О выделении общей части доказательств теорем сходимости итерационных методов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 518:517.948

© В.М. Вержбицкий

pmi@istu.udm.ru

О ВЫДЕЛЕНИИ ОБЩЕЙ ЧАСТИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРЕМ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ

Ключевые слова: нелинейные операторы, банаховы пространства, итерационные методы, невязки, поправки, сходимость.

Abstract. Two theorems are presented, which allow to omit the end of proofs of convergence theorems about fast-convergent iterative methods of solving of nonlinear operator equations in Banach spaces.

Пусть к задаче нахождения нулей гладкого нелинейного оператора F, определенного в банаховом пространстве X со значениями в нормированном пространстве Y, применяется некоторый одношаговый итерационный метод

%k+1 — Qk(%k)i к — 0,1, 2,... . (1)

Многие утверждения о сходимости методов типа (1) с порядком ц ^ 1 к нулю х* оператора F имеют следующую структуру: если па множестве М С X оператор F удовлетворяет определенным требованиям, и выполняются такие-то и такие-то условия, то:

1) Зх* = lim Xk и Зг > 0 : х* €Е S(xo,r) С М;

fc—5-00

2) F(x*) = 0;

3) ЗС > О, ц ^ 1, г/ е (0,1) : Цж* — £с*|| < С •!/*** Мк е N.

Доказательства подобных утверждений, как правило, сводятся к оцениванию величины ||ж£+то — хь\\ , откуда при I: -) оо и фиксированном т следует фундаментальность порождаемой (1)

последовательности (хк); при к = 0 , т ^ оо находится радиус г шара Б(хо,г) сходимости, а при к —фиксированном, т ^ оо получается априорная оценка погрешности, позволяющая судить

о быстроте сходимости и о порядке метода. Проведение этой общей части доказательств можно не связывать с конкретным оператором итерирования (¿ь , а достаточно потребовать наличие определенных соотношений между поправками — хк и не-

вязками -Р(ж^) и знание закона убывания норм последних.

Теорема 1. I. Пусть непрерывный оператор !■ : М —г V и последовательность элементов хк множества М С X таковы, что при всех А; € Nо выполняются условия

\\хк+1 -хк\\ < Хрк, ||^(жй)|| ^ рк,

где числа рк удовлетворяют рекуррентным, равенствам

Рк+1 = А: = 0,1,2,...,

о А>0, (?о>0;ро>0 и, ц > 1 — некоторые вещественные параметры.

II. Тогда, если V = боРд-1 < 1 и замкнутый шар Б(хо,г),

ОО м»_1

где г = Хро ^2 V м-1 ; содержится в М, то все члены, последо-¿=0

вательности (хк) принадлежат Б, последовательность (хк) имеет предел х* 6 Б такой, что Р(х*) = 0; быстрота сходимости (хк) к х* характеризуется неравенством

п * м / ХРо

I —

В применении к конкретным методам вида (1) иногда бывает предпочтительнее другая формулировка требований к поправкам и к невязкам.

Теорема 2. Пусть существуют т,аки,е последовательности положительных чисел Нк и Ок , удовлетворяющих условиям Нк ^ Но , Ок ^ Оо, и такое число ц > 1, что в предпо-

ложении, что хк €Е М, при всех к 6 Мо выполняются неравенства

\\хк+1 — Хк\\ < нк • |Иа*)||, ||Я^+1)|| < Ок ■ IIР(хк)\\м‘-

Тогда справедлива часть II теоремы 1 с ро ^ ||.Р(жо)|| , А = Но .

При установлении сходимости итерационной последовательности (хк) с порядком ц = 1 также можно воспользоваться теоремами 1, 2; при этом следует считать

г< Аро „ * и . Аро к

1/ = &0, Г=-----, Ж -Ж*; -----к ' и ■

1 — г/ 1 —

Учитывая последнее при изучении сходимости, например, модифицированного метода Ньютона-Канторовича [1]

Хк+1 = хк - ИжоГ^Ы, А; = 0,1, 2,..., (2)

с помощью теоремы 2 приходим к следующему утверждению.

Теорема 3. Пусть для Р : (М С X) У выполнены требования:

1) 3 ¿?'(ж) : (3 Ь > 0 : ||^'(ж) - ¿?'(ж)|| < Ц\х - х\\ Ух £ М) Ух е М;

2)3[Р'(х0)}-\ 30 0 : \\[Р'(х0)}-1\\^С.

Тогда, если при ро ^ ||.Р(жо)|| справедливо неравенство

í = ЬС2ро ^ 0.125 и замкнутый шар Б(хо, г = ^===)

содержится в М, то начатый с жо итерационный процесс (2) сходится в Б к решению х* уравнения Р(х) = 0 с оценкой погрешности

п * п ^ к

ж -Хк\\ < 1-----кV ,

1 —

где V = 0.5 т л/0-25 - 2* м знаки в выражениях и и г берутся соответственно только верхние или только нижние.

Аналогично с подключением теорем 1, 2 получаются условия квадратичной сходимости основного метода Ньютона-Канторовича [1]

Хк+1 = хк - АкР(хк), к = 0,1,..., (3)

где Ак = [Р'(хк)}^1 , а также его аппроксимационного аналога [2], представляющего собой поочередное выполнение шага вычислений по формуле (3) и шага вычислений по формуле

Ак+1 = Ак(21 — Р'(хк+1)Ак), (4)

начинаемого с Ао~ [-^(^о)]-1 • Без особых проблем устанавливается кубическая сходимость метода касательных парабол и ряда других подобных методов, предполагающих использование или точных обратных к производным Фреше операторов [Р'(хк)]-1 или приближений к ним по формулам типа рекуррентного равенства (4).

Доказательства приведенных здесь результатов можно найти в статье [3], конечномерный случай рассмотрен в книгах [4,5].

Список литературы

1. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.

2. Ульм С.Ю. Об итерационных методах с последовательной аппроксимацией обратного оператора // Изв. АН ЭССР. Физ., матем. 1967. 16, Г 4. С. 403-411.

3. Вержбицкий В. М. О сходимости последовательностей элементов банаховых пространств к нулям нелинейных операторов // Вести. Перм. гос. тех. ун-та, 2002 (в печати).

4. Вержбицкий В. М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). М.: Высш. шк., 2000. 266 с.

5. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. М.: Высш. шк., 2002. 848 с.