CC BY
23
УДК 518:517.948
© В.М. Вержбицкий
О ВЫДЕЛЕНИИ ОБЩЕЙ ЧАСТИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРЕМ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ
Ключевые слова: нелинейные операторы, банаховы пространства, итерационные методы, невязки, поправки, сходимость.
Abstract. Two theorems are presented, which allow to omit the end of proofs of convergence theorems about fast-convergent iterative methods of solving of nonlinear operator equations in Banach spaces.
Пусть к задаче нахождения нулей гладкого нелинейного оператора F, определенного в банаховом пространстве X со значениями в нормированном пространстве Y, применяется некоторый одношаговый итерационный метод
%k+1 — Qk(%k)i к — 0,1, 2,... . (1)
Многие утверждения о сходимости методов типа (1) с порядком ц ^ 1 к нулю х* оператора F имеют следующую структуру: если па множестве М С X оператор F удовлетворяет определенным требованиям, и выполняются такие-то и такие-то условия, то:
1) Зх* = lim Xk и Зг > 0 : х* €Е S(xo,r) С М;
fc—5-00
2) F(x*) = 0;
3) ЗС > О, ц ^ 1, г/ е (0,1) : Цж* — £с*|| < С •!/*** Мк е N.
Доказательства подобных утверждений, как правило, сводятся к оцениванию величины ||ж£+то — хь\\ , откуда при I: -) оо и фиксированном т следует фундаментальность порождаемой (1)
последовательности (хк); при к = 0 , т ^ оо находится радиус г шара Б(хо,г) сходимости, а при к —фиксированном, т ^ оо получается априорная оценка погрешности, позволяющая судить
о быстроте сходимости и о порядке метода. Проведение этой общей части доказательств можно не связывать с конкретным оператором итерирования (¿ь , а достаточно потребовать наличие определенных соотношений между поправками — хк и не-
вязками -Р(ж^) и знание закона убывания норм последних.
Теорема 1. I. Пусть непрерывный оператор !■ : М —г V и последовательность элементов хк множества М С X таковы, что при всех А; € Nо выполняются условия
\\хк+1 -хк\\ < Хрк, ||^(жй)|| ^ рк,
где числа рк удовлетворяют рекуррентным, равенствам
Рк+1 = А: = 0,1,2,...,
о А>0, (?о>0;ро>0 и, ц > 1 — некоторые вещественные параметры.
II. Тогда, если V = боРд-1 < 1 и замкнутый шар Б(хо,г),
ОО м»_1
где г = Хро ^2 V м-1 ; содержится в М, то все члены, последо-¿=0
вательности (хк) принадлежат Б, последовательность (хк) имеет предел х* 6 Б такой, что Р(х*) = 0; быстрота сходимости (хк) к х* характеризуется неравенством
п * м / ХРо
I —
В применении к конкретным методам вида (1) иногда бывает предпочтительнее другая формулировка требований к поправкам и к невязкам.
Теорема 2. Пусть существуют т,аки,е последовательности положительных чисел Нк и Ок , удовлетворяющих условиям Нк ^ Но , Ок ^ Оо, и такое число ц > 1, что в предпо-
ложении, что хк €Е М, при всех к 6 Мо выполняются неравенства
\\хк+1 — Хк\\ < нк • |Иа*)||, ||Я^+1)|| < Ок ■ IIР(хк)\\м‘-
Тогда справедлива часть II теоремы 1 с ро ^ ||.Р(жо)|| , А = Но .
При установлении сходимости итерационной последовательности (хк) с порядком ц = 1 также можно воспользоваться теоремами 1, 2; при этом следует считать
г< Аро „ * и . Аро к
1/ = &0, Г=-----, Ж -Ж*; -----к ' и ■
1 — г/ 1 —
Учитывая последнее при изучении сходимости, например, модифицированного метода Ньютона-Канторовича [1]
Хк+1 = хк - ИжоГ^Ы, А; = 0,1, 2,..., (2)
с помощью теоремы 2 приходим к следующему утверждению.
Теорема 3. Пусть для Р : (М С X) У выполнены требования:
1) 3 ¿?'(ж) : (3 Ь > 0 : ||^'(ж) - ¿?'(ж)|| < Ц\х - х\\ Ух £ М) Ух е М;
2)3[Р'(х0)}-\ 30 0 : \\[Р'(х0)}-1\\^С.
Тогда, если при ро ^ ||.Р(жо)|| справедливо неравенство
í = ЬС2ро ^ 0.125 и замкнутый шар Б(хо, г = ^===)
содержится в М, то начатый с жо итерационный процесс (2) сходится в Б к решению х* уравнения Р(х) = 0 с оценкой погрешности
п * п ^ к
ж -Хк\\ < 1-----кV ,
1 —
где V = 0.5 т л/0-25 - 2* м знаки в выражениях и и г берутся соответственно только верхние или только нижние.
Аналогично с подключением теорем 1, 2 получаются условия квадратичной сходимости основного метода Ньютона-Канторовича [1]
Хк+1 = хк - АкР(хк), к = 0,1,..., (3)
где Ак = [Р'(хк)}^1 , а также его аппроксимационного аналога [2], представляющего собой поочередное выполнение шага вычислений по формуле (3) и шага вычислений по формуле
Ак+1 = Ак(21 — Р'(хк+1)Ак), (4)
начинаемого с Ао~ [-^(^о)]-1 • Без особых проблем устанавливается кубическая сходимость метода касательных парабол и ряда других подобных методов, предполагающих использование или точных обратных к производным Фреше операторов [Р'(хк)]-1 или приближений к ним по формулам типа рекуррентного равенства (4).
Доказательства приведенных здесь результатов можно найти в статье [3], конечномерный случай рассмотрен в книгах [4,5].
Список литературы
1. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.
2. Ульм С.Ю. Об итерационных методах с последовательной аппроксимацией обратного оператора // Изв. АН ЭССР. Физ., матем. 1967. 16, Г 4. С. 403-411.
3. Вержбицкий В. М. О сходимости последовательностей элементов банаховых пространств к нулям нелинейных операторов // Вести. Перм. гос. тех. ун-та, 2002 (в печати).
4. Вержбицкий В. М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). М.: Высш. шк., 2000. 266 с.
5. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. М.: Высш. шк., 2002. 848 с.
