CC BY
28
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 4-1
УДК 53.043, 51-73, 532.51, 538.931 DOI 10.23683/0321-3005-2017-4-1-44-50
О ВЫЧИСЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА В ЗАДАЧЕ О СЕДИМЕНТАЦИИ ПРИМЕСИ*
© 2017 г. Н.М. Полякова1, Е.В. Ширяева1
1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
ON THE CALCULATION OF THE COEFFICIENT OF TURBULENT TRANSFER IN THE PROBLEM OF IMPURITIES SEDIMENTATION
N.M. Polyakova1, E.V. Shiryaeva1
1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
Полякова Наталья Михайловна - ассистент, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: zhuk_nata@mail.ru
Ширяева Елена Владимировна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: shir@math.sfedu.ru
Natalya M. Polyakova - Assistant, Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: zhuk_nata@mail.ru
Elena V. Shiryaeva - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: shir@math.sfedu.ru
Рассмотрена задача о седиментации примеси в сплошной среде, состоящей из двух слоев. Верхний заполнен жидкостью и взвешенной примесью. Нижний представляет собой многофазную среду, состоящую из жидкости и осадочной примеси. В исходной трехмерной модели считается, что течение в верхнем слое носит турбулентный характер. При помощи процедуры осреднения по толщине верхнего слоя указанная модель редуцируется в задачу для двухмерных уравнений. В исходной модели зависимости коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии от вертикальной координаты выбраны в виде параболы и обращаются в нуль на свободной границе верхнего слоя и на нижней границе нижнего слоя. В этом случае равновесный вертикальный профиль скорости течения жидкости является логарифмическим, а равновесный вертикальный профиль концентрации представляет собой хорошо известный в гидравлике профиль Роуза - некоторую степень от дробно-линейной функции вертикальной координаты. При осреднении возникают коэффициенты турбулентного переноса, которые сохраняют информацию о трехмерной модели и зависят от параметров задачи. При использовании численных алгоритмов, например, конечно-разностных методов, на каждом временном шаге эволюционной задачи приходится проводить трудоемкие вычисления коэффициентов турбулентного переноса. Для уменьшения объема вычислений и, как следствие, ускорения расчетов предлагаются аналитические и асимптотические формулы, варианты аппрокси-мационных соотношений, справедливые в широком интервале изменения параметров. Вычислительный эксперимент показал, что использование аппроксимационных формул позволяет значительно ускорить проведение расчетов практически без существенной потери точности.
Ключевые слова: седиментация, уравнения переноса, турбулентная вязкость, турбулентная диффузия, равновесные профили скорости и концентрации, профиль Роуза.
The problem of sedimentation of impurity in a continuous medium consisting of two layers is considered. The top layer is filled with liquid and the suspended impurity. The bottom layer is a multiphase medium consisting of fluid and sediment impurity. It is considered that in the original three-dimensional model the flow in the upper layer is turbulent in nature. Using a procedure of averaging over the thickness of the upper layer the model is reduced to the problem for two-dimensional equations. In the original model the dependences of the coefficients of turbulent viscosity and diffusion of the vertical coordinates are chosen as a parabola and vanish on the free boundary of the upper layer and the lower boundary of the lower layer. In this case the equilibrium of the vertical velocity profile of the fluid flow is logarithmic, and the equilibrium of the vertical concentration profile is a well-known hydraulic
* Работа поддержана базовой частью проекта № 1.5169.2017/8.9 Министерства образования и науки Российской Федерации, Южный федеральный университет.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 4-1
Rose profile - some degree from the fractional-linear functions of the vertical coordinate. While averaging the coefficients of turbulent transfer occur, which store information about the three-dimensional model and depend on the parameters of the problem. When using numerical algorithms, e.g., finite-difference methods, at each time step of the evolutionary tasks it is necessary to carry out time-consuming calculation of the coefficients of turbulent transfer. To reduce the amount of calculations and, consequently, speed up calculations, analytic formulas, asymptotic formulas, and approximation ratios of the options, fair in a wide range of parameter changes, are proposed. The numerical experiment showed that the use of approximation formulas can significantly speed up calculations almost without significant loss of accuracy.
Keywords: sedimentation, transport equations, turbulent viscosity, turbulent diffusion, equilibrium profiles of velocity and concentration, Rouse profile.
Введение
В гидрологии важное значение имеет задача о распределении взвешенной примеси в потоках жидкости, например, в русловых потоках рек, внутренних течениях в морях и океанах. Достаточно часто для решения такой проблемы используют процедуру осреднения по толщине слоя жидкости уравнений переноса примеси. При этом возникает незамкнутое уравнение, для замыкания которого требуется вычисление коэффициента у , связывающего между собой среднее от произведения вертикальных профилей скорости и концентрации с произведением их средних. В качестве вертикальных профилей достаточно часто выбираются некоторые «равновесные» решения исходных уравнений, описывающих перенос примеси и движение жидкости, которые сильно связаны с выбором зависимости коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии от вертикальной координаты. В указанной постановке задача довольно хорошо известна в гидрологии и рассмотрена в большом количестве работ, см., например, [1-4] и цитируемую там литературу, где также предлагаются различные способы (асимптотические, аппроксимаци-онные, полуэмпирические и т. п.) для определения или вычисления коэффициента у , иногда называемого F-фактором.
В настоящей работе для сплошной среды, состоящей из двух слоев, верхний из которых заполнен жидкостью и взвешенной примесью, а нижний представляет собой многофазную среду, состоящую из жидкости и осадочной примеси, зависимости коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии от вертикальной координаты выбраны в виде параболы и считаются обращающимися в нуль на верхней (свободной) границе верхнего слоя и на нижней границе нижнего слоя. В этом случае равновесный вертикальный профиль скорости течения жидкости является логарифмическим, а равновесный вертикальный профиль концентрации представляет собой хорошо известный в гидравлике профиль Роуза - некоторую степень от дробно-линейной функции вертикальной координаты.
В случае указанных вертикальных профилей построены аналитические формулы для коэффициента у и приведены аппроксимационные формулы, достаточно хорошо приближающие коэффициент у в широком интервале параметров задачи. Помимо этого, в работе частично исправлены неточности и опечатки работ [3, 5].
Гидростатическое приближение
Для описания переноса взвешенной примеси в турбулентном потоке жидкости используем уравнения переноса примеси, неразрывности и движения жидкости в одном из вариантов гидростатического приближения [4, 6] в безразмерных переменных.
Уравнение неразрывности
ЛУ V = 0. (1)
Уравнение движения (в горизонтальном направлении)
V + V ^ = - - УР + (КпУг) г. (2)
Р
Уравнение гидростатики
Р = -Р . (3)
Уравнение переноса примеси С + V•VC = -а, (4)
2 = -К,С2 - . (5)
Здесь У=(и,^) - скорость сплошной среды в целом; U=(U,V) - горизонтальная скорость; W -вертикальная скорость; P - давление; р - плотность сплошной среды (постоянная); C - массовая концентрация взвешенной примеси; Q - плотность локального (относительно среды в целом) потока концентрации взвешенной примеси (в направлении z); ws - скорость седиментации взвешенной примеси; ^ - коэффициент кинематической турбулентной вязкости; Ks - коэффициент турбулентной диффузии; g - ускорение силы тяжести, действующей в направлении, противоположном оси z.
Предполагаем, что область состоит из слоев Л ,
Л-1. Верхний слой считаем заполненным жидкостью и взвешенной примесью, нижний - жидкостью и осадочной примесью (рис. 1).
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 4-1
Рис. 1. Расположение слоев сплошной среды / Fig. 1. The arrangement of the layers of a continuous medium
Слои Ak и Ak 1 имеют границы fk+1(x,t), f (x,t) , fk—1 (x, t) ,
Ak ={(x, z): rk < z <fk+1}, Ak-1 = {( x, z): Г —1 < z <rk},
Л к _ к+1 к
— ц -ц ,
к 1 к к 1 h — ц -ц .
ик-1/
(z -цк+1)(цк-1- Z)
Кк — Ku..
цк < z <ц
к+1
(6)
Здесь Нк ( х , /) , Нк~ 1( х , /) - толщина слоев сплошной среды, х = (х, у) .
Хотя уравнения записаны в безразмерных переменных, выбранный способ перехода к безразмерным величинам позволяет при желании считать все величины размерными. В частности, в безразмерных уравнениях можно было бы полагать р=1, сокращая тем самым количество параметров, однако в уравнениях (2), (3) плотность р сохранена.
Уравнения, описывающие поведение многофазной сплошной среды в слое Л-1, отличаются от уравнений (1)-(5) и не приведены отчасти по причине их неиспользования в данной работе, а отчасти ввиду того, что потребовались бы достаточно громоздкие, хотя и хорошо известные, пояснения их структуры.
Равновесные вертикальные профили
Зависимость коэффициента турбулентной вязкости от вертикальной координаты z возьмем в виде (см., например, [4, 7])
т^к jrk / k—1 k k +1
Km = Km ( x , z, t) ввиду того, что r , Г , Г зависят от (x,?), но для сокращения записи указано лишь Kkm (z).
Обратим также внимание на то, что коэффициенты турбулентной вязкости и диффузии заданы на
интервале [rk,rk+1], т.е. в области, занятой взвешенной примесью, хотя в формулах присутствует k 1
величина r , являющаяся характеристикой слоя
Л-1 , в котором содержится осадочная примесь. Причины такого кажущегося несоответствия объяснены ниже.
Равновесный вертикальный профиль скорости
Для определения равновесного профиля скорости рассмотрим уравнение (2), полагая U = U(z),
W = 0, т.е. уравнение ——Vx P + (KmU z) z =0, где
P
Vx=(Sx, 5,).
Потребуем постоянства градиента давления в горизонтальном направлении и отсутствия касательных напряжений на границе z = f +1( x, t) V x P = const, (KmU z )| z=fk+1 = 0 .
В этом случае вертикальный профиль горизонтальной скорости U определяется соотношением
U z ) —^-^-
h (1 - In q-p + p h(pq))
где
z — цк-1 + h- 1в, p —
h-1 + h
h
к-1
(7)
(8)
Нк-1 + Нк
где и* - динамическая скорость потока жидкости; к - постоянная Кармана, обычно к = 0,41.
Используя аналогию Рейнольдса, которая означает совпадение, по крайней мере подобие, коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии,
потребуем, чтобы Кс (г) = Ккт (г) .
Здесь и далее указание аргументов функций не означает, что такие функции зависят лишь от этих аргументов. Например, в действительности
кк-1 л
q =-, 1 < р < <х>, pq >1.
20
Здесь zo - параметр шероховатости.
Формула (7) соответствует обычному логарифмическому профилю течения жидкости при турбулентном потоке. Параметр шероховатости z0 задает поверхность, на которой скорость обращается в нуль
г = Лк- 1(х,I) + Zo>, Го <Нк-1, к-, =0.
2 Л + Го
Введение в рассмотрение параметра zo обычно для теории турбулентных потоков и связано с тем, что, например, в случае турбулентной вязкости,
выбранной в виде (6), на поверхности 2 = Т]к 1 (х, ?) вертикальный профиль скорости (7) обращается в бесконечность. Для устранения сингулярности скорости и вводится параметр z0. По этой же причине
~ дк-1
рассматривается и двухслойная модель - слой Л
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 4-1
имитирует шероховатость, и, в принципе, можно
rk-1
к+1
было бы считать, что z0 = hk 1. Заметим, что если (hkc)t + divx J CUdz — Q k .
(11)
вместо коэффициента турбулентной диффузии (6) выбрать коэффициент, обращающийся в нуль при
г = Г(к (х, t), скорость имела бы сингулярность на
поверхности г = г^ (х, t), и вновь потребовалось бы вводить параметр шероховатости.
Равновесный вертикальный профиль концентрации
Для определения равновесного профиля концентрации рассмотрим уравнения (4), (5), полагая и = и( г) , Ж = 0, С = С(г) .
Потребуем отсутствия локального потока примеси на свободной границе слоя г = ^ (х^)
- -С )\г=0.
Интегрирование уравнений (4), (5) с учетом краевого условия и сделанных предположений приводит к уравнению К£г + —С = 0 , решение которого с точностью до постоянной записывается в виде
фо(Х гt)
C(z) z, t) = -
k+1
(9)
J ф0 (x, z, t)dz'
Mx z,t) =
f k+1 7 — Z
z — 7
k—1
z =
w.
KU*
Уравнения являются незамкнутыми, и для их замыкания используем соотношения
и = пНку(г), С = Нкеф(г), (12)
считая выполненными условия нормировки
77к+1(x,t)
J ф(х, z, t )dz = 1,
(13)
77k (x,t) 77k+1(x,t)
J t^(x, z, t )dz = 1.
77k (x,t)
Обратим внимание на то, что нормировка требуется для согласования между собой формул (10), (12).
Подстановка (12), (13) в (11) приводит к замкнутым уравнениям
(hkc)t + divx(/vh ca) = Q\ _ ,
z=7
где
„к+1
П = h J w(z)ф(z)dz.
(14)
(15)
где Z - параметр взвешивания.
Решение приведено для случая Z — const (или wc — const) и соответствует известному профилю
Роуза. На рис. 2 показана функция ф0(z) при различных значениях параметра Z .
Осреднение уравнений переноса примеси
Mz)
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Для осреднения уравнений (4) введем средние по толщине слоя величины
1 7kf
(u, c)(x, t) = — J (U, C)(x, z, t)dz .
h ь
(10)
Интегрируя уравнение (4) по толщине слоя, с учетом уравнения неразрывности (1) и условий материальности границ (границы движутся вместе со сплошной средой)
гк+1 + и -^гк+1= ж , г = гк+1, гк + и-ухгк = ж , г = гк+1,
после несложных преобразований получим
Рис. 2. Вертикальный профиль плотности взвешенной примеси. Функция фо(г) для различных Z: 1 - Z=0,1; 2 - Z=0,3; 3 - Z=0,6; 4 - Z=1,0; 5 - Z=2,0; rf-1 — 0 , 7]k — 1, rk+1 = 10, hk-1 — 1, hk — 9 / Fig. 2. Vertical density
profile of suspended impurities. A function фо(г) for different Z: 1 - Z=0.1; 2 - Z=0.3; 3 - Z=0.6; 4 - Z=1.0; 5 - Z=2.0;
,~k—1 _ n ,,k _ 1
7 =0, 7 =1,
к+1
7
= 10, hk—1 =1, hk =9
В соотношениях (12), выбранных для замыкания осредненного уравнения, в качестве функций ц(т), ф(г) в принципе можно выбирать любые функции, удовлетворяющие условиям нормировки (13), а не только функции, заданные формулами (7), (9).
7
k
П
k
77
0
7
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 4-1
Например, можно выбрать линейные функции, что соответствует методу «смазки», который часто применяется в процедуре замыкания в случае тонких слоев жидкости (см., в частности, [8]).
Выбор функций y(z), ф(г), определенных соотношениями (7), (9), объясняется тем, что в случае,
когда f+1 = const, f = const, такие функции являются точными решениями исходных уравнений, и в гидрологии принято считать, что зависимость у и ф от (x,t) достаточно слабая и функции мало отклоняются от постоянных значений.
Подставляя y(z), ф(т) в (15) и используя замены (8), получим
Yv
, J. I3( p, Z (p-1) In q + 3V7 /
I I2 (p)
1 - In q-p + p ln( pq)
(16)
1з( p, Z) — J ln fl
p -fl
а / а
12 (p, Z) — J|
р-в в
Вид коэффициента уу в зависимости от параметров р и q и различных 2 показан на рис. 3. В реальных условиях параметр шероховатости 20
7„к-1
достаточно мал по сравнению с п , а отношение толщин слоев Ьк к Пк 1 достаточно велико. В этом случае значение параметра уу , например, при 2 = 0,3 достаточно близко к единице и уравнение (14) мало отличается от обычных уравнений переноса примеси. Существенную роль параметр уу начинает играть лишь при достаточно больших значениях параметра взвешивания 2. Например, в случае рис. 3 он не превышает 0,7. Напомним, что вертикальные профили распределения концентрации взвешенной примеси для различных значений параметра взвешивания 2 приведены на рис. 2.
б / b
Рис. 3. Зависимость у отp, g при q е(1,100 ], p е (1,1000 ]: а - Z=0,3; б - Z=2,0 / Fig. 3. Dependence уу onp, g at q е (1,100 ], p е (1,1000 ]: a - Z=0.3; b - Z=2.0
Аппроксимация у
Интегралы 13(р,2), 12(р,2), входящие в формулы (16) и известные как интегралы Эйнштейна [9], в принципе могут быть вычислены при помощи гипергеометрических функций или бесконечных рядов (см., в частности, [10, 11], а также [5])
1з—-
pZn
+ -
sin л(2 +1) Z -1
2f1(pot^qoo,p, (17)
I2 -I3ln p —
pZ (1 + (1- Z )ln p) (Z -1)2
B1-
ZpZ-1 ln p
B2-
p
« B3
(Z — 2)2 2 (Z — 1)2 B1 =3f2( Pll, q^ p~^,
B2 = 3F2 (P22, q22, P~1) , B3 = 3F2 (P1l, 3b 1) ,
P00 = [ Z,—Z +1], q00=[2 — Z ], P11 = [—Z,—Z +1, —Z +1], qn = [2 — Z,2 — Z], p22 = [—Z +1,2 — Z ,2 — Z ], q22 = [—Z + 3, — Z + 3] Здесь pFq - гипергеометрическая функция.
Z
Z
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 4-1
При решении уравнений (14) численными методами, например, при помощи метода конечных объемов, коэффициент уу придется вычислять на каждом шаге по времени и в каждой точке х на пространственно двухмерной сетке. Это означает, что требуются эффективные способы вычисления интегралов 12, 13. Использование для этих целей непосредственно соотношений (17) малоэффективно ввиду того, что формулы содержат гипергеометрические функции, точное вычисление которых по трудоемкости превосходит вычисление интегралов по каким-либо квадратурным формулам.
На практике величины р, X, как правило, удовлетворяют условиям 0 < 2 < 5, р >> 1.
Для вычисления можно использовать асимптотические формулы, которые легко получить, используя асимптотики гипергеометрических функций, в частности, сохраняя конечное число членов ряда в формулах для гипергеометрических функций. Вычислительный эксперимент показал, что в области 2 е [0,02, 4,98] , р е [1,01, 1000] при сохранении двух членов ряда относительная погрешность вычислений 12, 13 не превышает 4 %, а сохранение семи членов ряда позволяет добиться точности 1,5 %.
Асимптотические формулы весьма громоздки. Приведем лишь одну из них для интеграла 13 при п = 3
7з_(Р22 - Р)(2 -1)2 (р2-1 - р)2 ^р2 - р) (18)
7 < 7 < 7
min — — max*
Выберем в качестве узлов ин-
2( 7 - 3)
7 - 2
7 -1
тертшяц™ Pi = Pmin +
i -1
n -1
( Pmax - Pmin) =
(7max - 7min) > 1 = 1 » П , j = 1 ™ .
Zj = Zmin+-Ц.
m -1
Аналог интерполяционного многочлена Ла-гранжа имеет вид
I(p,7) (p,,7j)%(p,7),
i=1 j = 1
% (A 7 )=n
_AP - Pk
m 7 _ 7
n 7 7k
k pi - pk k * j7j - 7k
(19)
(20)
где 1 - один из интегралов 12, 13.
Приведем пример интерполяционных формул, задавая параметры
ршт = 100 , ртах = 300 ,
2тт=0 , 2тах = 0,5 , п = т = 3 . (21)
12(р, 2) « -85,30 + 4,21р + 0,26 • 10-2р2 +
(22)
Эта формула наглядно демонстрирует причину, по которой невозможно построение равномерной по X асимптотики - при целых значениях X формула (18) содержит сингулярности.
«Дефект» асимптотических формул типа (18), конечно, легко исправляется на практике - достаточно продолжить значения асимптотических функций по непрерывности, используя точные значения интегралов, вычисленных при целых X.
В реальной ситуации вместо громоздких точных формул (17) или асимптотических (18), или вычисления интегралов 12 , 13 при помощи квадратурных формул, удобнее использовать полиномиальные интерполяционные соотношения. Это тем более оправданно, потому что, как показывает рис. 3, изменение коэффициента сравнительно плавное, особенно если ограничиваться небольшими интервалами изменения величин р, X.
Укажем один из вариантов интерполяции для интегралов 1 2 (р, 2), 13 (р, 2). Пусть область изменения р, 2 задана неравенствами рт^ < р < ртах ,
+ (10,62 -1,56p - 0,42 • 10-3p2)Z +
+ (-144,11 + 4,91 p + 0,60 • 10-2 p2)Z 2, I3(p, Z) « p -1 + (0,29 - 0,13p - 0,88 -10-4p2)Z +
+ (-35,54 + 2,09p + 0,56 • 10-3p2)Z2 . (23)
Относительная погрешность вычислений для 12, I3 не превышает 0,8 %.
Точность интерполяционных формул можно повысить либо за счет сужения интервалов изменения величин p , Z , либо путём увеличения количества точек интерполяции n. Например, при выборе n = m = 5 точность вычисления интегралов I2, I3 в случае интервалов (21) не превышает 0,02 %. При этом следует помнить, что увеличение п приводит к увеличению степеней полиномов и, как следствие, к возможным вычислительным погрешностям. Во всяком случае при проведении расчетов лучше сохранять формулы (19), (20), не приводя их к развернутому виду (22), (23).
Литература
1. Van Rijn L.C. Principles of sediment transport in rivers, estuaries and coastal seas. Part I. Amsterdam : Aqua Publications-Ill, 1993. 690 p.
2. Van Rijn L.C. Mathematical modelling of morphological processes in the case of suspended sediment transport // Delft Hydra. Commun. 1987. № 382. 260 p.
3. Сеин Д.В. Численное моделирование гидро- и литодинамических процессов морского приливного бассейна : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб., 1992. 24 с.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 4-1
4. Гришанин К.В. Динамика русловых потоков. Л. : Гидрометеоиздат, 1979. 312 с.
5. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Математическое моделирование процесса седиментации примеси в потоке жидкости. Ростов н/Д. : Изд-во ЮФУ, 2016. 208 с.
6. Гилл А. Динамика атмосферы и океана : в 2 т. М. : Мир, 1986. Т. 2. 415 с.
7. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М. : Наука, 1974. 712 с.
8. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В., Полякова Н.М. Моделирование испарения капли жидкости. Ростов н/Д. : Изд-во ЮФУ, 2015. 208 с.
9. Einstein H.A. The bed-load function for sediment transportation in open channel flows // Soil Conserv. Serv. 1950. № 1026. P. 1-31.
10. Guo J. Hunter Rouse and Shields diagram. Advances in hydraulics and water engineering // Proc. 13 th Iahr-Apd. World Scientific Congress. Singapore, 2002. Vol. 2. P. 1096-1098.
11. Guo J., Julien P.Y. Efficient algorithm for computing Einstein integrals // J. Hydraul. Eng. 2004. Vol. 130, № 12. P. 1198-1201.
References
1. Van Rijn L.C. Principles of sediment transport in rivers, estuaries and coastal seas. Part I. Amsterdam: Aqua Publications-I11, 1993, 690 p.
2. Van Rijn L.C. Mathematical modelling of morphological processes in the case of suspended sediment transport. Delft Hydra. Commun. 1987, No. 382, 260 p.
3. Sein D.V. Chislennoe modelirovanie gidro- i lito-
dinamicheskikh protsessov morskogo prilivnogo basseina : avtoref. dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Numerical simulation of hydro- and lithodynamic processes in the marine tidal basin]. Saint Petersburg, 1992, 24 p.
4. Grishanin K.V. Dinamika ruslovykh potokov [Dynamics of channel flows]. Leningrad: Gidrometeoizdat, 1979, 312 p.
5. Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V. Matematicheskoe modelirovanie protsessa sedimentatsii primesi v potoke zhidkosti [Mathematical modeling of the process of sedimentation of an impurity in a liquid flow]. Rostov-on-Don: Izd-vo YuFU, 2016, 208 p.
6. Gill A. Dinamika atmosfery i okeana [Dynamics of the atmosphere and the ocean]: in 2 vol. Moscow: Mir, 1986, vol. 2, 415 p.
7. Shlikhting G. Teoriya pogranichnogo sloya [The theory of the boundary layer]. Moscow: Nauka, 1974, 712 p.
8. Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V., Polyakova N.M. Modelirovanie ispareniya kapli zhidkosti [Modeling the evaporation of a drop of liquid]. Rostov-on-Don: Izd-vo YuFU, 2015, 208 p.
9. Einstein H.A. The bed-load function for sediment transportation in open channel flows. Soil Conserv. Serv. 1950, No. 1026, pp. 1-31.
10. Guo J. Hunter Rouse and Shields diagram. Advances in hydraulics and water engineering. Proc. 13th Iahr-Apd. World Scientific Congress. Singapore, 2002, vol. 2, pp. 1096-1098.
11. Guo J., Julien P.Y. Efficient algorithm for computing Einstein integrals. J. Hydraul. Eng. 2004, vol. 130, No. 12, pp. 1198-1201.
Поступила в редакцию /Received
26 сентября 2017 г. /September 26, 2017
