CC BY
35
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 6-10
Математика :
УДК 511
О выборе приближения числа элементов в конечной последовательности значений неприводимого полинома от простого аргумента
Е. В. Вахитова, С. Р. Вахитова
Аннотация. В работе получена теорема об одном выборе приближения числа элементов в конечной последовательности специального вида.
Ключевые слова: приближение, число, последовательность, полином.
Введение. При решении теоретико-числовых задач методом решета возникает необходимость в выборе приближения числа элементов в конечной последовательности специального вида. В настоящей работе осуществлен выбор приближения числа элементов в конечной последовательности значений неприводимого полинома от простого аргумента. Пусть ¥(п) — неприводимый полином степени д с целыми коэффициентами (д, п Є М, ¥(п) = ±п). Обозначим через р(й) число различных по модулю й решений сравнения ¥(п) = 0(шоё й), где й Є N. Предположим, что р(р) < р для всех простых чисел р, причем р(р) < р — 1, если р \¥(0). Рассмотрим конечную последовательность А значений неприводимого полинома ¥(п) для п = р, то есть ¥(р) при р ^ х (х Є М, х > 1):
А = {¥(р)\р — простое число, р ^ х}. (1)
Пусть число й свободно от квадратов, X Є М, X > 1, ш(й) — мультипликативная функция, такая, что X является приближением числа элементов в последовательности А, делящихся на число й.
Обозначим через Аа последовательность
Аа = {¥(р) Є А\¥(р) = 0(шоё й)}
и через \ Аа\ — число элементов в Аа, тогда X — приближение числа \А^\, \Аа\ = \{¥(р) Є А\¥(р) = 0(шоё й)}\, а так как й свободно от квадратов, то
¡i(d) = 0, где ц(и) — функция Мёбиуса, которая определяется следующим равенством:
(l, n = 1,
V(n)=<(-1)s, n = pi,p2,...,ps,
I 0, p2 |n
(здесь pl,p2,... ,ps — попарно различные простые числа).
Поставим задачу: осуществить выбор приближения числа элементов в конечной последовательности Ad значений неприводимого полинома F(p) от простого аргумента p.
При этом будем применять сведения по теории сравнений из [1] и [2]. Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть последовательность A определена равенством (1), u(d) — мультипликативная функция, такая, что X есть
приближение числа элементов в конечной последовательности A значений неприводимого полинома от простого аргумента, делящихся на свободное от квадратов натуральное число d, X є R, X > 1. Тогда имеет место следующее равенство:
X = И х.
Доказательство. Для числа lAdl получим следующее равенство:
Adi = £ ^ £ £ 1
p^x l^m^d P^x
F(p) = 0( mod d) F(m) = 0( mod d) p=m( mod d)
Теперь рассмотрим отдельно суммы для (m,d) = 1 и (m,d) > 1:
iAdl= £ £ 1+ £ £ 1.
l^m^d P^x l^m^d P^x
F(m) = 0( mod d) p=m( mod d) F(m) = 0( mod d) p=m( mod d)
(m,d) = 1 (m,d) > l
Обозначим через n(x; d,m) внутреннюю сумму при (m,d) = 1: п(х; m,d)= ^ 1 при (m,d) = 1.
p^x p=m( mod d)
Учитывая, что p(d) есть число различных по модулю d решений сравнения F(n) = 0(mod d), получим для lAdl следующее равенство:
lAdl = ^2 п(х; m,d) + dp(d),
l^m^d F(m) = 0( mod d)
(m,d) = l
где 0 ^ в ^1.
Обозначим через pl(d) число решений сравнения F(m) = 0(mod d) для (m, d) = 1.
Сравним функции pi и р. Имеем
Pi(d) = n Pi(p), Kd) = 0,
p\d
a p1(d) — число решений сравнения F(m) = 0(mod d) при p \m.
Но тогда, если m=0 не является решением указанного сравнения, то pi(d) = p(d), если m = 0 является решением, то в pi(d) оно не учитывается,
поэтому pi(d) = p(d) — 1. Так как m = 0 является решением тогда и только
тогда, когда p\F(0), то
n (p) = fP(P)l P lF(0)
M'P) = \ P(P) — 1, P\F (0).
Кроме того, известно, что р(р) ^ g, если р(р) < p (см. [1], гл. 15, §1, теорема 148, с. 128), поэтому
pi(p) < P(d) ^ gu(d), n(d) = 0,
если р(р) < p для всех p\d, где v(n) — число различных простых делителей натурального числа n.
Таким образом, учитывая, что интегральный логарифм определяется равенством
X
f du li x = -—,
J in u
2
получим для числа \Ad\:
\Ad\ = _Ed (¡ї(|+n(x; dm — фщ) + wd) =
F(m) = 0( mod d)
(m,d) = 1
= £ фщ + £ {n(x; dm — фщ)+
1,m,d rV ' 1,m,d 4 rv У/
F(m) = 0( mod d) F(m) = 0( mod d)
(m,d) = 1 (m,d) = 1
где ф(n) — функция Эйлера (которая определяется как число натуральных чисел, не превосходящих натурального числа n, и взаимно простых с n). Обозначим через R(x, d) выражение
R(x,d) = £ fn(x; d,m) — ) + 0p(d).
1,m,d ' ф\ ) /
F(m) = 0( mod d)
(m,d) = 1
Тогда, учитывая, что р1(р) есть число решений сравнения ¥(т) = 0(шоё (I) для (т,й) = 1, получим равенство
11 X
\М = фЩ) Р1 №) + Е(х, (1)-
Для \К(х,й)\ можно получить неравенство. Пусть
11 х
E(x, d) = max max
2<d<X
(m,d) = l
n(x; d, m) —
ф(ІЇ)
Тогда
I R(x, d)| ^ p(d)(E(x, d) + 1).
Так как p(d) ^ gv(d\ если ß(d) =0, то
| R(x, d)I ^ gv(d\E(x, d) + 1).
Поэтому можно выбрать
X = li x, u(d) = P]_(} d, ф(і)
так что функция u(d) — мультипликативная и
^ x=Фт ^
Теорема 1 доказана.
Список литературы
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966. 384 с.
2. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981. 176 с.
Вахитова Екатерина Васильевна (a1gebraist@yandex.ru), к.ф.-м.н., профессор, кафедра цифровых технологий, Воронежский государственный университет.
Вахитова Светлана Рифовна (a1gebraist@yandex.ru), ассистент, кафедра математического анализа, Воронежский государственный университет.
On choice of approximate numbers element in final sequence meaning simple polynomial of simple argument
E.V. Vakhitova, S.R. Vakhitova
Abstract. In this paper we obtain theorem on one choice of approximation number element in final sequence special variety.
Keywords: approximation, number, sequences, polynomial.
Vakhitova Ekaterina (algebraist@yandex.ru), candidate of physical and mathematical sciences, professor, department of digital technologies, Voronezh State University.
Vakhitova Svetlana (algebraist@yandex.ru), assistant, department of mathematical analysis, Voronezh State University.
Поступила 12.06.2011
