CC BY
37
Физика
УДК 539.9
О взаимодействии спинорного и скалярного полей, устраняющем вклад скалярного поля в геометрию пространства—времени
М. Б. Вилка Чайча*, Л. П. Ющенко^ Г. Н. Шикин *
* Кафедра теоретической физики ^ Кафедра общей физики Российский университет дружбы народов Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
В двух метриках — статической цилиндрически-симметричной и космологической типа Бианки I — рассмотрены взаимодействующие скалярное и спинорное поля с лагранжианом взаимодействия £int = V(f)S'2, где V(f) — произвольная функция скалярного поля ц>, S = фф — инвариант спинорного поля ф. Получены точные решения уравнений Эйнштейна, скалярного и спинорного полей. Показано, что функция V(<р), определяющая решение уравнения скалярного поля, не входит в компоненты тензора энергии-импульса взаимодействующих полей и не влияет на компоненты метрического тензора. Это означает, что рассматриваемый тип взаимодействия устраняет вклад скалярного поля в геометрические свойства пространства—времени, то есть на геометрическом уровне компенсирует вклад скалярного поля как источника гравитационного поля.
Ключевые слова: спинорное поле, скалярное поле, взаимодействие полей. Лагранжиан системы взаимодействующих скалярного и спинорного полей выбирается в виде [1]:
£=2К+£s с+£ sр+А nt=2К+2 (ф^^ф - v^t^)
— тфф — Р(8) + — V(Ф)Ф(Б), (1)
где Р (в) — произвольная функция 5 = фф, V (у>) — произвольная функция
Из лагранжиана (1) получаем уравнение Эйнштейна, уравнение скалярного поля
(V—99"^) + ^ Ф(в) = 0 (2)
и уравнения спинорного поля:
dF dФ
гi'V^ -тф - —ф - V(ф) ^ф = 0,
_ _ dP— d^— (3) i V 1Лфт'л + тф + dgф + V (ф) ^ф = 0.
Выпишем компоненты тензора энергии-импульса взаимодействующих полей:
Tmat £ = Tsp£ + Tsc£ + Tmt £ = \с/г (фTpV„ф + фт„Vpф-
- V „фТрф - + - 5££mat, (4)
dF dФ 1
Cmat = csp + Csc + Сгnt = -^S - F(S) + V(ф)^S + - V(<p)$(S). (5)
Статья поступила в редакцию 9 декабря 2011 г.
98 Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2012. С. 97-103
1. Статические цилиндрически-симметричные решения
В этом случае метрика записывается в виде (2):
2 = е27М2 - е2аёх2 - е2^ 6<р2 - е2^2 (6)
с координатным условием, соответствующим гармонической координате х:
а(х) = 7(х) + Р(х) + ц(х). (7)
Запишем уравнения Эйнштейна для метрики (6):
Р" + ц" - ц'Р' - цЧ - Р'1' = -кТ0е2а, (8)
ц'Р' + ц'ч' + РЧ = -кТ1 е2а, (9)
ц" + ч" - /л'Р' - цЧ - РЧ = -кТ22е2а, (10)
у + /з» - ¿р' - ^у - ¿зу = -кТ3е2а. (11)
Выпишем в явном виде компоненты ТЭИ (тензора энергии-импульса) системы полей:
Т0 = Т2 = Т3 = -Стаг = -5+ Р(Я) - V(ф)
+ 2 & )2 с~2а + V (<р)Ф(Б), (12) Т1 = тБ + Р(5) + V(^)Ф(в) - )2е-2а. (13)
Запишем в явном виде первое уравнение системы (3):
— / 1 Л ¿Р <НФ
ъе-а11[дх + 2а')ф -тф - - V(у)-^ф = 0. (14)
Т
Поскольку ф(х) = (у\(х), у2(х), у3(х), у4(х)) , для функций уа(х) из (14) получаем следующую систему уравнений:
у'4 + 1«' уа + г еа(ш + Р' + V Ф') V = 0, у'3 + 1«' у3 + г еа(ш + Р' + V Ф') V2 = 0, у'2 + 2«'У2 - геа(ш + Р' + VФ') V3 = 0, у[ + 1а'у 1 - геа(ш + Р' + VФ'^4 = 0.
(15)
Систему уравнений (15) перепишем в таком виде:
Ц + гЯт = 0, (16)
т'3 + %К'Ш2 = 0, (17)
Ц - = 0, (18)
Ц - iRw4 = 0, (19) гдец = еа/2 у а, а = 1,2,3,4; R = (т + Р' + V Ф') еа.
Отношение уравнений (16) и (19) приводит к уравнению:
W'i W! 1.1 п /ОП\
—т =--, w4w4 + WiWi = 0, (20)
w'x w4 4 1 v 7
имеющему решение
w\ + wj = Cf, Cx = const. (21)
Подставляем
W4 = \jC\ - wf (22)
в (19) и получаем уравнение для определения w\:
w[ - iRyJC2 -wf = 0. (23)
Из (23) получаем w\:
w\ = C\ ¿shwi, = J Rdx + a, a = const. (24)
Подставляем w\ из (24) в (22) и получаем W4:
w4 = C\ cChU\. (25)
Действуя аналогичным образом, из (17) и (18) получаем:
w2 = C2i shw2 , w3 = C2 сЬш2 , ш2 = J Rdx + b, b = const. (26)
Окончательно решение системы (15) записывается следующим образом:
vl(x) = Cli е-а/2 shwi, V2(x) = C2i е-а/2 sh^2 , (27)
v3(x) = C2е-а/2 chШ2 , V4(x) = Cxе-а/2 ch^. (28)
Из (15) получаем уравнение для S = фф = v*v 1 + v*v2 - v*v3 - v*v4 и его решение:
dS da „ „ „ „ n(v)
dx + d^S = 0, S = S0e-a(x) , S0 = const. (29)
Тот же результат получается из (27) и (28). Запишем в явном виде уравнение скалярного поля (2) в метрике (6):
V"(x) - %ф(8)е2а = 0. (30)
Выберем функции спинорного поля таким образом: F (s) = MS2n, Ф(S) = ^2S2, м = const, А2 = const, п = const. (31) В этом случае из (30) получаем упрощённое уравнение скалярного поля:
V' -M2S2 £ = 0. (32)
Решение уравнения (32) при произвольной функции V (у) записывается в виде квадратуры:
2(щ)2—\2S0vы = , /-
dip
= ±(х + хо).
2 ' J yVo + 2\2S2V(¿p)
щ0 = const, х0 = const. Выпишем компоненты тензора энергии-импульса (12) и (13) с учётом (33):
(33)
Т0 = Т2 = Т33 = (1 — 2n)X1S2n + е-2а,
ТЦ = mS + AiS2" — ^ е-2а.
(34)
(35)
Рассмотрим решения уравнений Эйнштейна. Разность уравнений (8) и (10) приводит к уравнению
э// . //
п !
Р = 1
Разность уравнений (8) и (11) приводит к уравнению
// //
V =1 ■
Разность уравнений (10) и (11) приводит к уравнению
V' = Р
Из (36), (37) и (38) с учётом (7) следует:
I' = Ц' = Р" = 3а''.
Из (39) получаем:
l = 1 (а + Ах), ц = 1 (а + Вх), ft = 3 [а — (А + В)х]. Сумма уравнений (8) и (9) приводит к уравнению:
3а = —к
mSo еа + 2\\(1 — п) e2a(1-n)S2n
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
Уравнение (9) имеет вид:
(а')2 — 3N2 = —3к
mSo е ° + XiS2ne2а(1-п) —
N2 = А2 + АВ + В2. (42)
Уравнение (42) есть первый интеграл уравнения (41). Для произвольных п, решение уравнения (42) имеет вид:
da
3N2 + 3Kf0) - 3nmSoea - 3K\iS2ne2a(1-n)
= ±(х + хо).
(43)
Интеграл (43) подробно исследован в [2].
От скалярного поля осталась постоянная фо, которая может иметь любой знак или равняться нулю: фо = 0. При этом никакого вклада в метрику скалярное поле не вносит. Функция V(ф) входит только в решение системы уравнений спинорного поля (15), но при этом не входит в инвариант 5 = фф.
Представляет интерес сравнить полученное решение со случаем отсутствия взаимодействия скалярного поля со спинорным, когда С,гпг = 0, и уравнение (32)
2
сводится к уравнению ф' = 0 с решением ф = фо = const. При этом в компонентах
~2
Т° и Т^ в (34) и (35) вместо e-2a появится член ^e-2a [3].
Таким образом установлено, что рассмотренное взаимодействие не влияет на геометрические свойства пространства-времени.
2. Космологические решения
Метрику выбираем в форме Бианки I
dS2 = е27dt2 - еёж2 - еd у2 - е%d z2 (44)
с координатным условием, соответствующим гармонической координате t:
a = 3i + З2 + 3з. (45)
Уравнения Эйнштейна для метрики (44) с учётом (45) имеют вид:
Щ = - 26%Т),
R = e-2«(a - a2 + /32 + ft + /З23) = -м(т° - 2т) , (46)
R{ = e-2a '3i = - Ь), (47)
R2 = е-2а32 = -к{т2 - ±Т), (48)
1
2
Е3 = е-2аРз = -х(Т3 - 1Т). (49)
Выпишем в явном виде компоненты тензора энергии-импульса системы полей:
Т° = 1ф2 е-2а + тБ + Р (5) + V (<р)Ф(Б), (50)
- V(<р)(бФ'(Б) - Ф(Б}) - (^БР'(Б) - Р(Б}), (51) Г(Б) + -БР' (Б) + V (<р)Ф(Б) + -V (у)Б Ф'(Б), (52)
о)Ф(Б) + \бр'(Б) + ^(<р)БФ'(Б), г = 1, 2, 3. (53) Запишем в явном виде первое уравнение спинорного поля из системы (3):
Т1 = Т22 1 -2 -= -е
гр0 То - 2Т = ф2е -2a + mS + 2
Т - 2 т= mS - ~2~ -F (S) -
iе-а^0(dt + ¡а)ф -тф - - V(ф)= 0. (54)
Поскольку ф(1) = (Vу2(1), ь3(Ь), у4(Ь)) , то для уа(£), где а = 1, 2, 3, 4, из (54) получаем следующую систему уравнений:
' VI + 2^1 + геа(т + Р'(Б) + V(<р)Ф'(Б)) VI = 0,
V2 + \ау2 + г еа(т + Р' (Б) + V (<р)Ф'(Б)) щ = 0,
2 / \ (55)
VI + - геа[т + Р'(Б) + V(<р)Ф'(Б)) = 0,
щ + 2®у4 -геа(т + Р'(Б) + V(<р)Ф'(Б))ь4 = 0.
102 Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2012. С. 97-103 Решение системы уравнений (55) имеет вид:
va(t) = Ca exp( -1 -ijp (t)dt), a = 1, 2; (56)
vb(t) = Cb exp(-| +i JP(t)dtj, b = 3, 4; (57)
Ca, Cb = const, P(t) = ea(m + F'(S) + V(<p)&'(S)). Из (56) и (57) следует, что:
S = фф = Soe-a(t), So = C2 + C22 - C2 -C2. (58)
Запишем в явном виде уравнение скалярного поля (2) в метрике (44) с координатным условием (45):
^ + ^ *(S) е2а = 0. (59)
Выберем функции спинорного поля так же, как и в предыдущем случае: F (S) = аS2n, <^(S) = a2S2, а = const, а2 = const, п = const. (60) При выборе &(S) в виде (60) уравнение (59) переходит в уравнение:
(p + <T2S00 ^ = 0. (61)
Решение этого уравнения при произвольной функции V (ф) имеет вид:
1 (ф? (ф) = Щ, ¡¿щ-^щщ = + V, (62)
ф0 = const, t0 = const.
Выпишем компоненты тензора энергии-импульса взаимодействующих скалярного и спинорного полей (50) и (51) с учётом (60) и (62):
1 тЯ
ТОО - IT = ^ф + а, (3п - 1)S2n + фое-2а, (63)
1 m Я
Т - 2Т = ф^ + а,(п - 1)S2n, i = 1, 2, 3. (64)
Отметим, что в (63) и (64) функция V(ф) не входит.
Рассмотрим решения уравнений Эйнштейна. Из (47)-(49) следует, что:
p =p2 = p3 = 3«. (65)
Из (65) имеем:
ф = 1 (a + Dt), р2 = 3(a + rt), р3 = 3(а - (D + Гф), D, Г = const, (66) так как а = +ф2 + Сумма уравнений (47) + (48) + (49) приводит к уравнению:
Р = -3ке2а(- т + афп - 1)S2n) . (67)
При подстановке (67) в (46) получаем уравнение первого порядка:
1
а2 — N2 = ^mSo еа + ole2(1-n)a + 2(о), N2 = 1(D2 + РГ + Г2). (68) Уравнение (68) имеет решение:
d а , ,, , ,
±(t + to).
■> ^N2 + K(mS0 ea + aie2(1-n)a + \ip0)
Это решение подробно исследовано в [4].
Как и в предыдущем случае, скалярная функция V(ф) входит только в решение уравнений спинорного поля и никакого вклада в метрику не вносит.
При отсутствии взаимодействия скалярного поля со спинорным, когда Lint = 0, уравнение скалярного поля (59) сводится к уравнению ф = 0 с решением ф =
ф0 = const. При этом в Т° вместо ф0е-2а появится член (2е-2а.
Литература
1. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — Наука, 1976. — 479 с. [Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Vvedenie v teoriyu kvantovannihkh poleyj. — Nauka, 1976. — 479 s. ]
2. Саха Б., Шикин Г. Н. Спинорные поля в плоско-симметричном пространстве-времени // Вестник РУДН. — 2007. — № 1-2. — С. 66-69. [Sakha B, Shikin G. N. Spinornihe polya v plosko-simmetrichnom prostranstve-vremeni // Vestnik RUDN. — 2007. — No 1-2. — S. 66-69. ]
3. Saha B, Shikin G. N. Static Plane-Symmetric Nonlinear Spinor and Scalar Fields in GR // International Journal of the Theoretical Physics. — 2005. — Vol. 44, No 9. — Pp. 1489-1494.
4. Saha B. Spinor Fields in Bianchi Type I Universe // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 2006. — Т. 37, № 7. — С. 27-90. [Saha B. Spinor Fields in Bianchi Type I Universe // Fizika ehlementarnihkh chastic i atomnogo yadra. — 2006. — T. 37, No 7. — S. 27-90. ]
UDC 539.9
About Interaction of the Spinor and Scalar Fields, Removing Contribution of the Scalar Field in the Geometry of the
Space—Time
M. B. Vilca Chaicha*, L. P. YuschenW, G. N. Shikin*
* Department of Theoretical Physics t Department of General Physics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia
In the static cylindrically symmetric metric and cosmological metric Bianchi I we consider the interacting scalar and spinor fields with the Lagrangian of the interaction Lint = V(tp)S2, where V(tp) is arbitrary function of scalar field ip, S = ^^ is an invariant of the spinor field We obtain exact solutions of the Einstein, spinor and scalar equations and one exhibited that function V(p) is absent in the components of the energy-momentum tensor for the interacting fields. It means that the considered type of the interaction removes the contribution of the scalar field in the geometry of the space-time.
Key words and phrases: spinor field, scalar field, interaction fields.
