О взаимодействии неравновесного газа с полем излучения Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И

Т о м VI 197 5

М 5

УДК 533.7

О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ НЕРАВНОВЕСНОГО ГАЗА С ПОЛЕМ ИЗЛУЧЕНИЯ

Л. А. Пальцев, Е. А. Ромишевский

В локальном приближении получена система обобщенных уравнений переноса Вальдмана — Снайдера для многоатомного газа, взаимодействующего с полем излучения.

Исследование взаимодействия неравновесных течений газа с полем излучения является весьма актуальным для аэродинамики. В последние годы интерес к этой проблеме значительно возрос в связи с задачами гиперзвуковой аэродинамики [1, 2] и газодинамических лазеров. Однако вопрос об обосновании используемых уравнений газодинамики и кинетических уравнений [3 — 5] в основном еще не решен. В имеющихся в литературе исследованиях по обоснованию кинетических уравнений [6 — 8] рассмотрены либо пространственно однородный случай, либо специальные задачи, не характерные для аэродинамики.

В данной статье из общих принципов статической механики выводятся уравнения переноса для пространственно неоднородного газа при наличии поля излучения. Рассмотрен случай, для которого можно не учитывать процессы диссоциации и ионизации. Постановка задач с учетом таких неупругих процессов, несмотря на определенные достижения [9], еще полностью не выяснена. Получена система обобщенных уравнений Вальдмана — Снайдера [10], определяющая неравновесные процессы в многоатомном газе, взаимодействующем с полем излучения через эмиссию и абсорбцию фотонов.

1. Неравновесное состояние замкнутой системы N молекул и поля излучения определяется статистическим оператором р, удовлетворяющим уравнению

Ш -А- р = [Я; р] = Яр — рЯ, (1)

где Н—Ны 4- Ну-\-НтЬ Нц и Н/— операторы энергии молекул и поля излучения, Нм — оператор взаимодействия молекул с полем излучения.

Вместо уравнения (1) можно использовать эквивалентную ему систему зацепляющихся уравнений для

Fl\X' km\Xm(a’ ■ ■ ■ - s) = Vs SP P&£v • "bk x » bk • -’bk' i (2)

---Rn Ал ..^ 11 Rn n *1 Ч kmKm

— операторов в пространстве состояний l,...,s молекул (5 = 0,

1,N). Здесь и bk\ — операторы рождения и уничтожения

фотонов с волновым вектором k и поляризацией X, Sp —Сум-

СН-1 N)

ма матричных элементов, диагональных по состояниям s + 1,..., /V молекул и поля излучения, V — объем системы.

Известно, что локальные газодинамические параметры и поляризационные свойства газа определяются через одночастичный оператор Вигнера

f(r,Pu TiTl. 0 =

= I/“1 £ exp ^ qr'j F[p1+ q—, 7 ; px - , T;, , (3)

а интенсивность излучения и плотность энергии поля излучения — матрицей

Nw(r, k, t) = V-1 V exp (i q r) F+\ * (0, t), (4)

V k~T^

где r — пространственная координата, px и — импульс центра масс и полный набор квантовых чисел, определяющих внутреннее состояние молекулы I (г, р, к — вектор).

Для простоты ограничимся однокомпонентной молекулярной системой. Тогда при отсутствии диссоциации и ионизации гамильтониан молекул

•

2т

“¿г+Н(П + 2 ф<г/) *

где Pj и //(/)—операторы импульса и внутренней энергии /-й молекулы; Ф(і /) — оператор энергии взаимодействия молекул і и у! т — масса молекулы.

Оператор энергии взаимодействия молекул с полем излучения [11]

. Ны =— ^ X ¡іі А (гу + гл), (5)

і=і <=1

где оператор тока г-й заряженной частицы (электрон, ядро) у-й молекулы

* [Рд “ 17 Л (г'+ Г0ІгП ] ’

1,1 ПС

где Гц — заряд, приведенная масса и относительная коорди-

ната, Рц и о, — операторы и спина импульса.

Векторный потенциал поля излучения в представлении вторичного квантования

А (г) = У\ Vси>* (Чх е~ікг + ь*>- еікгУ’ здесь <оА и Uk\ — частота фотона и вектор поляризации.

В этом же представлении гамильтониан поля излучения

2

k\

В данной работе не будем учитывать процессы упругого рассеяния фотонов на молекулах, определяемые квадратичными по вектор-потенциалу членами в Ны (5). Тогда в пределе N-+ оо, V-»-> ОО так, чтобы n = N/V= const И e/=COnst, где Sf— плотность энергии поля излучения. Из уравнения (1), учитывая выражение для Н и определений (3), (4), для / и Мх' имеем уравнения

д і Pi д — £i \ > .

W + -----їй—.)/(^ /».: Ті Ті. О =

т

Ь

Р\ 2" ’ ^1 ^2’ /Г j" "fl fl’

X

г -§f Мх- (r, k, ¿} + я-3 j dq [<da_? — (oÂ+i] exp (i 2qr) Fkkt4q\ X (0, t) =

= ^.2idÄdArf?exp(i20[r —Я])С&А»(Я, a; TiTi. 0- (7)

1 ï1

В уравнениях (6) и (7) использованы следующие обозначения:

02 (12) = [Ф(12); F (12)] (8)

есть двухчастичный оператор в пространстве состояний молекул

1 и 2, определенный в (6) в (р, ^-представлении;

Bk\(r, рх) = atx (1) Fux (r, Pi+K) — FkX (r, px — K) ati (1) +

+ «ftx(l) Fk}- (r, px-K)- FkX (r, px + K) akx (1),

Clxx> (R, Pi) = ak-q,x(l)F*+*.v(R, px -K+-I-q)-

Oft + ç, X’ (1 ) Fk—q, X [R, px-\-K~\-g- yj

есть операторы в пространстве внутренних состояний молекулы /C = 4-ä;

а*х(1)= S-^-(«*x Pj y + -y-o;[fe*«*x])exp(iÂriy), (10)

где atx — оператор эрмитово сопряженный aux и локальные операторы

?» (г, р) 1 _ 1 r,-™/' (/>+-!■; p-i '

ï 00

exp (ikr) FkX [p + \\ P — ^2

здесь одночастичные операторы .Р*х(1) и (1) определяются согласно (2).

Отметим, что уравнение переноса (7) существенно нелокально по г, в то время как взаимодействие молекул с полем излучения

представлено в уравнении (6) локальным по г интегралом столкновений.

Уравнения (6) и (7) представляют первые два уравнения бесконечной системы зацепляющихся уравнений для операторов (2), которую легко выписать, учитывая их определение и уравнение (1)-Таким образом, для определения распределения молекул и фотонов по состояниям необходимо решить бесконечную цепочку уравнений. Ясно, что может идти речь только о приближенных решениях, имеющих место при наличии малых параметров. Рассмотрим вопрос о безразмерных параметрах, характерных для данной системы зацепляющихся уравнений.

Введем следующие определяющие величины: т0—время столкновения между молекулами, р0 и Е0— импульс и разность уровней „ , 2 пс

внутренней энергии молекул, (о0 и Х0 = — •—частота и длина волны

фотона; ¿1 и — масштабы пространственной неоднородности молекул и поля излучения.

Кроме того, введем обозначения: 11(02) и /2 (5) — безразмерные интегралы, определяющие в уравнении (6) изменение / за счет столкновений между молекулами и взаимодействия молекул с полем излучения; и 13(с)—-безразмерные нелокальные интегралы

в уравнении (7), определяющие изменение во времени плотности фотонов за счет пространственной неоднородности и взаимодействия поля излучения с молекулами.

Учитывая, что /—ро3/ и М {к) — а матричные элементы

оператора а*х (1), например, в дипольном приближении

мер молекулы и Ех — внутренняя энергия молекулы в состоянии Ки уравнения (6) и (7) можно записать в следующем безразмерном виде: :

здесь = t/'cQ) ¿2 = <|>0/, Кп — число Кнудсена, е = пг% — параметр разреженности (г0 — эффективный радиус межмолекулярных сил),

При /гХЗ -— 1 ®(2) ~(ш0где те — время жизни возбужденного состояния изолированной молекулы. Если о»0т0 — 1 и /г~е/ул<в0, то е(1) — е(2). В общем случае е(1) и е(2) могут различаться по порядку величины.

<Ь I аь\ 111) ~ Vя (^1 — Ё\) >

где а= ^ — постоянная тонкой структуры; й — характерный раз

(®Г + •:К" £ т? - '• ж № - ^1 )/= < (°) + *<» '«(»)•

-¿М(А)+^/?(^) = е(2)/з(С),

(12)

2 о 6/

е(1)= Х0 ^- — параметр, характеризующий влияние поля

излучения на изменение распределения молекул,

2 -

е(2)=а пк0 — влияние молекул на распределение фотонов.

5— Ученые записки № 5

65

Уравнение для одночастичного оператора /^О) запишем в безразмерном виде

т0 О)0

2 т

= в Бр [ф (12); /=■„(12)] + е(2) Бр (а. (2) /?(12)) -

(2) (2) . . '

02(1)] + [аР+(1); />(1)1)-

о о Хр

21^ ([«р (1); /"(1)1 Р1 (0) - 8 (Л„ - Ар) §ха хр /41) ар (1)),

(13)

где 02(1) = /1(1)-^(0)/7(1)> а = (*в, Ха).

В уравнениях (12) и (13) при оценке порядка членов, зависящих от Р (12), в1 (1), />(1), . . использованы уравнения для этих операторов и предположение, что в нулевом приближении отсутствуют корреляции в системе молекулы—поле излучения.

2. В дальнейшем будем рассматривать такие состояния поля излучения, взаимодействующего с неравновесным многоатомным газом, когда параметры $(]) и е(2) малы, но могут различаться по порядку величины. Кроме того, будем считать, что число Кп^1 и параметр, характеризующий нелокальность в уравнении переноса фотонов, Х0Д.2. мал.

В этом случае, как следует из (12) и (13), диагональные по внутренней энергии матричные элементы одночастичного оператора Вигнера /й и плотность фотонов Ы\ медленно изменяются на временах порядка ^ и ю-1. Корреляционные операторы и недиагональные по внутренней энергии матричные элементы одночастичного оператора Вигнера /я<г быстро изменяются на этих временах.

Обычный метод малого параметра позволяет получить решения данной системы зацепляющихся уравнений, справедливые на временах

Х2~^’ ^ ~ К в(2))-1) ■

Поэтому для получения решений на временах порядка и больших (/=1, 2, 3) воспользуемся идеями метода Боголюбова [12]. Будем искать такие решения цепочки уравнений, когда ^ и М зависят только от медленного времени, т. е. времени, масштабом которого являются т;-. Корреляционные операторы и /Я(г зависят как от быстрого времени с масштабом т0 и со“1, так и медленного времени. Зависимость /пй от медленного времени будем находить из условия равномерной сходимости на быстрых временах разложения }П(1 в ряд по малым параметрам.

Если в уравнениях (6) и (7) выполнить преобразование Лапласа по быстрому времени, то в силу сделанных предположений производные по медленному времени от /й и определяются значениями корреляционных операторов

Р( 12; 5, 0, ^х(1; в, *) и /**(1; 5, *) (14)

00 .

при 5-*■ 0+. Здесь /г...(...; 5, <) = в | е~^ /7... (...; т, ¿) Фс и медлен-

о

ное время. .

Будем считать, что в начальный момент на быстрых временах отсутствуют корреляции между многочастичными состояниями молекул, состояниями поля и состояниями поля и молекул. Начальные значения /пЛ не равны нулю и определяются заданными значениями поляризационных свойств газа.

Перейдем к определению корреляционных операторов. Из уравнений для одночастичного оператора Вигнера (6) и оператора Г (12) следует, что в нулевом приближении по параметрам є и е(1) двухчастичный корреляционный оператор ^ (12) =/='(12) — ^(І)/^(г) в пределе 5-^-0+ удовлетворяет уравнению

й^(12; І)-[Н2, £2 (12; *)]~[Ф(12); Р(1)Р(2)]; (15)

здесь Нг — гамильтониан молекул 1 и 2 в системе их центра масс и одночастичные операторы р (у) в (р, ^-представлении определяются следующим образом [13]: '

Р(Р, Ті Р', І)=^Ь3Ь{р - р')Ьи,/мм, {г, р, /), где функции-матрицы Вальдмана—Снайдера

/мм'(г, р, /)=/(г, р; 1М, Ш),

1 — полный набор квантовых чисел, определяющих внутреннюю энергию Е в состоянии 7; М — квантовые числа, по которым данное внутреннее состояние молекулы вырождено. Отметим, что диагональные по М элементы функции-матрицы определяют вероятность нахождения молекулы в состоянии (р, 7).

При выводе уравнения (15) считали, что в начальный момент на быстрых временах отсутствуют двухчастичные корреляции, т. е. оператор ¿г(12) и матричные элементы равны нулю

(її Таї /паМ/па (2) І ТІ Ъ>

при Ег + Е2 = Е[ + Е’2.

Решение уравнения (15) можно представить в виде

£(12; 0 = 2Р(1)Р(2)2+-Р(1)Р(2), (16)

где

00 . .

2 = 1іш є | ехр^— |^є + х|ехрК2^(1х

есть оператор рассеяния Мёллера [14]; К2 — оператор кинетической энергии молекул 1 и 2 в системе их центра масс и 2+ — оператор эрмитово сопряженный 2.

Учитывая определения (И) и (14), из уравнения для оператора /7*х(1) в нулевом приближении по є, Є(і), є(2) и Х0/£2, получим

[е — Е' — Ао)й лг-~кр — ¿5^1 /^х (г, р; тг', ¿) = Ащ. (р, тт7/. «) =

= /м,м'(г, р---|-А, /'|ях(г, к) —

- (Ш,|а*х|і' М)/мм, {г, р + ~к, /){Ах(г, к) + 1}|, (17)

где я0+, оператор а*х определен в (10) и «х {к) = (2тг)8 М. (&).

Решение уравнения (17) можно представить в виде Рк\(г, р\ п')^ — 1ъ\-)[Е — Е' — Ык + -^кр^Ак\(р, п7/, п), (18)

где &(_)(х) = — Ъ(х) + ±-Р-^.

Аналогично можно получить выражение для корреляционного оператора

/т*х (г, р; -п') = гтг8(_) ^Е — Е' + Ада* — Ир| X

X 2 ^<^11 а+х | V М') /мм, (г, р---1- А, их (г, А) —

- <Ш | а*11 Г >/«(/-, р + \к, /'){ях(г, й)+1}). (19)

Корреляционные операторы (16), (18) и (19) получены! только в локальном приближении, т. е. с точностью до членов порядка Х0Д.2. Поэтому запишем уравнение переноса излучения (7) в низшем порядке по этому параметру. Пренебрегая членами третьего порядка по \/Ь2 в левой части уравнения (7) и первого порядка в правой части, получим следующее локальное уравнение переноса излучения:

{-% + ст4?)п'(г'

тт' \

X Ах (г, т' т] — (т I «*х | т'> ?к1(г, р — \ к\ 7' 7^ . (20)

Подставляя в уравнения (6) и (20) определенные выше значения корреляционных операторов, получим замкнутую систему обобщенных уравнений Вальдмана — Снайдера для многоатомного газа, взаимодействующего с полем излучения

(~Ш ~т~ Тг) ?мм' ^г > Р' = 1мм’ (рШ) +

4-\ 21 йк {/мм, (Г, р, I) [*&>(_, (/И1 М) {Пх (г, к) + 1} +

п хм,

+ Хкх (-) (Мг М') пх (г, к)] —

— /м,м’{г, р, I) [Л’*У(+)(ЖуИ1) {п\(г, А)+ 1} +

+ ХкХ(+)(Л1М1)пх(г> А)] — 2 [/м,м„(г1 Р ~ Ьк, 1г) X /9П

к м, (21)

х У£х’(Ш; 1х М,)(1, М2 |а*х \1М') щ(г, к) +

+ /м,мЛг> Р Л-кк, /^^(Ш; 11М^)(11М2\акх\Ш’) {пх(г, Л) 4-1}]),

(4" + с "Г ¿) Пх (г> = ¥ 2,1 Лр/мм’ {г, р, I) X

X [(*$(-) (ММ') - Х$(+) (ММ')) пх(г, к) -

- {Х^(Ч(ММ') - Х${+](ММ')) {ях(г, к) 4-1}];

68 '

здесь 1мм(рЧ/) — известный [10, 13] интеграл столкновений Вальд-мана — Снайдера и введены следующие обозначения:

*$(±> (ММ') = (1М | (+) а£х | Ш'>,

Х$ш (ММ') = <Ш | а{п\(+) аю. | Ш),

П{>(Ш; /1М1)=,<Ш|(ай(-)-а^(+))|/1Ж1>) у= 1, 2,

где операторы

а$ (±) - а» 8(±) - Н - кик\+ \ к (р- к) ) ,

Л — оператор внутренней энергии молекулы, Е = Е(1) и

8(±)С*) = ±8(-*0 + ~Р-^ ■

В частном случае приближения сферической симметрии [13],

когда/лш'(г> р, /) = 8лж,/(г, /7, /), где /(г, р, /) = £-/мм(г,р, I) и

ж

£• — статистический вес состояния 7, из (21) получается система уравнений, предложенная в работе [4], если в последних ввести поправки на допплеровское уширение. Полученные выше уравнения легко обобщаются на случай химически не реагирующих смесей, включая электроны и ионы.

Как показано выше, локальные газодинамические4 параметры определяются аесимптотическими на быстрых временах т0 и ш-1 значениями корреляций между молекулами и полем излучения. Однако для определения поляризационных свойств газа [6], например, уширение и сдвиг линий за счет столкновений между молекулами и взаимодействия молекул с полем излучения, необходимо знать корреляционные операторы на всем интервале быстрых времен. Определение этих операторов и вывод уравнений ^ля недиагональных по внутренней энергии функций распределения молекул будет рассмотрено в следующей работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бай Ш и - И. Динамика излучающего газа. М., „Мир“, 1968.

2. Жигулев В. H., Ромишевский Е. А., Вертушки н В. К. О роли излучения в современных задачах аэродинамики. „Инженерный журнал*, т. 1, вып. 1, 1961.

3. Франк-Каменецкий Д. А. Физические процессы внутри звезд. М., Физматгиз, 1959.

4. Жигулев В. Н. Об уравнениях движения неравновесной среды с учето^ излучения. „Инженерный журнал“, т. 4. вып. 2, 3, 1964.

5. Сэм п с о н Д. Уравнения переноса энергии и количества движения в газах с учетом излучения. М., „Мир*, 1969.

6. Климонтович Ю. Л. Вопросы статистической теории взаимодействия атомов с излучением. „Успехи физических наук“, т. 101, вып. 4, 1970.

7. Willis C. R. Kinetic equations for optical pumping. Phys. Rev. A, vol. 1, N 2, 1970.

8. G о u 1 d R. J. Boltzman equation for a photon gas interacting with a plasma. Annals of Phys., vol. 69, N 2, 1972.

9. Климонтович Ю. Л. Статистическая теория неупругих, процессов в плазме. II, Процессы, обусловленные поперечным электромагнитным полем. ЖЭТФ, т. 54, вып. 1. 1968.

10. Snider R. F., Sanctuary В. С. Generalised Boltzman equation foi molecules with internal states. J. Chem. Phys., vol. 55, N 4,

1971.

11. Давыдов А. С. Квантовая механика. М., .Наука“, 1973.

12. Боголюбов H. Н. Избранные труды. Т. 2, Киев. „Наукова думка“, 1970.

13. Пальцев Л. А. Кинетические уравнения для умеренно плотных многоатомных газов. Теорет. и матем. физика, т. II, № 2,

1972.

14. Гольдбергер М., Ватсон К. Теория столкновений. М., „Мир“, 1967.

Рукопись поступила 10/VII1974