CC BY
28Логические исследования 2020. Т. 26. № 2. С. 116-143 УДК 16+519.716.3
Logical Investigations 2020, Vol. 26, No. 2, pp. 116-143 DOI: 10.21146/2074-1472-2020-26-2-116-143
Неклассическая логика
Non-classical Logic
Л.Ю. Девяткин
О выразительных возможностях отдельных расширений четырехзначной логики Белнапа
Леонид Юрьевич Девяткин
Институт философии РАН.
Российская Федерация, 109240, г. Москва, ул. Гончарная, д. 12, стр. 1. E-mail: [email protected]
Аннотация: Статья посвящена замкнутым классам функций четырехзначной логики. Мы представляем следующие результаты.
(1) Базовые операции логики, полученной расширением четырехзначной алгебры Де Моргана оператором конфляции, порождают замкнутый класс всех функций, которые одновременно сохраняют классические истинностные значения и самодвойственны относительно конфляции. Этот класс предполон в классе всех функций, сохраняющих классические истинностные значения.
(2) Между замкнутым классом, порожденным базовыми операциями логики истины фон Вригта и классом всех функций, сохраняющих классические истинностные значения, лежит в точности два замкнутых класса. Каждый из них представляет собой класс всех функций, одновременно сохраняющих классические истинностные значения и одно из трехэлементных надмножеств множества классических истинностных значений.
(3) Базовые операции тетравалентной модальной логики, полученной расширением четырехзначной алгебры Де Моргана оператором необходимости, порождают замкнутый класс всех функций, которые одновременно сохраняют классические истинностные значения, самодвойственны относительно конфляции, а также сохраняют оба трехэлементных надмножества множества классических истинностных значений. Мы показываем, что данный класс предполон в классе всех функций, которые одновременно сохраняют классические истинностные значения и самодвойственны относительно конфляции. Кроме того, мы демонстрируем, что между этим классом и замкнутым классом, порожденным операциями логики истины фон Вригта, находится в точности один замкнутый класс.
Таким образом, мы получаем семиэлементную решетку, состоящую из всех возможных четырехзначных расширений тетравалентной модальной логики, которые сохраняют классические истинностные значения.
Ключевые слова: алгебра Де Моргана, четырехзначная логика Белнапа, логика истины фон Вригта, логика истины Tr, тетравалентная модальная логика, замкнутые классы функций
(¡5 Девяткин Л.Ю.
Для цитирования: Девяткин Л.Ю. О выразительных возможностях отдельных расширений четырехзначной логики Белнапа // Логические исследования / Logical Investigations. 2020. T. 26. № 2. С. 116-143. DOI: 10.21146/2074-1472-2020-26-2-116-143
Введение
Многозначные логики выступают полезным инструментом во многих областях современных логических исследований. В числе наиболее известных многозначных логик находится «полезная четырехзначная логика» Н. Белнапа [Belnap, 1977], которую мы будем обозначать B4. Как отмечает А.С. Карпенко [Карпенко, 2015, §5], B4 оказалась удобной «базовой» системой, обогащая которую можно получить интересные новые логики. Существует обширная литература, посвященная логикам, которые являются расширениями FDE. Особую роль играют расширения B4, полученные с помощью пополнения языка этой логики новыми истинностно-функциональными операторами, такими как, например, модальные операторы, оператор формальной противоречивости, импликация и отрицание, обладающие свойствами, характерными для данных связок в классической логике. Обстоятельный обзор подобных расширений доступен в [Petrukhin, Shangin, 2019].
А.С. Карпенко принадлежит серия работ, посвященных выразительным возможностям отдельных четырехзначных языковых расширений B4 [Karpenko, 2013; Карпенко, 2015; Karpenko, 2017]. Эта работа лежит в русле указанных исследований. Основной задачей является проверка выдвинутой в [Karpenko, 2017] гипотезы о выразительных возможностях языков «логики истины» T" Г.Х. фон Вригта и логики Tr, полученной добавлением к связкам B4 оператора «конфляции»1. Методы исследования близки к таковым в работах А. Аврона и О. Ариэли, посвященных выразительным возможностям расширений B4: [Avron, 1999; Arieli, Avron, 1998; Arieli, Avron, 2017]. Мы анализируем замкнутые классы функций на множестве {t, b, n, f}, порожденные наборами базовых операций интересующих нас расширений B4. Это требует уточнения.
Обычно многозначные логики определяются с помощью логических матриц. Логическая матрица представляет собой структуру, состоящую из алгебры и подмножества D множества-носителя этой алгебры, называемого классом выделенных значений. Матрицы с совпадающими алгебрами и различающимися классами выделенных значений порождают различающиеся логики. В матрице четырехзначной логики Бел-напа используется алгебра Де Моргана и два выделенных значения
Необходимые формальные определения будут даны ниже.
(см. [Omori, Wansing, 2017, §2.1]). Но логические матрицы, базирующиеся на алгебре Де Моргана, могут иметь и другое число выделенных значений: одно или три. Основанные на алгебре Де Моргана логики с одним выделенным значением описываются в [Karpenko, 2017]. Вопрос о свойствах четырехзначной логики Белнапа с расширенным или суженным классом выделенных значений специально исследуется в [Shramko et al., 2017; Shramko et al., 2019].
В настоящей работе мы рассматриваем алгебры вне связи с классами выделенных значений. Таким образом, полученные результаты носят обобщенный характер. Они касаются не только четырехзначных расширений B4 с двумя выделенными значениями, но и родственных систем с однм и тремя выделенными значениями.
Дальнейшая структура работы такова. В оставшейся части Введения мы даем базовые определения, необходимые для точной постановки основной задачи исследования, и осуществляем такую постановку. В Разделе 1 исследуются свойства замкнутого класса функций Tr, порожденного базовыми операциями логики Tr. В Разделе 2 исследуются свойства замкнутого класса функций T", порожденного базовыми операциями логики T". В Разделе 3 мы показываем, что замкнутый класс TML, порожденный операциями четырехзначной модальной логики TML [Карпенко, 2015, §7], представляет собой наибольший общий замкнутый подкласс Tr и T", и исследуем свойства TML. В Заключении мы даем общее резюме полученных результатов, главным из которых является полное описание решетки замкнутых классов функций, лежащих между TML и L4 — замкнутым классом функций, порожденным операциями четырехзначной логики Лу-касевича.
Перейдем к формальной постановке целей и задач исследования. Приведенные ниже определения заимствуем из книги [Марченков, 2004, С. 8— 12]. Там же можно найти более подробное изложение данного материала.
Определение 1 (Реализация функции формулой). Пусть R — непустое множество функций, заданных на некотором множестве. Каждой функции из этого множества сопоставим синтаксическую конструкцию, которую будем называть формулой над R. Пусть символом f обозначена функция из R от n переменных, а xi,... ,xn — символы переменных. Тогда выражение f (xi,..., xn) — формула над R. Формуле f (x1,..., xn) сопоставляем ту функцию из R, которая имеет обозначение f, и говорим, что функция f реализуется формулой f (x1,... ,xn). Так как любой функции из R можно сопоставить формулу над R описанным выше способом, также верно, что любая функция из R реализуется некоторой формулой над R.
Пусть символом д обозначена функция из Я от т переменных, а Ф1,..., Фт — формулы над Я или символы переменных (необязательно различные). В этом случае д(Ф1,..., Фт) — формула над Я. Допустим, что выражениям Ф^, не являющимся символами переменных, сопоставлены функции /¿. Выражениям Ф^-, которые суть символы переменных сопоставим функции /(Жр^-)}, где /)(хр^)] = В этом случае форму-
ле д(Ф1,..., Фт} сопоставляем функцию д(/1,..., /т}, реализуемую этой формулой.
Определение 2 (Суперпозиция). Если функция / реализуется формулой, которая содержит только символы функций /1,...,/8, а также символы переменных, то говорим, что функция / является суперпозицией функций /1,..., /8, или что / получена из функций /1,..., / с помощью операции суперпозиции.
Определение 3 (Замкнутость). Пусть Я — произвольное множество функций, заданных на некотором множестве. Замыканием Я называем множество [Я] всех функций, которые являются суперпозициями функций из Я. Если [Я] — замыкание Я, называем Я порождающей системой [Я]. Говорим, что множество функций Я (функционально) замкнуто, если Я = [Я]. Множества такого рода также будем называть замкнутыми классами.
Определение 4 (Предполнота). Замкнутый класс 3 предполон в замкнутом классе Я, если для всех таких д, что д € Я и д € 3, имеет место [3 и{д}] = Я.
Предметом настоящего исследования являются отношения между замкнутыми классами функций на множестве {^ Ь, п, Г}, порожденными следующими системами операций: {V, Л, —}, {Л, V, — ,е2}, {Л, V, —, -}, {Л, V, —, —, I)}. Табличные определения соответствующих операций таковы:
Л t ь п f V t ь п X —X
t t ь п f t t t t t t f
ь ь ь f f ь t ь t ь ь ь
п п f п f п t t п п п п
f f f f f f t ь п f f t
э t ь п f X — X X в2 (х)
t t ь п f t t t t
ь t ь п f ь п ь t
п t t t t п ь п f
f t t t t f f f f
Следуя [Karpenko, 2017], примем следующие обозначения: DM4 = [{V, Л, —}]; T" = [{Л, V, —, e2}]; Tr = [{Л, V,—, -}]. Кроме того, полагаем ¿4 = [{Л, V, —, —, D}]. В последнем случае мы заменяем порождающую систему для £4 из работы А.С. Карпенко на эквивалентную, но более для нас удобную, которую заимствуем из работы [Avron, 1999, Th. 3.15]. Интересующие нас наборы операций также рассматриваются в [Omori, Sano, 2015] с другими обозначениями: DM4 — BD, T" — BD-, Tr — BDA.
Исследованию сравнительных свойств DM4, T", Tr и £4 специально посвящены работы [Karpenko, 2013], [Карпенко, 2015], [Karpenko, 2017]. В них описаны известные в литературе четырехзначные логики, наборы базовых операций которых порождают эти замкнутые классы. Автор указывает на следующие факты: Tr ^ T", T" ^ Tr, Tr С £4, T" С £4. Однако остается открытым вопрос о том, существует ли такой замкнутый класс K, что Tr С K С L4 или T" С K С £4. В этой связи А. С. Карпенко выдвинул следующую гипотезу [Karpenko, 2017].
Классы операций T" и Tr предполны в £4.
Иными словами, не существует замкнутых классов, которые были бы собственными надклассами Т" или Tr и одновременно собственными подклассами £4. Основная задача нашего исследования состоит в проверке данной гипотезы. Ее решение осуществляется в следующих двух разделах. Первый из них посвящен вопросу о предполноте Tr в £4. Второй — пред-полноте T" в £4. Еще одна задача работы состоит в поиске наибольшего общего замкнутого подкласса Tr и T", а также разрешения вопроса о его предполноте в Tr и T". Решению этой задачи посвящен третий раздел.
1. Предполнота Tr в ¿4
В этом разделе мы покажем, что Tr предполон в £4. Нам потребуются дополнительныне определения.
Определение 5 (Сохранение множества функцией). Говорим, что функция f, определенная на некотором надмножестве множества A, сохраняет множество A (иначе — A-замкнута), когда выполняется следующее условие: если (a1,..., an) е An, то f (a1,..., an) е A.
Определение 6 (Самодвойственность). Называем функцию f самодвойственной относительно перестановки i на A, когда f(a1,...,an) = if (iai,..., ia,n).
Известно, что £4 — класс всех функций, сохраняющих {^ Г} [Лугой, 1999, ТЬ. 3.15]. Демонстрация предполноты Тг в £4 сводится к обоснованию двух утверждений: (1) Тг — класс всех функций, которые одновременно {^ Г}-замкнуты и самодвойственны относительно —ж; (2) класс всех функций, которые одновременно {^ Г}-замкнуты и самодвойственны относительно —ж, предполон в классе всех функций, сохраняющих {^ Г}.
Введем ряд вспомогательных обозначений: Л (ж) = ж Л —ж; ^ (ж} = —Л(ж); •ж = — (Л(ж) V (ж)}. Указанные операции отвечают таблицам, приведенным ниже.
X X (X) X •(X)
t t t f t f
ь f ь f ь t
п f п f п t
f f f t f f
Теорема 1. Тг — класс всех функций, которые одновременно {^ {}-замкнуты и самодвойственны относительно —ж.
Доказательство.
Пусть ^(ж1,...,жга) — произвольная функция, сохраняющая множество {^ Г} и самодовойственная относительно —ж, т. е. ^(ж^ ..., жп) = —ж1,..., —жп). Пусть а = (а1,..., ап}, а € {^ Ь, п, Г}п и ^(а) = ^ Так как ^(ж1,... ,жп) = —ж1,..., — жп), верно также, что — а) = а) = t для набора —а = (—а1,..., — ап).
Сделаем небольшое отступление, чтобы разъяснить используемую ниже нотацию. Если дана функция ^(ж1,..., жп}, зависящая от п переменных, и такой набор значений а = (а1,..., ап), что а € {t, Ь, п, Г}п, осуществим разбиение (ж1,..., жп) на четыре упорядоченных лексикографически набора в зависимости от того, какое значение а^ соответствует переменной ж^ в наборе а для каждого из г € {1,..., п}: если а^ = ^ то Жi является компонентом ж^; если а^ = Ь, то Жi является компонентом жь; если а^ = п, то Жi является компонентом жп, если аi = Г, то Жi является компонентом Жf.
Проиллюстрируем описанное построение примером. Для этого рассмотрим функцию ^(ж1, ж2, жз, ж4, ж5, же, ж7, ж8) и набор а = (^ t, Ь, п, Ь, Ь, п, {}. В этом случае имеем ж^ = (ж1,ж2); жь = (ж3,ж5,жб); жп = (ж4,ж7); Жf = (ж8). При обобщенном описании будем использовать для элементов Жt, жь, жп, Жf индексы вида ц, гь, гп, if соответственно. Эти индексы трактуем как переменные для исходных индексов, использованных в наборе (ж1,... ,жп). То есть в случае нашего примера, ж1(. = ж1; ж2(. = ж2; ж1ь = ж3; ж2ь = ж5; ж3ь = ж6; ж1п = ж4; ж2п = ж7; ж1п = ж8. Порядок индексов (буквы под цифрами) должен быть именно таким, поскольку наборы индексов (¿1,...^},
(Ъ1,...Ък), (п1,...пк) и (/\,.../к) полагаются равномощными, в отличие от наборов (и,... к4), (1ь, ...кь), (1 п,... кп) и (1/,... kf). Так как наборы могут быть разной длины, в индексах для последнего элемента набора используется метапеременная к. То есть в случае нашего примера, х^ = х21; хкь = х3ъ; хк„ = х2„ ; х/„ = х1„ .
Так как (х1,... ,хп) — список переменных, от которых зависит ф, все элементы в нем попарно различны. Таким образом, всегда попарно различны и элементы хг, хь, хп, х/. Для каждого из этих наборов будем обозначать число его элементов как |жг|, |жь|, |жп|, |ж/1 соответственно.
Возвращаемся к построению доказательства. Рассмотрим формулу Ф^г(х1,..., хп), которая реализует функцию Ф^:
$a(xb ...,xn) = A(Xt) Л ©(x/) Л хь, xn),
Условимся считать, что обозначения А(жг) = 0, ©(ж/) = 0 и 2(жь,хп) = 0 служат метаязыковыми указаниями на необходимость опустить один или более конъюнктов при построении формулы Ф1 (х1,... ,хп). Например, если А(х) = 0, ©(жг) = 0, 2(жг) = 0, то Фа(хь ..., хп) принимает вид ©(ж/)Л5(жь,Жп). Если же А(ж4) = 0, ©(ж4) = 0, 5(ж4) = 0, то Ф|(хь ...,х,п) принимает вид 2(жь,жп), и так далее. Обратим внимание, что каждый набор а содержит по меньшей мере одно истинностое значение, поэтому хотя бы один конъюнкт в Фа(х1,... ,хп) всегда остается на месте. Переходим к расшифровке А(жг), ©(ж/) и 2(жь,жп).
1, если |xt| = 0, A(xt) = ^ Jt(xit), если |Xt| = 1,
Jt(xit Л ... Л xkt), если |xt| = kt ^ 2.
если |ж/1 =0, ©(ж/) = ^ Jf(x1f), если |x/1 = 1,
Jf (x1f V ... V xkt), если |x/1 = k/ ^ 2.
Функция ^(хь, хп) описывается приведенной ниже таблицей, где х обозначает х х.
|жь| |жп|
0 0 0
1 0 •(ж1ь )
кь ^ 2 0 • (ж1ь Л ... Л жкь)
0 1 •(ж1п )
1 1 •(ж1ь Л —ж1п )
кь ^ 2 1 •((ж1ь Л ... Л жкь) Л —ж1п )
0 кп ^ 2 •(ж1„ Л ... Л жкп)
1 кп ^ 2 •(ж1ь Л—(ж1п Л ... Л жкп ))
кь ^ 2 кп ^ 2 • ((ж1ь Л ... Л жкь) Л —(ж!„ Л ... Л жкп))
По построению, Ф* принимает значение t на наборах а и —а, а на всех остальных наборах она принимает значение Г.
Пусть Т = {а1,..., ак} — множество всех таких наборов, что ф(а) = t для всех г е {1,..., к}. Функция Фьт = Ф*^ V ... V Ф| принимает значение t на каждом наборе значений из Т и принимает значение Г во всех остальных случаях.
Теперь пусть а = (а1,...,ап), а е {t, Ь, п, Г }п и ф(а) = Ь. Так как ф(ж^ ..., жп) = — ф(—ж1,..., —жп), верно также, что ф(—а) = п для набора —а = (—а1,..., —ап) (см. выше). Аналогично, если ф(а) = п, то ф(—а) = Ь. То есть класс В С {^ Ь, п, Г}п всех наборов, на которых ф принимает значение Ь, и класс N С {t, Ь, п, Г}п всех наборов, на которых ф принимает значение п, изоморфны относительно —ж.
Рассмотрим функцию, реализуемую формулой Ф**(ж1,... ,жп):
Ф|(Ж1,..., жп) = Д(ж4) Л в(ж/) Л Н(жь, жп),
где А(ж^) и в(ж/) определяются так же, как для ФЬ, а функция 2(жь,жп) описывается приведенной ниже таблицей. Обратим внимание, что |жь| = 0 или |жп| = 0, так как ф сохраняет множество {^ Г}.
|жь| |жп|
1 0 ж1ь
кь ^ 2 0 ж1ь Л ... Л жкь
0 1 ж1п
1 1 ж1ь Л —ж1п
кь ^ 2 1 (ж1ь Л ... Л жкь) Л — ж1„
0 кп ^ 2 ж1п Л ...Л жкп
1 кп ^ 2 ж1ь Л—(ж1п Л ... Л жк„ )
кь ^ 2 кп ^ 2 (ж1ь Л ... Л жкь) Л — (ж1„ Л ... Л жкп)
По построению, Ф* принимает значение Ь на наборе а и значение п на наборе —а, а на всех остальных наборах она принимает значение Г.
В силу изоморфизма множеств В и N, имеем следующее. Функция ФВ = Ф|х V ... V Ф| принимает значение Ь на каждом наборе значений из В, принимает значение п на каждом наборе значений из N и принимает значение Г во всех остальных случаях. Так как Г V а = а для любого а е {Ч, Ь, п, {}, получаем: ф = Ф^ V Ф^.
Таким образом, каждая функция, которая одновременно {Ч, Г}-замкнута и самодвойственна относительно —х, содержится в Тг. Поскольку, кроме того, каждая функция из множества {Л, V, —, —} также {Ч, Г}-замкнута и самодвойственна относительно —х, Тг — класс всех функций, которые одновременно {^ Г}-замкнуты и самодвойственны относительно —х. ■
Теорема 2. Класс Тг предполон в Ь4.
Доказательство.
Вспомним, что Тг = [{Л, V, —, —}] и £4 = [{Л, V, —, —, э}] (см. стр. 120). Кроме того, имеет место равенство х э у = —е2(х) V у. Таким образом, для доказательства теоремы достаточно обосновать следующее утверждение: если р / Тг и р е £4, то е2 е [Тг и {р}].
Согласно Теореме 1, Тг — класс всех функций, которые одновременно {^ Г}-замкнуты и самодвойственны относительно —х; £4 — класс всех функций, сохраняющих {^ Г}.
Пусть р — произвольная {^ Г}-замкнутая функция, не самодовой-ственная относительно —х, и формула р(х1,...,хп) реализует функцию р. По условию, найдется такой набор (а1,...,ап) е {^ Ь, п, {}п, что р(а1,..., ап) = — р(—а1,..., —ап). Произведем такую подстановку е в р(ж1,..., хп), что для каждой переменной Xi (1 ^ г ^ п) имеет место
е(х^) = <
—(Jt(x) Л — Jt(x)), если а1 = t; х, если сц = Ь; —х, если сц = п; Л (ж) Л —З^х), если ai = {.
Формула р(е(х1),..., е(жп)) реализует функцию р* от одной переменной, которая {^ Г}-замкнута и не самодовойственна относительно —х, так как, по построению, р*(Ь) = —р*(—Ь). Поскольку —Ь = п, также имеем р*(Ь) = —р*(п). Теперь разберем случаи.
1. р*(Ь) = ^ —р*(п) = ^
(а) —р*(п) = Ь, р*(п) = п; Зпх = ^р*(х).
(b) — <£*(п) = п, ^*(п) = Ь; 7пж = ^(ж).
(c) — ^*(п) = Г, ^*(п) = Г; 7пж = —(— • ж V р*(ж)).
2. <^*(Ь) = Ь, — <^*(п) = Ь.
(a) — <£*(п) = t, ^*(п) = t; 7ьж = »£*(ж).
(b) — ^*(п) = п, ^*(п) = Ь; 7ьж = • (<р*(ж) V (ж V -ж)).
(c) — р*(п) = Г, ^*(п) = Г; 7ьж = •^*(ж).
3. ^*(Ь) = п, — <^*(п) = п.
(a) —^*(п) = t, ^*(п) = t; 7ьж = ^(ж).
(b) — <£*(п) = Ь, ^*(п) = п; 7ьж = •(^*(ж) Л (ж Л -ж)).
(c) — <р*(п) = {, ^*(п) = {; 7ьж = •^*(ж).
4. <^*(Ь) = Г, — <^*(п) = Г.
(a) — <£*(п) = t, ^*(п) = t; 7пж = •ж Л <£*(ж).
(b) —^*(п) = Ь, ^*(п) = п; 7пж = ^(ж).
(c) — <£*(п) = п, ^*(п) = Ь; 7пж = ^(ж).
Нетрудно убедиться, что выполняются следующие условия: 7ь(ж) е {t, {} и 7ь(ж) = t ^ ж = Ь; 7п(ж) е {^ {} и 7п(ж) = t ^ ж = п.
Теперь покажем, что е2 е [{Л, V, —, —, 7ь}] и е2 е [{Л, V, —, —, 7п}]. Для этого достаточно следующих тождеств: е2(ж) = (ж) V 7ь(ж); е2(ж) = —(7п(ж) V ^(ж)). Теорема доказана. ■
2. Надклассы Т", предполные в Ь4
В этом разделе мы демонстрируем, что между Т" и £4 лежит ровно два замкнутых класса, причем Т" предполон в каждом из этих классов, и оба этих класса предполны в £4.
Теорема 3. Т" — класс всех функций, сохраняющих множества {^ Г}, {^ Ь, Г, } и {^ п, Г}.
Доказательство.
Известно, что [{—, Л, Э, Г}] есть в точности класс всех функций, обладающих каждым из следующих свойств: {^ Ь, Г}-замкнутость, {^ п, Г}-замкнутость, {^ Г}-замкнутость [АпеИ, Аугоп, 1998, ТЬ. 14]. Поэтому достаточно доказать, что Т" = [{—, Л, Э, {}].
Поскольку операции Л, V, —, е2 обладают каждым из трех указанных свойств, для завершения доказательства достаточно следующих тождеств: Г = е2(ж) Л — е2(ж); ж Э у = — е2(ж) V у. ■
Как следствие, между Т" и £4 лежат по меньшей мере два замкнутых класса — класс Т* всех функций, сохраняющих множества {Ч, Г} и {Ч, п, Г}, а также класс Т** всех функций, сохраняющих множества {Ч, Г} и {Ч, Ь, Г}.
Теорема 4. Класс Т" предполон в Т*.
Доказательство.
Достаточно доказать следующее утверждение: если а € Т" и а € Т*, то \Т" и {а}] = Т*.
Пусть а — функция, которая сохраняет множества {Ч, Г} и {Ч, п, Г} и не сохраняет множество {Ч, Ь, Г}, и формула а(ж^..., жп) реализует функцию а. По условию, найдется такой набор (а1,...,ага) € {Ч, Ь, {}п, что а(а1,...,ага) = п. Произведем такую подстановку е в а(ж1,..., жп), что для каждой переменной ж^ (1 ^ г ^ п) имеет место
{-(Л(ж) Л (ж)), если а = ^ ж, если а = Ь;
(ж) Л -71 (ж), если сц = Г.
Формула а(е(ж1),..., е(жп)) реализует функцию а*(ж) от одной переменной, которая отвечает следующим условиям: а*(ж) € {Ч, п, Г}, ж = Ь ^ а* (ж) = п.
Известно, что Т" = [{-, Л, V, 71, 7Ь, 7п, 7{}] [Кагрепко, 2013, §3]. Как следствие, 7ь(ж) Л а*(ж) € [Т" и {а}].
Обозначим 7ь(ж) Л а* (ж) как *ж. Имеет место следующее:
{п, если ж = Ь; { в противном случае.
Теперь покажем, что Т* = [{-, Л, Э, 71, 7Ь, 7п, 7г,*}].
Пусть ф(ж1,..., жп) — произвольная функция, сохраняющая множества {^ {} и {^ п, {}. Пусть а = (а1,..., ап), а € {^ Ь, п, {}п и ф(а) = t.
Определим функцию Ф? для набора а следующим образом: Ф|(ж1,... ,ж„) = 7^ (ж1) Л ... Л 7гп (ж„), где г, = а,. В силу определений Л, 71, 7ь, 7п, 7f,
. , . И, если ж,- = а,- для всех 7 € {1,..., п};
I г в противном случае.
Пусть Т = {(?!,...,(?&} — множество всех таких наборов, что ) = t для всех г € {1,..., к}. Функция Ф^ = Ф^? V ... V Ф? принимает значение t
на каждом наборе значений из T и принимает значение f во всех остальных случаях.
Теперь пусть a = (ai,..., an), a € {t, b, n, f}n и ф(а) = b.
Определим функцию Ф| для набора a следующим образом: Ф|(хь ... , Xn) = ф1(ж1) Л ... Л фп(Xn), где для каждого i € {1,... , n}
( ) = \ Xi Л Jb(x¿), если ai = b;
фг(хг) 1т/ \ r.L ni
U(Xi), если ai € {t, n, f}.
Согласно условию, ф сохраняет {t, n, f}, поэтому значение b встречается в наборе a по меньшей мере один раз. Это означает, в силу определений J-операторов и конъюнкции, что функция Ф| принимает значение b на наборе a и принимает значение f на всех прочих наборах.
Пусть B = {ai,..., afc} — множество всех таких наборов, что ф(^) = b для всех i {1,..., k}. Так как f V b = b, функция Ф^ = Ф^ V ... V Ф^ принимает значение b на каждом наборе значений из B и принимает значение f в любом другом случае.
Теперь пусть a = (a1,..., an), a € {t, b, n, f }n и ф(о?) = n.
Определим функцию ФЩ для набора a следующим образом: ФП(хь ..., Xn) = Ф1 (xi) Л ... Л фП(Хп), где для каждого i € {1,..., n}
{★Xi, если ai = b;
xi Л Jn(xi), если ai = n;
Jai (Xi), если ai € {t, f}.
По условию теоремы, ф сохраняет множества {t, f} и {t, n, f}, однако может и не сохранять множество {t, b, f}. Это означает, что a содержит по меньшей мере одно вхождение n или b. В силу определений J-операторов, конъюнкции и оператора *X, функция ФЩ принимает значение n на наборе a и принимает значение f на всех прочих наборах.
Пусть N = {ai,..., afc} — множество всех таких наборов, что ф(О^) = n для всех i € {1,..., k}. Так как f V n = n, функция Ф^ = Ф^ V ... V ФЩ принимает значение n на каждом наборе значений из N и принимает значение f в любом другом случае.
Так как f V a = a для любого a € {t, b, n, f}, получаем ф = ФТ V ФВ V Ф^. Таким образом, T* С [{V, Л, Jt, Jb, Jn, Jf,★}]. Кроме того, ясно, что [{V, Л, Jt, Jb, Jn, Jf ,★}] С T*, поскольку каждая операция из {V, Л, Jt, Jb, Jn, Jf ,★} сохраняет множества {t, f} и {t, n, f}. ■
Теорема 5. Класс Т* предполон в Ь4.
Доказательство.
Класс Т* — это класс всех функций, которые сохраняют множества {^ Г} и {^ п, Г}. £4 — класс всех функций, которые сохраняют множество {^ Г}. Достаточно обосновать следующее утверждение: если р € Т* и р € ¿4, то -ж € [Т* и{р}].
Пусть р — функция, которая сохраняет множество {^ Г}, но не сохраняет множество {^ п, Г}, и формула р(ж1,...,жп) реализует функцию р. По условию, найдется такой набор (а1,...,ап) € {^ п, Г }п, что р(а1,..., а„) = Ь. Произведем такую подстановку е в р(жь ... ,жп), что для каждой переменной ж^ (1 ^ г ^ п) имеет место
{-(71(ж) Л -71(ж)), если а = ^
ж, если а^ = п;
71(ж) Л -71(ж), если а^ = Г.
Формула р(е(ж1),..., е(жп)) реализует функцию р*(ж) от одной переменной, которая отвечает следующим условиям: р*(ж) € {t, Ь, Г}, ж = п ^ р*(ж) = Ь. Теперь для завершения доказательства достаточно следующего тождества: —ж = (7п(ж) Л р*(ж)) V 71(ж) V *ж. ■
Теорема 6. Класс Т" предполон в Т**.
Доказательство. Аналогично Теореме 4. ■
Теорема 7. Класс Т** предполон в Ь4.
Доказательство. Аналогично Теореме 5. ■
Теорема 8. Если Т" С К С ¿4 и К € {Т*, Т**}, то К = Ь4.
Доказательство.
Пусть Т" С К С ¿4 и К € {Т*,Т**}. Тогда К содержит (необязательно различные) функции а и р, которые отвечают следующим условиям: а сохраняет множество {^ Г}, но не сохраняет множество {^ Ь, Г}; р сохраняет множество {^ Г}, но не сохраняет множество {^ п, Г}.
В этом случае, как вытекает из Теоремы 4, К также содержит такую функцию а* от одной переменной, что а*(ж) € {^ п, Г}, ж = Ь ^ а*(ж) = п. Кроме того, как следует из Теоремы 5, К содержит такую функцию р* от одной переменной, что р*(ж) € {^ Ь, Г}, ж = п ^ р*(ж) = Ь.
В ходе доказательства Теоремы 3 мы установили, что Т" = [{-, Л, Э, Г}]. Из этого вытекает, что [Т" и {—ж}] = ¿4. Таким образом, для завершения доказательства достаточно следующего тождества: —ж = 71(ж) V (7ь(ж) Л а*(ж)) V (7п(ж) Л р*(ж)). ■
В Разделах 1 и 2 мы рассмотрели четыре замкнутых класса: Т", Тг, Т* и Т**. Их объединяет интересная особенность. В статье [Бе, Ошоп, 2015] рассмотрены четыре функции на {^ Ь, п, Г}, являющиеся аналогами классического отрицания (нотация изменена):
t f f f f
b n n f f
n b t b t
f t t t t
Имеют место следующие факты: (1) Tr = [DM4 U {~i}]; (2) T* = [DM4 U {~2}j; (3) T** = [DM4 U {~э}]; (4) T" = [DM4 U {^4}]. Утверждение (1) истинно в силу тождеств x = -—x и — x =~i —x. Утверждение (2) истинно, так как сохраняет множества {t, f} и {t, n, f}, но не сохраняет множество {t, n, f}, и e2(x) =~2~2 x, т. е. T" С [DM4 U{~2}] (см. Теорему 4). Доказательство утверждения (3) аналогично таковому для утверждения (2) с очевидными модификациями, используется Теорема 6 и тот факт, что e2(x) x. Истинность утверждения (4) подтверждают тождества
x = —e2(x) и e2(x) = — x. Таким образом, все четыре рассмотренных нами замкнутых класса порождены расширением DM4 посредством одного из «классических» отрицаний.
3. Наибольший общий подкласс Tr и T"
Этот раздел посвящен наибольшему общему замкнутому подклассу Tr и T". В [Карпенко, 2015, §7] автор рассматривает выразительные возможности тетравалентной модальной логики TML. Набор базовых операций TML имеет вид {Л, V, —, □}, где Dx = Jtx. А.С. Карпенко демонстрирует, что класс функций, порождаемый базовыми операциями этой логики (который мы обозначим как TML), содержится как в Tr, так и в T".
В [Omori, Sano, 2014] строится паранепротиворечивая логика с базовыми операциями {Л, V, —, о}, где ox = Jt(x) V Jt(—x). В [Omori, Sano, 2015] замкнутый класс, порожденный этим набором обозначается как BDo. В то же время, BDo есть TML, так как Jtx = x Л ox. Подобно А.С. Карпенко, Омори и Сано указывают, что BDo С T" и BDo С Tr (T" и Tr обозначаются как BDA и BD— соответственно).
Мы демонстрируем, что ТМХ является не просто общим подклассом Тг и Т", а наибольшим замкнутым классом, обладающим таким свойством (Теорема 9). Кроме того, мы показываем, что ТМХ предполон в Тг (Теорема 10), а также что между ТМХ и Т" лежит в точности один замкнутый класс (Теоремы 12 и 13).
Перед тем как перейти к изложению основных результатов, отметим, что, в отличие от Тг, Т", Т* и Т**, класс ТМХ не содержит классического отрицания. Однако он содержит два отрицания так наз. литеральных пара-логик, т. е. логик, которые отличаются от классической только на уровне литералов — пропозициональных переменных и их итерированных отрицаний. В статье [Томова, 2018] рассматриваются четыре подобных отрицания. Интересующие нас отвечают следующим тождествам: —1ж = —71(ж); —2ж = ж). Поскольку также имеет место (ж) = ——1ж и (ж) = —2—ж, выполняется тождество [{Л, V, —, —1}] = [{Л, V, —, —2}] = ТМХ.
Теорема 9. ТМХ = [{—, Л, V, 71}] есть наибольший общий подкласс Тг и Т".
Доказательство.
Необходимо и достаточно обосновать следующие утверждения:
1. Если /еТг и / е Т", то / е ТМХ.
2. Если / е ТМХ, то / е Тг и / е Т".
Докажем первое утверждение. Если / е Тг, то / {^ Г}-замкнута и самодвойственна относительно —ж (Теорема 1). Если / е Т", то / сохраняет множества {^ Г}, {^ Ь, Г, } и {^ п, Г} (Теорема 3). Таким образом, для доказательства достаточно обосновать, что ТМХ есть класс всех функций, одновременно обладающих следующими свойствами: {^ Г}-замкнутость, {^ Ь, Г, }-замкнутость, {^ п, Г}-замкнутость, самодовойственность относительно —ж.
Определим вспомогательную операцию: жШу = 71(((жЛ—ж) Л^у) V(•жЛ (у Л —у))) Л (•ж Л (у Л —у)). Операция Ш отвечает следующей таблице:
Ш t ь п f
t f f f f
ь f f ь f
п f п f f
f f f f f
Рассмотрим функцию ф, которая одновременно {^ Г}-замкнута, {^ Ь, Г, }-замкнута, {t, п, Г}-замкнута и самодовойственна относительно
—ж. Пусть ф(ж1,..., жп) принимает значение t на наборе а = (а^..., ап). Так как ф(ж1,..., жп) = —ф(—х1,..., — жп), ф(ж1,..., жп) также принимает значение t на наборе —а = (—а1,..., —ап).
Рассмотрим функцию, реализуемую формулой Ф|(ж1,... ,жп):
Ф^жъ..., ж„) = Д(ж4) Л в(ж/) Л 2(жь, жга),
где Д и в определяются так же, как в Теореме 1, а функция 2(жь,жга) описывается приведенной ниже таблицей.
|жь| |ж„| i)
0 0 0
1 0 •(ж1ь)
kb ^ 2 0 •(ж^ Л ... Л ж^)
0 1 •(ж1п )
1 1 • (ж1ь Ш ж1п )
kb ^ 2 1 • ((ж1ь Л ... Л ) Ш ж1„)
0 kn ^ 2 • (ж1п Л ... Л жйп)
1 kn ^ 2 •(ж1ь Ш (ж1п Л ... Л ^))
kb ^ 2 kn ^ 2 • ((ж1ь Л ... Л ж^) ш (ж1„ Л ... Л ж^))
По построению, Ф! принимает значение t на наборах а и —а, а на всех прочих наборах она принимает значение f.
Теперь пусть ф(ж1,..., жп) принимает значение b на наборе а = (ai,..., an). Так как ф(ж1,..., жп) = — ф(—ж1,..., —жп), ф(ж1,..., жп) также принимает значение n на наборе —а = (—а1,..., —an). Поскольку ф сохраняет множества {t, f} и {t, n, f}, a содержит по меньшей мере одно вхождение b.
Рассмотрим функцию, реализуемую формулой Ф||(ж1,... ,жп):
Ф|(жъ ..., ж„) = Д(ж4) Л в(ж/) Л 2(жь, жга),
где А и в определяются так же, как в Теореме 1, а функция 2(жь,жп) описывается приведенной ниже таблицей.
|жь | |Жп| i)
1 0 ж1ь
kb ^ 2 0 ж^ л ... л ж^
1 1 ж1ь Ш ж1п
kb ^ 2 1 (жи Л ... Л ж^) ш ж1„
1 kn ^ 2 ж1ь Ш (ж1п Л ... Л )
kb ^ 2 kn ^ 2 (ж1ь Л ... Л ж^) ш (ж1„ Л ... Л ж^)
Функция Фа принимает значение Ь на наборе а и значение п на наборе —а, а на всех остальных наборах она принимает значение Г.
Как и в доказательстве Теоремы 1, в силу изоморфизма множества В всех наборов, на которых ф принимает значение Ь, и множества N всех наборов, на которых ф принимает значение п, имеем следующее. Функция ФВ = V ... V Ф| принимает значение Ь на каждом наборе значений из В, принимает значение п на каждом наборе значений из N и принимает значение Г во всех остальных случаях.
Так как { V а = а для любого а е {^ Ь, п, {}, получаем ф = Ф^ V Ф^. Таким образом, каждая функция, которая одновременно {^ Г}-замкнута, {^ Ь, Г, }-замкнута, {^ п, Г}-замкнута и самодовойственна относительно —ж, содержится в ТМХ.
Покольку, кроме того, каждая функция из множества {Л, V, —, 71} также обладает всеми из перечисленных выше свойств, ТМХ действительно есть класс всех функций, которые одновременно {^ Г}-замкнуты, {^ Ь, Г, }-замкнуты, {^ п, Г}-замкнуты и самодовойственны относительно —ж. Из этого факта тривиальным образом следует и второе утверждение: если / е ТМХ, то / е Тг и / е Т". ■
Теорема 10. Класс ТМХ предполон в Тг.
Доказательство.
Вспомним, что ТМХ = [{—, Л, V, 71}] (стр. 129) и Тг = [{Л, V, —, —}] (стр. 120). Таким образом, для доказательства теоремы достаточно обосновать следующее утверждение: если ^ е ТМХ и ^ е Тг, то —ж е [ТМЬ иМ].
ТМХ — класс всех функций, одновременно обладающих следующими свойствами: {^ Г}-замкнутость, {^ Ь, Г, }-замкнутость, {^ п, Г}-замкнутость, самодовойственность относительно —ж; Тг — класс всех функций, которые одновременно {^ Г}-замкнуты и самодвойственны относительно —ж. Пусть ^ — произвольная {^ Г}-замкнутая функция, само-довойственная относительно —ж, которая не сохраняет множество {^ Ь, Г, } или {^ п, {, }, и формула ^(ж1,..., жп) реализует функцию
Допустим, найдется такой набор (а1,...,ап) е {t, Ь, {}п, что ^>(аь..., а„) = п. Произведем такую подстановку е в ^>(жь ... ,жп), что для каждой переменной ж^ (1 ^ % ^ п) имеет место
{—(71(ж) Л —71(ж)), если а = ^
ж, если а = Ь;
71(ж) Л —71(ж), если а = Г.
Формула ^>(e(xi),..., e(xn)) реализует функцию от одной переменной, которая {t, f }-замкнута, самодовойственна относительно — x и не сохраняет множество {t, b, f, }. То есть <^*(b) = n. В то же время, в силу самодвойственности, <^*(b) = —(—b) = — <^*(n). Таким образом, ^>*(n) = b. Однако тогда выполняется следующее тождество: —x = (<^*(x) Л —Jt(x) Л -Jt(-x)) V Jt(x).
Теперь допустим, что найдется такой набор (а1,..., ага) G {t, n, f }n, для которого <^(ai,..., ага) = b. Чтобы провести построение, аналогичное только что рассмотренному случаю, достаточно очевидной модификации определения подстановки е: e(x¿) = x, если a = n. ■
Итак, мы установили, что TML предполон в Tr. Теперь установим отношения между TML и T". Для этого используем понятие сохранения матрицы функцией. Подробнее о этом можно прочитать в [Марченков, 2004, §1.6].
Определение 7 (Сохранение матрицы функцией). Пусть дана матрица2
(aii ... й1Р\
.........I , где ak1 G A для всех k G {1,..., m}, l G
am1 . . . amp/
{1,... , p}, и f(xi,..., xn) — функция на A от n переменных. Обозначим как
(a1íx ... aHn \
.........I , где ij G {1,... ,p} для всех j G {1,...,n}.
amii . . . am¿n/
Говорим, что функция f (xi,... ,xn) сохраняет матрицу M, если для /ai¿i ... ан\ íf (aiii ... aUn )\ всех Mn имеет место f I.........I = I ... I G M.
\amíi . . . am¿n/ \f (am¿i . . . amin)/
Теперь рассмотрим операцию ©, которая отвечает следующей таблице:
® t b n f
t f f f f
b f f t f
n f f f f
f f f f f
Эта операция не самодвойственна относительно —ж, так как Ь © п = ^ однако п © Ь = t. В то же время все операции из набора {V, Л, ©} сохраняют матрицу &, где
2Как это обычно делается при исследовании замкнутых классов функций, матрица используется в качестве более удобного обозначения множества упорядоченных наборов (см. [Марченков, 2004, §1.6]).
в=(ь гг
уь г г
Приведенные ниже теоремы демонстрируют, что ТМХ' = [{V, Л, —, ©}] является единственным замкнутым классом между ТМХ и Т".
Теорема 11. ТМХ' = [{V, Л, —, ©}] — класс всех функций, которые содержатся в Т" и сохраняют матрицу в.
Доказательство. Если f G T", то f сохраняет множества {t, f}, {t, b, f, } и {t, n, f} (Теорема 3). Пусть ф — произвольная функция, не самодовой-ственная относительно —ж, которая сохраняет множества {t, f}, {t, b, f, } и {t, n, f, }, а также сохраняет матрицу S.
Пусть ф(ж1,..., жп) принимает значение t на наборе а = (ai,..., an). Поскольку ф сохраняет матрицу S, ф(ж1,..., жп) также принимает значение t на наборе —a = (—ai,..., —an).
Рассмотрим функцию, реализуемую формулой Ф|(ж1,... , жп):
Ф|(жь..., ж„) = Д(ж4) Л в(ж/) Л 2(жь, ж„),
где Д(ж4) и в(ж/) определяются так же, как в Теореме 1, а 2(жь,жп) описывается приведенной ниже таблицей.
|жь| |ж„| tu i)
0 0 0
1 0 •(ж1ь)
kb ^ 2 0 • (ж1ь Л ... Л ж^)
0 1 •(ж1п)
1 1 ж1ь ® ж1„
kb ^ 2 1 (ж1ь Л ... Л ж^) ® ж1„
0 kn ^ 2 • (ж1п Л ... Л )
1 kn ^ 2 ж1ь ® (ж1п Л ... Л ж*п)
kb ^ 2 kn ^ 2 (ж1ь Л ... Л ^) ® (ж1„ Л ... Л ж*п)
Если один из наборов жь, жп является пустым, а второй непуст, то формула Ф*а принимает значение г на наборах а и —а, а на всех остальных наборах она принимает значение Г. Если же наборы жь, жп одновременно пусты или одновременно непусты, то формула Ф1 принимает значение г на одном лишь наборе а и значение Г на всех остальных наборах.
Пусть Т = {а1,..., } — множество всех таких наборов, что ф(а!) = г для всех г € {1,...,к}. Поскольку ф сохраняет матрицу в, имеет место следующее: ф(а) = г ^ ф(—а) = г для всех а € {г, Ь, Г}п и {г, ь, Г}п.
Функция ФТ = Ф^ V ... V Ф| принимает значение t на каждом наборе значений из Т и принимает значение £ во всех остальных случаях.
Теперь пусть а = (а^ ..., ап), а € {Ч, Ь, п, £}п и ф(а) = Ь. Поскольку ф сохраняет множество {t, п, £}, а содержит по меньшей мере одно вхождение Ь.
Определим функцию Ф| для набора а следующим образом: Ф|(хь ..., Жп) = А(Ж4) Л в(Ж/) Л 2(ЖЬ, Хп),
где А(Ж^) и в(Х/) определяются так же, как и выше, а 2(Жь,Жп) описывается приведенной ниже таблицей.
|ЖЬ| |Жп|
1 0 Ж1ь
кь ^ 2 0 Жц Л ... Л Ж^
1 1 Ж1ь Л (ж1Ь ® Ж1п )
кь ^ 2 1 (Ж1Ь Л ... Л Ж^) Л (Ж1Ь ® Ж1„)
1 кп ^ 2 Ж1Ь Л (Ж1Ь ® Ж1„ Л ... Л Ж1Ь ® жйп)
кь ^ 2 кп ^ 2 (Ж1ь Л ... Л Ж^) Л (Ж1ь ® Ж1„ Л ... Л Ж1ь ® ж^)
Если |жп| = 0, то формула Ф| принимает значение Ь на наборе а и значение п на наборе -а, а на всех остальных наборах она принимает значение £. Если |жп| = 0, то формула Ф| принимает значение Ь на одном лишь наборе а и значение £ на всех остальных наборах.
Пусть В = {а1,..., } — множество всех таких наборов, что ф(а^) = Ь для всех г € {1,..., к}, а N = {а1,..., а^} — множество всех таких наборов, что ф(а^) = п для всех г € {1,..., к}. Функция Ф^ = Ф|х V ... V Ф| принимает значение Ь на каждом наборе значений из В, принимает значение п на каждом таком наборе а' из N, что а' € {t, п, £}п, и принимает значение £ во всех остальных случаях.
Наконец, пусть а = (а1,...,ап), а € {^ Ь, п, £ }п и ф(а) = п. Поскольку ф сохраняет множество {^ Ь, £}п, а содержит по меньшей мере одно вхождение п.
Определим функцию ФП для набора а следующим образом: Ф(П(ж1 ,..., Жп) = А(Ж4) Л в(Ж/) Л 2(жь,Жп),
где А(Ж^) и в(Ж/) определяются так же, как и выше, а 2(Жь,Жп) описывается приведенной ниже таблицей.
|жь| |жп | ^(жЬ, жп)
0 1 ж1п
1 1 (ж1Ь ® ж1„ ) Л ж1„
кь > 2 1 ((ж1ь ® ж1п ) Л ... Л (жкЬ ® ж1„ )) Л ж1„
0 кп ^ 2 ж-1 л...лжк
1 кп ^ 2 (ж1ь ® ж1п ) Л (ж1„ Л ... Л жкп )
кь > 2 кп ^ 2 ((жи ® ж1п) Л ... Л (жйь ® ж1п)) Л (жи Л ... Л жкп)
Если |Хь| = 0, то формула ФП принимает значение п на наборе а и значение Ь на наборе —а, а на всех остальных наборах она принимает значение Г. Если |Хь| = 0, то формула ФП принимает значение п на одном лишь наборе а и значение Г на всех остальных наборах.
Функция Ф^ = Ф* V ... V Ф* принимает значение п на каждом наборе значений из N, принимает значение Ь на каждом таком наборе а' из В, что а' € {Ч, Ь, Г}*, и принимает значение Г во всех остальных случаях.
Так как { V а = а для всех а € {Ч, Ь, п, {}, получаем ф = Ф^ V Ф^ V Ф^.
■
Теорема 12. Класс ТМХ предполон в ТЫЬ'.
Доказательство. Вспомним, что ТМХ = [{—, Л, V, Л}] (стр. 129) и ТМХ' = [{—, Л, V, л, ©}] (стр. 134). Таким образом, для доказательства теоремы достаточно обосновать следующее утверждение: если р € ТМХ и р € ТМХ', то ® € [Тг и {р}].
ТМХ — класс всех функций, одновременно обладающих следующими свойствами: {^ Г}-замкнутость, {t, Ь, Г, }-замкнутость, {^ п, Г}-замкнутость, самодовойственность относительно — ж; ТМХ' — класс всех функций, которые одновременно {^ Г}-замкнуты, {t, Ь, Г, }-замкнуты, {t, п, Г}-замкнуты, а также сохраняют матрицу 6.
Пусть р — произвольная {^ Г}-замкнутая, {t, Ь, Г, }-замкнутая, {t, п, Г}-замкнутая функция, не самодовойственная относительно —ж и сохраняющая матрицу 6, которую реализует формула р(ж1,..., жп). По условию, найдется такой набор (а1,...,ап) € {^ Ь, п, {}*, что р(а1,...,ап) = —р(—а1,..., —ап). Произведем такую подстановку е в р(ж1,..., ж*), что для каждой переменной ж^ (1 ^ г ^ п) имеет место
{—(^(ж) Л — ^(ж)), если а^ = t; ж, если а^ = Ь; у, если = п; Л (ж) Л — Jt(ж), если а^ = Г.
Формула р(е(ж1),..., е(жп)) реализует функцию р* от двух переменных, которая {^ Г}-замкнута, {t, Ь, Г, }-замкнута, {t, п, Г}-замкнута, не самодо-войственна относительно —ж и сохраняет матрицу 6.
Обратим внимание, что Ш € ТМХ (см. стр. 130). Пусть (ж,у) = (^>*(ж, у) Л •(ж Ш у)). Тогда имеет место следующее:
Теперь разберем случаи.
1. ^*(Ь, п) = ^ -<р*(п, Ь) = ^
(a) -<р*(п, Ь) = Ь, <р*(п, Ь) = п; ж ® у = Л(^>ш(ж, у)).
(b) -р*(п, Ь) = п, р*(п, Ь) = Ь; ж ® у = Л(^ш(ж, у)).
(c) -р*(п, Ь) = £, ^*(п, Ь) = £; ж ® у = Л(^ш(ж, у)).
2. р*(Ь, п) = Ь, -р*(п, Ь) = Ь.
(a) -р*(п, Ь) = t, <^*(п, Ь) = t; ж ® у = Л(рШ(у, ж)).
(b) -р*(п, Ь) = п, <р*(п, Ь) = Ь; ж ® у = (^ш(ж, у) Л (ж Ш у)).
(c) -р*(п, Ь) = £, р*(п, Ь) = £; ж ® у = ^(^Ш(у, ж)).
3. ^*(Ь, п) = п, —<£*(п, Ь) = п.
(a) -р*(п, Ь) = t, <^*(п, Ь) = ^ ж ® у = Л(рШ(у, ж)).
(b) -р*(п, Ь) = Ь, р*(п, Ь) = п; ж ® у = Л(^ш(ж, у) V (ж Ш у)).
(c) -р*(п, Ь) = £, <^*(п, Ь) = £; ж ® у = ^ (^Ш(у, ж)).
4. <^*(Ь, п) = £, -р*(п, Ь) = £.
(a) -р*(п, Ь) = ^ <^*(п, Ь) = ^ ж ® у = ^(^Ш(у, ж)).
(b) -<£*(п, Ь) = Ь, <£*(п, Ь) = п; ж ® у = ^(^Ш(у,ж)).
(c) -<£*(п, Ь) = п, <^*(п, Ь) = Ь; ж ® у = ^(^Ш(у,ж)).
Теорема доказана. ■
Теорема 13. Класс ТМХ' предполон в Т''.
Доказательство. Вспомним, что ТМХ' = [{—, Л, V,Jt, ®}] (стр. 134) и Т'' = [{—, Л, V, Л, 7ь, ^п, ^}] (см. Теорему 4). Кроме того, выполняются следующие тождества: £ь(ж) = —(Л(ж) V £п(ж) V ^(ж)); £п(ж) = —(Jt(ж) V 7ь(ж) V ^(ж)). Таким образом, для доказательства теоремы достаточно обосновать следующее утверждение: если ^ € ТМХ' и ^ € Т'', то
<р*(ж,у), если (ж, у) € {(Ь, п), (п, Ь)}; £ в противном случае.
{Л,^п}П [Тг и{^}] = 0.
Класс ТМХ' — это класс всех функций, которые одновременно {^ Г}-замкнуты, {^ Ь, Г, }-замкнуты, {^ п, Г}-замкнуты, а также сохраняют матрицу 6; Т'' есть класс всех функций, которые одновременно {^ Г}-замкнуты, {^ Ь, Г, }-замкнуты и {t, п, Г}-замкнуты.
Пусть р — произвольная {^ Г}-замкнутая, {t, Ь, Г, }-замкнутая и {^ п, Г}-замкнутая функция, не сохраняющая матрицу 6, которую реализует формула р(ж1,..., жп). По условию, найдутся такие наборы
(ац,... ,аы) и (а21,..., а2га), что р ( а11 ... а1га] € ( Г Л, однако ' \а21 ... а2га/ \п Г ty
ак\ /Ь Г Л
€ „ . для всех г € {1,..., п}. а2^ \п { tJ
Произведем такую подстановку е в р(ж1,..., жп), что для каждой переменной ж^ (1 ^ г ^ п) имеет место
{—(Л(ж) Л —Л(ж)), если ак = а2г = ^ ж, если а1г = Ь, а2^ = п; ^ (ж) Л — Л (ж), если а1г = а2^ = Г.
Формула р(е(ж1),..., е(жп)) реализует функцию р* от одной переменной, которая {^ Г}-замкнута, {^ Ь, Г, }-замкнута, {t, п, Г}-замкнута и не сохраняет матрицу 6. Поскольку р* {^ Ь, Г, }-замкнута и {^ п, Г}-замкнута, р*(Ь) € {t, Ь, {} и р*(п) € {t, п, {}.
Теперь разберем случаи.
1. р*(Ь) = ^ р*(п) = ^
(a) р*(Ь) = ^ р*(п) = п; 7п(ж) = —(Л(р*(ж)) V Jt(ж) V ^(ж)).
(b) р*(Ь) = ^ р*(п) = {; 7п(ж) = —(р*(ж) V Jt(ж) V ^(ж)).
2. р*(Ь) = Ь; р*(п) = п;
(a) р*(Ь) = Ь; р*(п) = t; 7ь(ж) = —(Jt(р*(ж)) V Jt(ж) V ^(ж)).
(b) р*(Ь) = Ь; р*(п) = {; Л (ж) = — (^ (р* (ж)) V Л (ж) V ^ (ж)).
3. р*(Ь) = {; р*(п) = {;
(a) р*(Ь) = Г; р*(п) = п; 7п(ж) = —(Jf(р*(ж)) V Jt(ж) V ^(ж)).
(b) р*(Ь) = {; р*(п) = t; 7ь(ж) = — (р*(ж) V Л(ж) V Jf(ж)).
Теорема доказана. ■
Поскольку в доказательстве Теоремы 13 не используется тот факт, что {®} € ТМХ, имеем также следующее.
Следствие 1. Если [ТМХ и{/}] С Т'' и [ТМЬ и{/}] £ ТМХ', то [ТМЬ и {/}]= Т''.
Таким образом, ТМХ' — единственный класс, являющийся собственным надклассом ТМХ и собственным подклассом Т''.
Теорема 14. Если ТМХ С К С £4 и К € {Т*,Т**,Тг}, то К = £4.
Доказательство.
Пусть р1 — произвольная функция, которая {t, Г}-замкнута и не {^ п, Г, }-замкнута, т. е. р1 € Т*; р2 — произвольная функция, которая {^ Г}-замкнута и не {^ Ь, Г, }-замкнута, т. е. р2 € Т**; рз — произвольная функция, которая {^ Г}-замкнута и не самодвойственна относительно -ж, т. е. р3 € Тг.
Существует такой набор (а1,..., ап) € {^ п, Г}га, что р1(а1,..., ап) = Ь. Произведем такую подстановку е в р(ж1,..., жп), что для каждой переменной ж^ (1 ^ г ^ п) имеет место
Формула р1(е(ж1),..., е(жп)) реализует функцию рЦ от одной переменной, которая {^ Г}-замкнута и не {^ п, Г}-замкнута. Поскольку р* {^ Г}-замкнута, р*^) € {t, Г}, р*(Г) € {t, Г}. Поскольку рЦ в то же время не сохраняет множество {^ п, Г}, р*(п) = Ь.
Допустим, что р * самодвойственна относительно -ж. Тогда р *(Ь) = п. В этом случае имеет место следующее тождество: —ж = р *(ж) V Л (ж) Л —^(ж). Вспомним, что Тг = [{Л, V, —, —}] (стр. 120). Это означает, что Тг С [ТМХ и {р 1}]. В силу Теоремы 2, [ТМХ и {р 1, рз}] = £4.
Теперь допустим, что рЦ не самодвойственна относительно —ж. Тогда р1(Ь) € {^ Г}. В этом случае имеет место равенство £п(ж) = •рЦ(ж). Вспомним, что Т'' = [{—, Л, V, Л, 7ь, 7п, ^}] (см. Теорему 4) и Л € ТМХ (стр. 129). Кроме того, ^ = Л(—ж) и £ь(ж) = — (Л (ж) V £п(ж) V ^(ж)). Таким образом, Т'' С [ТМЬ и {р1}]. В силу Теоремы 8, [ТМХ и {р1, р2}] = ¿4. ■
Эта теорема показывает, что ТМХ включается в ровно три предполных класса Ь4 — Т*, Т** и Тг.
Заключение
Мы рассмотрели отношения между несколькими замкнутыми классами функций четырехзначной логики. Приведенная ниже таблица содержит сжатое резюме полученных результатов.
Свойства Ь 4 Т* Т** Тг Т ^ ТМЬ' ТМЬ
f }-замкнутость + + + + + + +
п, f }-замкнутость - + - - + + +
{t, Ь, f }-замкнутость - - + - + + +
Самодвойственность - - - + - - +
Сохранение матрицы & - - - - - + +
Предполнота в Ь4 - + + + - - -
Предполнота в Т* - - - - + - -
Предполнота в Т** - - - - + - -
Предполнота в Тг - - - - - - +
Предполнота в Т" - - - - - + -
Предполнота в ТМЬ' - - - - - - +
Эти результаты демонстрируют, что между ТМ£ и £4 лежит в точности пять замкнутых классов, которые можно упорядочить по отношению вложимости, как это отражено на рис. 1.
Ь 4
Рис. 1
Данный результат дает нам простой алгоритм, который позволяет установить выразительные возможности языка любой четырехзначной логики, если она является языковым расширением ТМЬ, и все ее операции {Ч, £}-замкнуты. Добавим к системе операций {—, Л, V, £1} произвольную {Ч, £}-замкнутую функцию д, определенную на {^ Ь, п, £}. Тогда [{-, Л, V, Л,д}] е {ТМ£,ТМ£',Тг,Т", Т*, Т**, £4}. Чтобы установить, с каким именно из перечисленных семи классов совпадает [{—, Л, V, Л,д}], достаточно проверить д на обладание следующими свойствами: {^ £}-замкнутость, {^ п, £}-замкнутость, {^ Ь, £}-замкнутость, самодвойственность относительно —ж, сохранение матрицы 6.
Литература
Карпенко, 2015 - Карпенко А. С. Решетки четырехзначных модальных логик // Логические исследования. 2015. Т. 21. № 1. С. 122-137.
Марченков, 2004 - Марченков С. С. Функциональные системы с операцией суперпозиции. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 104 с.
Томова, 2018 - Томова Н.Е. О четырехзначных паранормальных логиках // Логические исследования. 2018. Т. 24. № 2. С. 137-143.
Avron, 1999 - Avron A. On the expressive power of three-valued and four-valued languages // Journal of Logic and Computation. 1999. Vol. 9. No. 6. P. 977-994.
Arieli, Avron, 1998 - Arieli O, Avron A. The value of the four values // Artificial Intelligence. 1998. Vol. 102. No. 1. P. 97-141.
Arieli, Avron, 2017- Arieli O, Avron A. Four-valued paradefinite logics // Studia Logica. 2017. Vol. 105. No. 6. P. 1087-1122.
Belnap, 1977- Belnap N. A useful four-valued logic // Modern Uses of Multiple-Valued Logic / Ed. by J.M. Dunn, G. Epstein. D. Reidel Publishing Co., 1977. P. 8-37.
De, Omori, 2015 - De M., Omori H. Classical Negation and Expansions of Belnap-Dunn Logic // Studia Logica. 2015. Vol. 103. No. 5. P. 825-851.
Karpenko, 2013- Karpenko A.S. Von Wright's truth-logic and around // Logical Investigations. 2013. Vol. 19. P. 39-50.
Karpenko, 2017- Karpenko A.S. Four-valued logics BD and DM4: Expansions // Bulletin of the Section of Logic. 2017. Vol. 46. No. 1-2. P. 33-45.
Omori, Sano, 2014 - Omori H., Sano K. da Costa meets Belnap and Nelson // Recent Trends in Philosophical Logic / Ed. by R. Ciuni, H. Wansing, C. Willkommen. Springer, 2014. P. 145-166.
Omori, Sano, 2015 - Omori H., Sano K. Generalizing functional completeness in Belnap-Dunn logic // Studia Logica. 2015. Vol. 103. No. 5. P. 883-917.
Omori, Wansing, 2017 - Omori H., Wansing H. 40 years of FDE: an introductory overview // Studia Logica. 2017. Vol. 105. No. 6. P. 1021-1049.
Petrukhin, Shangin, 2019- Petrukhin Ya.I., Shangin V.O. Correspondence analysis and automated proof-searching for first degree entailment // European Journal of Mathematics. 2019. P. 1-44.
Shramko et al., 2017- Shramko Y, Zaitsev D., Belikov A. First-Degree Entailment and its Relatives // Studia Logica. 2017). Vol. 105. P. 1291-1317.
Shramko et al., 2019 - Shramko Y, Zaitsev D, Belikov A. The FMLA-FMLA Axiomatizations of the Exactly True and Non-falsity Logics and Some of Their Cousins // Journal of Philosophical Logic. 2019. Vol. 48. P. 787-808.
Leonid Yu. Deyyatkin
On the expressive power of certain expansions of Belnap's four-valued logic
Leonid Yu. Devyatkin
Institute of Philosophy, Russian Academy of Sciences, 12/1 Goncharnaya Str., Moscow, 109240, Russian Federation. E-mail: [email protected]
Abstract: The paper is devoted to closed classes of functions of four-valued logic. We present the following results:
(1) The basic operations (i.e. the algebraic functions used to interpret the corresponding connectives) of the logic obtained by expanding the four-valued De Morgan algebra by the conflation operator generate the closed class of all functions that simultaneously preserve the classical truth values and are self-dual with respect to conflation. This class is precomplete in the class of all functions that preserve the classical truth values.
(2) There are exactly two closed classes between the closed class generated by the basic operations of von Wright's truth logic and the class of all functions that preserve the classical truth values. Each of them is a class of all functions that simultaneously preserve the classical truth values and one of the three-element supersets of the set of the classical truth values.
(3) The basic operations of TML, the tetravalent modal logic obtained by expanding the four-valued De Morgan algebra by the necessity operator, generate the closed class of all functions that simultaneously preserve the classical truth values, are self-dual with respect to conflation, and also preserve both three-element supersets of the set of the classical truth values. We show that this class is precomplete in the class of all functions that simultaneously preserve the classical truth values and are self-dual with respect to conflation. In addition, we demonstrate that between this class and the closed class generated by the operations of von Wright's truth logic, there is exactly one closed class.
By virtue of those results, we obtain a seven-element lattice consisting of all possible four-valued expansions of TML that preserve classical truth values.
Keywords: De Morgan algebra, Belnap's four-valued logic, von Wright's truth logic, truth logic Tr, tetravalent modal logic, closed classes of functions
For citation: Devyatkin L.Yu. "O vyrazitel'nykh vozmozhnostyakh otdel'nykh rasshirenii chetyrekhznachnoi logiki Belnapa" [On the expressive power of certain expansions of Belnap's four-valued logic], Logicheskie Issledovaniya / LogicalInvestigations, 2020, Vol. 26, No. 2, pp. 116-143. DOI: 10.21146/2074-1472-2020-26-2-116-143 (In Russian)
References
Карпенко, 2015 - Karpenko, A.S. "Reshetki chetyrekhznachnykh modal'nykh logik" [Lattices of four-valued modal logics], Logical Investigations, 2015, Vol. 21, No. 1, pp.122-137.
Марченков, 2004 - Marchenkov, S.S. Funktsional'nye sistemy s operatsiei superpoz-itsii [Functional systems with superposition operation], M., 2004. 104 p.
Томова, 2018 - Tomova, N.E. "O chetyrekhznachnykh paranormal'nykh logikakh" [On four-valued paranormal logics], Logical Investigations, 2018, Vol. 24, No. 2, pp. 137-143.
Avron, 1999 - Avron, A. "On the expressive power of three-valued and four-valued languages", Journal of Logic and Computation, 1999, Vol. 9, No. 6, pp. 977-994.
Arieli, Avron, 1998 - Arieli, O., Avron, A. "The value of the four values", Artificial Intelligence, 1998, Vol. 102, No. 1, pp. 97-141.
Arieli, Avron, 2017 - Arieli, O., Avron, A. "Four-valued paradefinite logics", Studia Logica, 2017, Vol. 105, No. 6, pp. 1087-1122.
Belnap, 1977 - Belnap, N. "A useful four-valued logic", Modern Uses of Multiple-Valued Logic, ed. by J.M. Dunn, G. Epstein. D. Reidel Publishing Co., 1977, pp. 8-37.
De, Omori, 2015 - De, M., Omori, H., "Classical Negation and Expansions of Belnap-Dunn Logic", Studia Logica, 2015, Vol. 103, No. 5, pp. 825-851.
Karpenko, 2013 - Karpenko, A.S., "Von Wright's truth-logic and around", Logical Investigations, 2013, Vol. 19, pp. 39-50.
Karpenko, 2017- Karpenko, A.S., "Four-valued logics BD and DM4: Expansions", Bulletin of the Section of Logic, 2017, Vol. 46, No. 1-2, pp. 33-45.
Omori, Sano, 2014 - Omori, H., Sano, K. "da Costa meets Belnap and Nelson", Recent Trends in Philosophical Logic, ed. by R. Ciuni, H. Wansing, C. Willkommen. Springer, 2014. pp. 145-166.
Omori, Sano, 2015 - Omori, H., Sano, K. "Generalizing functional completeness in Belnap-Dunn logic", Studia Logica, 2015, Vol. 103, No. 5, pp. 883-917.
Omori, Wansing, 2017 - Omori, H., Wansing, H. "40 years of FDE: an introductory overview", Studia Logica, 2017, Vol. 105, No. 6, pp. 1021-1049.
Petrukhin, Shangin, 2019 - Petrukhin, Ya.I., Shangin, V.O. "Correspondence analysis and automated proof-searching for first degree entailment", European Journal of Mathematics, 2019, pp. 1-44.
Shramko et al., 2017 - Shramko, Y., Zaitsev, D., Belikov, A. "First-Degree Entailment and its Relatives", Studia Logica, 2017, Vol. 105, pp. 1291-1317.
Shramko et al., 2019 - Shramko, Y., Zaitsev, D., Belikov, A. "The FMLA-FMLA Ax-iomatizations of the Exactly True and Non-falsity Logics and Some of Their Cousins", Journal of Philosophical Logic, 2019, Vol. 48, pp. 787-808.
