CC BY
143
УДК 378.048.2 : 51 (075.8) ББК 74.04 + 74.262.21 Я73
О ВЗАИМОСВЯЗИ ЛОГИЧЕСКИХ И АЛГОРИТМИЧЕСКИХ УМЕНИЙ, ФОРМИРУЕМЫХ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
Л.Н. Удовенко
Аннотация. В статье рассмотрена взаимосвязь логических и алгоритмических умений, формируемых у школьников при обучении математике. На основе анализа научной литературы раскрывается содержание понятия «алгоритмические умения», выявляется их сущность. Автором отмечается роль интуиции в обогащении и расширении традиционного перечня алгоритмических умений содержательным смыслом. Подтверждена генетическая взаимосвязь алгоритмических умений с логическими. Это определяет согласование подходов в формировании логических и алгоритмических умений, позволяет предлагать пути совершенствования алгоритмических умений. Алгоритмические умения рассматриваются не только как умения действовать по предложенному образцу, но и умения по составлению алгоритма, по его корректировке, исследованию и обоснованию оптимальности выбора. Для эффективного формирования алгоритмических умений целесообразно привлекать интуитивный, творческий ресурс, сопровождающий мыслительную деятельность школьника на всех этапах изучения 126 математики. Сделан вывод о целесообразности и важности согласованного формирования алгоритмических и логических умений при обучении математике.
Ключевые слова: логические и алгоритмические умения, учебная деятельность, мыслительные действия, алгоритм.
ON THE INTERDEPENDENCE OF LOGICAL AND ALGORITHMIC SKILLS FORMED WHILE MATHEMATICS TEACHING
J L.N. Udovenko
Abstract. The article discusses the interdependence of logical and algorithmic skills that are formed in the teaching of mathematics process. Based on the analysis of scientific literature the concept of "algorithmic skills" is disclosed, and their essence is defined. The author notes the role of intuition in
enriching and expanding the traditional list of algorithmic skills. The genetic relationship of algorithmic and logic skills are confirmed. This defines the harmonization of approaches in the formation of the logical and algorithmic skills, allows to offer ways to improve the algorithmic skills. Algorithmic skills are considered not only as the skills to act according to the proposed model, but also the skills for compiling algorithm, for its refinement, for its researching and for substantiation optimal choice of algorithm. For the effective formation of algorithmic skills it would be benefit from hiring an intuitive, creative resource that accompany mental activity of the school children at all stages of learning mathematics. The article completed conclusion about the advisability of forming of algorithmic skills along with logical.
Keywords: logical and algorithmic skills, educational activities,mental activities, algorithm.
Роль математического образования при подготовке подрастающего поколения к включению в социально-общественную деятельность бесспорна. Обучение математике определяет не только уровень математического развития учащихся, но и формирует общую культуру, проявляющуюся в самой разнообразной практической деятельности. Сталкиваясь с частыми проявлениями непроизводительной, нелогичной деятельности как при обучении математике, так и в реальной практической деятельности, можно говорить о несформированности логических и, в равной степени, алгоритмических умений учащихся. Связь алгоритмических умений с логическими очевидна, но неоднозначна, между ними нельзя установить иерархии. Эти умения взаимообуславливают и взаимодополняют друг друга, по-разному проявляясь на разных уровнях конкретизации и обобщения информации.
Исследования значительной части ученых, касающиеся алгоритмических умений, в основном сводятся
к констатации факта их значимости для осуществления репродуктивной деятельности. При этом речь идет об алгоритмах разных типов: а) линейных; б) разветвляющихся; в) циклических. Переход к более высокому уровню овладения алгоритмическими умениями описывается как поэтапное формирование умений следовать разветвляющемуся алгоритму на базе умений исполнять линейный алгоритм и далее (В.С. Аблова,
B. Д. Голиков, Б. А. Гохват, Е.И. Жи- 127 лина, А.Ф. Касторнов, А.А. Михно,
C. А. Моркин, И.И. Пак, Б. Д. Раковер, Л.П. Червочкина и др). Такой подход не отражает в полной мере всего многообразия учебных и исследовательских ситуаций, связанных с освоением алгоритмических умений и их применением в учебной практике. Опыт преподавания, анализ деятельности обучаемых убеждает нас в том, что эффективность формирования алгоритмических умений у школьников зависит от условий формирования умений логических. Несмотря на то, что логические умения обычно представляют формальным
перечнем, в нем появляются компоненты, которые не могут быть описаны средствами формальной логики: «Все более возрастает признание того факта, что основные процессы интуиции и воображения играют важную роль в решении математических проблем (задач) на всех уровнях от детского, на ранних стадиях развития математического мышления; взрослого — через их безусловную математическую практику с несколько формально-логическими навыками; до нового уровня высоко талантливых математиков и ученых» [1, с. 177]. В этой связи необходимо выявить по возможности все основные факторы, влияющие на формирование логических и алгоритмических умений при обучении математике.
Очевидная связь алгоритмических умений с логическими прослеживается в исследованиях, связанных с вопросами обучения математике (А.Я. Блох, В.Г. Болтянский, Н.Я. Ви-ленкин, М.Б. Волович, Б.В. Гнеденко, 1 по Л.Д. Кудрявцев, М.П. Лапчик, Е.И. Ля-128 щенко, Ю.А. Макаренков, А.И. Мар-кушевич, В.М. Монахов, М.Н. Скат-кин, А.А. Столяр, И.М. Яглом и др.). Весьма убедительно А. Я. Хинчин обосновал важность такой организации учебной деятельности, которая нацеливает учителя на «приучение учащихся к полноценной аргументации» [2, с. 131]. Математика, рассматриваемая как наука или школьный предмет, по мнению А.Я. Хин-чина, требует определенного рода обоснований, подтверждающих истинность полученного результата: «Здесь аргументация, не обладающая характером полной, абсолютной исчерпанности, оставляющая
хотя бы малейшую возможность обоснованного возражения, беспощадно признается ошибочной и отбрасывается как лишенная какой бы то ни было силы. ...либо полноценность аргументации такова, что никакие споры о правильности доказываемого утверждения более невозможны, либо аргументация вообще отсутствует» [там же]. Общий принцип «борьбы за полноценность аргументации» А. Я. Хинчин раскрывает через «борьбу против» незаконных обобщений, необоснованных аналогий, борьба за полноту дизъюнкций, борьба за полноту и выдержанность классификации [там же, с. 132-139].
А.Я. Хинчин считает, что обучению математике присуще воспитание особого стиля мышления: если этот особый стиль мышления усваивается «представителем какой-нибудь другой науки или практическим деятелем, то оказывает нередко весьма существенные услуги как его собственному мышлению, так и усвоению его трудов учениками и последователями» [там же, с. 140]. Любое правильно построенное рассуждение, «ход мысли" имеет в основе некоторую формально-логическую схему, которая "вышколенным умом ощущаема как некий костяк, стройный и закономерный, обросший тем или другим конкретным содержанием» [там же]. Другими словами, если любое суждение облечено в строгую логическую форму, и дедуктивное рассуждение опирается на формально-логические правила вывода, то их основу составляет некоторый алгоритм мыслительных действий. Математика воспитывает и лаконизм мышления — «сознательное стремление всегда находить кратчайший ве-
дущии к данной цели логическим путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для безупречной полноценности аргументации» [там же, с. 142]. Эта черта рассматривается нами не столько как логическое умение получать заключения из данных посылок с помощью правил формально-логического вывода, сколько как умение строить алгоритм для решения задачи [класса задач], исследовать его на возможность применимости в случае изменения исходных данных, корректировать в зависимости от исходных данных, а также осуществлять выбор оптимального алгоритма из ряда составленных и/или предложенных. Так, лаконизм мы связываем с определенностью и дискретностью, являющимися свойствами алгоритма. Логическое умение осуществлять четкую расчлененность хода рассуждения содержит необходимость скрупулезного учета всех частных случаев при рассмотрении того или иного вопроса, задачи и формирует умение правильно в нужной последовательности выстраивать все шаги алгоритма для решения уже не одной задачи, а класса задач определенного типа. Так проявляется массовость алгоритма. Исследуя языковой аспект проблемы формирования логических умений, А.Я. Хин-чин обращается к точности символики: «Каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет а собой искажение, а подчас и полное уничтожение смысла данного высказывания» [там же, с. 144]. Здесь логическая форма, рассматриваемая как
алгоритм, усиливается свойством детерминированности.
Целесообразное формирование логических и алгоритмических умений Н.Я. Виленкин и др. рассматривают в условиях специально организованной учебной деятельности, которая направлена на воспитание не только логических и алгоритмических умений, но и творческих способностей учащихся. Ее ядро складывается из определенных мыслительных действий, которые позволяют обеспечить успешное формирование логических и алгоритмических умений. В состав мыслительных действий входят:
«1) умение планировать структуру действий, необходимых для достижения заданной цели с помощью фиксированного набора средств;
2) умение строить информационные структуры для описания объектов и систем;
3) умение организовать поиск информации, необходимой для описания объектов и систем;
4) умение правильно, четко и однозначно сформулировать мысль в понятной собеседнику форме и правильно понять текстовое сообщение» [3, с. 214]. Нужно подчеркнуть, что формирование у учащихся перечисленных мыслительных действий позитивно влияет развитие творческих задатков и способностей учащихся, если для их формирования в процессе учебной деятельности мы учитываем не только законы и правила формальной логики, но и интуицию, догадку, воображение всех участников этой деятельности, а это подтверждено исследованиями в области математических открытий (Ж. Адамар, А. Пуанкаре, Д. Пойа,
130
Х. Фройденталь и др.). Конечно, решения конкретных учебных математических задач оказываются закрепленными в предписаниях, и освоение этих предписаний учащимися происходит через осуществление алгоритмических действий при работе с линейными, разветвляющимися, циклическими алгоритмами, в результате алгоритмической деятельности. Однако при этом должно происходить осмысление математического содержания этих задач, что часто связано с интуицией школьника, его математическим чутьем. Об этом говорят и проведенные нами экспериментальные исследования, подтверждающие, что логические и алгоритмические умения формируются на формально-логическом базисе с применением законов формальной логики и правил логического вывода, но чаще это происходит на интуитивном. И не спонтанно, а лишь в условиях целенаправленной, специально организуемой учебной и практической деятельности.
Исследования ученых в области теории и методики обучения математике подтверждают генетическую связь алгоритмических умений с логическими, показывая как логические умения продуцируют алгоритмические (И.Л. Никольская, А.Д. Се-мушин, А. А. Столяр, И. Л. Тимофеева, А.И. Фетисов и др.). Подчеркивая крайнюю важность логических умений для овладения любым видом деятельности, И.Л. Никольская выделила «некоторый минимум логических знаний и умений, который необходим каждому человеку независимо от рода его занятий, и предполагается у всякого, получившего среднее образование» [4, с. 7]. В этот
минимум вошли: «знание правил классификации; знание точного смысла логических связок; умение выделить логическую форму (структуру) предложения; умение формулировать отрицания сложных предложений и предложений с кванторами; понимание смысла слов «следует», «равносильно» (логически), «необходимо», «достаточно» (необходимое, достаточное условие); умение проверить правильность рассуждения, обнаружить грубую логическую ошибку; знание наиболее употребительных приемов доказательства» [там же, с. 26]. Внимательный анализ перечисленных компонентов «минимума» указывает на то, что логические умения оказываются содержательно более насыщенными по сравнению с алгоритмическими. Тем не менее, алгоритмичность явно присутствует и в умении выделить логическую форму (структуру) предложения, и в понимании смысла слов «следует», «равносильно» (логически), «необходимо», «достаточно» (необходимое, достаточное условие), и в умении проверить правильность рассуждения, обнаружить грубую логическую ошибку и др. В этой связи важно уделять внимание алгоритмической составляющей при формировании логических умений. И.Л. Никольской подчеркивалась и особая роль математики в формировании логических умений: «Изучение элементов логики в единстве с изучением математики наиболее естественно, так как в математике логические формы и отношения выступают в отчетливом, более явном виде. ...Нельзя научиться правильно рассуждать, изучая логику в отрыве от ее применений, так же как невозможно стать
ЕК
грамотным, изучая грамматику в отрыве от живого языка» [5, с. 24]. И если формирование логических знаний и умений в отрыве от изучения математике малоэффективно, то нельзя рассчитывать и на интуитивное формирование алгоритмических умений. Спонтанного формирования логических и/или алгоритмических умений не происходит. Только специально организованная деятельность при обучении математике способствует систематическому и целенаправленному формированию этих умений. Раскрывая состав логических умений через: умение аргументировать, обосновывать утверждения, умение грамотно выражать свои мысли, настолько полно и кратко одновременно, чтобы собеседник понимал их однозначно, без искажения семантики; умение определять, описывать понятие; умение выделять специфические признаки, присущие данным объектам некоторого множества; умение выделять различные объекты и явления, объединенные общими чертами или свойствами; умение проводить классификации по различным основаниям; умение выделять закономерности, присущие множеству объектов; умение осуществлять дискурс, проводить доказательство различными способами; умение выполнять алгоритмическую деятельность, планирование ее, корректировать, осуществлять прогнозы и т.д. [6, с. 28], то видим явное присутствие алгоритмической составляющей в каждом из них.
Несмотря на пристальное внимание к проблеме формирования алгоритмических умений, использованию алгоритмического подхода в обучении, алгоритмизации обучения
со стороны многих исследователей, интерес к ней не ослабевает. Сегодня проблема формирования алгоритмических умений школьников остается одной из насущных методических проблем дидактики математики. Чаще рассматриваются алгоритмы вычислительные, которые предлагается использовать при обучении решению учащимися «определенных классов задач». Для нас интересны и невычислительные алгоритмы, с помощью которых можно описывать действия учителя, организующего учебную деятельность и управляющего ею. Описание применения трех видов алгоритмов (линейные, разветвляющиеся, циклические) для решения конкретных [классов] математических задач, как правило, не включает содержательного описания методической работы учителя с учащимися по осознанию, осмыслению и пониманию сути применяемого алгоритма. Часто алгоритм в обучении предлагается рассматривать всего лишь как инструкцию по выполнению последовательности элементарных действий (шагов 131 алгоритма), причем «такая инструкция должна быть настолько точной, чтобы для ее выполнения от исполнителя требовалось лишь умение выполнять каждое из содержащихся в ней элементарных действий. В частности, инструкция не должна давать исполнителю поводов для проявления таких качеств, как находчивость, воображение, понимание смысла задачи и т.п.» [7, с. 46]. Такая излишняя формализация в использовании алгоритмического подхода при обучении математике не может стимулировать ни проявлению интереса к математике как к учебному предме-
132
ту, ни к образованию в целом. Тогда как освоение математики, ее фундаментальных понятий, свойств и отношений вполне может опираться на алгоритмическую составляющую логических действий через специально организованную деятельность учащихся [8]:
1) структурно-содержательную, которая состоит в выделении учащимися условия [условий] и требования задачи; выявлении взаимосвязей и взаимозависимостей между ними, определении только тех связей и зависимостей, которые могут влиять на получение искомого и/или промежуточного результата;
2) алгоритмизирующую, в процессе которой строится алгоритм (один или несколько) решения задачи;
3) корректирующую, которая позволяет уточнить, усовершенствовать предложенный алгоритм и/или из ряда предлагаемых алгоритмов решения задачи выбрать наиболее оптимальный;
4) поисково-исследовательскую, с помощью которой исследуется предлагаемый алгоритм на применимость, а также приводящую к созданию обобщенного алгоритма для решения класса однотипных задач;
5) презентационную, результатом которой является представление полученного в результате решения ответа.
Освоение математических знаний, умений, навыков и способов деятельности при обучении неизбежным образом связано с освоением понятия «алгоритм» на основе логических понятий. Овладение алгоритмическими умениями осуществляется через освоение разнообразных алгоритмических процедур на различном логически структурированном
учебном математическом и нематематическом материале в процессе учебно-познавательной деятельности, продуцирует эффективное формирование алгоритмических умений, позитивно влияет на понимание и освоение учебного математического материала каждой содержательно-методической линии, позволяя достигать ожидаемых результатов математического образования.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Campbell K.J. Visual Processing during Mathemaics Problem Solving [Text] / K.J. Campbell, K.F. Collis, J.M. Watson // Educational Studies in Mathematics. - 1995. - Vol. 28. - №. 2. - P. 171-183.
2. Хинчин, А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики [Текст] / А. Я. Хинчин // Педагогические статьи. - М. : Изд-во АПН РСФСР, 1963. - С. 128-160.
3. Виленкин, Н.Я. Воспитание мыслительных способностей учащихся в процессе обучения математике [Текст] / Н.Я. Виленкин, А.Я. Блох, Р.К. Таварткиладзе // Современные проблемы методики преподавания математики : Сб. статей / сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. - М. : Просвещение, 1985. - С. 201-221.
4. Никольская, И.Л. Привитие логической грамотности при обучении математике [Текст] / И.Л. Никольская : дис. ... канд. пед. наук. - М., 1973. - 186 с.
5. Никольская, И.Л. О единой линии воспитания логической грамотности при обучении математике [Текст] / И. Л. Никольская // Преемственность в обучении математике. - М. : Просвещение, 1978. - С. 24-36.
6. Удовенко, Л.Н. Развитие логической культуры средствами логического конструирования при обучении математике в 5-6 классах [Текст] / Л.Н. Удовенко : дис. ... канд. пед. наук. - М., 1996. - 236 с.
7. Монахов, В.М. Алгоритмы и программирование [Текст] / В.М. Монахов, Н.Б. Де-мидович // Математика в школе. - 1976. -№ 3. - С. 41-49.
ЕК
8. Мумряева, С.М. Алгоритмический подход к изучению математического анализа в педвузе в условиях дифференцированного обучения [Текст] / С.М. Мумряева : дис. ... канд. пед. наук. - Саранск, 2001. - 159 с.
REFERENCES
1. Campbell K.J., Collis K.F., Watson J.M. Visual Processing during Mathemaics Problem Solving, Educational Studies in Mathematics, 1995, Vol. 28, No. 2, pp. 171-183.
2. Hinchin A.J. O vospitatel'nom jeffekte urok-ov matematiki [On the educational effect of mathematics], Pedagogicheskie stat'I, M., Izd-vo APN RSFSR, 1963, pp. 128-160.
3. Vilenkin N.J., Bloh A.J., Tavartkiladze R.K. Vospitanie myslitel'nyh sposobnostej uchashhihsja v processe obuchenija matema-tike [Parenting thinking skills of school children in learning mathematics], Sovremennye problemy metodiki prepodavanija matematiki: Sb. statej / Sost. N.S. Antonov, V.A. Gu-sev, M, Prosveshhenie, 1985, pp. 201-221.
4. Nikol'skaja I.L. Privitie logicheskoj gramot-nosti pri obuchenii matematike [Instilling
logical literacy in training math], dis. ... kand. ped. nauk, M., 1973, 186 p.
5. Nikol'skaja I.L. O edinoj linii vospitanija logicheskoj gramotnosti pri obuchenii matematike [On the single line of education of logic literacy in training mathematics], Preemstvennost' v obuchenii matematike, M., Prosveshhenie, 1978, pp. 24-36.
6. Udovenko L.N. Razvitie logicheskoj kul'tury sredstvami logicheskogo konstruirovanija pri obuchenii matematike v 5-6 klassah [Development of Logical culture by means of logical designing in teaching mathematics in 5-6 grades], dis. ... kand. ped. nauk, M., 1996, 236 p.
7. Monahov V.M., Demidovich N.B. Algoritmy i programmirovanie [Algorithms and Progr-ramming], Matematika v shkole, 1976, No 3, pp. 41-49.
8. Mumrjaeva S.M. Algoritmicheskij podhod k izucheniju matematicheskogo analiza v ped-vuze v uslovijah differencirovannogo obu-chenija [An algorithmic approach to the study of mathematical analysis in pedagogical institutions in terms of differentiated instruction], dis. ... kand. ped. nauk, Saransk, 2001, 159 p. ■
Удовенко Лариса Николаевна, кандидат педагогических наук, доцент, докторант Москов- jJJ
ского педагогического государственного университета, [email protected] Udovenko L.N., PhD in Education, Associate Professor, Doctoral Student, Moscow State Pedagogical University, [email protected]
