О выходных сигналах гироскопа направления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.383

О ВЫХОДНЫХ СИГНАЛАХ ГИРОСКОПА НАПРАВЛЕНИЯ

Е.С. Козлова, С.В. Рогов

Рассматривается гироскоп направления, установленный на управляемый артиллерийский снаряд. Получены зависимости, определяющие выходные сигналы такого гироприбора, используемые в системе управления объектом.

Ключевые слова: гироскоп направления, управляемый артиллерийский снаряд, системы координат, выходные сигналы датчиков угла.

Гироскоп направления (ГН) устанавливается на управляемых артиллерийских снарядах (УАС) для получения информации об ориентации УАС на баллистической траектории и поддержании ее пологости. ГН представляет собой трехстепенной астатический гироскоп с внутренним кардановом подвесом, на осях рамок которого размещаются датчики угла рыскания и тангажа [1]. Выходные сигналы этих датчиков зависят от многих факторов, основными из которых являются собственный дрейф (или погрешность) гироскопа и кардановая погрешность, определяемая геометрией карданова подвеса.

Следовательно, возникает задача определения выходных сигналов датчиков угла, зависящих от углов пространственной ориентации УАС и углов, характеризующих точность выдачи гироскопом опорной системы координат.

Для ее решения рассмотрим следующие системы координат (рис.1).

Определим положение главной оси гироскопа Ox вначале с помощью углов e, d, характеризующих погрешность прибора, а затем с помощью углов a ,b, У, ^и g.

В первом случае соответствующие направляющие косинусы равны cos( xX) = -e; cos( xh) = 1; cos( x^) = d. (1)

Во втором случае воспользуемся формулами А.Ю. Ишлинского [2], которые применительно к рассматриваемому случаю запишутся в виде

C0s(yxX) = C0s(xxo)cos(xqX) + C0s(xyo) cos(xqX) + cos(xzq)cos(x0X);

cos( xh) = cos( xxo)cos( xoh) + cos( xyo)cos( yoh) + cos( xzo)cos( Zoh); (2) cos(x^) = cos(xxo)cos(xo^) + cos(xyo)cos(yo^) + cos(xzo)cos(zo^).

Первые сомножители в этих зависимостях определяют положение главной оси гироскопа относительно связанной системы координат (рисунок 1):

cos(xxo) = œsacosp; cos(xyo) = sinb; cos(xzo) = -sinacosb. (3)

Вторые сомножители определяют положение связанной системы координат относительно базовой и приведены в таблице [3].

124

Система координат гироскопа направления: вХлС - базовая система координат; Ох0у0г0- связанная система координат, определена в базовой системе с помощью углов рысканья у, тангажа д и крена у (ось Охо - продольная ось ЛА); Охуг- оси Резаля,

положение которых в связанной системе характеризуется кардановыми углами а ,Ь , а в базовой системе - углами £,д, которые

определяют динамическую погрешность прибора и являются малыми

Положение связанной системы координат

Ось оХ оц оС

ох0 ац = - cos Jsiny 012 = cos Jcosy 013 = sin J

°Уо 021 = singcosy + cos gsin Jsiny 022 = sin gsin y- cos gsin Jcosy 023 = cos g cos J

oz0 031 = cosgcosy-singsin Jsiny 032 = cos g sin y + sin g sin J cos y 033 =-sin gcos J

С учетом формул (1) - (3) и данных таблицы получается следующая система алгебраических уравнений:

- xü1 1 + >021 + za31 = ~£;

xa12 + >022 + za32 =1; (4)

013 + > sin в ■ za23 + 033 = 5, где переменные х, >, z определяют направляющие косинусы (3).

Для нахождения решений этой системы уравнений воспользуемся формулой Крамера[4]:

где А х, А у и А2 - присоединенные определители, а А - характеристический определитель системы уравнений (4).

125

В работе [5] показано, что характеристический определитель

-aii a21 a31

D = ai2 a22 a32 =1

ai3 a23 -a33

при любом расположении трехстепенного гироскопа на объекте.

Поэтому решения уравнений (4) определяются только присоединенными определителями:

-e a21 a31 - an -e a31 - an a21 -e

D x = 1 a22 a32 ;D, = a12 1 a32 ; d , = a12 a22 1 . (5)

5 a23 - a33 a13 5 -a33 a13 a23 5

После их преобразований с учетом обозначений (3) и данных таб лицы решение системы уравнений (4) получим в следующем виде: cosa cos p = -e cos Jsin y + cos Jcos y+ 5sin J;

sin p = e(sin gcos y + sin Jcos gsin y) +

+ (sin y sin g-sin J cos g cos y) + 5 cos Jcos g;

sin a cos p = e(cos gcos y - sin Jsin gsin y) +

+ (sin y cos g+ sin Jsin g cos y) - 5 cos Jsin g. Отсюда имеем:

p = arcsin[e(sin g cosy+sin Jcos g sin y) +

+ (sin y sin g- sin Jcos g cosy) + 5 cos Jcos g]; e(cos g cos y-sin Jsin g sin y)+ +(sin y cos g+sin Jsin g cos y)-5 cos J sin g

(6)

a = arctg

-e cos J sin y+cos J cos y+5 sin J

При оценке полученных формул необходимо учесть следующие особенности работы ГН на УАС:

1. Вращающийся с угловой скоростью g УАС представляет собой гироскоп, продольная ось которого совершает прецессионное конусообразное движение, характеризуемое гармоническими функциями вида y = y0 sin Wt, J = JH + y0 cos Wt (для осесимметричного УАС амплитуда колебаний по обеим осям одинакова и не превышает 2°...3°; JH - наклон траектории УАС).

2. ГН установлен на УАС таким образом, что оси карданова подвеса совпадают с осями соответствующих рулей, т.е. измерение углов рыскания и тангажа происходит во вращающейся системе координат (g = 0).

Поэтому формулы (6) можно преобразовать к следующему виду р = arcsin(-sin J + 5cos J) = arcsin[sin(5 - J); p = (5 - J);

r e cos y+sin y , a = arctg[-----] = (7)

-e cos J sin y+cos J cos y+5 sin J

= arctg{ sfy+)e)5 , ^ }.

cos Jcos(y+e)+5 sin J;(

Полученные решения справедливы при размещении ГН на УАС таким образом, когда ось наружной рамки карданова подвеса совпадает с осью руля направления. Если ось наружной рамки совместить с осью руля высоты, то аналогичный анализ дает следующие формулы для выходных сигналов ГН:

р. = arcsin[5(cos g cos y - sin Jsin g sin y) -- (sin y cos g+ sin Jsin g cos y) + e cos Jsin g.]; -5(sin gcos y+sin J cos gsin y)+ +(sin y sin g-sin J cos g cos y)+e cos J cos g 5 cos J sin y+cos J cos y+e sin J

a = arctg

Отсюда после преобразований получим -p. = arcsin[sin 5- sin y.];

P»5-y;

r -sin J+e cos J , (8)

a = arctg[-] = W

5 cos J sin y+cos J cos y+e sin J

rsin(e-J), = arctg[—---]; a = (e-J).

cos(e-J

Из сравнения формул (7) и (8) следует, что второй вариант расположения ГН на УАС предпочтительнее. Однако истинные значения тангажа и рыскания можно получить только с помощью «идеального» гироскопа (e = 5 = 0).

Список литературы

1. Распопов В.Я. Гироприборы и системы управляемых ракет ближней тактической зоны: монография. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. 248 с.

2. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976. 670 с.

3. Гироскопические системы. Проектирование гироскопических систем. Ч.1. Системы ориентации и навигации/под ред. проф. Д.С. Пельпора. М.: Высшая школа, 1977, 216 с.

4. Г. Корн. Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968, 720 с.

5.Козлова Е.С. Погрешность гиродатчиков угла, порождаемая геометрией карданова подвеса / Е.С. Козлова, С.В. Рогов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2017. Вып. 9. Ч. 2. С. 51 - 59.

Козлова Елена Сергеевна, канд. техн. наук, доцент, Giroscopia@yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Рогов Сергей Васильевич, канд. техн. наук, доцент, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

OUTPUT SIGNALS OF THE DIRECTIONAL GYROSCOPE E.S. Kozlova, S.V. Rogov

It is considered the directional gyroscope which is set on the controlled shell. There were obtained dependences, that determine output signals of angle sensors of such g,ro-device used in object management s,stem.

Ke, words: directional g,roscope, controlled shell, coordinate s,stems, output signals of angle sensors.

Kozlova Elena Sergeevna, candidate of technical sciences, docent, Girosco-pia@yandex. ru. Russia, Tula, Tula State University,

Rogov Serge, Vasil,evich, candidate of technical sciences, docent, Srogow @yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University