CC BY
63
УДК 621.397
О ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ ОЦЕНКИ ЭНЕРГИИ СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ
Белгородский государственный национальный исследовательский университет
А.А. ЧЕРНОМОРЕЦ
e-mail: chernomorets@bsu.edu.ru
В работе проведен анализ оценок суммы квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ, соответствующих частотным интервалам специального вида в области нормированных частот, с точки зрения вычислительной сложности и погрешностей вычислений энергий речевых сигналов и изображений на основе ДПФ и теории субполосного анализа-синтеза. Приведены результаты вычислительных экспериментов по сравнению вычислительной сложности исследуемых методов.
Ключевые слова: дискретное преобразование Фурье, быстрое преобразование Фурье, речевой сигнал, изображение, интегральная оценка, среднеквадратическое отклонение.
В информационно-телекоммуникационных системах значительный объем передаваемой и хранимой информации определяется задачами по передаче и хранению речевых сигналов и изображений, решение которых требует применения эффективных методов их обработки. В большинстве случаев для обработки речевых сигналов и изображений при переходе из пространственной в частотную область применяется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Данное преобразование используются для нахождения одной из наиболее существенных частотных характеристик сигналов, используемых в процедурах их анализа и синтеза, - энергетического спектра [1]. Понятие энергии в теории обработки сигналов введено для описания количественной характеристики, отражающей отдельные свойства и динамику их изменения в пространстве и времени. Анализ энергетического спектра позволяет получить представление о распределении энергии фрагментов речевых сигналов и изображений по частотным интервалам, что является важным, например, в задачах распознавания, сжатия, фильтрации и др. Определение точных значений энергии в отдельных частотных диапазонах обеспечивает возможность более качественного выбора параметров различных преобразований. Следовательно, вычисление точных значений энергии сигналов и изображений в заданных частотных интервалах является важной задачей частотного анализа-синтеза.
Известно, что ДПФ позволяет вычислить только приближенные значения энергий сигналов и изображений в отдельных частотных интервалах. В работе показано, что для достижения незначительной погрешности оценки величины энергии сигнала (одномерного и двумерного) в заданном частотном интервале при применении ДПФ или быстрого преобразования Фурье (БПФ) необходимо значительно расширять нулями исходный сигнал, что приводит к существенному росту вычислительной сложности расчетов.
В работе приведены оценки суммы квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ, соответствующих частотным интервалам специального вида в области нормированных частот, представлены результаты вычислительных экспериментов по сравнению погрешности вычислений энергий речевых сигналов и изображений на основе ДПФ и теории субполосного анализа-синтеза [2], а также результаты экспериментов по сравнению вычислительной сложности исследуемых методов.
Оценка энергии одномерного сигнала в заданном частотном интервале.
Для вычисления энергии Е0 сигнала, задаваемого вектором / = (/1 /2 ... )Т , на
основании равенства Парсеваля [1] (также называемого в математике - теоремой План-шереля, в физике - формулой Релея) может быть использовано следующее соотношение,
N і я
е = Е Иа>Гл' ,
2я ^
где Г (и) - трансформанта Фурье сигнала /, определенная в области нормированных частот Ц12п ,
р (и) = Е ^е
г=1
= (и | —я < и < я} .
(2)
В работе [2] показано, что, соотношение (1) при разбиении области (2) на R равновеликих симметричных частотных интервалов иг, г = 1,2,..., Я,
(3)
иг = {и | и є [—и2г,—м1г[и[м1г, и2г[},
я я
и; = (г — 1)-, и2 = г -, г = 1,2,..., Я,
Я Я
может быть записано в виде
Я Я і
Ео = Е Ег = Е 2“ 1 ^(и)2ёи,
г =1 2я иєЄ/
г =1
где Ег - точное значение энергии речевого сигнала в заданном частотном интервале иг, г = 1,2,...,Я, которое на основании теории субполосного анализа-синтеза определяется соотношением
Ег = /Ч/, (4)
где Аг - субполосная матрица [2], соответствующая частотному интервалу иг.
Представляет интерес сравнение значения Ег (4) энергии сигнала в заданном частотном интервале иг (3), г = 1,2,...,Я, с суммой м) квадратов абсолютных значений коэффициентов Гк, к = 1,2,...,N, одномерного дискретного преобразования Фурье (ДПФ), соответствующих частотному интервалу иг,
N
N—(г—1)— 2Я
2 Я '2 Я
$: = Е 12 + е \ъ і2,
(5)
N
к =( г—1)—+1 2Я
г N
рк=Е !,
=1
е
, N
2 Я )2я (к—1) N
к = N — г— +1
—j(i-1)-
Рассмотрим модельный сигнал, приведенный на рис. 1. Длина сигнала выбрана N=64 отсчета.
і: і:іп 001 г. гд>-
с
1.10; 001 Г. Г. I* О (г;
Рис. 1. Исследуемый сигнал (количество отсчетов 64)
N
г
На рис. 2 для модельного сигнала (рис. 1) приведены значения квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ, соответствующих частотным интервалам и , из и и5 при количестве частотных интервалов Я = 8.
п
б
В
Рис. 2. Значения квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ, соответствующих частотным интервалам и1 (а), из (б) и и5 (в)
Можно показать, что при расширении исходного дискретного сигнала с помощью добавления справа нулей до длины сигнала М0 отсчетов сумма £г(^°> (5) квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ, соответствующих частотному интервалу иг, приближается к значению энергии Ег (4) с увеличением значения Ы0. В табл. 1 для сигнала, приведенного на рис. 1, указаны при R=8 результаты вычислений значений Ег, г = 1,2,...,Я, в частотных интервалах иг, г = 1,2,...,Я, и соответствующих сумм £г(^°> квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ сигнала, расширенного нулями до длины И0. В таблице также указано среднеквадратическое отклонение 81 множества
значений £Г^°> относительно множества значений Ег, г = 1,2,...,Я,
8, =
Е (Ег - ЯГ'°>)
г =1
Е Е
(6)
Таблица 1
Суммы $Г о) квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ и энергии Ег в соответствующих частотных интервалах
а
2
Расширение сигнала до следующей длины
Г Ег 64 £(64) 128 £(128) 256 £(256) 512 £(512) 1024 £ (1024) 2048 £(2048)
1 0,002565 0,002419 0,002529 0,002556 0,002563 0,002564 0,002565
2 0,00096 0,0011 0,000994 0,000968 0,000962 0,00096 0,00096
3 0,000285 0,000295 0,000288 0,000286 0,000285 0 0,000285
4 0,000342 0,000329 0,00034 0,000342 0,000342 0,000285 0,000342
5 0,000133 0,000142 0,000134 0,000133 0,000133 0,000342 0,000133
6 0,000113 0,000119 0,000114 0,000114 0,000113 0,000133 0,000113
7 8,466е-5 7,719е-5 8,316е-5 8,431е-5 8,457е-5 0,000113 8,466е-5
8 6,787е-5 7,018е-5 6,822Є-5 6,795е-5 6,789є-5 8,464е-5 6,788є-5 6,787є-5
сумма 0.004553 0.004553 0.004553 0.004553 0.004553 0.004553 0.004553
81 0.0731 0.0179 0.004431 0.0011 2.759Є-4 6.897Є-5
Результаты, приведенные в табл. 1, показывают, что расширение сигнала нулями до длины 2048 отсчетов позволяет получить суммы 5(2048) квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ, соответствующих частотным интервалам иг, г = 1,2,...,8, с незначительным среднеквадратическим отклонением от оценок энергии Ег.
т» ° °
В дальнейшем проведем сравнение вычислительной сложности алгоритма вычисления оценки энергии Ег исходного сигнала в частотных интервалах иг, г = 1,2,...,Я, и алгоритма вычисления коэффициентов ДПФ на основании алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) для сигналов различной длины, полученных путем расширения нулями исходного сигнала до длины 128, 256,512,1024 и 2048 отсчетов.
Оценка энергии изображения в заданном частотном интервале.
Рассмотрим вычисление энергий изображения (двумерного дискретного сигнала), задаваемого матрицей Ф = (/;к) , ; = 1,2,...,Ы1, к = 1,2,...,М2, элементы которой соответствуют яркости отдельных пикселей изображения, в различных частотных интервалах.
На основании равенства Парсеваля [1] для вычисления энергии Еоо изображения, задаваемого матрицей Ф = (/к) , ; = 1,2,..., N1, к = 1,2,..., М2, может быть использовано следующее соотношение
г=1 к=1 4л
-л -л
где Е(и, V) - трансформанта Фурье изображения Ф, определенная в области нормирован-
ных частот В?л ,
2л
N1 N2
е(и, V) = Ё Ё у;,.е-*-1)ие--'(к-1)-, / =-1
-} (;-1)и -} (к -1)у -2
Jгk^
;=1 к=1
В22л = {(и,V) | -л < и <л, -л < V <л}. (8)
В работе [3] показано, что, соотношение (7) при разбиении области В22л (8) на Я Я 2 равновеликих симметричных частотных интервалов й , г1 = 1,2,..., Я1, г2 = 1,2,..., Я2,
й ^: {(u, ^0|(и 6 [и?, и2 [, v 6 К2, ^2 [) и(и 6 [и11, и2 [, v 6 [-^2 ^г2 [) и
и (и 6 [-4 ,-< [, V 6 [^2 ,-v1Г2 [) и (и 6 [-4 ,-и;1 [, V 6 [V;2, v2г2 [)}, (9)
г / 1\ л г л ч л п
иг = (г -1) Я, к1 = г1 Я, г = ^..^ Я1,
Я1 Я1
лл
^ = (г2 - 1) Я, ^ = г2 Я , г = Я2 ,
Я2 Я2
может быть записано в виде
Я Я2 я 1 Я2 1
Еоо = Ё Ё Ег =Ё Ё 7,7 II Iе<и- У)ГаиА’,
г1=1 г2= г1=1 г2= (u,V )6Пг1г2
где Е - точное значение энергии изображения в заданном частотном интервале й ,
г1 = 1,2,...,Я1, г2 = 1,2,...,Я2, которое на основании теории субполосного анализа-синтеза определяется соотношением
Епг2=г а: фа фт ), (10)
где А , Аг2 - симметрические субполосные матрицы [2], соответствующие частотному интервалу й , Ьг - след матрицы.
Представляет интерес сравнение значения Е (10) энергии сигнала в заданном частотном интервале & (9), г = 1,2,...,Я1, г2 = 1,2,...,Я2, с суммой квадратов абсо-
лютных значений коэффициентов Еік, і = 1,2,...,N1, к = 1,2,...,N, двумерного дискретного преобразования Фурье изображения Ф, соответствующих частотному интервалу &
rr 2’
S
( NlN2>
1 2 R1
2 R 2
1 2 R1
N2
N 2 -( r2 -1>-2r7
Е Е і f і2 + Е Е і F-к i2 +,
(11)
N1 N2
i =( r -1 >------+1 к =( г -1 >--------------+1
1 2R1 2 2R2
. JV 1 JVo
Nl-( rl-1^r г2ттг
2R
2 R 2
N1 N2
i=( г, -1>-----+ 1к =N2 -г----------+1
1 2 Rl 2 2 2 R2
N1 N2
Nl-( l -1>—Г N2 -(r2 -1^—2
2 R1
2 R 2
+
Е Е if і2 + Е Е if і2,
N1 N 2
i = N, -r------------+1 к =( r -1 >-------------+1
1 1 2 R1 2 2 R 2
1 N 2
i=N, -r-------+1к =N2 -r----------+1
N1 N2
(i-1> ,>2л (к-1>
-1( n1-1>------- ----- -1 (n2 -1>------- ------
N2
Fik = Ё E 2e ■'* e
n1 =1 n2 =1
В качестве наглядного примера на рис. 3 для известного изображения «Lena», размерностью 64х64 пикселей, приведены значения квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ, соответствующих отдельным частотным интервалам при R = R2 = 4 .
Sf --- 20
а:
Б
N
2
Г-,- —
2
а
Рис. 3. Значения квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ, соответствующих частотному интервалу &13 (а) и &33 (б) при Я1 = Я2 = 4
Можно показать, что при расширении исходного изображения Ф с помощью добавления нулевых строк и столбцов к матрице данного изображения до количества #01 и
М02 строк и столбцов соответственно сумма 02) (11) квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ, соответствующих частотному интервалу & , приближается к зна-
чению энергии Е (10) с увеличением значений N 01 и N02.
Покажем справедливость данного утверждения при Я1 = Я2 = 4 на примере изображения, приведенного на рис. 4. Первоначально, размерность изображения была выбрана 64х64 пикселей.
Рис. 4. Исследуемое изображение
В табл. 2 для изображения, приведенного на рисунке 4, указаны при Я1 = Я2 = 4 результаты вычислений значений Е , Г = 1,2,...,Я1, г2 = 1,2,...,Я2, в частотных интервалах Q , г = 1,2,...,Я1, г2 =1,2,...,Я2, и соответствующих сумм ^Г^02'1 квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ изображения, расширенного нулями до размерности И01 х И02 пикселей. В табл. 2 также указано среднеквадратическое отклонение 8 2 множе-
ства значений £
( ^01^02 )
относительно множества значений Е,
1,2,...,К,, 4 =1,2,...,К2,
ЕЕ
4 =1
(Е— £ (^01^02) )2
42 =1
2
Е Е е„
г1=1 г2 =1
(12)
Таблица 2
Суммы ^('^Ыа2> квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ и энергии Е в соответствующих частотных интервалах ( М1 = Ы2 = 64 )
12
12
К
К
п г-
12
12
5
2
Г1 42 Егг г1г2 Расширение изображения до следующей размерности
64х64 £ (64,64) 14 128х128 £ (128,128) 44 256х256 £ (256,256) 44 512х512 о(512,512) £'і12 1024х1024 £ (1024,1024) 4142 2048х2048 £(2048,2048) 4142
1 1 9,01є+7 9,203є+7 9,008є+ 9,009є+ 9,009є+ 9,01є+7 9,01є+7
1 2 9,069є+5 3,523є+5 9,071є+5 9,069є+5
1 3 4,608є+ 2,222Є+5 9,153є+5 9,09є+5 9,074є+5 4,608є+5 4,608є+5
1 4 1,827є+5 4,606є+5 4,608є+ 4,608є+ 3,294є+5 3,294є+5
2 1 3,294є+5 4,53є+5 3,298є+5 1,031є+6 1,031є+6
2 2 1,031є+6 3,058є+5 1,032Є+6 3,294є+5 3,294є+5 3,251є+5 3,251є+5
2 3 3,251є+5 2,065є+5 3,231є+5 1,031є+6 1,031є+6 2,157є+5 2,157є+5
2 4 2,157є+5 1,871є+5 2,149є+5 3,247є+5 3,251є+5 1,892є+5 1,892є+5
3 1 1,892є+5 2,32Є+5 1,891є+5 2,155є+5 2,156є+5 4,408є+5 4,408є+5
3 2 4,408є+ 2,298є+5 4,432є+5 1,891є+5 1,892є+5 2,19є+5 2,19+5
3 3 2,086є+ 2,198є+5 4,413є+5 4,409є+5 2,059є+5 2,059є+5
3 4 2,19є+5 2,066є+5 2,192Є+5 2,191є+5 1,741є+5 1,741є+5
4 1 2,059є+5 1,668є+5 1,739є+5 2,061є+5 2,060Є+ 3,605є+5 3,605є+5
4 2 1,741є+5 1,733є+5 3,596є+5 1,741є+5 1,827є+5 1,827є+5
4 3 3,605є+5 1,808є+5 1,833є+5 3,603є+5 1,741є+5 1,713є+5 1,713є+5
4 4 1,827є+5 1,674+5 1,712є+5 1,829є+5 3,604є+5 1,742є+5 1,742є+5
1,713є+5 1,794є+5 1,741є+5 1,713є+5 1,828є+5
1,742є+5 1,741є+5 1,713є+5
1,742є+5
сумма 9.548є+7 9.548є+7 9.548є+7 9.548є+7 9.548є+7 9.548є+7 9.548є+7
5 2 0.0237 0.000157 3.924є-5 9.771є-6 2.439є-6 6.098є-7
В табл. 3, аналогично табл. 2, приведены значения Е , S<'NmNo2> в частотных ин-
А П'2 '1'2
тервалах й гг2, г1 = 1,2,3,4, г2 = 1,2,3,4, при различных значениях размерности И01 х И02 расширенного изображения. Вычисления выполнены для первоначального изображения размерности N = N = 256 (увеличенная копия изображения на рис. 4) при Я1 = Я2 = 4 .
Результаты, приведенные в табл 2 и 3, показывают, что расширение изображения нулями до размерности 2048х2048 пикселей позволяет получить суммы квадра-
тов абсолютных значений коэффициентов ДПФ, соответствующих частотным интервалам й , г1 = 1,2,3,4, г2 = 1,2,3,4, с незначительным среднеквадратическим отклонением от
оценок энергии Е .
Значения в табл. 2 и 3 показывают, что при увеличении размерности исходного изображения выигрыш в погрешности аппроксимации значений коэффициентов ДПФ на основании интегральной оценки становится незначительным, так как большая размерность исходного изображения определяет значительное количество коэффициентов ДПФ, входящих в заданные частотные интервалы.
Таблица 3
Суммы $552Л) квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ и энергии Е в соответствующих частотных интервалах ( = Ы2 = 256 )
Г1 Г2 Е те Расширение изображения до следующей размерности
256х256 $(256,256) г1г2 512х512 $(512,512) 1024х1024 о(1024,1024) 2048х2048 $ (2048,2048) ГГ2
1 1 1,481е+9 1,489е+9 1,481е+9 1,481е+9 1,481е+9
1 2 8,477е+6 6,302е+6 8,479е+6 8,477е+6 8,477е+6
1 3 3,304е+6 2,319е+6 3,303е+6 3,304е+6 3,304е+6
1 4 1,425е+6 7,305е+5 1,425е+6 1,425е+6 1,425е+6
2 1 8,981е+6 6,463е+6 8,978е+6 8,981е+6 8,981е+6
2 2 3,б39е+6 3,632е+6 3,641е+6 3,64е+6 3,64е+6
2 3 1,859е+6 1,856е+6 1,858е+6 1,859е+6 1,859е+6
2 4 6,882е+5 6,874+5 6,881е+5 6,882е+5 6,882е+5
3 1 3,525е+6 2,6е+6 3,527е+6 3,526е+6 3,525е+6
3 2 2,463е+6 2,458е+6 2,462е+6 2,463е+6 2,463е+6
3 3 1,102е+6 1,106е+6 1,102е+6 1,102е+6 1,102е+6
3 4 3,771е+5 3,756е+5 3,772е+5 3,771е+5 3,771е+5
4 1 1,566е+6 8,34е+5 1,565е+6 1,566е+6 1,566е+6
4 2 9,712е+5 9,686е+5 9,712е+5 9,712е+5 9,712е+5
4 3 4,695е+5 4,691е+5 4,696е+5 4,695е+5 4,695е+5
4 4 1,831е+5 1,842е+5 1,833е+5 1,832е+5 1,831е+5
Сумма 1.521е+9 1.521е+9 1.521е+9 1.521е+9 1.521е+9
8 2 0.00598 3.908е-6 8.693е-7 2.122е-7
При сравнении вычислительной сложности алгоритма вычисления оценки энергии Е исходного изображения в частотных интервалах й , г1 = 1,2,...,Я1, г2 = 1,2,...,Е2,
и алгоритма вычисления коэффициентов ДПФ на основании алгоритма БПФ будем рассматривать изображения различной размерности, полученные путем расширения исходного изображения нулевыми строками и столбцами до размерности 128х128, 25бх25б, 512х512, 1024х1024 и 2048х2048 пикселей.
Сравнение вычислительной сложности алгоритмов.
Приведем результаты сравнения вычислительной сложности алгоритма вычисления энергии сигналов в отдельных частотных интервалах на основе теории субполосного анализа-синтеза и алгоритма вычисления коэффициентов ДПФ на основе алгоритма БПФ.
Рассмотрим вычислительную сложность алгоритма вычисления М-мерного ДПФ множества, содержащего (^х^х...хЭД0 элементов, где N0 - некоторая степень числа 2. Известно [1], что если для вычисления коэффициентов преобразования с разбиением по строкам и столбцам применить одномерный алгоритм БПФ по основанию 2, то вычислительная сложность расчетов определяется Сст операциями умножения,
СОРТ = ШМ 1о& N0.
Вычислительная сложность алгоритма вычисления энергий Ег одномерного сигнала, содержащего N отсчетов, в отдельном частотном интервале иг, г = 1,2,...,Я, с учетом свойств собственных чисел и собственных векторов субполосных матриц, используемых в соотношении (4), определяется выражением [2]
С =
К-'СЛС1 и .
Я
Можно показать, что вычислительная сложность алгоритма вычисления частей энергий Е изображения (двумерного сигнала), содержащего N1 хИ2 пикселей, в отдельном частотном интервале й , г = 1,2,...,Я1, г2 = 1,2,...,Я2, с учетом свойств собственных чисел и собственных векторов субполосных матриц, используемых в соотношении (10), определяется выражением
(N1 + 4 ЯД N2 + 4 Я2)
ЯЯ 2 .
Следовательно, отношение трудоемкости вычислений ДПФ сигналов, размерности N0 и N0xN0, и вычислений энергий сигнала, размерности N в одномерном случае и изображения, размерности N1 = N2 = N, в отдельных частотных интервалах при условии Я1 = Я2 = Я, определяется следующими соотношениями соответственно,
С1 = N0 1о§2No Я (13)
1 N (N + 4 Я) ’ ^
С = 2N0 1о§2 N Я2
2 N 2( N + 4 Я)2 . (14)
В табл. 4 для N = 64 и Nl = N2 = N = 64 приведены значения величин С1 (13) и С2 (14) при различных значениях величин N0 и R. Сигналы и изображения различной размерности N0 и N0 xN0 получены в результате расширения нулями исходных сигналов и
изображений, размерности N и NxN, до размерности N0 и N0xN0 соответственно. В
таблице также на примере исходных сигнала и изображения, приведенных на рис. 1 и 4, указаны среднеквадратическое отклонение 81 (6) множества значений $г(No) относительно множества значений Ег, г = 1,2,...,Я, и среднеквадратическое отклонение 82 (12) множества значений s(NolNo2'> относительно множества значений Е , г= 1,2,...,Я,,
г1г2 г1г2 1 1
г2 = 1,2,...,Я2.
Значение отношений вычислительной сложности алгоритмов ДПФ и вычисления интегральной оценки коэффициентов ДПФ в частотных интервалах
и значение погрешности аппроксимации ( N = = Ы2 = 64 )
N=64 Расширение сигнала до следующей длины, N0
64 128 256 512 1024 2048
R=2 81 0.00334 0.000493 0.000113 2.773е-5 6.89е-6 1.722е-6
С1 0.17 0.39 0.88 2 4.44 9.78
R=4 81 0.00486 0.000863 0.000203 5.015е-5 1.249е-5 3.121е-6
С1 0.3 0.7 1.6 3.6 8 17.6
R=8 81 0.0731 0.0179 0.00443 0.0011 0.000275 6.897е-5
С1 0.5 1.17 2.67 6 13.33 29.33
R=16 81 0.0812 0.0206 0.00514 0.00128 0.00032 8.011е-5
С1 0.75 1.75 4 9 20 44
-№=N2= =64 Расширение изображения до следующей размерности, Мпх N02
64х64 128х128 256х256 512х512 1024х1024 2048х2048
Rl=R2= =2 82 0.0104 4.361е-5 1.049е-5 2.6е-6 6.485е-7 1.620е-7
С2 0.0093 0.0432 0.197 0.889 3.951 17.382
Rl=R2= =4 82 0.0237 1.576е-4 3.924е-5 9.771е-6 2.439е-6 6.098е-7
С2 0.03 0.14 0.64 2.88 12.8 56.32
Rl=R2= =8 82 0.0512 2.343е-4 7.639е-5 1.984е-5 5.004е-6 1.253е-6
С2 0.0833 0.389 1.778 8 35.555 156.444
Rl=R2= =16 82 0.109 0.001 1.311е-4 3.144е-5 7.854е-6 1.964е-6
С2 0.187 0.875 4 18 80 352
Значения, приведенные в табл. 4, показывают, что применение анализируемой оценки коэффициентов ДПФ позволяет существенно снизить вычислительные затраты для достижения приемлемой погрешности аппроксимации суммы квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ в заданных частотных интервалах (энергии сигналов) по сравнению с использованием ДПФ для расширенных нулями сигналов и изображений.
Уменьшение величины среднеквадратического отклонения суммы квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ относительного точного значения долей энергии в заданных частотных интервалах экспериментально подтверждает факт, что расширение нулями одномерного сигнала или изображения позволяет получить интерполяцию косинусного преобразования на основе большего количества коэффициентов ДКП.
Следовательно, исследованные в работе интегральные оценки коэффициентов ДПФ могут быть использованы для вычисления энергий сигналов и аппроксимации значений суммы квадратов абсолютных значений коэффициентов ДПФ, соответствующих заданным частотным интервалам, что может быть использовано при разработке эффективных методов анализа и синтеза речевых сигналов и изображений.
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, гос. контракт № 14.740.11.0390.
Литература
1. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов: учеб. пособие [Текст] / А.Б. Сергиенко. - 3-е изд. - СПб.: БХВ-Петербург, 2011. - 768 с.
2. Жиляков, Е.Г. Методы анализа и построения функций по эмпирическим данным на основе частотных представлений [Текст] / Е.Г. Жиляков. - Белгород, Изд-во БелГУ, 2007. - 160 с.
3. Жиляков, Е.Г. Метод определения точных значений долей энергии изображений в заданных частотных интервалах [Текст] / Е.Г. Жиляков, А.А. Черноморец, И.В. Лысенко // Вопросы радиоэлектроники. - Сер. РЛТ. - 2007. - Вып. 4. - С. 115-123.
ON COMPUTATIONAL COMPLEXITY OF ENERGY ESTIMATION OF VOICE SIGNALS AND IMAGES
A.A. CHERNOMORETS
Belgorod National Research University
e-mail:
chernomorets@bsu.edu.ru
This work provides the analysis of the estimates of the sum of squares of DFT coefficients that correspond to special frequency intervals in the normalized frequency domain. The analysis focuses on the complexity and accuracy of the computation of energies of voice signals and images based on DFT and the theory of sub-band analysis-synthesis. The comparative results of the computational complexities of the described methods are provided.
Key words: DFT, FFT, voice signal, image, integral estimate, standard deviation.
