О вычислении комплексных корней полиномов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Times (sec) 3000

2500

2000

1500

1000

500

50

100

150 200

Рис. 8. Вычисли тслынле 'эксперименты с использованием КТ-алшритма с применением КТО и алгоритма вычисления характеристическою полинома в Mathematica 5.1 (пунктиром)

Times (see)

Рис. 9. Вычислительные жеперименты с использованием КГ-алгоритма с применением КТО и алгоритма вычисления характеристического полинома в Маріє 9.5 (пунктиром)

11 одведем итоги. Самым быстрым для малых порядков матриц теоретически и практически является прямой алгоритм Сейфулииа. Для матриц, у которых порядки меньше 200. самым быстрым является прямой алгоритм Сейфуллина. а для матриц, порядок которых

более 200. самым быстрым является КТ-алгоритм с применением КТО. При этом КТ-алгоритм показывает хорошее согласие с (рафиком функции t = к}п4. а алгоритм Ссйфуллина- с графиком функции / = hrr.

Сравнение с алгоритмами, реализованными в системах Mathematica и MAPLE, оказывается не в пользу этих систем. Так. для матриц 200 порядка, характеристический полином которых вычисляется С ПОМОЩЬЮ КТ алгоритма с применением КТО и прямым алгоритмом Сейфуллина за одинаковое время, они выигрывают в 6 раз по сравнению с алгоритмом, реализованным в системе Mathematica, и 3.8 раза - по сравнению с алгоритмом, реализованным в системе MAPLE.

ЛИТЕРАТУРА

1. Машшоыак ГЛ. A computation of the characteristic polynomial of an endomorphism of a free module / Записки научным семинаров ПОМИ. 1999. T. 258. С. 101-114.

2. Переславцет О.Н. Оценка числа бит-умножений в алгоритмах вычисления определителя, характеристическою полинома и присоединённой матрицы ,/ XI Державинские чтения. Тамбов, 2006. С. 79-83.

3. Переславцева ОН. История и современное состояние теории алгоритмов вычисления характеристического полинома матрицы // Современное математическое образование и проблемы истории и методологии математики: междунар. науч. конф. Тамбов, 2006 С. 130-134.

4. ( «йфу.-мви Т.}‘. Вычисление определителя, присоединённой матрицы и характеристического полинома бел деления // Кибернетика и системный анализ. 2002. №5. С. 18-42.

5. Фа<кЯхч< /{.!{., ФаМеева В Н Вычислительные методы линейной алгебры. М., Л.: Гос. изд-во физ.-мат. лит , 1963.

6. Jounaidi Abdeijaoued THFSE «Algonthmes rapides pour Ic Calcul du Polynome Caractcristique Grade de doctcur de I'Universite de I ranche-Comte, 22 mars 1997.

7. ('histovA./.. Fast parallel calculation of the rank of matrices over a field of arbitrary characteristic Proc. FCT '85. Springer L ecture Notes in Computer Science 199, 1985. PP. 147-150.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ, проект 04-07-90268.

Поступила в редакцию 19 октября 2006 г.

О ВЫЧИСЛЕНИИ КОМПЛЕКСНЫХ КОРНЕЙ полиномов

© Г.И. Малашонок, А. А. Бетин

Malashonok (М.. Betin A. A. On calculation of complex radicals of polynomials.

Задача состоит в нахождении всех корней уравнения

/(-’) = 0 - (2)

с заданной точностью где Е - ото максимальная по модулю ошибка вычисления действительной и мнимой части каждого корня.

Выделим у коэффициентов и неизвестного 2 ^ X + iy действительную и мнимую части и представим функцию f(x) как сумму ее действительной и мнимой части. Тогда задача сводится к решению системы уравнений.

Приближенное вычисление корней полиномов является одной из важных задач вычислительной математики. Мы предлагаем алгоритм вычисления комплексных корней полиномов с любой требуемой точностью, при этом используются только рациональные вычисления и алгоритмы вычисления действительных корней полиномов с действительными коэффициентами с требуемой точностью.

Рассмотрим полином над полем комплексных чисел

+«!?” 1+а>” 2 + ... + а„2 + а„и (I)

которая получена приравниванием действительной и мнимой части полинома к нулю.

Обозначим

Яе( ,/ ( .- )) = ф „ (.г, г ),

1т( /{:)) = Ф , ( л, V ).

Тогда система будет иметь вид

Фо(*л0 = О. (3)

ф,<^г, V) = 0.

Система (3) - это система, состоящая из 2-х алгебраических уравнений с 2-мя неизвестными.

Рассмотрим идеал Ш =- (ф0.ф,) с /фг, у], порожденный (р0 и ф,. Каждое решение системы (3) обращает в ноль любой элемент идеала 1(1. Построим такие полиномы. которые лежат в этом идеале и содержат только одну переменную д- или у. Тогда х компоненты всех решений системы (2) будут находиться среди корней первого полинома, а у компоненты - среди корней второю полинома. Для нахождения таких полиномов можно воспользоваться алгоритмом вычисления последовательности полиномиальных остатков [1-2|.

Ьудем считать, что V - старшая переменная и будем рассматривать полиномы в кольце &[*)[у]- Обозначим через г /' степень полинома/по переменной у. Пусть,

ДЛЯ определенности, degy ф| нс превосходит (Зе§у ф0. Тогда можно построить последовательность полиномиальных остатков гю следующей схеме:

а,<р0 + р|<р, =ф2, а2Ф| +Р2Ф2 ~ Фз-

а».Ф*-1+Р»Ф*=Ф*+1'

1'де а,.}*/ е Щх] выбираются так. чтобы выполнялось условие dcgl ф, < dcgl.ф(+] != 1.2.п. (1ед,.фяИ - 0-

Операция вычисления ф, на шаге / -1 называется операцией псевдоделения [1-2]. Не трудно видеть, что найденные таким образом ф; находятся в 1(1. Рассмотрим

Ф(Ч,+1=о ■ (4)

Все действительные части корней уравнения (2) находятся среди корней уравнения (4).

Аналогично можно поступить, считая х старшей переменной и рассматривая ф, в Я[у|[х].

В результате новой серии псевдодслений получаем уравнение

Ф(>0а+1=0' (5)

где ф(_у)л+1 е /?[у]. Среди корней уравнения (5) находятся все мнимые части корней уравнения (1).

Составим все возможные пары чисел (лг/Лу*). из

корней уравнений (4) и (5). при этом корни будем вычислять с точностью Е. Тогда среди этих пар будут находиться все решения системы (2) с требуемой точностью.

Определим функцию, характеризующую погрешность вычисления пар (ху,^) следующим образом:

егг(х,.ук) \щ(хгук) +,ф,v;). (6)

Выбрав п пар чисел (.v;, у^). для которых err ( х j, v к ) принимает наименьшие значения, находим корни уравнения (I) z = хj + />’* • При этом, если

все корни уравнения (1) простые, то получаем п различных корней уравнения (I), в противном случае получаем п корней уравнения (1) с учетом их кратности.

Гели коэффициенты исходного полинома являются действительными числами, то найденные корни буду г действительными или комплексно сопряженными. Выбирая пары комплексно сопряженных корней, получим квадратичные сомножители в разложении на множители данного полинома. Действительные корни будут соответствовать линейным сомножителям. Тем самым будет получено разложение полинома над полем действительных чисел на неприводимые сомножители [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М : Мир, 1994.

2. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / поя ред. В. Бухбергера, Дж, Коллидина, Р. Лооса. М.: МИР. 1986.

3. Фихтенго:1ьц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. 1970. Т. 1-3.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа частично поддержана грантом РФФИ 04-07-902686.

Поступила в редакцию 19 октября 2006 г.