О выделении ядра инвариантности для дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ВЫДЕЛЕНИИ ЯДРА ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ*

Л.В. Спесивцев, В.Н. Ушаков

В данной работе рассматривается управляемая система, функционирующая на конечном промежутке времени при наличии фазовых ограничений. Описывается попятный метод приближенного построения ядра инвариантности для соответствующего системе дифференциального включения с разбиением временного интервала конечным набором моментов времени.

Ключевые слова: управление, дифференциальные включения, ядро инвариантности.

1. Основные определения

Пусть дана управляемая система, поведение которой описывается уравнением

х = и € Р, Ь € I, I = [ко,0], < 6 < оо. (1)

Здесь х - т-мерный вектор системы, и - управление, Р - компакт в евклидовом пространстве Ж™.

Предполагается, что выполнены следующие условия.

Условие 1. Вектор-функция f(t,x,u) непрерывна по совокупности переменных 1,х,ив области 1хШт хР, а также для любой ограниченной замкнутой области I) С I х Ж™ существует такая постоянная Ь = Ь(-О) € (0, оо), ЧТО

||/(£, х*, и) — f(t, ж*, и)|| < Ь\\х* — ж*||, при всех (I, х*,и), (I, ж*, и) € О х Р.

Условие 2. Существует постоянная // € (0, оо), такая, что

||/(£, х, и)|| < ц{1 + ||ж||), при всех (1,х,и) € .О х Р.

Под допустимым управлением и(1), £ € / , будем понимать любую измеримую по Лебегу вектор-функцию, удовлетворяющую включению «(£) € Р, £ € I.

* Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ (грантов № 02-01-00769) и Научных школ (грант № НШ-791.2003.1 и 02-01-96424).

Решением уравнения (1), порожденным допустимым управлением и{Ь), будем называть абсолютно непрерывную вектор-функцию хЩ, £ € /, такую, что хЩ = f(t,x[t},u[t}) почти всюду на I.

Символом У(£*;£*,ж*), £о < и < < в, обозначим множество всех

х* € Ж™, в которые приходят в момент I* решения хЩ; уравнения (1), удовлетворяющие ж[£*] = ж*, порожденные всевозможными допустимыми управлениями и{Ь). !"(£*;£*, ж*) называется множеством достижимости (МД) системы (1) с начальным условием ж[£*] = ж*, отвечающим моменту Ь*. Полагаем также

У У(4*;4„ж,)Д,сГ.

х*ЕХ*

Поставим в соответствие уравнению (1) дифференциальное включение (ДВ)

ж € Р(£, ж), £ € I, Р(£, ж) = co{f(t,x,u) : и € Р}, (2)

где со У означает выпуклую оболочку множества У.

Решением ДВ (2) назовем абсолютно непрерывную вектор-функцию хЩ, £ € /, удовлетворяющую ДВ (2) почти всюду на I.

Обозначим через Х(£*;£*,ж*), £о < Ъ* < < в, множество всех ж* €

Ж™, в которые приходят в момент I* всевозможные решения хЩ, х[Ц = ж*, ДВ (2). Полагаем также

Х{Г-и,Х,)= У Х(*’;4„ж,)Д,сГ.

х*ЕХ*

Справедливо равенство

Х(£*;£*,ж*) = с/У (£*;£*, ж*),

где с/У - замыкание множества У.

Нам удобнее работать с замкнутыми множествами, поэтому будем работать с МД ДВ (2).

Наряду с системами (1), (2) задано замкнутое множество Ф € I х Ж™, имеющее непустые сечения Ф(£) = {ж € Ж™ : (£, ж) € Ф}, £ € /, причем Ф(0) — компакт в Ж™.

Будем говорить, что решение

ж[*], х[Ц = ж* (3)

ДВ (2) является выживающим в Ф, если

(£, ж[*]) € Ф, £ € [£*, 0].

Учитывая условие 2 , можно показать, что множество всех хЩ, принадлежащих выживающим в Ф решениям ДВ (2), содержится в некотором ограниченном замкнутом множестве D С К™. В дальнейшем, не нарушая общности рассуждений, будем считать, что все рассматриваемые конструкции содержатся в D.

Обозначим L = L(D),

ш*(А) = sup{||/(t*, ж*, и) — f(t*, х*, и)|| : (£*, ж*, и), (t*,x*,u) G I х D х Р,

\U — t*| + ||ж* — ж*|| < А},

ш(А) = Аш*((1 + К)А), А > О,

здесь и ниже К = max{||/(t, ж, и)\\ : (t,x,u) € I х D х Р} е (0, сю). Из определений функции ш*(А), числа К и условия 1 следуют оценки:

ш*(А) = sup{d(F(t*, ж*), F(t*,x*) : (t*, ж*, и), (t*,x*, и) G I х D,

|i* — t*| + ||ж* — ж*|| < А},

||ж[*,] — ж[Г]|| < — t*), ж[£]-решение ДВ (2),

d(F(t, ж*), F(t, ж*)) < Ь||ж* — ж* || : (t, ж*), (t, ж*) G I х D;

здесь и ниже d(Ft.,F*) - хаусдорфово расстояние между множествами F* и F*.

Из определения функций w*(A) и w(A) также следует, что они монотонно стремятся к нулю при А ^ 0.

2. Ядро инвариантности.

Определение 2.1. Ядром инвариантности Z ДВ (2) во множестве Ф назовем множество точек (£*,ж*) G I х Ж™, таких, что любое решение ж[*],ж[*»] = ж*, ДВ (2), является выживающим в Ф.

Изучим вопрос о приближенном построении ядра инвариантности ДВ (2) во множестве Ф.

2.1. Дискретизация по времени

Будем подменять временной интервал I конечным набором моментов. Зададим последовательность {Г„} разбиений Г„ = ...,tn = в} отрезка

I, таких, что диаметры = max{Ai : 0 < i < N(n) — 1}, Aj = ti+i — t{ , разбиений Г„ монотонно стремятся к нулю с ростом номера п. Моменты t{

разбиений Г„ свои для каждого п, однако, чтобы не усложнять обозначений, мы не будем явно отражать зависимость моментов от номера п. Полагаем

г-1(и;Г,Х*) = {ж* € Ж™ : С X*}, X* С Ж™

Х(£*; £*, ж*) = ж* + (£* — £*).Р(£*, ж*),

г-1(и;Г,Х*) = {ж* € Ж™ : Х(**;*„ж,) С X*}, X* С Ж™ ,

где X* — е-окрестность множества X*, X* С Ж™, е > 0; (£о <£*<£*<$)• Каждому разбиению Г„ поставим в соответствие последовательность {е^} чисел £(, заданных рекуррентно:

= о/(Аг_1) + (1 + ЬА^1)е^1, г = 1, 2,Ж(п); е0 = 0.

При этом иногда будем обозначать = £аг(п) ■ самое большое из чисел

Ы-

Поставим также в соответствие каждому разбиению Г„ последовательность {^п)т множеств £(пЦи) С Ж™, и е Г„ ,заданную рекуррентными соотношениями, начиная с конечного момента ^дг(п) = &■ Определение 2.2. Полагаем

г<">(9) =

г™ (и) = ф(Уг,„ п г-1(1г,и+иг'-''\к+1)у, , = щп) - 1,щп) -2,...,о.

Таким образом, последовательность представляет собой попятно заданную последовательность множеств в Ж™. Определим

предел этой последовательности, когда

д(«)

- диаметр разбиения Г„ стремится к нулю.

Определение 2.3. Полагаем Я0 - множество всех точек (£*,ж*) € I х Ж™, для которых найдется такая последовательность

{(т„,ж„) : тп = £„(£*), ж„ € (4)

ЧТО

(г*,ж*)= Нш (т„,ж„).

п^-ос

Здесь и ниже

Из определения следует, что Z0 С Ф. Множество Z0 непусто, так как, согласно определению, Ё^п\в) = Ф(0)£дг(п) и, значит, непусто сечение Z0(в) = {ж : (0, ж) € ■2'°} множества Я0.

Справедливо утверждение

Теорема 1. Множество Z0 является ядром инвариантности ДБ (2) в множестве Ф, то есть Z° = Z.

Доказательство. Докажем сначала включение Z0 С Z. Зафиксируем произвольную точку (£*,ж*) € Z°. t* < 0. Возьмем любое решение ДВ (2) x[t], t G [t*,0], (x[tj = f(t,x[t}) п.в. на [£*,0], x\t*\ = ж*), и покажем, что оно является выживающим в Ф.

Найдется такая последовательность {(тп,хп) : тп = tn(t*), хп G i(n)(r„)}, что

(£*,ж*) = lim (тп,хп).

п^-оО

Рассмотрим произвольный номер п и отвечающий ему отрезок [тп,в]. Из включения хп G Z^ (тп) следует, что для любой абсолютно непрерывной на [тп,в] вектор-функции хМ'^Щ такой, что

x^n\t) G F(ti,x^[ti\), x^n\t) = const, t G [ti,ti+1) С [тп,6), х{п)[тп] = xn,

выполняется

X{n)[f,i] G Z{n)(tj), Tn <ti < 0. (5)

Пусть I - номер точки тп в разбиении Г„, то есть тп = t[. Обозначим s(ti) = x[tt] — x^[ti], i = 1,1 + 1,N(n).

Будем выбирать такие управления и- G Р, что

< >= max(< s(U), f(U, х^Щ, и) >),

u£P

i = 1,1 + 1,N(n) — 1.

Рассмотрим функцию x^[t] :

^(n)M = !{и,х{п)Ы,Ю G F{thx{n)[f4),

t€[ti,ti+1), х^[тп] = xn, % = 1,1 + 1, ...,N(n) - 1.

Справедливо равенство

x(n)[ti+1] = + Aif(ti,x^[ti\,u^), x(n)[ti+1] G Z^[ti+1].

Оценим ||s(tj+i)||2 = Цж^+i] — X^[ti+1]||2, i = 1,1 + 1,iV(n) — 1.

В силу теоремы Каратеодори, для каждого £ € [^,^+1] справедливо представление

п+1

/(*,®М) = £ау(*)/(М[*],гу(*)),

5=1

п+1

где и^) € Р, ау (£) > 0, ] = 1, 2,п + 1, £ ау№ = 1,

5=1

||^г+1)||2 = ||^г+1]^^[%1]||2 =

= М(я№|+/ /(г,ж[г])(й) - (х(п)Щ + [ ||2

|5(^)||2 + 2 / (< в(^),/(*,®И) > - <«(**),/(**,®(п)М], О >)<&+

г**+1 , .

+11 / (/(ММ) - /(**,®(п)[**]Х))<й||2 •

•>ч

Справедливо неравенство

^г+1

(/(ММ) -/(**> ®(п)М]Х))<Й||2 <

и

/"**+! / ч

<( / Н/(ММ) - /(**>®(п)М]Х)1№*)2 <

•>к

гЧ+1 г*»+1

<( / Н/(ММ)Н<й + / ||/(^(п)МХ)Р)2 < (2^Аг)2

поскольку

я+1 п+1

Н/(ММ)Н = 1|£«Л*)/(ММ>«:/(*))11 < ^1|£^-(*)11 = ^

5=1 5=1

У(г,хЩ,щ(г))\\ < к.

В силу выбора и° справедливо неравенство

< «(**), (/(**>®(п)[*»]>«(*)) “ /(*»>®(п)[*»]><)) >< 0.

Следовательно,

< «(**),/(ММ) > - < > =

п+1 п+1

=< «(**),£«*•(*)/(*> ®М, «Л*)) > - < «(**),£«*•(*)/(**> «Л*)) > +

5=1 5=1

п+1 п+1

+ < «(**), ^ «*(*)/(**> «Л*)) > - < «(**), >

3=1 3=1

п+1

+ < «(**), “Л*)) > -

3=1

п+1

- < «(**)>^^(*)/(**>®(п)[**]>«"(*)) >=

5=1

п+1

=< «(**), £аЛ*)(/(ММ, «Л*)) - /(**,»[**], %№)) > +

5=1

п+1

+ < «(**),£ -/(**,®(П)[**],^(*))) > +

5=1

п+1

■ ^ау(*)(< «(**), Л**,я(п)[**], «,(*)) > - < в(^),/(^,®(п)М,«-’(*)) >) <

5=1

< 7Ш*((1 + К)Д*) + ||5(^)||Ь||5(^)|| =

= 1Ш*((1 + К)Аг) + Ь\\з(т2,

где

7 = 7(1)) = тах{||(£, гг;*) — (£, ад*)|| : (£, ад*), (£, ад*) € I)} < оо .

Тогда

**+1 , .

(< «(**),/(*,®М) > - < в(^),л(^,®(п)м,0 >)си <

и

ри+1

< / (7Ш*((1 + К)Аг) + Ц\з(и)\\2)М = + К)Аг)Аг + 1Аг\\з(и)\\2 ■

||в&+1)||2 < ||5(^)||2 + 2(7ш*((1 + К)Аг)Аг + ЬАг\\.з(и)\\2) + (2КДг)2 =

= (1 + 2ЬАг)\\з(и)\\2 + 27ш*((1 + К)Аг)Аг + (2КАг)2 <

< е21АЦ\з(и)\\2 + А^(Аг), І = 1,1 + 1, ...,ЛГ(п) - 1,

1И*й-1)||2 < е2ЬД^|5(^)||2 + Ацр(А^), 'I = 1,1 + 1, ...,Н{п) - 1,

где

<р(А) = 27ш*((1 + К) А) + (2К)2А, А > О

есть величина, стремящаяся к нулю при А ^ 0 и не зависящая от выбора точек {^, x:\ti]) и (^, ж^[^]). Путем последовательной подстановки вместо величины ||з(^) ||2 ее оценки сверху получаем оценку

||5(^)||2 < е21^>Ц\\з(Щ2 + (в^ ЬЫА^)), i = 1 + 1,1+ 2,..., Щп).

Поскольку ||5(тп)|| 0 при п ^ оо, имеем ||5(^)||2 ^ 0 при п ^ оо, г =

I + 1,1 + 2,...,Щп).

Введем в рассмотрение функции, являющиеся непрерывными продолжениями на отрезок \Ь*,в] функций х^Щ, £ € Ы,в)-

«‘"'м={’ гЛ*ЛТв в=1-2--

Так как последовательность {y^[t}} равноограничена и равностепенно непрерывна на [£*, 0], то из нее можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность. Не нарушая общности рассуждений, будем полагать, что это сама последовательность {y^[t}} равномерно сходится на [£*,0]. Полагая

хЩ = lim y^n4t], t Є ft*, 01,

п^-ос

получаем

ж[і*] = lim y^ft*] = lim у^[тп] = lim xn = ж*;

n^-oc n^-oc n^-oc

x[t] = lim y{nHt] = lim x{n)[t], t Є (i„01. (6)

n—*oО n—*oо

Покажем, что arft] = arft] на ft*, 0]. Для этого зафиксируем произвольный момент t Є [t*,0] и покажем, что

lim y(nHt) = x(t). (7)

в—5-00

При t = t*

lim у^ЦЦ = lim y^ftJ = ж* = ж(і*) = ж(£)

П^-ОО П^-ОО

и соотношение (7) выполняется.

Пусть t Є (t*, 0].

lim ft] = lim ж^Д.

П^ОС n^oc

Оценим ||ж[і] -®(п)Й||. Обозначим через к наибольший среди номеров і, і Є {О,..., N(n) — 1}, таких, что t{ < t.

\\x[t) — х(пЩ\\2 = II(ж[tfc] + f f(t,x[t])dt) —

Jtk

-(*{n4tk)+ f /(и,хЩи},и°т\2 =

Jtk

= Mh)+[ f(t,x[t])dt- f /(ii,®(n)[ii],«f)<ii||2 <

Jtfe J tfc

< N*k)ll2 + 2N*fc)ll(ll [ /(ММ)<Й|| + || [ f{thX(n)[tjlu°i)dt\\) +

J tfc. J tfc.

+ (11 [ /(*,®М)<Й|| + II [ /(^ж(п)МХ)Л||)2 <

Лк ^к

< 1№)112 + \Ш)\\(2КАг) + (2КАг)2 <

< ||«(*к)112 + Цв(*к)11(2^А(п)) + {2КА{п))2 -> О

ввиду того, что А" -¥ О, ||в(^)||2 о, г = 1, .. .ЛГ(п) и <р(А) -> 0.

Таким образом

Нт х^Щ = хЩ

п^оо

и, следовательно,

Нт = х[Ц,

п^-оО

то есть соотношение (7) выполнено при всех I € [£*,$]> и ж[£] = хЩ на [1*,6].

Из условий (4), (5) и соотношений (6) следует, что вектор-функция хЩ, I €

[£*, 0], удовлетворяет ДВ

ж € -Р(£, ж) почти всюду на [£*,0] (8)

и включению

€2°(*), * € [*„0]. (9)

Включение (8) доказывается стандартным образом . Докажем соотношение (9). Зафиксируем произвольный момент I € [£*, в\. Для этого момента имеет место равенство

хЩ = Нт у(п)Щ.

п^-оо

По построению функций ^ € [£*,$], выполняется включение

момент £„(£) определен выше. Полагаем

г}п = М*) и у„ = х^[гп(г)). Тогда

11(*>®М) - (»м>Уп)11 < 11(*>®М) - М)11 + 11(*,УпМ) - (*«(*), ж(п)[*«(*)]) <

1Ж-Ы*]11 + (1 + ^)А(п).

Принимая во внимание это неравенство и предельные соотношения хЩ = Нт у{п)Щ, Нт = 0,

получаем, что

(t,x[t\) = lim (г]п,уп), 1]п = tn(t), уп Е Z^n)[r]n}.

Тем самым включение (9) доказано.

Включение (9) означает, что (t,x[tj) Е Z°, t Е Тогда, принимая

во внимание включение Z0 С Ф, получаем (t,x[tj) G Ф, t G Поскольку

ж[£] = x[t] на то (t, хЩ) G Ф, t €[t*, 6].

Итак, показано, что для любой точки G Z°, t* < в, любое

решение (3) ДВ (2) является выживающим в Ф. Очевидно также, что любая точка G Z°, t* = в, удовлетворяет включению (£*,ж*) G Ф. Вместе с

тем показано, что Z0 С Z.

Докажем обратное включение Z С Z0. Рассмотрим разбиение Г„ отрезка I и все те сечения Z(ti), ti G Г„, множества Z, которые непусты. Обозначим Тп = {t{ G Г„ : Z(t{) ф 0}. Очевидно, что множество Тп обладает свойством: если ti G Тп, то tj+i G Тп. Справедливы включения

Действительно, пусть ж® С Z{t^). Тогда любое решение хЩ, t С [^,0], х[1^} = ж®, ДВ (2) является выживающим в Ф, следовательно, ж[^] С г (и). Отсюда следует, что Х(^+1;^,ж[^]) С Z(ti+l) и, значит, Z{ti) С Z^l(ti;ti^l, Z(ti^l)). Учитывая также включение Z(ti) С Ф(^), получаем соотношение (10).

Выберем произвольный момент ^ 6 Т„, ti < в, и рассмотрим множества Z(ti) и Z(ti+1)ш(д;), числа о/(Аг) определены выше. Справедливо включение

Покажем это. Пусть ж[^] € Z(ti). Каждая точка ж^-ц] £ Х(^+1;^,ж[^]) еСТЬ КОНеЧНОе Значение НеКОТОрОГО решения хЩ, I Е [^,^+1] ДВ х Е Р(1,х), I Е [^,^+1] с начальным значением ж[^]. Справедливо равенство

Z(tt) C<$>(U)P\Z-l(tf,tt+l,Z(U+l)), tt£Tn.

(10)

Z(U) С Z {ti\ti+]_T Z{ti-|-1)ш(д;)); ti E Tn.

(11)

d(X(ti+i;ti, x[ti]), X(ti+i;ti, хЩ)) <

< Г ' и/*((1 + К)Аг)М = Д^*((1 + К)Аг) = ш(Аг),

из которого следует включение

-^"(^г+1 С- -^"(^г+1! і ®[^г])ш(Д;) ■

Так как ж[^] Є ^(^), имеем

-^(^г+1) ї'іі ®[^г]) С ^{^і+1)

и, значит,

-^"(^г+1) Ііі ®[^г]) С -^(^г+і)ш(Ді) ■ (12)

Поскольку момент и Є Тп и точка ж[^] Є Z{ti) выбраны произвольно, то из (12) следует включение (11).

Зададим систему {іт^(іг) : ^ Є Тп} множеств ^п)(^) равенствами 2Ы(ь) = г{и)Єі (числа Єг определены выше). По определению множеств

{Й(пЦи) : и Є Т„} выполняются соотношения Z{tj) С Покажем,

ЧТО

г^Ци) с г-1(и-и+ъг^(и+1)Ъ и є тп. (із)

Пусть х[і,і] Є Й(пЦіі) и ж*[^] — ближайшая точка на Z{tj) к точке ж[^]. Справедливо неравенство ||ж[^] — ж*[^]|| < е%. Из включений х*Щ] Є Z(ti) и (11) следует соотношение

-^"(^г+1) Ііі X [і*]) С -^(^г+і)ш(Ді)’

Тогда любая точка

х*[и+\] = Х*Щ + Дг/*И, /*М Є Р(^,Ж*[^]) (14)

содержится в г(іі+і)ш(Д;)-

Возьмем произвольный вектор /[^] Є Р(^, ж[^]). Принимая во внимание неравенство <і(Р(^, ж[^]), Р(^, ж*[^])) < /,||.г[/(] ^.г*[/(]||. выберем вектор /*[іг] Є -Р(£г, ж*[^]), удовлетворяющий неравенству

11/М - /*N11 < ^1№] - х*[Щ < 1-<‘-

Тогда оказывается, что точка х\рі+1] = х[іі] + Ді/[^*] отстоит от точки (14) не более, чем на величину

\Ш - х*Ы\\ + Аііі/М - /*[**]!! < (і + ьАі)€і.

Значит, х[1п+1] € для любой точки ж[^+1] = ж[^] + Аf[ti] €

Р(^,ж[^]). Таким образом, показано, что для любых ^ € Тп, ж[^] € имеет место соотношение Х(^+1;^,ж[^]) С откуда следует вклю-

чение (13).

Методом математической индукции докажем, что

2Ы(и)сйЫ(и), иетп. (15)

В самом деле, выполняются соотношения

#п\и) = г(и)е. с Ф(и)е{, и € тп. (16)

^ПЧ^К(п)) = г(1к(п))еЩп) = Ф(%(п))едг(п) = ^ПЧ^К(п))-

Следовательно, для г = N(11) выполняется С Докажем, что

это включение выполняется при всех остальных г, для которых ^ еТ„. Для ЭТОГО предположим, ЧТО ^ € Т„ И ДЛЯ момента ^+1 имеет место включение

Й^Ци+1)с^пЦи+1). (17)

Докажем, что С В самом деле, из (13) и (16) следует

С Ф{М)£{ Р|^_1(^;*г+1,^(п)(^+1),

а из (17) следует

Ф(^)е; П^_1(*г;*г+1,-^(п)(*г+1) С Ф(^)е; П *г+1,

Отсюда получаем ^^(^) С Вместе с тем соотношения (15) дока-

заны.

Применим соотношение (15) к доказательству включения Е С Z0. В случае, когда = в, выполняются равенства Z{t*) = Ф(0), = Ф(0) и,

значит, Я(£*) = ZQ{t^f).

Пусть < 0. Выберем произвольную точку (£*,ж*) € Верны неравенства < £„(£) < + Д(”), п = 1,2,... Так как (£*,ж*) € Я, то любое

решение ж[£], ^ € [£*,$], ж[£*] = ж* ДВ (2) является выживающим в Ф. Любой "кусок" ж[£], £ € [£*,0], < 0 этого решения есть выживающее в

Ф решение ДВ (2). Отсюда следует включение

хЫи)) € г(1п(и)) С г^(1п(и)) с я(п)(М**)).

Значит, при каждом п найдется такая точка ж[£„(£*)], что

ж[г„(г*)] € с ||ж[г„(г*)] - ж*|| < к^п(и) - и).

Принимая во внимание равенство Нт(£„(£*) — £*) = 0, получаем, что последовательность {(£п(£*), ж [£„(£*)])} удовлетворяет соотношению

Нт(г„(г*),ж[г„(г*)]) = (г*, ж*)

и, значит, (£*,ж*) € Я0. Таким образом, показано, что Я(£*) С Z0(tx), <

0. Тогда из соотношений Z(в) С 2'°(0) и Z(tit) С Z0(tx), < в следует

включение Z С Z0.

Отсюда и из включения Z0 С Z следует, что Z = Z0. □

Список литературы

1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

2. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

3. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

4. Незнахин А.А., Ушаков В.Н. Построение ядра выживаемости с ограниченным блужданием для дифференциального включения. Деп. в ВИНИТИ 16.12.00, № 3083-В00. 24 с.

5. Незнахин А.А., Ушаков В.Н. Сеточный метод приближенного построения ядра выживаемости для дифференциального включения // Сб. докл. к Меж-дунар. конф. / УрО РАН. Екатеринбург, 2000. С. 156-158.

6. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

7. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. Т. 4. С. 29-45.

8. Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. О приближенном построении решений в игровых задачах управления // Прикладная математика и механика. 1997. Т. 61, вып. 3. С. 413-421.

Институт математики и механики УрО РАН ushak@imm.uran.ru