О возможностях расчета эквивалентной песочной шероховатости поверхности для течений в трубах и пограничном слое Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том ХЫН

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2012

№ 1

УДК 532.542.4

О ВОЗМОЖНОСТЯХ РАСЧЕТА ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПЕСОЧНОЙ ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТИ ДЛЯ ТЕЧЕНИЙ В ТРУБАХ И ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

В. В. МИХАЙЛОВ, Н. В. САМОЙЛОВА

Проведены экспериментальные исследования по измерению гидравлического сопротивления поверхностей с регулярной шероховатостью и определена эквивалентная песочная шероховатость исследованных поверхностей. На основании классических экспериментальных данных Г. Шлихтинга и результатов измерений авторов предложена формула, позволяющая оценить значение эффективной песочной шероховатости поверхности. Полученное соотношение применимо к поверхностям, состоящим из выступов со сравнимыми поперечными размерами и близкими по высоте. К ним можно отнести шероховатые поверхности, образованные, в частности, напылением.

Ключевые слова: шероховатость, эквивалентная песочная шероховатость, гидравлическое сопротивление.

Исследование турбулентных течений в трубах и пограничном слое на шероховатых поверхностях наталкивается на трудности, связанные с большим числом вариантов таких поверхностей.

Проблема упрощается в двух случаях: а именно, при достаточно малой шероховатости, когда поверхность можно считать гидравлически гладкой, и при неровностях, обтекаемых с отрывом потока, когда влияние вязкости несущественно.

Особым видом шероховатости является песочная шероховатость, образованная калиброванными и плотно упакованными зернами песка. Геометрия поверхности при этом описывается одним параметром — размером зерна, в отличие от геометрии реальных поверхностей.

В пристеночных турбулентных течениях при достаточно больших числах Рейнольдса и малой (относительно поперечного размера) шероховатости существует логарифмический участок осредненной скорости. Если на режиме, когда влиянием вязкости можно пренебречь, логарифмические участки профилей скорости для реальной и песочной шероховатости совпадают, то соответствующий размер зерен песка называют эквивалентной песочной шероховатостью ке реальной поверхности. В данной работе на основе результатов измерений устанавливается связь ке с геометрическими параметрами некоторых шероховатых поверхностей.

МИХАИЛОВ Владимир Викторович

доктор физикоматематических наук, главный научный сотрудник ЦАГИ

САМОЙЛОВА Нина Вениаминовна

кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник ЦАГИ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И УСЛОВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Для песочной шероховатости на режиме полного проявления шероховатости (когда зависимость сопротивления поверхности от числа Рейнольдса Яе пропадает) влияние неровностей связано лишь с размером зерен песка к8, и на некотором расстоянии от поверхности имеем логарифмическое распределение скорости [1]:

— = ЛЫУ + 8.5. (1)

и* к,.

Здесь динамическая скорость и* =^х№/ р; т№ — касательное напряжение; р — плотность;

Л — универсальная постоянная.

Реальная шероховатость характеризуется бесконечным числом геометрических параметров. Тогда, выбирая некоторый характерный размер к1, для такой поверхности в логарифмической области будем иметь:

— = Л1П-У + 4. (2)

и* к1

При переходе от к1 к другому характерному размеру кп значение Вп будет связано с В1

как

Вп = В, + Л 1п ^.

к,

Если при этом Вп = 8.5, то соотношение (2) переходит в (1), а величину кп = ке называют

эквивалентной песочной шероховатостью. Отсюда следует, что при известном значении ке на

режиме полного проявления шероховатости становятся применимыми все результаты, полученные для песочной шероховатости.

Значение ке при В1, известном из эксперимента, может быть найдено указанным образом, или же, зная сопротивление трубы X, может быть получено из формулы Кармана [1], если число Рейнольдса, определенное по диаметру трубы ЯеВ, достаточно велико:

1 к

ж=и4-21е«. (3)

Здесь В — диаметр трубы; Х = 8т№/ри^; ит — средняя скорость. Следует отметить, что формула Кармана (3), надежно подтвержденная экспериментами для песочных шероховатостей, относится лишь к режиму полного проявления шероховатости. Позднее Колбрук — Уайт усовершенствовали (3) [1], добавив влияние числа Яед на режимах, предшествующих полному проявлению шероховатости. Более точная модифицированная формула Колбрука — Уайта, предложенная в [2], использовалась в данной работе. Расчетные соотношения, используемые рядом авторов для определения сопротивления шероховатых поверхностей, приведены в обзоре [3].

В общем случае входящая в (2) безразмерная постоянная В1 должна зависеть от бесконечного числа безразмерных геометрических параметров. При выборе в качестве характерного размера к{, и, если к1, к2, ... — линейные размеры, а у1, у2, ... — углы, задающие форму шеро-

ховатости, значение безразмерной постоянной Ві = Ві

С к1 к2 ^

р р-Уі, У 2,-

V кі кі

Тогда при переходе к характерному размеру кп = ке (Вп = 8.5) имеем согласно (2) чисто геометрическую связь:

А 1п ке-

В,

к1 к2

V к ’ к,

\

,-У1, У2,-

= 8.5

или

к1 к2

чк;

Л

-,...У1, У 2 5 ...

(4)

(5)

Рис. 1. Схема расположения неровностей на шероховатых поверхностях:

данные испытания — У] = 0 (вариант I) и У] = 30° (вариант II); эксперимент [1] — у1 = 30°

Установление вида функции ^ в случае конечного числа безразмерных аргументов этой функции (т. е. для некоторых частных видов шероховатости) является задачей настоящей работы.

Естественно, что для этого необходимо достаточно большое число экспериментальных результатов, в которых определено значение ке при различных значениях параметров.

В настоящей работе были использованы классические экспериментальные результаты Г. Шлих-тинга [1] для регулярных шероховатостей. Однако отметим, что этих данных недостаточно, поскольку при испытаниях [1] не варьировалось отношение поперечного размера неровности к ее высоте, так же как и значение угла, задающего расположение неровностей относительно потока. В связи с этим авторами были проведены эксперименты по измерению сопротивления шероховатых поверхностей, которые позволили дополнить данные [1, 3].

Геометрия исследованных поверхностей с регулярной шероховатостью показана на рис. 1. Шероховатости двух видов были выполнены на виниловых пленках и представляли собой выступы в форме сферических сегментов с радиусом Ь = 1 мм и высотой к = 0.1 мм на одной пленке и к = 0.15 мм — на другой. Плотность выступов (число выступов на единицу площади) на обе-

_2

их пленках составляла 0.00606 мм , выступы располагались в вершинах равносторонних треугольников со сторонами 13.8 мм. Каждая из двух пленок наклеивалась двумя способами относительно направления потока, при этом изменялся угол, определяющий расположение неровностей относительно средней скорости, так, как показано на рис. 1. Таким образом были исследованы четыре варианта геометрии шероховатых поверхностей.

Испытания проводились на установке ТР-1 ЦАГИ, предназначенной для исследования течения в трубах. Установка представляла собой цилиндрическую трубу круглого сечения диаметром В = 48.2 мм, длиной 7 м, собранную из отдельных цилиндрических модулей. Места сочленения соседних модулей были тщательно подогнаны хонингованием. Средняя скорость потока

воздуха в трубе и =10 ^ 100 м/с, число Яе^, = 3 • 104 ■¥ 3 • 105. Исследуемая пленка наклеивалась на внутреннюю поверхность одного из модулей, радиус которого был увеличен на толщину пленки. В процессе испытаний модуль вынимали из трубы, пленку снимали, наклеивали другую, затем модуль устанавливали вновь.

Определение коэффициента гидравлического сопротивления X проводилось на основании измерения статического давления в начале и в конце мерного участка и измерения расхода в трубе с помощью входного мерного коллектора. Подробное описание установки и методики измерений дано в [4].

2. ВЫБОР ОСНОВНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

Прежде всего отметим, что не всякой шероховатой поверхности можно поставить в соответствие поверхность с песочной шероховатостью. Очевидно, что зависимость от вязкости жидкости может исчезнуть только в том случае, если элементы шероховатости обтекаются с отрывом потока, т. е. являются «плохообтекаемыми». В частности, для поверхности, состоящей из направленных вдоль потока ребер («риблетов»), не существует параметра эффективной песочной шероховатости. В связи с этим примем, что неровности, расположенные на некоторой плоскости,

к

е

должны иметь характерные размеры в направлении потока, сравнимые с их поперечными размерами. Очевидно, что суммарное сопротивление таких выступов будет определяться, в основном, миделем, направлением потока, формой поперечного сечения неровностей, а также расстояниями между ними.

Количество безразмерных параметров, входящих в (5), будет конечным для случая так называемой регулярной шероховатости. Примем, что на такой поверхности неровности одинаковы, относятся к определенному классу (конусы, сферические сегменты, и т. п.), а их взаимное расположение на плоскости характеризуется конечным числом линейных размеров. В этом случае в качестве характерного размера к, удобно выбрать высоту неровностей к. Далее все параметры, обезразмеренные с помощью к, будем отмечать индексом « * ».

Расположение неровностей в экспериментах [1] и при испытаниях, проведенных авторами, показано на рис. 1.

Из рис. 1 следует, что для шероховатых поверхностей такого типа значение ке* должно зависеть от трех безразмерных линейных размеров С1*, С2*, С3*, от угла у1, задающего расположение неровностей относительно потока, а также угла у2 элемента неровности относительно скорости. Сюда же следует отнести и параметры, определяющие форму неровности. В случае осесимметричных выступов угол у2 не является определяющим параметром. Пусть также осесимметричные неровности относятся к классу, когда их форма задается одним параметром: отношением максимального поперечного размера Ь к высоте к, т. е. Ь* = Ь/к (например, цилиндры, конусы или сферические сегменты). В нашем случае значение ке* будет определяться пятью параметрами: У1, С1*, С2*, С3*, Ь*. Для очень «редкого» расположения неровностей число таких параметров сокращается до двух, так как их «взаимодействием» можно пренебречь. Такими параметрами являются п/я* и Ь*, где п — число выступов на площади 5* (значение 5* отнормиро-

вано на к2 ).

Обозначив р = С1* + С2* + С3*, из рис. 1 имеем:

—5* = 2[Р( - 2С1*)( - 2С2*)( - 2С3*)]

-1/2

(6)

При С2* = С3* = Є1*уі5/2 [1] значение —5* = С\*2, для С1* = С2* = С3* параметр — = - 2

5* л/эС*2 '

В экспериментах [1] эффективная шероховатость ке получена с помощью измерения профиля скорости (на логарифмическом участке) и соотношения (1) при А = 2.5. Экспериментальные значения ке поверхностей, испытанных в данной работе, найдены авторами на основании измерений коэффициента сопротивления трубы X при наибольшей величине Яед и модифицированной формулы Колбрука — Уайта, предложенной в [2] (см. ниже (8)). Необходимость проведенных испытаний была вызвана, в основном, выявлением зависимости значения ке* от угла У1, так как результаты [1] получены при фиксированном значении этого угла.

В табл. 1 приведены значения ке* и безразмерные параметры шероховатых поверхностей, исследованных в [1] для случая осесимметричных неровностей.

Таблица 1

Сравнение расчета по (7) с результатами экспериментов [1]

Параметры Конусы Сферические сегменты Шары

Ь = 8 мм, Ь* = 2.13, Ь = 8 мм, Ь* = 3.08, Ь = к = 4.1 мм,

шероховатости к = 3.75 мм к = 2.6 мм Ь* = 1

Эксперимент [1]

—/•5* 0.0088 0.0156 0.0352 0.0042 0.0075 0.0169 0.122 0.0105 0.0420 0.168 0.467 1.154

ке* 0.154 0.437 0.997 0.119 0.188 0.573 1.4 0.227 0.839 3.07 3.8 0.627

Параметры шероховатости Конусы Ь = 8 мм, Ь* = 2.13, к = 3.75 мм Сферические сегменты Ь = 8 мм, Ь* = 3.08, к = 2.6 мм Шары Ь = к = 4.1 мм, Ь* = 1

ке*/( п/я*) 17.5 28 28.3 28.1 25 33.9 11.5 21.6 20 18.3 8.04 0.543

ке, мм 0.59 1.64 3.74 0.31 0.49 1.49 3.65 0.93 3.44 12.6 15.6 2.57

Расчет по (7)

ке* 0.23 0.41 0.93 0.123 0.219 0.49 1.68 0.231 0.922 3.36 3.27 0.763

ке , мм 0.88 1.55 3.48 0.32 0.57 1.28 4.37 0.95 3.78 13.8 13.4 3.13

Из этих данных следует, что при достаточно большом расстоянии между выступами (малых п/я*) можно принять, что параметр ке* пропорционален значению п/я* для данного типа неровностей. Тогда, согласно данным табл. 1, можно считать, что ке* « 22Ь*/4 п/я*. Зависимость от Ь* должна позволить при этом применить это соотношение ко всем указанным неровностям и обеспечить условие ке* = 0 при Ь* = 0. Окончательно, учитывая, когда геометрия близка к песочной, т. е. Ь* « 1, п/я* «1, значение ке* « 1, можно предложить следующую аппроксимацион-ную формулу:

к 22Ь14 п/я* (7)

ке* / /ч3. (7)

1 + 21 (Ь* п/я*)

Результаты расчета с помощью этого соотношения и сравнение с данными эксперимента [1] приведены в табл. 1. Отметим, что формула (7) получена для случая, когда за характерный линейных размер выбрана высота неровностей к. Естественно, что при выборе другого характерного размера, постоянные 22 и 21 должны быть изменены.

Сравнение данных эксперимента и расчета показывает, что, во-первых, формула (7) оказывается применимой для всех рассмотренных классов осесимметричных неровностей и, во-вторых, погрешность определения ке не превышает 50%. Однако следует отметить, что в том случае, когда поперечные размеры неровности отличаются в несколько раз, формула (7) будет неприменима. В частности, эксперимент [1] для неровностей в виде прямоугольных пластин, расположенных перпендикулярно потоку, дали на порядок большие значения ке* по сравнению с осесимметричными неровностями (при тех же значениях Ь* и п/я*). И, естественно, что в этом случае значение ке* будет очень сильно зависеть от угла у2 между нормалью к пластинам и набегающим потоком.

Для осесимметричных элементов шероховатости влияние У1, задающего расположение неровностей относительно потока, должно определяться степенью «затенения» неровностей, попадающих в следы расположенных выше по потоку выступов. Для оценки влияния такого эффекта были проведены измерения ке при двух значениях угла У1 для случая регулярной шероховатости из сферических сегментов. Полученные результаты даны в табл. 2.

Сравнивая расчетные и экспериментальные данные, видим, что они и при различных углах У1 отличаются (как и данные табл. 1) на величину не более 50%.

Таким образом, с указанной погрешностью влиянием У1 можно пренебречь. Однако эта на первый взгляд существенная погрешность при расчете сопротивления трубы или касательного напряжения в пограничном слое должна давать относительно малую ошибку, поскольку влияние ке учитывается при этом логарифмическим слагаемым вида ^ (ке/5), где 5 — поперечный размер зоны турбулентного течения (ке/5, как правило, на несколько порядков меньше единицы). Это утверждение иллюстрируют данные для сопротивления трубы диаметром 48.2 мм (рис. 2, 3), полученные авторами при испытаниях шероховатых поверхностей. Экспериментальные и рас-

Рис. 2. Коэффициент сопротивления трубы с шероховатостью к = 0.1 мм:

1 — эксперимент; 2, 3 — расчет по (8) [2]: 2 — ке определено

по формуле (7), 3 — ке определено из эксперимента; а —

у1 = 0, б — у[ = 30°

0.025

0.02

0.025

0.02

0.015

а) =ОР=ОС* 2

'-оо-о-а р^-о-сгс ОТГО!

б) -А-^д д А А ы а&а. -1

2

0

ЯеП'10”

Рис. 3. Коэффициент сопротивления трубы с шероховатостью к = 0.15 мм:

1 — эксперимент; 2, 3 — расчет по (8) [2]: 2 — ке определено по формуле (7), 3 — ке определено из эксперимента; а — у1 = 0, б — у; = 30°

четные значения ке и других параметров приведены в табл. 2. Используя эти значения ке, на рис. 2, 3 построены расчетные кривые с помощью модифицированной формулы Колбрука — Уайта [2] (в работе [2] величина ке* = ке/кг- обозначена а, к — характерный размер):

= 1.14 - 21ё

Л I В

ехр

( 7.5ке*Л

3.3

к+

(8)

В

к+= х=

Яев =

ри

риВ

Здесь В — диаметр трубы; и — средняя скорость; ц — коэффициент вязкости.

Таблица 2

Сравнение расчета по (7) с результатами проведенного эксперимента

Сферические сегменты Ь = 1 мм, С = С2 = С3 = 1.38 мм

Параметры

к = 0.1 мм

Результаты данного эксперимента

Расчет по (7)

к = 0.15 мм

Вариант I у1 = 0 ке* 0.2 0.43

ке, мм 0.02 0.065

Вариант II у1 = 30° ке* 0.34 0.6

ке, мм 0.034 0.09

у1 — не учитывается при пА* 0.00606 0.0136

расчете по (7) Ь* 10 6.67

ке* 0.24 0.47

ке, мм 0.024 0.071

Итак, на рис. 2, 3 приведены экспериментальные значения X и кривые, построенные с помощью формулы (8), предложенной в работе [2]. Кривые 2 построены по расчетным ke, определенным из (7). Кривые 3 построены по экспериментальным ke, определенным указанным выше способом (т. е. из условия наилучшего совпадения зависимости (8) с экспериментом при больших значениях Re^).

Из сравнения результатов экспериментов следует, что влияние угла Y1 на коэффициент сопротивления не превосходит 5%, и с этой же погрешностью соотношение (7) может быть использовано для расчета X трубопровода с шероховатостью данной модели. При изотропном расположении неровностей влияние Yj должно исчезнуть так же, как и для случая песочной шероховатости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Получено соотношение (7) для оценки значений эквивалентной песочной шероховатости ke и параметра ke* = ke/ki в случае шероховатых поверхностей, состоящих из выступов примерно одинаковой высоты и одинаковых поперечных размеров (неровностях, близких к осесимметричным). К ним можно отнести шероховатые поверхности, образованные, в частности, напылением.

Проведены измерения гидравлического сопротивления поверхностей с регулярной шероховатостью и определена эквивалентная песочная шероховатость испытанных поверхностей. Полученные экспериментальные результаты дополняют экспериментальные данные для большого числа различных видов шероховатости, представленные в книге Г. Шлихтинга [1] и в более поздних работах [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1965, 711 с.

2. Михайлов В. В. Уточненная формула для расчета коэффициента гидравлического сопротивления трубопроводов // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 4, с. 159—161.

3. Karen A. Flack, Michael P. Schultz. Review of hydraulic roughness scales in the fully rough regime // J. of Fluids Engineering. 2010. April. V. 132, p. 041203-1.

4. Лашков Ю. А., Михайлов В. В., Самойлова Н. В., Успенский А. А.

О гидравлическом сопротивлении трубы с пленкой жидкости на ее поверхности // Изв. РАН.

МЖГ. 2002. № 6, с. 63—73.

Рукопись поступила 27/XII2010 г.