Xе,1,т) и п' = (Е', Xе',1',т') — ВПЧУММ для временных процессов п и п' соответственно. Отображение в : Е ^ Е' — гомоморфизм между п и п' (обозначается в : П ^ п'), если:
1) в — биективное отображение;
2) Уе Е Е о 1(е) = 1(в(е));
3) Уе,е Е Е о е X е ^ в(е) X в(е);
4) Уе Е Е о т(е) = т'(в(е)).
Отображение в : Е ^ Е' — изоморфизм между п и п' (обозначается в : п — п'), если в : п ^ п' и в-1 : п' ^ п. ВПЧУММ п и п' изоморфны (обозначается п — п'), если существует изоморфизм в : п — п'.
Утверждение 1. ВПЧУММ изоморфных временных процессов ВСП ТЫ изоморфны.
Начальный временной процесс ВСП ТЫ — это пара по = (р0, 0), где р0 — начальный процесс ВСП ТЫ. Будем говорить, что в ВСП ТЫ временной процесс п = (р, т) допустим после временного процесса п' = (р',т'), если процесс р допустйм после р' и т(е) > Ьгте(п') для всех е Е Ее. Для ВСП ТЫ множество всех ее временных процессов, допустимых после временного процесса п, обозначим через ТР(ТК, п), а множество всех ее временных процессов, допустимых после начального временного процесса, — через ТР(ТК).
Пусть п = (р, т) Е 77(ТЫ, п'). Если В' С Вс и Ь Е Еп(ф(В')), то глобальный момент времени, когда во всех входных местах перехода Ь появляются фишки, определяется следующим образом:
ТОЕ(В',Ь,п') = тах({т(*Ь) | Ь Е В' \ С Л ф(Ь) Е• Ь] и {Ьгте(п')}).
Для п = (р,т) Е 77(ТЫ,п') функция т называется корректным таймированием, если для каждого е Е Ее выполнены следующие условия:
— т(е) > ТОЕ(-е,р(е),п') + Е^(е));
— УЬ Е Еп(у(Се)) о т(е) < ТОЕ(Се,Ь,п') + Ь/Ь(г), где Се = СиЬ(Еат1гет(е)) и Еат1гет(е) = {е' Е Ее | т(е') < т(е)}.
Временной процесс п = (р, т) Е 77(ТЫ, п') называется корректным, если т — корректное таймирование. В дальнейшем будем рассматривать только корректные временные процессы.
Пусть п = (р,т), п' = (р',т') Е 77(ТЫ) и п = (р,т) Е 77(ТЫ,п). Тогда временной процесс п' — расширение временного процесса п на временной процесс п, а п — расширяющий
временной процесс для п (обозначается п п'), если р р' и т = т'1ес , п = .
Следствие 2. Для любого временного процесса п Е 77(ТЫ) верно, что п0 п.
Пусть п Е 77(ТЫ) и п' Е 77(ТЫ') — временные процессы, такие что 7 : п — п'. Для временного процесса ее = {В, Е,О,1,ф,т}, такого что ее —> п или п* п, определим структуру 7(п) = (В1, Е1, О1,11, ф1, т1) следующим образом:
1) В~< = 7(В);
2) Е = 1(Е);
3) С = {(7(х),1(у)) | (х,у) е С};
4) Уе е Е1 о Р(е) = 1(ч-1(е));
5) УЬ е В1 и Е~'< о р'(Ь) = р(т1 (Ь));
6) Уе е ЕЛ о т7(е) = т(Т1(е)).
Утверждение 2. Пусть п е 77(ТЖ) и п' е 77(ТЖ') — временные процессы, такие что
7 : п ~ п' и к —— п. Тогда 7(К) е 77 (Т Ж') и 7(к) е 77(ТЖ',у(К)). Кроме того, временной процесс ^(п) является временным процессом п' и временные процессы К и к изоморфны временным процессам ^(К) и 7(к).
Доказательство следует из построения 7(•) и определения изоморфизма между временными процессами.
Пусть п = (р,т), п' = (р',т') е ТР(ТМ). Временной процесс п' называется расширением временного процесса п на:
— действие, произошедшее в относительный момент времени 9 (обозначается п п'), если существует расширяющий временной процесс к для п, такой что Е = {е}, т(е) = Ише(п) + 9 и 1(е) = а;
— мультимножество А действий, произошедших в относительный момент времени 9 (обо-
(А,0) „
значается п —> п ), если существует расширяющий временной процесс к для п, такой что
X П (Е х Е) = 0, Т(Е) = А и т(е) = Ыше(п) + 9 для всех е е Е.
Утверждение 3. Пусть п е 77(ТЖ) и п' е ТР(ТМ') — временные процессы, такие что
, Т-, А1О1) (л„,оп) (Л1,в1) ,(лп,оп)
7 : п ~ п . Если п0 —> п\ • • • пп-1 —> пп = п в Т N, то 7(п0) —> ^(п 1) • • • 1(пп-1) —>
7(пп) = п' в ТЖ'.
Доказательство. Случай п = 0 очевиден. Рассмотрим случай пг-1 пг (1 < г < п) в
ТЖ. Тогда п-1 -— п г, где П(Е^ х Е^) = 0; 1щ(Е^) = Аг; Уе е Еп о тп(е) = Ыше^к—) + 9г. Из утверждения 2 следует, что пг-1),7(пг) е 77(ТЖ'), 7(кг) е 77(ТN',7(кг-1)) и пг-1, пг, кг изоморфны 7(пг-1), 7(пг), ^(кг) соответственно. Кроме того, в силу свойств изоморфизма (Сч(ж—1) , является пPефикCOм, а (С1(щ),Р1(щ)) — суффиксом для (С1( )) и т7(щ-1) = т7(щ)1е1(п.-1) , ^П) = т1(п1) . Таким образом, ^(пг-\) —— 1 (пг). С использованием следствия 1 получаем 7(пг-1) ^(пг).
3. Эквивалентности ВСП и их взаимосвязи. В данном пункте рассматриваются понятия поведенческих эквивалентностей ВСП и исследуются их взаимосвязи.
3.1. Трассовые эквивалентности. Введем вспомогательные понятия и обозначения для ВСП ТЖ.
Слово ш = (а1,91) • • • (ап,9п) из алфавита АаЬ х К называется временным интерливин-
говым следом ВСП ТЖ, если в ней существует последовательность вида п0 ) п1 • • •
пп-1 (пп. Множество всех временных интерливинговых следов ВСП ТЖ обозначим через Ьг(ТЖ).
Слово П = (А1,91) ••• (Ап,9п) из алфавита МЛс4 х К называется временным шаговым
ТЗП-П ГТЛТ - (Л1°1) (Лп,0п)
следом ВСП 1 , если в ней существует последовательность вида п0 —> п1 • • • пп-1 —> пп. Множество всех временных шаговых следов ТЖ обозначим через Ь3(ТЖ).
Класс изоморфизма временного процесса п = (р, т) е 77(ТЖ) называется временным процессным следом ВСП ТЖ. Множество всех временных процессных следов ВСП ТЖ обозначим через ЬрГ (ТЖ).
Следствие 3. Для любой ВСП ТМ верно вложение Ьг(ТМ) С Ь3(ТМ). Определим трассовую эквивалентность на ВСП в интерливинговой, шаговой и частично упорядоченной семантиках.
Определение 4. Пусть * Е {I,в,рт}. Тогда ВСП ТМ и ТМ' называются *-трассово-эквивалентными (обозначается ТМ ТМ'), если Ь*(ТМ) = Ь*(ТМ').
3.2. Бисимуляционные эквивалентности. Рассмотрим понятия интерливинговой, шаговой и частично упорядоченной бисимуляций на ВСП.
Определение 5. Пусть * Е {г,в,рт} и п0, п'0 — начальные временные процессы ВСП ТМ, ТМ' соответственно. Отношение К С ТР(ТМ) х ТР(ТМ') — *-бисимуляция между ТМ и ТМ' (обозначается К : ТМ ТМ'), если:
1) (по,п0) Е К; ^
2) У(п,п') Е К о п -и П:
— \Е\ = 1, если * = г,
— ^д п(Е х Е) = 0, если * =
~ ж' ~ ~ ~
Бп' о п'-► п', (п, п') Е К и:
— г/ж — Щ', если * Е {г, в};
— 7г — 7г', если * = рт;
3) определение аналогично п. 2, однако ТЫ и ТЫ' меняются местами.
ВСП ТМ и ТИ' называются *-бисимуляционно-эквивалентными (обозначается ТИ ТИ'), если существует *-бисимуляция между ними.
3.3. Взаимосвязи эквивалентностей. В данном пункте приведен основной результат работы.
Теорема. Пусть ^, — Е {=, ^} и *, ** Е {г,в,рт}. Для любых ВСП ТМ и ТМ' верно
ТШ ТМ ^ ТШ —« ТШ'
тогда и только тогда, когда в графе, представленном на рис. 1,а, существует дуга от к —— .
Доказательство. Проверим истинность импликаций на рис. 1,а. Связь 1 является следствием определения 5 и того факта, что изоморфизм
ВПЧУММ с пустым отношением причинной зависимости обусловливает изоморфизм одноэлементных ВПЧУММ.
Связь 2 (^ргявляется следствием определения 5 и утверждения 1. Связь 3 (=3и=г) устанавливается с помощью следствия 3.
Связь 4 (=рги=3) устанавливается следующим образом. Пусть Ш = (Л\, в1) ■ ■ ■ (Ап, вп) Е
Ь8(ТМ), т. е. в ТМ существует последовательность п0 (—и) П1 ■ ■ ■ пп_1 ( пп = п. Согласно условию теоремы найдется временной процесс п' Е 7Р(ТМ'), такой что 7 : п — п'. Тогда
О / Ч (А1,в1) (Лп,вп)
из утверждения 3 получаем последовательность ^(п0) —> !(п-]_) ■■■ пп_1) —> 7 (пп) в ТМ'. Значит, Ш Е Ь3(ТМ') и, следовательно, Ь3(ТМ) С Ь3(ТМ'). Обратное включение языков проверяется аналогично. Таким образом, ТМ =3 ТМ'.
Связь 5 (^устанавливается следующим образом. Пусть К — г-бисимуляция между
ТМ и ТМ'. Также предположим, что п0 (—и) п1 ■■■ пп_1 ^—и^1 пп в ТМ. Тогда для всех
г = 0, ...,п верно, что (пг, п'г) Е К для некоторых п'г Е ТР(ТМ'), таких что пг —и пг+1 (г = п)
о фдт/ / ("1 >^1) / / (ап,вп) !
и n^тi — Пж'. Значит, в 1 М существует последовательность п0 —> п1 ■ ■ ■ пп_1 —> пп. В силу симметричности г-бисимуляции ТМ =г ТМ'.
а
0ч а \ .?* \
а "0 "в
д 14*
О.1"з*"* О.......ш*;:г0
15*
Рис. 1. Иерархия классов эквивалентных НВСП: а — связи между эквивалентностями; б — взаимосвязи, возникшие вследствие связи эквивалентностей на рис. 1,а; в — случай 4 доказательства теоремы; г — случай 5 доказательства теоремы; д — случай 6 доказательства теоремы
Связь 6 доказывается аналогично связи 5, но с использованием временных
шаговых следов.
Связь 7 (^рг^=рг) следует из определений 4, 5 и следствия 2.
Заметим, что связи 8-12, показанные на рис. 1,б, следуют из связей (1-7).
Докажем, что в графе на рис. 1,а от одной эквивалентности к другой нельзя провести дополнительную дугу, такую что в этом графе не существует пути от первой эквивалентности ко второй.
Случай 1. На рис. 2,а показаны ВСП ТЫ\ и ТЫ2, которые являются г-бисимуляционно-эквивалентными, но не в-трассово-эквивалентными, так как только в ТЫ2 действия а и Ь могут произойти параллельно в глобальный момент времени 0. Следовательно, связь 1* (см. рис. 1,в) отсутствует.
Случай 2. На рис. 2,а приведены ВСП ТЫ2 и ТЫ3, которые являются з-бисимуляционно-эквивалентными, но не рг-трассово-эквивалентными, поскольку только в ТЫ3 действие а может причинно зависеть от действия Ь. Тогда связь 2* (см. рис. 1,в) отсутствует.
12
г
0,0 .0
Т / ^ т .■••* / т . 8*:
4* V "v" ; 11
| 5*/"' >:■......| 9*,""' \10*|
ЁГ В 0
Рис. 2. Примеры эквивалентностных ВСП: а — г-бисимуляционно- и не 8-трассово-эквивалентные ВСП, а также я-бисимуляционно- и не рт-трассово-эквивалентные ВСП; б — не г-бисимуляционно- и рт-трассово-эквивалентные ВСП
Случай 3. На рис. 2, б приведены ВСП ТМ4 и ТМ5, которые являются рг-трассово-эквива-лентными, но не г-бисимуляционно-эквивалентными, так как только в ТЫ4 может произойти действие а, например в глобальный момент времени 1, так что действие Ь не может произойти ни в какой глобальный момент времени. Следовательно, связь 3* (см. рис. 1,в) отсутствует.
Случай 4. Вновь рассмотрим ВСП ТЫ4 и ТЫ5, показанные на рис. 2,б. Отсутствие дуг 4 * —11* (см. рис. 1,г) следует из импликаций ТМ4 ^ ТМ5 ^ ТМ4 ТМ5 ^ ТМ4 ^рг ТМ5 и Т N4 =рг Т^ ^ =3 ТЫЪ ^ ТЫ4 =г ТЫЪ.
Случай 5. Рассмотрим ВСП TNl и Т^, приведенные на рис. 2,а. Отсутствие дуг 12* —16* (см. рис. 1,д) следует из импликаций TNl ф8 ТN2 ^ Т^ TN2 ^ Т^ ^рг ТN2, TNl Т^ ^ Т^ =г ТN2 и Т^ TN2 ^ TNl ^рг TN2.
Случай 6. Рассмотрим ВСП TN2 и TN3, представленные на рис. 2,а. Отсутствие дуг 17 * —18* (см. рис. 1,д) следует из импликаций TN2 фрг TN3 ^ TN2 ^pr TN3 и TN2 ^s TN3 ^ TN2 =s TN3.
Как известно, количество дуг полного направленного графа с N = 6 вершинами равно N х (N — 1) = 30. Таким образом, рассмотрены все возможные случаи.
Заключение. Для временных сетей Петри введены понятия трассовой и бисимуляцион-ной эквивалентностей в интерливинговой, шаговой и частично-упорядоченных семантиках, а также показано, что трассовые эквивалентности слабее бисимуляционных, а использование частично-упорядоченной семантики позволяет с большой точностью сравнивать поведение временных сетей Петри с шаговой и интерливинговой семантиками. В дальнейшем предполагается определить и исследовать данные эквивалентности для временных сетей Петри, переходы которых помечены как "видимыми", так и "невидимыми" действиями. Последние позволяют абстрагироваться от несущественных деталей поведения изучаемой модели.
Список литературы
1. POMELLO L., RozENBERG G., SlMONE C. A survey of equivalence notions for net based systems // Lecture Notes Comput. Sci. 1992. V. 609. P. 410-450.
2. ТАРАСЮК И. В. Эквивалентности для поведенческого анализа параллельных и распределенных вычислительных систем. Новосибирск: Гео, 2007. 224 с.
3. Van Glabbeek R. J., Goltz U. Refinement of actions and equivalence notions for concurrent systems // Acta Inform. 2001. V. 37. P. 229-327.
4. Andreeva M. V., Virbitskaite I. B. Observational equivalences for timed stable event structures // Fund. Inform. 2006. V. 72. P. 1-19.
5. Virbitskaite I. B., Gribovskaya N. S. Open maps and observational equivalences for timed partial order models // Fund. Inform. 2004. V. 60. P. 383-399.
6. Aura T., Lilius J. Time processes for time Petri nets // Lecture Notes Comput. Sci. 1997. V. 1248. P. 136-155.
7. Merlin P., Faber D. J. Recoverability of communication protocols // IEEE Trans. Comm. 1976. V. COM-24(9). P. 183-195.
8. ВирбицкаЙТЕ И. Б. Сети Петри: модификации и расширения: Учеб. пособие. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2005. 125 с.
9. Rosenberg G., Thiagarajan P. S. Petri nets: basic notions, structure, behaviour // Lecture Notes Comput. Sci. 1986. V. 224. P. 585-668.
Бушин Дмитрий Игоревич — асп. Института систем информатики СО РАН;
e-mail: dima.bushin@gmail.com; Вирбицкайте Ирина Бонавентуровна — д-р физ.-мат. наук, проф., гл. науч. сотр. Института систем информатики СО РАН; e-mail: virb@iis.nsk.su
Дата поступления — 30.01.12 г.
