О ВЗАИМОСВЯЗИ И СТЕПЕНИ ВЛИЯНИЯ ВХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИЛЬНОТОЧНОГО БЕТАТРОНА С ВНЕШНЕЙ ИНЖЕКЦИЕЙ НА ИНТЕНСИВНОСТЬ у-ИЗЛУЧЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО _ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА_

Том Гб2 1967

О ВЗАИМОСВЯЗИ И СТЕПЕНИ влияния входных

ПАРАМЕТРОВ СИЛЬНОТОЧНОГО БЕТАТРОНА С ВНЕШНЕЙ ИНЖЕКЦИЕЙ НА ИНТЕНСИВНОСТЬ у-ИЗЛУЧЕНИЯ

М. С. АЛЕЙНИКОВ, В. П. ИВАНЧЕНКОВ, В. А, КОЧЕГУРОВ, Б. Е. ТОМИЛОВ

(Представлена научным семинаром научно-исследовательского института ядерной

физики)

В данной работе даются оценки связей между входными параметрами и выходной величиной интенсивности ^-излучения бетатрона.

Из теоретических представлений и из опыта эксплуатации известно [1], что зависимость интенсивности от таких параметров, как фазы инжекции, инфлекции, напряжения на обмотке электромагнита, инжекции инфлекции, токов в обмотке электромагнита и накала электронной пушки, носит экстремальный характер. При подборе определенных значений перечисленных выше параметров получается максимальное значение интенсивности ^-излучения. Следует оценить, насколько существенна связь между входными параметрами и выходной величиной (степень корреляции), а также оценить степень взаимосвязи между входными величинами.

Поскольку известно [1], что статические характеристики бетатрона существенно нелинейны, степень связи между входными параметрами и выходной величиной оценить через коэффициент корреляции невозможно [2].

Поэтому произведена оценка степени связи через корреляционные отношения. Изменение значений величины у обусловлено изменчивостью связанных с ней величин *г(где ¿=1, 2, З...и т. д.) и ряда других факторов, влияющих на у и не зависящих от х} [2]. Характеризуя изменение величины у через ее дисперсию, указанное положение можно представить аналитически следующей формулой [2]:

«5« 2 + 2 (1)

где о'у — общая дисперсия величины у, т. е. дисперсия точек корреляционного поля относительно линии математического ожидания; т ;

= М [(у ~ ту)*\; (2)

°уи — дисперсия точек корреляционного поля относительно условного математического ожидания для ¿-го параметра

' °и1 = М[(у-ту1Х1)*]; (3)

— дисперсия кривой регрессии относительно математического ожидания величины у

1 = М{(ту1Х1-ту)*}. (4)

Корреляционное отношение между величинами у и х1 определяется частью полной изменчивости величины у, обусловленной изменением значения величины х^.

Ъ/х

— 1

1 V а} •

(5>

Условное математическое ожидание выходной величины (интенсивности ^-излучения) при определенных значениях входных величин подсчитывается по формуле [3]:

Щ1х1 = ^Ук-Р\Ук1Х1К),

(6)

где Р [ук/хи} — условная вероятность, т. е. вероятность наступления события у1 при условии, что событие х1 произошло. Условная вероятность определяется по формуле (7) [3]

'Р\(9 = Ук)-Щх=*хи)}

Р{ук!х1К} =

Р {у(хх

(7)

где Р {(у = ук) * п (х = л,-к)} — вероятность одновременного существования двух событий;

Р{у/Хш} — безусловная вероятность. Чтобы воспользоваться формулами (6) и (7) для определения условных математических ожиданий, строятся корреляционные поля либо составляются таблицы по данным измерений. Нами взяты часовые участки из трехчасовых реализаций входных и выходных величин бетатрона. Задаваясь уровнем одного из ^входных параметров, находим число пересечений этого уровня с реализацией данной входной величины и соответствующие точки для этих пересечений на реализации выходной величины (рис. 1). При этом предполагается, что

ятяеа 2.01

4.3

У.Он

0,5

^ л оти в &

1 -гиооЬонь

XI2

3

Рис. 1

другие входные параметры неизменны. Затем, откладывая соответствующие значения (уровни) входной величины по оси абсцисс, а по

оси ординат значения выходной величины, соответствующие точкам пересечения данного уровня х} с ее реализацией, строим корреляционные поля (рис. 2, 3, 4, 5). Используя выражение (7), определяем условную вероятность. В числитель выражения (7) подставляется число точек определенного значения выходной величины при задан-

Оотн.ед

\к ■ в -12-а ю-

Я.о-80-70-

60-50-Ш 30-20-1,0-О

Рис. 2. Корреляционное поле и условное математическое ожидание (линия регрессии) интенсивности у-излучения при изменении фазы инжекции.

ной величине входного параметра, в знаменатель—число пересечений соответствующего уровня входной величины с ее реализацией.

Например, (на рис. 2) для уровня фазы инжекции, равного 46,8, нанесены 14 точек: 2 — на уровне интенсивности ^-излучения, равного 1 относительной единице; 6 точек — 6 относительным единицам; 1—7 единицам; 1—8 единицам; 2—8,5 единицам; 1 — 9 единицам; 1—10,5 единицам. Отсюда:

где n — число пересечений всех выбранных уровней фазы инжекции с ее часовой реализацией.

• • • • •

Уинж

•3 ®2

• • • • •¿•¿•З* #3#

• • •М «з

46,4 Ш мгщ&.ь Щ 48 Уинж отн.ед

Безусловная вероятность равна:

Р{у/Х[К = 46,8}

С? стн вд

14 N

М -1Ъ -12" 11 10-I 901 8.0 70 6.01 Л0-40

3.0 «>

•

9 4 • • •

• 2 ®3 *3 ®6 «8 шЦ 9

• • 4 95 «6 *8 *2

•4 • #3

оз «4 •

• 2 «2 * о 42 *2 • •

• ®2 ФЗ «4 «З»—

• ©2 ®4 •З«! ^^ •3 • •? ®2 •

©3 © «2 ©2 с «3 О ез ©6 9 «2 ©2

©2 94 92 92 95 93 92

• 2 ° ф 2

• «3 • 2

• ©©2е 9 О

• #2 ®2

л/ " ' имагн

93

•2 ®2 •

• 4 ф Я • «2 ®2 • •

• 2 • 4 *3

• •

© о

9 4

' 1

423 и маг. отн ед

Рис. 3. Корреляционное поле и условное математическое ожидание интенсивно« сти у-излучения при изменении напряжения на электромагните

Условная вероятность для интенсивности / = 1

_2 14

Р{у?= 1/хи = 46,8} для / = 7 Р{ук = 1\х7к - 46,81 = для / - 8 Р{ук = 8/х1к = 46,8} -

_1_ 14

14

и т. д.

Пользуясь формулой (6), определяем условное математическое ожидание при заданном уровне входной величины. Так, для уровня фазы инжекции 46,8 (рис. 2).

Шу! =46,8 = 1-— + 6-— + 8- — + 7-— + 8,5-— + 9— + У 14 14 14 14 14 14

10,5- — = 6,4. 4

Таким образом, определены условные математические ожидания для различных уровней входных величин и построены кривые регрессии (рис. 2, 3, 4, 5).

Затем, используя выражения (2), (4) и (5), определяем и

В результате для часовых реализаций получаем:

3 отн ед

4Ц 13 12 11 10 9 8 7 6 5 а

3 2

1 о

•2. »4 «2 •2

• ф6 э8 тЮ т? 96 95

• 2 • 916 «20 45 т? т2 #2

• 6 «7 95 99 96 92 93

941 «4 911 946 9 ? 96 9

•2 96 9 94 91 92 «2

9? 9Ю 9/5 98 95 «6

• 95 98 92 9

95 91? 910 ф9 «3

45 А 45.7 16 16,3 <66 щд 172 <75 т 48.4 18? ЦШ(р

отн ед

Рис. 4. Корреляционное поле и условное математическое ожидание интенсивности у_излучения при изменении напряжения на пластинах инфлектора

1. Пслная ди:персия выходной величины (интенсивности у-излу-чения)

Зу = 14.

2. Дисперсия выходной величины относительно линии регрессии при изменении фазы инжекции (все остальные величины полагаются постоянными) Оу/9инж = 8,14. Корреляционное отношение 77 = 0,75.

3. То же при изменении фазы инфлекции

1.314, 4 = 0,31.

4. То же при изменении напряжения инжекции

^инж = Ь52; т] =0,35.

5. То же при изменении напряжения инфлекции

«5/^ = 2.71; 4 = 0,44.

6. То же при изменении напряжения на обмотке электромагнита

4/^ = 2,72; 4-0,44.

7. То же при изменении тока в обмотке электромагнита

а*//м = 0,842; ч = 0,25.

8. То же при изменении тока накала катода пушки

ау/7н = 0,152; т] -0,105.

Уотн.ед

м- •2 •4 • ч •7 »5 •3 •2 • 2

• 4 • 8 •7 •4 •7 •3 • •

13- • • • 4 • н • 10 чъ •9 •6 •3 • •

• 4 • ? • 4 • 1 • 4 • 3 • 2

12- •3 • 9 • /6 чг • ? •3 • •

• ®б ¿4 • 2 •2 • •

и ■ • •2 •Я* «Н •3 •ÍO *8 •5 • •

CL, • •

<о ■ • •11 • 11 s•? • •3 •

9i •i V

9.0- • •6 •2 •5 •7 •¿S •3 •2 • т-

• • •2 •5 • ti •

8.0- • •2 • •ч • • ^ •

• • •3 • •2 • • лм

70- • • • • 3 • • • • 4 • 4

аjo- •3 • •г • • 1 • 1 • 2 •2 • • • • •

5.0- • • • •2 • 2 • • 5 • • • •2 • •5 • • • 5

ао- V • • • • • • 4 • •4 • 5 •2

3.0- •3 •2 •3 •3 • •2 • 3 •

• • • г

20- i •2 •3 • 4 «4 •Ц • 5 •2 •2 • •2 о •3 •г •2 • • •

tq- •3 •2 •3 • 4 • •2 • •5 •3 щ i •

отн ед

Рис. 5. Корреляционное ноле и условное математическое ожидание интенсивности ^излучения при изменении напряжения инжекции

Из приведенного выше расчета следует, что наибольшую связь с выходной величиной имеет фаза инжекции, затем по мере убывания идут: напряжение на электромагните, напряжение инфлекции, ток: в обмотке электромагнита и, наконец, ток накала пушки.

Аналогичным образом подсчитаны корреляционные отношения для оценки стохастической зависимости между входными параметрами. Корреляционные отношения имеют следующие величины: фаза инжекции и фаза инфлекции взаимно коррелируют = 0,42. Ток и напряжение электромагнита полностью коррелируют ^ — 0,94. Для тока накала и напряжения на обмотке электромагнита -ц = 0,56. Для напряжения инжекции и инфлекции = 0,09. Для напряжения инжекции и фазы инжекции 7]=0,08. Для напряжения на обмотке электромагнита и фазы инжекции ~ 0,092.

Таким образом, напряжение и фаза инжекции, напряжение на обмотке электромагнита и инфлекции имеют слабую связь и могут рассматриваться как стохастически независимые переменные.

Известно [4, 5], что для получения математической модели процессов в объекте методом регрессионного анализа должны быть выполнены следующие условия:

1. Выходная величина (для нашего случая интенсивность у-излу-чения) должна быть распределена по нормальному закону и ее изменения во времени должны иметь стационарный характер.

2. Входные величины должны быть взаимно независимыми.

3. Зависимость между входной и выходной величинами (статическая характеристика) должна аппроксимироваться функциями вида:

/х (•*) = ао + aix либо /2 = а0 -j- агх + а2х2.

Возможна аппроксимация и через нелинейные функции (— ; 1пх ех

\х

т. д.) , но в этом случае вводится новая переменная, чтобы со-

хранить указанный выше вид аппроксимирующих функций.

Нами установлено, что выходная величина бетатрона (интенсивность у-излучения) имеет нормальное распределение и ее изменения во времени носят стационарный характер.

Из рассмотрения степени влияния каждого параметра, приведенного выше, можно считать независимыми входными переменными следующие параметры:

1) фаза инжекций,

2) напряжение инфлекции,

3) напряжение на обмотке электромагнита,

4) напряжение инжекции.

Поскольку остальные переменные (фаза инфлекции, ток в обмотке электромагнита и ток накала) имеют слабую связь с выходной величиной и их влияние на выходной параметр незначительно, в дальнейшем в рассмотрение они не принимаются. Исходя из теоретических представлений о процессах в бетатроне и по виду условных математических ожиданий, выбираем аппроксимирующие функции для фазы инжекции, напряжения на обмотке электромагнита и напряжения инжекции вида:

У = /(*/) = Оо1 + аг ГХ1 + (7)

а для напряжения инфлекции — вида

У =/<*)=-г---(8)

а0 + агх

Из приведенного выше анализа можно сделать следующие выводы:

1. Интенсивность -у-излучения в основном определяется четырьмя независимыми входными параметрами: фазой инжекции, напряжением на обмотке электромагнита, напряжением инфлекции и напряжением инжекции.

2. Выбран вид аппроксимирующей функции типа:

/(х^ = а01 + ацХ} + а2х) и /(х) ----,

а0 + агх

исходя из теоретических представлений о процессе ускорения в бетатроне и по виду функций условных математических ожиданий (линий регрессии рис. 2. 3, 4, 5).

3. Математическая модель бетатрона может иметь вид либо квадратичного полинома [5]

4

р + а2;Х?), ' (9)

1

либо вид произведения квадратичных полиномов [5|

4

Г=сП(а01 + аих, + а3гхЪ- (Ю)

1

ЛИТЕРАТУРА

1. Л. М. Ананьев, А. А. Воробьев, В. И. Горбунов. Индукционный ускоритель бетатрона. Атомиздат, 1956.

2. Э. Л. И ц к о в и ч. Статистические методы при автоматизации производства, Изд. «Энергия», М.—Л., 1964.

3. Б. Л. Вандер Варден. Математическая статистика. ИЛ, 1960.

4. А. Хальд. Математическая статистика с техническими приложениями. ИЛ, М. 1956.

5. В. М. Ордынцев. Математическое описание, объектов автоматизации. «Машиностроение,» М., 1965