О второй «Рекордной производной» последовательности экспоненциальных случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7 (65). Вып. 1

МБС 62С32

Огл и __и

второй «рекордной производном» последовательности экспоненциальных случайных величин*

В. Б. Невзоров1, А. В. Степанов2

1 Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

2 Балтийский федеральный университет имени Иммануила Канта, Российская Федерация, 236041, Калининград, ул. А. Невского, 14

Для цитирования: Невзоров В. Б., Степанов А. В. О второй «рекордной производной» последовательности экспоненциальных случайных величин // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7(65). Вып. 1. С. 69-76. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.107

Пусть Z^ (г > 1) — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих стандартную экспоненциальную функцию распределения

H, а Z(п) (п > 1) — соответствующая последовательность экспоненциальных рекордов, полученная из последовательности Z^ (г > 1). Назовем последовательность Z(п) (п > 1) первой «рекордной производной» последовательности Z^ (г > 1). Известно, что величины и1 = Z(1), у2 = Z(2) — Z(1),... независимы и имеют функцию распределения Н. Пусть Т(п) (п > 1) — рекордные моменты в последовательности

у2,..., а У(п) = Z(T(п)) и Ш(п) = У(п) — У(п — 1) (п > 1). Последовательность величин У(п) (п > 1) (главный объект исследований данной работы) назовем второй «рекордной производной» последовательности Z^ (г > 1). В настоящей работе выводятся распределения величин Т(п),У(п) и Ш(п) и ищется преобразование Лапласа величины У (п). В работе получен предельный результат для последовательности У (п) (п > 1) и предложены методы генерирования величин Т (п) и У (п). Ключевые слова: рекордные величины, экспоненциальное распределение, предельные теоремы, методы генерирования рекордов.

I. Введение. Пусть XI,Х2,... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с непрерывной функцией распределения ^. Пользуясь величинами Х^ (г > 1), определим рекордные моменты Ь(1) < Ь(2) < ... и рекордные величины X(1) < X(2) < ... следующим образом:

¿(1) = 1, X (1) = Х1,

¿(п) = шт{3 : 3 > ¿(п - 1), X.,- > XL(n_l)} (п = 2, 3,...), X (п) = XL(n) (п =1,2,...).

Рекордные величины весьма популярны во многих областях человеческой деятельности. О различных вновь появившихся рекордных наблюдениях сообщают спортивные статистики, метеорологи, гидрологи, финансисты, геронтологи. Теория рекордов достаточно хорошо развита (см., например, монографии [1, 2]), но регулярно появляется необходимость в изучении новых рекордных схем, в рассматривании новых

* Работа В.Б.Невзорова поддержана РФФИ (грант №18-01-00393). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2020

моделей, отражающих те или иные неклассические ситуации, в которых для описания поведения рекордных последовательностей требуются новые приемы и новые результаты. Одна из таких ситуаций будет рассмотрена ниже.

В классической теории рекордов важное место занимают результаты, полученные для рекордов в исходных последовательностях равномерно и экспоненциально распределенных случайных величин. Дело в том, что в общем случае рекордные величины X(1) < X(2) < ..., связанные последовательными неравенствами между ними, представляют собой наборы заведомо зависимых случайных величин, к которым нельзя применить широко распространенные методы теории вероятностей, разработанные именно для независимых величин. В этой ситуации заметно выделяются рекорды, порожденные последовательностями равномерно или экспоненциально распределенных величин. Для них существуют удобные представления этих зависимых рекордных величин в виде сумм независимых случайных слагаемых или произведений независимых случайных множителей. Одно из таких представлений будет использовано ниже для дальнейшего развития теории рекордов, связанной с последовательностями экспоненциально распределенных величин.

В работе уже было отмечено, что важное место в теории рекордов занимают результаты и методы, развитые при изучении экспоненциальных рекордов. Приведем некоторые из них. Пусть ^1,^2,... — последовательность независимых случайных величин, имеющих Е(1)-экспоненциальное распределение с функцией распределения

Н(ж) = тах{0,1 - е-х} (ж € К),

а Z(1) = Z1 < Z(2) < ... — соответствующие экспоненциальные рекорды. Эту последовательность рекордов, которая порождена величинами Zl, Z2,..., можно трактовать, как «производную» (в дальнейшем ее будем называть «первой производной») последовательности исходных случайных величин. Известен следующий классический результат (см., например, [1, с. 12] или [2, с. 105]).

Представление 1.1. Для любого п = 1, 2,... имеет место следующее соотношение:

^(1), Z(2),..., Z(п)) = (VI, VI + ..., VI + ... + V«), (1.1)

в котором знак = обозначает равенство по распределению, а VI,..., V« — независимые одинаково распределенные величины, также имеющие Е(1)-экспоненциальное распределение.

Соотношение (1.1) можно переписать в более удобном для дальнейших действий виде.

Представление 1.2. Справедливы следующие равенства для приращений рекордов:

^(1), Z(2) - Z(1),..., Z(п) - Z(п - 1)) = (VI, V2,..., V«).

Из представления 1.2 следует, что разности между соседними экспоненциальными рекордными значениями являются независимыми Е(1)-экспоненциально распределенными случайными величинами. Отметим, что преобразование Смирнова позволяет во многих ситуациях некоторые результаты, полученные в случае, когда исходные величины имеют равномерные или экспоненциальные распределения,

обобщить на случай рекордных величин X (п) (п > 1) в произвольных последовательностях XI, Х2,... с общей непрерывной функцией распределения ^. Справедливо соотношение

^(X(п)) = 1 -

из которого вытекает, что

X(п) = ^-1(1 - = ^-1(1 - и... и«),

где VI,..., V« — независимые величины, имеющие Е(1)-распределение, а ^-1(ж) = {£ : ^(¿) > ж} (ж € (0,1)) — функция, обратная функции распределения ^(ж) и ^1,..., и« — независимые равномерно распределенные на интервале [0,1] величины. Вернемся к представлению 1.2. Видим, что с разностями

Z (1), Z (2) - Z (1), Z (3) - Z (2), ...

можно работать, как с исходными случайными величинами Zl,Z2,... Рассмотрим теперь уже рекорды среди величин VI = Z(1)^2 = Z(2) - Z(1),... и их взаимоотношения с исходными величинами Zl, Z2,... Обозначим через Т (1) = 1 < Т (2) < ... рекордные моменты в последовательности VI, V2,... и также рассмотрим случайные величины

У(1) = Z(1) = У(2) = Z(Т(2)), Уз = z(Т(3)), ...

и

Ш(1) = У(1) = Z1, Ш(2) = У(2) - У(1), Ш(3) = У(3) - У(2), ...

Последовательность случайных величин У(п) (п > 1) можно трактовать уже как вторую «рекордную производную» последовательности исходных величин Zl, Z2,... Величины Ш (п) (п > 1) являются приращениями величин У (п) (п > 1).

Данная работа посвящена изучению свойств величин Т(п),У(п) и Ш(п). В параграфе 2 исследуются распределения величин Т(п),У(п) и Ш(п), ищется преобразование Лапласа величины У (п) и показывается, что последовательность векторов (У(п),Т(п)) образует цепь Маркова. В параграфе 3 получен предельный результат для последовательности У(п) (п > 1). В параграфе 4 предложены методы генерирования величин Т(п) и У(п) .

2. Распределения величин Т(п) и У(п). Поскольку распределения рекордных моментов одинаковы для любых непрерывных распределений ^, то Т(п) = Ь(п). Откуда, в частности, следует (см., например, стр. 94 в книге [2]), что

I й*«-1I

Р(Т(п) = к) =

где £« — числа Стирлинга первого рода, которые определяются равенствами

к

х(х - 1) ... (ж - к + 1) = ^«ж«.

«=0

В частном случае, при п = 2, справедливо

Производящая функция Пт(п)(в) величины Т(п) имеет вид

1 Г - 1оЕ(1-я)

Пт(п)(«) = Евт(-п) = ——— у у^е-^у (0 < в < 1, п > 1), (2.1)

а соответствующее преобразование Лапласа дается равенством

, - log(1 —е-л )

Ьу(п)М = Ее-хт(-п1 = --- / у"-1 е-"(IV (А > 0, п > 1).

( ) (п - 1)! ./о

Найдем распределение величины У (2). Воспользуемся тем, что сумма VI + ... + ^ имеет гамма-распределение с параметрами (к, 1) и получим, что

Р(У(2) < у) = £Р(Я(Т(2)) < у | Т(2) = к)Р(Т(2) = к) =

к=2

^Р(г(к)<у) ^ 1 [у

= е

и

гу Г" е" - 1 Гу е-"(е" - 1 - и)

дю(1и — / -¿и.

Jо Jо V Соответствующая плотность распределения имеет вид

Гу - 1

/у(2)Ы = / -^ - 1/у + е-«/г/ +

Jо у

Несложно также убедиться в том, что

К ' ^ к(к- 1 ^ к- 1

к=2 к=2

Найдем теперь совместную плотность величин У(1) и У(2). Для этого рассмотрим понятие плотности-распределения. Пусть Р(ж, у) — двумерная функция распределения вектора (X, У), допускающая дифференцирование по переменной ж. Назовем функцию С(х,у) = плотностью-распределением вектора (Х,У). Пусть теперь Оу(1),у(2)(у1,у2) — плотность-распределение вектора (У(1),У(2)), где плотность соответствует величине У(1), а распределение — величине У(2). Для у1 < у2 имеем

г< , ^ ^ е-у1 Р ^2 + ... + Vk < у2 - У1) Су(1),у(2)(У1, У2) = ^--=

./о и2

Отсюда получаем, что

ту(1),г(2){У1,У2) =-(а/2 — а/1)2- (У2>У1>0).

о

Известно, что последовательность рекордных величин X(п) (п > 1) образует цепь Маркова. Покажем, что последовательность векторов (У(п),Т(п)) (п > 1) также образует цепь Маркова. Пусть (1),...,у(п),т(2),...,т(п)(У1, • • •, Уп, ¿2,..., ¿п) — совместная плотность-распределение величин У(1),..., У(п), Т(2),..., Т(п), где плотность соответствует величинам У(1),...,У(п), а распределение — величинам Т (2),..., Т (п). Пусть «у (1),...,у (п-1),у (п)|т (2),...,т (п)(У1,---,Уп | ¿2,...,«п) — условная плотность величин У(1),..., У(п) при условии {Т(2) = ¿2,..., Т(п) = ¿п}. Имеем

(1),...,У(п),Т(2),...,Т(п)(УЪ . . . ^^ ^ . . . , =

= «Г(1),...,У(п)|Т(2),...,Т(п)(УЪ . . . , Уп 1 ^ . . . , ¿п)Р(Т(2) = ¿2, . . . , Т(п) = ¿п) =

где ¿1 = 1. Отсюда находим условную плотность-распределение вектора (У (п), Т(п))

Поскольку условная плотность-распределение (У(п),Т(п)) не зависит от величин у1,..., уп-2, ¿2,..., ¿п-2, заключаем, что последовательность векторов (У (п), Т(п)) (п > 1) образует цепь Маркова. Здесь несложно показать, что последовательность У(п) (п > 1) уже не образует цепь Маркова.

Найдем преобразование Лапласа величины У (п) (п > 1). Случайную величину У(п) можно представить как сумму случайного числа Т(п) независимых Е(1)-экспоненциально распределенных случайных слагаемых у каждого из которых преобразование Лапласа имеет вид Ьщ(А) = ^^л- Если учесть, что производящая функция Пт(п)(з) величины Т(п) дается равенством (2.1), то получаем, что

(¿2 - 1) ... (¿п-1 - 1)(«п - 1)«п

(¿2 - 1) ... (¿п-1 - 1)(«п - 1)«п '

1

1

Распределение величины Ш(2) ищется из следующих соотношений:

Р(Ш(2) < х) = ^ Р(Ш(2) < х | Т(2) = к)Р(Т(2) = к) =

к=2

Отметим, что случайные величины Z(1) и Ш(п) (п > 2) независимы, но уже любая пара Ш(к) и Ш(т) (к < т) представляет собой зависимые случайные величины. Видим также, что величины Т(2), У(2) и Ш(2) имеют бесконечные математические ожидания. Это же высказывание относится и к остальным случайным величинам Т(п), У(п) и Ш(п) (п > 3).

3. Предельный результат для У(п).

Утверждение. Справедливо следующее асимптотическое соотношение:

еп

Доказательство. Как уже было показано,

1 , - 1О8(А/(А+1))

ЬуЫ( А) = = --— / у^е'^у.

( ) (п - 1)и0

Положим в последнем соотношении А = е-п. Несложно убедиться в том, что

1 с- 1оЕ(Л/(Л+1)) 1 Г- п

---/ «"-^-"й ~ --7 / у"-1 е-"(IV (п-> оо).

(п- 1)! Уо (п-1)!Уо

Для экспоненциальных рекордов ^(п) известно, что

-то

Выберем в последнем асимптотическом соотношении х равным нулю. Тогда

1 /"п

Р(г(п)<п) = ----->• 1/2 (п->оо).

(п - 1)^0

□

4. Генерирование величин У(п). В этом параграфе предложим два метода генерирования величин второй «рекордной производной» последовательности экспоненциальных случайных величин. Первый метод будет прямым методом генерирования.

Первый метод генерирования величин У(п). Генерируются экспоненциальные величины V (1 < г < п), равные по распределению величинам Z(г) — Z(г — 1) (1 < г < п). Среди величин V фиксируются рекордные величины. Пусть Т(п) = к. Тогда полагаем У(п) = + ... + где V (1 < г < к) — генерации стандартной экспоненциальной случайной величины.

Отметим недостатки первого метода. Метод является ресурсозатратным и не позволяет эффективно генерировать величины У(п) при «больших» значениях п. Приведем второй метод генерирования величин второй «рекордной производной», который более эффективен и позволяет генерировать величины У (п) для «больших» значений п.

Второй метод генерации величин У(п) основан на алгоритме 2.1 из работы [3] и использует рекуррентный подход. Напомним, что Т(п) = Ь(п). В работе [3] было

показано, что последовательность Ь(п) может генерироваться при помощи следую-

+1, где [ ] — целая часть числа,

L{n) U

щего рекуррентного соотношения: Ь(п + 1) = а и — генерация случайного числа. Напомним также, что Ь(1) = 1.

Второй метод генерирования величин У(п). Полагаем Т (1) = 1. Генерируем величины Т(п) при помощи рекуррентного соотношения Т(п-\-1) = т^ + 1.

Пусть Т(п) = к. Полагаем У(п) равным VI + ... + щ^, где щ (1 < г < п) — генерации стандартных экспоненциальных случайных величин.

Результаты одной из генераций величин У (п), полученные при помощи второго метода, приведем в таблице.

Y(l) Y(2) Y(3) Y(4) Y(5) Y(6) Y(7) Y(8) Y(9) Y(10)

0.39 4.60 32.35 41.89 512.17 5195.87 58724.22 67044.42 128243.61 567728.15

Y(ll) Y(12) Y(13) Y(14) Y(15) Y(16) Y(17) Y(18) Y(19) Y(20)

95141.27 834438.55 967343.27 983556.66 2871485.35 6775320.15 15068643.65 61441230.35 148457404.46 309387616.31

Литература

1. Arnold B., Balakrishnan N., Nagaraja H. Records. New York: Wiley, 1998.

2. Невзоров В. Б. Рекорды. Математическая теория. М.: Фазис, 2000.

3. Пахтеев А. И., Степанов А. В. Генерирование больших последовательностей нормальных рекордных величин и максимумов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 3. С. 431-440.

Статья поступила в редакцию 29 апреля 2019 г.;

после доработки 9 июня 2019 г.; рекомендована в печать 19 сентября 2019 г.

Контактная информация:

Невзоров Валерий Борисович — д-р физ.-мат. наук, проф.; valnev@mail.ru Степанов Алексей Васильевич —д-р физ.-мат. наук, проф.; alexeistep45@mail.ru

On the second record derivative of a sequence of exponential random variables*

V. B. Nevzorov1, A. V. Stepanov2

1 St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

2 Immanuel Kant Baltic Federal University, ul. A.Nevskogo, 14, Kaliningrad, 236041, Russian Federation

For citation: Nevzorov V. B., Stepanov A. V. On the second record derivative of a sequence of exponential random variables. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2020, vol. 7(65), issue 1, pp. 69-76. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.107 (In Russian)

Let Zi (i > 1) be a sequence of independent and identically distributed random variables with standard exponential distribution H and Z(n) (n > 1) be the corresponding sequence of exponential records associated with Zi (i > 1). Let us call the sequence Z(n) (n > 1) the first "record derivative" of the sequence Zi (i > 1). It is

*The work of V. B. Nevzorov is supported by Russian Foundation for Basic Research (grant N18-01-00393).

known that v1 = Z(1),v2 = Z(2) — Z(1),... are independent variables with distribution H. Let T(n) (n > 1) be record times obtained from the sequence v1,v2,... and Y(n) = Z(T(n)),W(n) = Y(n) — Y(n — 1) (n > 1). Let us call the sequence Y(n) (n > 1) (the main objective of the research of the present paper) the second "record derivative" of the sequence Zi (i > 1). In the present paper, we find the distributions of T(n),Y(n), W(n) and study the Laplace transform of Y(n). A limit result for the sequence Y(n) (n > 1) is obtained in the paper. We also propose some methods of generation of T(n) and Y(n). Keywords: record values, exponential distribution, limit results; methods of record generation.

References

1. Arnold B., Balakrishnan N., Nagaraja H., Records (Wiley, New York, 1998).

2. Nevzorov V. B., Records. Mathematical theory (Phasis Publ., Moscow, 2000). (In Russian). English translation in: Translations of Mathematical Monographs (American Math. Society, 2001).

3. Pakhteev A. I., Stepanov A.V., "Generating Large Sequences of Normal Maxima via Record Values", Vestnik St. Petersburg University, Mathematics 51 (3), 260—266 (2018). https://doi.org/10.3103 /S106345411803007X

Received: April 29, 2019 Revised: June 9, 2019 Accepted: September 19, 2019

Authors' information:

Valery B. Nevzorov — valnev@mail.ru Alexei V. Stepanov — alexeistep45@mail.ru