CC BY
4ВКВ0-202 3 СТЕНДОВЫЕ
О ВЫБОРЕ ПАРАМЕТРОВ КООРДИНАТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ ГЕНЕРАЦИИ АДАПТИВНЫХ СЕТОК В ЗАДАЧАХ СО СЛОЯМИ
Паасонен В.И. 12*, Стрелкова С.Е. 2, Федорук М.П. 2,1
1 Федеральный исследовательский центр информационных и вычислительных технологий, г. Новосибирск 2 Новосибирский государственный университет, г. Новосибирск * E-mail: [email protected] DOI 10.24412/2308-6920-2023-6-382-383
Для задач с узкими зонами быстрого изменения решения, называемых слоями (пограничными или внутренними), использование равномерных сеток является весьма затратным из-за того, что сильное ограничение на размер шага сетки приходится выдерживать и вне слоя, где настолько подробная сетка не требуется. По этой причине целесообразно применять адаптивные сетки, сгущающиеся в слоях. Существуют адаптивные методы, основанные на итеративном построении сеток одновременно с решением стационарных разностных задач или на динамическом перестроение сеток во времени при решении нестационарных задач. При реализации таких алгоритмов требуется совместно с основной задачей решать эллиптическое уравнение для управляющей функции, определяющей координатное преобразование к новым переменным, в которых градиенты решения всюду в области умеренные.
Менее универсальным, но более экономичным является метод явного задания узлов на основе априорно определяемых координатных преобразований, впервые предложенный Бахваловым [1] для решения уравнений с малым параметром при второй производной. Последующие (довольно доныне популярные) преобразования [2, 3] также, как и [1], пригодны для устранения только экспоненциальных слоев. В настоящее время известны различные формулы координатных преобразований, генерирующих сетки с разумным сгущением в экспоненциальных, степенных, логарифмических и гибридных слоях (см. монографии [4-5] и приведенную в них библиографию).
В некоторых случаях из-за недостатка информации заранее сложно предсказать тип слоя, указать вид наиболее подходящего координатного преобразования и значения его параметров. В то же время проводить многочисленные пробные расчеты одной и той же задачи в поисках наиболее удачной сетки расточительно, особенно если речь идет о многомерных задачах.
В данной работе для построения эффективных сеток предлагается экономичный способ выбора координатного преобразования и его параметров. Суть метода заключается в своеобразной «примерке» различных сеток к типичным решениям. Типичным решением может быть либо точное решение дифференциального уравнения, либо надежное по точности численное решение. Экономичность данного способа заключается в том, что характерный профиль решения находится лишь один раз, а затем он интерполируется на различные сетки, независимо сгенерированные по явным формулам с различными значениям параметров. Затем из коллекции построенных сеток выбираются наиболее адекватные по естественным критериям на основе исследования полученных линейных полигонов (профилей решения на построенных сетках). Отбраковке подлежат сетки, для которых зона сгущения узлов покрывает только часть слоя или, напротив, простирается за пределы слоя, или доля числа узлов в слое избыточна (или, наоборот, недостаточна), или в покрытии слоя узлами имеются промежутки. Основанием для признания сеток пригодными является одновременное выполнение объективных формализованных критериев (слабое изменение модуля приращения решения на шаге в пределах слоя и уменьшение его приблизительно вдвое при удвоении числа шагов сетки). Кроме объективных критериев часто требуется также субъективный взгляд, роль которого особенно важна при выборе единой формулы преобразований по отношению ко всему семейству задач с переменным значением малого параметра, так как для каждой отдельной задачи оптимальные значения параметров, полученные по объективным критериям, несколько разнятся.
В случае, если координатное преобразование зависело от двух свободных параметров, то сначала варьировался более значимый параметр (масштаб слоя) при фиксированном второстепенном параметре. Из множества построенных сеток по критериям выбиралось наиболее оптимальное значение масштаба, и оно фиксировалось, после чего отбор продолжался по второму параметру. В заключение сравнивались между собой сетки, соответствующие разным координатным преобразованиям. В испытаниях участвовали классическая формула [1] для экспоненциальных слоев единичного масштаба, универсальная формула Лисейкина [4], пригодная для экспоненциальных слоев любого масштаба и для степенных слоев первого рода, и специальная формула для степенных слоев второго рода [5].
ВКВО-2023- СТЕНДОВЫЕ
Таким способом был осуществлен выбор формул преобразований и их параметров для построения адаптивных сеток для трех краевых задач. Первая задача - ударный переход (размазанная ударная волна с малым параметром вязкости), являющийся точным решением уравнения Бюргерса (Хопфа). Вторая группа задач - комплексные точные решения в виде солитона для уравнений Шредингера и Гинзбурга-Ландау. В этих задачах роль малого параметра играла величина, обратная к размерному времени, а в качестве профиля использовался модуль решения. Третья задача - течение вязкой несжимаемой жидкости в квадратной каверне с равномерно скользящей крышкой. В этой задаче «примерка» сеток проводилась по профилям компонент скорости в средних сечениях каверны, отдельно для горизонтальной компоненты у крышки и дна и для вертикальной составляющей на двух боковых стенках.
В результате реализации алгоритма выбора сеток установлено, что для задачи с ударным переходом и для задач нелинейной волоконной оптики, имеющих слои экспоненциального типа единичного масштаба, наиболее подходящими (и примерно одинаковыми по качеству) оказались координатные преобразования Бахвалова [1] и Лисейкина [4], при этом второе обнаружило слабую зависимость от свободного параметра. При исследовании профилей скорости течения в каверне масштабы и типы слоев оказались различными для разных локаций. У движущейся крышки слой наиболее ярко выражен, однако сетки [1-3], предназначенные исключительно для экспоненциальных слоев, не удовлетворили критериям отбора. Это свидетельствует о том, что слой экспоненциальным не является. Сетка [4], пригодная также и для степенных слоев первого рода, оказалась лидером среди испытанных координатных преобразований, при этом масштаб слоя определился равным 0.5. На дне каверны сетка [4] также оказалась лучшей, но масштаб слоя здесь ниже, он равен 0.2. Слои на боковых стенках, как показывают расчеты, при равных масштабах, равных 0.2, имеют различные типы: передняя, куда направлено движение крышки, имеет степенной слой первого рода [4], тогда как на противоположной стенке реализуется степенной слой второго рода (формула взята из [5]).
На специальных адаптивных сетках, построенных по описанной технологии, решены тестовые задачи в сравнении с аналогичными расчетами на равномерных сетках той же мощности, т. е. с тем же числом шагов. В случае задачи о течении в каверне сгущающаяся у стенок сетка не только обеспечивала более высокую точность, но дополнительно позволяла также более аккуратно, чем равномерная, выявить детали течения в углах области. Даже при умеренных значениях малого параметра проявлялось преимущество адаптивных сеток, особенно для уравнений волоконной оптики и уравнения Бюргерса, а при его стремлении к нулю оно становилось все более существенным, проявляя признаки сходимости, равномерной по малому параметру, что для равномерных сеток недостижимо.
В части, относящейся к задачам нелинейной волоконной оптики, исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 20-11-20040, https://rscf.ru/project/20-11-20040/.
Литература
1. Бахвалов Н.И. Журнал вычислительной математики и математической физики. 9, №~4. 842—859 (1969)
2. VulanovicR. Number. Meth. Approx. Theory. 137-142 (1984)
3. Шишкин Г.И. Доклады АН СССР. 299, №37, 792—796 (1988)
4. Liseikin V.D. Layer Resolving Grids and Transformations for Singular Perturbation Problems, VSP. Utrecht,
(2001)
5. Liseikin V.D. Grid Generation Methods. Third ed. Berlin: Springer (2017)
