CC BY
45
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013 Управление, вычислительная техника и информатика № 3(24)
УДК 336:51
Г.А. Медведев
О ВРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЕ ДОХОДНОСТИ.
6. ТРЕХФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ
Исследуются модели Даффи - Кана, описывающие динамику краткосрочной процентной ставки в случае, когда состояние финансового рынка характеризуется не только уровнем самой процентной ставки, но и еще двумя изменяющимся во времени параметрами. Рассматривается три версии расширения однофакторной модели до трехфакторной, позволяющие получать аффинную временную структуру доходности. Эти версии предполагают, что параметры однофакторной модели - уровень возвращения процентной ставки и ее волатильность - являются не постоянными величинами, а диффузионными процессами. В первой версии волатильность процесса уровня возвращения процентной ставки не зависит от самого уровня и является стохастической. Во второй версии процесс уровня возвращения процентной ставки является процессом «с квадратным корнем». В третьей версии волатильность процесса уровня возвращения процентной ставки не зависит от самого уровня и является детерминированной. Основное внимание уделяется свойствам кривой доходности и форвардной кривой, когда динамика краткосрочной процентной ставки описывается описанными трехфакторными моделями.
Ключевые слова: процентные ставки доходности, аффинная модель, функции временной структуры, трехфакторные модели.
Напомним, что для я-факторной модели аффинной доходности предполагается, что вектор состояния финансового рынка Хф = (Хь Х2, ...,Хя)Т следует однородному по времени марковскому процессу, порождаемому стохастическим дифференциальным уравнением
йХ(р> = ц(Х(0) <И + ст(Х(0) ёШ(?) с я-вектором дрейфа ц(х), (яхт)-матрицей волатильности а(х), и т-вектором Щ{) независимых стандартных винеровских процессов [1]. При этом вектор дрейфа ц(х) и матрица диффузии ст(х)ст(х)Т должны быть аффинными функциями относительно переменных х, а рыночные цены риска такими, что ст(х)Х(х) - я-вектор с аффинными компонентами относительно переменных х:
я я
ц(х) = К(9 - х), ст(х)ст(х)Т = а + £Р,х,, а(х)Х(х) = | + ^п,х,. (1)
1=1 ,=1
Здесь К, а и р, - (яхя)-матрицы; 9, £, и п, - я-векторы, х, - компоненты вектора х. Эти свойства для я-факторной модели аффинной доходности приводят к следующим обыкновенным дифференциальным уравнениям для функции А(т) и компонент вектора В(т) = (В1(т), В2(т), ., Вя(т)), т - срок до погашения:
А'(т) = й - К9)ТВ(т) + В(т)Та В(т)/2, А(0) = 0; (2)
В/(т) = ф, - В(т)Т(п, + К) - В(т)Тр, В(т)/2, В,(0) = 0. (3)
В уравнении для В,(т) символ К, обозначает ,-й столбец матрицы К, 1 < , < я. Кри-
вая доходности у(т. х) и форвардная кривая /(т. х) определяется через функции А(т) и В(т) по формулам
ж X) = хТ В(т) - А(т), /(т. х) = хт МЫ-‘Ш,
т ‘ т ‘ т
Отправным пунктом нашего анализа является однофакторная модель Даффи -Кана [2]:
‘г(0 = к(9 - г(0)‘/ + Л 2кБ —Х с1Ш(£), г(0) > х. (4)
V 9-х
в которой параметры 9 и Б будут предполагаться диффузионными процессами 9(0 и Б(0.
1. Стохастическая волатильность процесса 0(0
В этом случае уровень 9. к которому возвращается процентная ставка г(/) (в однофакторной модели он совпадает с ее стационарным средним). рассматривается как стохастический процесс диффузионного типа 9(/), подобный процессу краткосрочной ставки одномерной модели г(/). но с фиксированным уровнем возвращения 90 и волатильностью. зависящей только от стохастической дисперсии
Б(/). Процентная ставка г(/) имеет волатильность. также пропорциональную Б(/). Поскольку процессы г(0 и 9(0 в этом случае не являются процессами «с квадратным корнем». то их нижняя граница не определяется (или. что эквивалентно. нижняя граница этих процессов удаляется в минус бесконечность).
йт(р> = кг(9(1) - т(р))а + 42кгЩ) ‘Шг(1); (5)
С9(0 = к9(90 - 9(0)^ + СГ9(0; (6)
‘Б(0 = кп(У- £>(0)^ + Л/2кБ£ Б(?) х ‘ЖБ(^. Б(0) > х > 0. (7)
V - х
Здесь х - нижняя граница для процесса дисперсии Б(/) процентной ставки; V -стационарное среднее процесса дисперсии Б(0. а £ - стационарная дисперсия процесса дисперсии Б(/). Для удобства записи в дальнейшем изложении удобно ввести обозначение 5 = кБ£ /(V - х).
Уравнения (2). (3) в этом случае приобретают вид
А'(т) = - к990В9(т) - (к^ + 2ХБ х5)ВБ(т) - 5хВБ(т)2. А(0) = 0;
Вг'(т) = фг - кгВг(т). Вг(0) = 0;
В9 '(т) = ф9 + кгВг(т) - к9В9(т). В9(0) = 0;
ВБ' (т) = - (кБ + 2ХБ 5)ВБ(т) - 2ХгкгВг(т) - 2стХ9к9В9(т) - кгВг(т)2 -
- ак9В9(т)2 - 5Вб(т)2. Вб(0) = 0.
Заметим. что функция А(т) не зависит от функции Вг(т) и определяется интегрированием. если функции В9(т) и ВБ(т) будут найдены. Второе и третье уравнения для Вг(т) и В9(т) легко решаются:
Вг(т) = фг (1 - е~кг т) / кг; Вг(т) ^ фг/кг при т ^ да.
В9(т) = -1 + —^!—е~К'1 + Д, ф9к\ е-к9т; В9(т) ^ 1/к9 при т ^ да. (8)
к9 кг - к9 к9 (к9 - кг)
При получении этих решений было учтено. что из экономических соображений [5] весовой коэффициент фБ должен быть равен нулю. фБ = 0. а фг + ф9 = 1. Что касается уравнения для ВБ(т). то оно является уравнением Риккати с переменным свободным коэффициентом. что не позволяет выразить его решение в аналитическом виде и его приходится решать численно. Однако предельное значение функции ВБ(т) при т ^ да может быть выражено аналитически в виде
-(кБ + 2/б5) + \1 (кБ + 2/.б5) - 45(2/гфг + фг /кг + 2ст^9 + ст /к9)
вб(ж) =---------------------------------—----------------------------------.
25
Заметим. что этот предел будет существовать только в том случае. если параметры модели удовлетворяют неравенству
(кБ + 2/б 5) ^ 45(2/гфг + фг /кг + 2ст/ + ст/к9). (9)
Если это неравенство не выполняется. функция ВБ(т) будет неограниченно убывать. что приведет к попаданию доходности в отрицательную область при некотором конечном т. Фактически неравенство (9) определяет область значений параметра 5. определяющего волатильность процесса Б(/) в уравнении (7). при которых существует предельное значение ВБ(ж).
Кривые доходности у(т. г. 9. Б) и форвардные кривые /(т. г. 9. Б) определяются через функции А(т). Вг(т). В9(т) и ВБ(т) по формулам
У(т. г. 9. Б) = ¥(Вг(т). В9(т). Вб(т)) =
= кг[А(т) - гВг(т) - 9В9(т) - БВБ(т)]/1п[1 - кгВг(т)/фг]; (10)
/(т. г. 9. Б) = ^(Вг(т). В9(т). Вб(т)) =
— гфг + 9ф9 - (г - 9 + 2/гБ)кгВг(т) - (9 - 90 + 2ст/9Б)к9В9(т) +
+ [(кБ(Б - V) + 2/б 5(Б - х)]ВБ(т) - кгБВг(т)2 - стк9БВ9(т)2 - 5(Б - х)ВБ(т)2. (11)
Предельные свойства этих кривых такие: при т ^ 0 обе кривые стремятся к одинаковому пределу у(0. г. 9. Б) = /(0. г. 9. Б) = гфг + 9ф9; при т ^ + ж обе кривые также стремятся к общему пределу у(ж. г. 9. Б) = /(ж. г. 9. Б) = 90 + кБ(V- х)ВБ(ж) - х(2/гфг + фг2/кг + 2ст/9 + ст/к9). Для того чтобы предельные значения кривых при т ^ + ж были положительными. должно выполняться неравенство
90 - х(2/гфг + фг /кг + 2ст/ + ст/к9) > - kБ(V - х)Вб(ж).
или
90 - х(2/гфг +ф2 /кг + 2ст/9 +ст/к9) 2кБ (2/гфг +ф;: / кг + 2ст/9 +ст / к9)
V - х
(кБ + 2/б5) + V(кБ + 2/б5)2 - 45(2/гфг + ф^ /кг + 2ст^9 + ст /к9)
(12)
Это неравенство также следует рассматривать как условие. накладываемое на параметры уравнения (7). чтобы обеспечить разумные результаты для долгосрочных доходностей. В этом случае в качестве варьируемого параметра модели можно выбрать стационарное среднее V процесса Б(/). Когда при описании динамики процентной ставки используется нейтральная к риску вероятностная мера (/г = 0. /9 = 0. /Б = 0). неравенства (9) и (12) существенно упрощаются:
>
1
< —
k2
(
V < x +
V - x 4 ф2 / kr + a / k
V
фг /kr +ct/ke
Заметим, что при определении области пространства параметров {£, V}, обеспечивающих существование положительных предельных значений доходностей, участвуют все параметры модели.
На рис. 1 представлены графики функций У(БГ) и Е(БГ), вычисленные по формулам (10) и (11), характеризующие доходности трехфакторной модели (5) - (7) с ключевыми параметрами, соответствующими найденным Д. Аном и Б. Гао [6], приспосабливавшим модель Даффи - Кана для описания динамики процесса годовой ставки доходности одномесячных бумаг Казначейства США для периода наблюдения с января 1960 г. по февраль 1991 г..
Рис. 1. Кривые доходностей Г(В) (штриховые линии) и форвардные кривые F(B) (сплошные линии) в случае, когда параметры принимали следующие значения: кг = 0,1347; ке = 0,01347; кБ = 0,1; 60 = 0,0762; V = 0,002892; ст = 0,1; х = хБ = 0,0001; 5 = 6х10-6; Хг = 0,1; Хе = 0,1; ХБ = 0,1; фг = 0,6; фе = 0,4. г = 0,08; Є = 0,07; Б = 0,0028; Вмакс = Вг(ю) = 4,454. Круглый маркер показывает предельное значение, одинаковое для обоих кривых. Ромбовидные маркеры показывают метки реального времени Т через каждый год для первых 10 лет, а далее - через 5 лет
2. Процесс 0(t) с квадратным корнем
В этом случае уровень 0, к которому возвращается процентная ставка r(t), рассматривается как стохастический процесс 0(t) диффузионного типа, подобный процессу краткосрочной ставки одномерной модели r(t), с фиксированным уровнем возвращения 0О и волатильностью, пропорциональной квадратному корню из 0(t) - х0, где х0 - нижняя граница уровня возвращения. Оба других уравнения системы (5) остаются прежними. Определенная таким образом трехфакторная модель по своей структуре близка к модели Чена [3] в интерпретации Дэя и Синглтона [4].
dr(t) = kr(0(t) - r(t))dt + ^2krD(t) dWr(t); (13)
de(t) = ke(e0 - e(t))dt + a 2ke °(t) Xe dWe(t), Є(0) > xe > 0; (14)
V eo - xe
dD(t) = - £>(0)^ + \2к0Б 0(1) Х° dWD(t), 0(0) > х0 > 0. (15)
V - хо
Заметим, что в этой модели процессы 9(0 и 0(0 являются независимыми диффузионными процессами «с квадратным корнем». Свойства таких процессов подробно исследованы в литературе. Для того чтобы нижние границы х9 и х£ процессов 9(0 и 0(0 были недостижимыми, т.е. чтобы эти процессы не принимали отрицательных значений, необходимо выполнение условий Феллера (90 - х9)2 > ст2 и (V
— хо)2 > £.
Уравнения для функций временной структуры А(т), Бг(т), Б9(т) и Б0(т) в этом случае составляют систему
А'(т) = — (к990 + 2X97x9^9(1;) — (kDV + 2Хо8хо)Бо(х) — 5хоБо(х)2 — ух9Б9(х)2, А(0) = 0;
Бг' (т) = фг — кгБг(т), Бг(0) = 0;
Б9 (т) = ф9 + кгБг(т) — (ке + 2Х9У)Б9(т) — уБ9(т)2, Б9(0) = 0; (16)
Б£ (т) = — (к£ + 2Х0 5)Б0(т) — 2ХгкгБг(т) — кгБг(т)2 — 5Б0(т)2, Б0(0) = 0, (17)
где для краткости обозначено 5 = к0Б /(V — х0 ^ У = к9ст2/(90 — х9 ).
Решение уравнения для функции Бг(т) найти легко:
Бг(т) = фг (1 — г~кг т) / кг; Бг(т) ^ фг/кг при т ^ да.
Функции А(т), Б9(т) и Б0(т) могут быть определены только численно. Заметим, что функция А(т) не зависит от Бг(т). Предельные значения функций Б9(т) и Б0(т) определяются выражениями
Б9(ж) = 2
4(к9 + 2УХ9 )2 + 4У + (к9 + 2УХ9 )
Бо(») = — , 2(2Хг фг +ф2/ кг) ______________________________. (17)
4(к0 + 25Х£ )2 — 45(2Хгфг +ф2 /кг) + (к£ + 25Х£)
Для того чтобы предельное значение Б0(ж) существовало, необходимо, чтобы параметры модели удовлетворяли неравенству
(к£ + 2Х0 5)2 > 45(2Хгфг + фг2/кг). (18)
Кривые доходности у(т, г, 9, О) и форвардные кривые /(т, г, 9, О) определяются через функции А(т), Бг(т), Б9(т) и Б0(т) по формулам
У(т, г, 9, О) = 7(Бг(т), Б9(т), Бо(т)) =
= кг[А (т) — гБг(т) — 9Б9(т) — 0Б0(т)]/1п[1 — кгБг(т)/фг]; (19)
/т, г, 9, О) = F(БГ(т), Б9(т), Б0(т)) = гфг + 9ф9 — (г — 9 + 2Хг0)кгБг(т) —
- [к9(9 — 90) + 27X9(9 — х9)]Б9(т) — [(ко(0 — V) + 2Хо 5(0 — хо)]Бо(т) —
- кгОБг(т)2 — у (9 — х9)Б9(т)2 — 5(0 — хо)Бо(т)2. (20)
Предельные свойства этих кривых такие:
при т ^ 0 обе кривые стремятся к одинаковому пределу у(0, г, 9, 0) = /(0, г, 9, 0) = гфг + 9ф9; при т ^ + ж обе кривые также стремятся к общему пределу у(ж, г, 9, 0) = /(ж, г, 9, 0) =
= кз(90 — х9)Б9(ж) + к0( V — х)Б0(ж) + х9 — хс(2Хгфг + фг2/кг).
Для того чтобы этот предел был положительным, необходимо выполнение неравенства
ке(0о — Хе)Бе(ж) + Хе — Хд(2Хгфг + фг2/кг) > — кБ(У — х)Бд(ж). (21)
Неравенства (18) и (21) определяют область значений параметров {£, V} уравнения (15), гарантирующих существование и положительность предельных значений доходностей при т ^ + ж. К сожалению, запись этих неравенств в явной форме довольно громоздка, поэтому приведем явную форму только для случая, когда при описании динамики процентной ставки используется нейтральная к риску вероятностная мера (Хг = 0, Хе = 0, = 0)
V - хп
4Ф2
(
V < хг +
х0 +
2ке (е0 хе)
ка +
+ 4 у
кг (кэ + )
2кГ фг
На рис. 2 представлены графики функций У(БГ) и £(Бг), вычисленные по формулам (19) и (20), характеризующие доходности трехфакторной модели (13) - (15) с ключевыми параметрами, соответствующими найденным Д. Аном и Б. Гао [6].
Рис. 2. Кривые доходностей У(Б) (штриховые линии) и форвардные кривые Е(Б) (сплошные линии) в случае, когда параметры принимали те же значения, что и на рис. 1, и дополнительно хе = 0,033. Круглый маркер показывает предельное значение, одинаковое для обоих кривых. Ромбовидные маркеры показывают метки реального времени Т через каждый год для первых 10 лет, а далее - через 5 лет
3. Гауссовский процесс 0(0
Такая модель близка к модели ББР8 [7], где уровень е, к которому возвращается процентная ставка г(/), рассматривается как стохастический процесс е(0 диффузионного типа, подобный процессу краткосрочной ставки одномерной модели г(0, с фиксированным уровнем возвращения е0 и фиксированной волатильностью. Оба другие уравнения системы (5) остаются прежними:
£>г(0 = кг(е(0 — г(*))Ж + ^2кгЩ) ёШг(?); (22)
ОЄ(ґ) = ке(Є0 - Є(ґ))Ж + ^2кест2 dWе(t);
dD(t) = кг^ - Б(ґ))Ж + t|2kDS
Р(і) - х0 V - хг
dWD(t), Г(0) > хг > 0.
(23)
(24)
Модель (22) - (24) фактически является частным случаем модели (13) - (15), когда нижняя граница процесса е(/) удаляется на - ж, хе ^ -ж. При этом у ^ 0, ухе ^ - кест2 Если учесть эти изменения, то получается следующая система уравнений для функций временной структуры А(т), Вг(т), Ве(т) и ВВ(т):
А' (т) = — ке(е0 - 2ХеСТ2)Ве(т) — (kвV + 2А,в5хв)Бв(т) — 5хвБв(т)2 + кеСТ2Ве(т)2,
А(0) = 0; (25)
Вг'(т) = фг — кгВг(т), Вг(0) = 0;
Ве ' (т) = фе + кгВг(т) — ке Ве(т), Ве(0) = 0;
В0' (т) = — (кВ + 2ХВ 5)ВВ(т) — 2ХкЛ{т) — кгВг(т)2 — 5ВВ(т)2, ВВ(0) = 0.
Второе и третье уравнения решаются аналитически, как это показано выше; их решения представляются формулами (8). Предельное значение решения третьего уравнения при т ^ +ж существует, если выполняется неравенство (18). Особенность этой модели состоит в том, что процесс е(0 является гауссовским и порождается уравнением, совпадающим с тем, которое известно как модель Васичека. Поэтому все особенности этой модели проявляются здесь. В частности, последнее слагаемое в правой части уравнения (25) для А(т) оказывается положительным и возрастающим с увеличением т, так что при т ^ +ж производная А' (т) может стать тоже положительной. Но поскольку предельные доходности определяются именно производной функции А(т), так как у(ж, г, е, В) = Аж, г, е, В) = — А'(ж), они могут стать отрицательными, что будет противоречить экономическому смыслу доходности. Отсюда возникает еще одно ограничение на волатильность процесса е(0 для этой модели:
ст2 < ке[е0 + (^ + 2Хв5хв)Вв(ж) + 8х0Б0(ж)2 ]/(1 + 2кеХе). (26)
Кривые доходности у(т, г, е, В) и форвардные кривыеА(т, г, е, В) определяются через функции А(т), Вг(т), Ве(т) и ВВ(т) по формулам
У(т, г, е, В) = Т(Вг(т), Ве(т), Вв(т)) =
= кг[А (т) — гВг(т) — еВе(т) — ВВВ(т)]/1п[1 — кгВг(т)/фг]; (27)
Ат, г, е, В) = £(Вг(т), Ве(т), Вв(т)) =
= гфг + ефе — кг(г — е + 2ХгВ)Вг(т) — ке(е — е0 + 2ХеСТ )Ве(т) —
- [(кВ(В — V) + 2ХВ 5 (В — хв)]Бв(т) — кгВВг(т)2 — кест2Ве(т)2 — 5(В — хв)Вв(т)2.(28) Предельные свойства этих кривых такие: при т ^ 0 обе кривые стремятся к одинаковому пределу у(0, г, е, В) = А(0, г, е, В) = гфг + ефе; при т ^ + ж обе кривые также стремятся к общему пределу
у(ж, г, е, В) = А(ж, г, е, В) = е0 + кВ^ — хв)Вв(ж) — хВфг(фг + 2кДг)/кг.
Здесь величина Бв(ж) вычисляется по формуле (17). Поскольку Вв(ж) - величина отрицательная, для достижения положительной доходности необходимо также, чтобы выполнялось следующее неравенство, ограничивающее сверху стационарную дисперсию V процесса В(?):
kв(V — Хв)|Бв(ж)| < е0 — Хвфг(фг + 2кДг)/кг. (29)
Выполнение перечисленных условий обеспечивает существование положительных предельных значений кривых у(т) и А(т) при т ^ +ж. Вместе с тем значения параметров модели будут обеспечивать ее работоспособность в полной мере, если будут выполняться также неравенства у(т) > 0 и А(т) > 0 для любых т > 0. К сожа-
лению, записать эти неравенства в явной форме не удается, поскольку аналитический вид функции ВВ(т) не определяется. Однако можно сказать, что для выполнения неравенств у(т) > 0 и Ат) > 0 для любых т > 0 нужно ограничить сверху волатильность процесса В(0, иначе говоря, установить верхнюю границу для параметра Б, что удается сделать только численно.
На рис. 3 представлены графики функций У(Вг) и £(Вг), вычисленные по формулам (27) и (28), характеризующие доходности трехфакторной модели (22) - (24) с ключевыми параметрами, соответствующими найденным Д. Аном и Б. Гао [6].
Рис. 3. Кривые доходностей У(В) (штриховые линии) и форвардные кривые F(B) (сплошные линии) в случае, когда параметры принимали те же значения, что и на рис. 1, и дополнительно ст = 0,003. Круглый маркер показывает предельное значение, одинаковое для обоих кривых. Ромбовидные маркеры показывают метки реального времени Т через каждый год для первых 10 лет, а далее — через 5 лет.
Заключение
Здесь, а также в предыдущих статьях [3, 5], последовательно рассмотрены модели аффинных доходностей с различным числом факторов. С увеличением числа факторов модели и их анализ существенно усложняются, и получение результатов в аналитической форме становится невозможным. Численный анализ также усложняется, поскольку число параметров моделей растет. Поэтому всестороннего сравнения моделей, их преимуществ и недостатков в рамках статьи осуществить не удается. Приводится только характер доходностей для одного набора параметров, найденных Д. Аном и Б. Гао [6] при обработке реальных финансовых данных. Более широкое сравнение моделей предстоит еще сделать в будущем. В табл. 1 сведены данные о том, какие и сколько параметров используется для построения рассмотренных моделей. Тип модели обозначен двумя цифрами: первая
Т аблица 1
Параметры, использующиеся в моделях с различным числом факторов
Тип модели Факторы Параметры Количество параметров
кг е0 Вг Хг ке Ве кВ V Б Хв
1 1 г + + + + 4
2 1 г, е + + + + + + 6
2 2 г, В + + + + + + 6
3 1 г, е, В + + + + + + + + 8
3 2 г, е, В + + + + + + + + + 9
3_3 г, е, В + + + + + + + + 8
цифра означает число факторов, а вторая - номер раздела соответствующей статьи, в котором эта модель анализируется. Плюс обозначает использование параметра в соответствующей модели.
В интервале изменения времени до погашения т от нуля до бесконечности кривые доходности у(т, г, е, В) и форвардные кривые А(т, г, е, В) для всех моделей стартуют из общей точки - текущего значения спот-ставки г(/) = г и стремятся к соответствующим пределам, зависящим от параметров модели, но не зависящим от значений текущего уровня переменных состояния г, е, В. Эти предельные значения в общем случае определяются не только параметрами, указанными в таблице, но и наборами весовых коэффициентов {ф} и параметров цен риска (X), что заметно усложняет формулы. Однако если считать, что краткосрочная ставка доходности актива определяется только спот-ставкой г (т.е. фг = 1, фе = 0, фВ = 0), стохастические процессы г(/), е(/) и В(/) нейтральны к риску (т.е. Хг = 0, Хе = 0, ХВ = 0), а нижние границы для процентной ставки и ее дисперсии равны нулю (хг = 0, хв = 0), то формулы для вычисления доходностей сильно упрощаются. В табл. 2 приводятся их явные аналитические выражения при этих предположениях. В первой строке табл. 2 приводятся обозначения моделей, во второй - формулы для соответствующих предельных доходностей, а в третьей строке - результаты вычислений по этим формулам для оценок параметров, найденных в [6].
Т аблица 2
Предельные значения доходностей
1 2 1 2 2 3 1 3 2 3 3
krBr(œ)90 k9B9(œ)90 90 - kD BD&W 90 - kD BD(œ)|V k9B9(œ)90 - - kn |B„(œ)|V 90 - kD |Bd(<»)| V
0,061991 0,051994 0,053899 0,031849 0,021274 0,049687
Заметим, что предельные значения доходностей могут рассматриваться как доходности долгосрочных ценных бумаг и что они не зависят от текущего значения переменных состояния г, 9, D, а зависят только от параметров модели. Заметим также, что функции B9(t) и Bd(t) для различных моделей вычисляются по различным формулам и имеют различные предельные значения B9(œ) и BD(œ). Из табл. 2 видно, что для рассмотренного числового примера предельные значения доходностей уменьшаются с увеличением числа факторов. Более обоснованные выводы могут быть сделаны после исследования доходностей во всей допустимой области десятимерного пространства параметров. Кроме того, предстоит сравнительное исследование взаимного поведения кривых доходностей и форвардных кривых во всем интервале 0 < т < œ сроков до погашения актива во всей допустимой области параметров.
ЛИТЕРАТУРА
1. Медведев Г.А. О временной структуре доходности. 1. Модель Васичека // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 1(18). С. 102-111.
2. Медведев Г.А. О временной структуре доходности. 3. Однофакторная модель Даффи -Кана // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 3 (20). С. 71-80.
3. Chen L. A Three Factor of the Affine Term Structure of Interest Rates and its Application to the Pricing of Interest Rate Derivatives. N.Y.: Blackwell Publishers, 1996.
4. Dai Q., Singleton K. Specification analysis of affine term structure models // J. Finance. 2000. V. 55(5). P. 1943-1978.
5. Медведев Г.А. О временной структуре доходности. 4. Двухфакторные модели Даффи -Кана // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 4 (21). С. 89-99.
6. Ahn D.-H., Gao B. A parametric nonlinear model of term structure dynamics // The Review of Financial Studies. 1999. V. 12. No. 4. 721-762.
7. BDFS: Balduzzi P., Das S., Foresi S., Sundaram R. A simple approach to three factor affine term structure models // J. Fixed Income. 1996. V. 6. P. 43-53.
Медведев Геннадий Алексеевич Белорусский государственный университет
E-mail: MedvedevGA@cosmostv.by Поступила в редакцию 30 июня 2012 г.
Medvedev Gennady A. (Belarusian State University). On term structure of yield rates. 6. The three factor model.
Keywords: yield interest rates, affine model, yield curve, forward curve, three factor model.
Models of Duffie - Kan, describing dynamics of a short-term interest rate in a case when the condition of the financial market is characterized not only level of the most interest rate, but also two more the time variable parameters are investigated. Three versions of expansion of one-factor model to three-factor, allowing to get affine term structure of yield are considered. These versions assume that parameters of one-factor model - level of return of an interest rate and its volatility -are not constants, and diffusion processes. In the first version volatility of process of level of return of an interest rate doesn't depend on the level and is stochastic. In the second version process of level of return of an interest rate is process «with a square root». In the third version volatility of process of level of return of an interest rate doesn't depend on the level and is determined. The main attention is given to properties of the yield curve and the forward curve when dynamics of a short-term interest rate is described by the described three-factor models.
With increase in number of factors of model, their analysis essentially become complicated, and receiving of results in an analytical form becomes impossible. The numerical analysis also becomes complicated, as the number of parameters of models grows. Therefore it is not possible to carry out all-round comparison of models, their advantages and lacks in a volume of article. Properties of yields for one set of the parameters found D. An and B. Gao at processing of real financial data is given only. Wider comparison of models should be made in the future. Data on what and how many parameters are used for creation of the considered models are provided.
In the interval of time to maturity change from zero to indefinitely the yield curves and the forward curves for all models start from the single points - the current value a spot rate and converge to the corresponding limits depending on parameters of model, but not depending on values of the current level of state variables. These limiting values generally are defined not only model parameters, but also sets of weight factors and parameters of the prices of risk that considerably complicates formulas. However if to consider that the short-term rate of yield of an asset is defined only a spot rate, stochastic processes of a rate and its instant variance are neutral to risk, and the bottom borders for an interest rate and its variance are equal to zero, formulas for calculation of yield strongly become simpler. Their explicit analytical expressions are given at these assumptions.
Limiting values of yield can be considered as yield of long-term securities. They don't depend on the current value of state variables, and depend only on model parameters. For the considered numerical example the limiting values of yields decrease with increase in number of factors. More valid conclusions can be made after research of yield in all admissible area of ten-measured space of parameters. Comparative research of mutual behavior of yield curves and forward curves in all intervals of terms to maturities asset in all admissible area of parameters is necessary.
