CC BY
26
высшего технического образования: сб. науч. ст. по материалам регион. науч.-мегод. конф. - Новочеркасск: ЮРГТУ (НИИ), 2005. - 344 с.
6. Коваль В.В. «Учебные практики: назначение и реализация в современной системе подготовки инженерных кадров» // Научно-методическое обеспечение модернизации высшего технического образования: сб. науч. ст. по материалам регион. науч.-метод. конф. - Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2005. - 344 с.
7. Организация и направления работы Центра содействия занятости учащейся молодежи и трудоустройства выпускников учреждения профессионального образования (методические рекомендации). - М.: МЦПТ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 78 с.
УДК 519.63:532.55
В.В. Ершов
Таганрогский государственный радиотехнический университет, г. Таганрог
О ВОЗМОЖНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ИНТРУЗИЕЙ В ПРИБРЕЖНЫХ ВОДОНОСНЫХ ГОРИЗОНТАХ
Прибрежные водоносные горизонты являются важным источником пресной
.
над качеством пресной воды, требующая, в свою очередь, знания режима движения грунтовых вод вблизи скважин. Для этого требуется мониторинг, основанный на математических моделях, включающих уравнения математической физики, описывающих динамику движения грунтовых вод в указанных условиях. Решение уравнений математической модели, описывающей фильтрацию грунтовых вод в ,
. , , -
ватной.
В береговых водоносных горизонтах гидравлический градиент обычно направлен к морю, поэтому между текущей к морю более легкой пресной водой и лежащей ниже более тяжелой морской водой формируется зона контакта. Независимо от рельефа во всех случаях морская вода, часто в форме клина, находится ниже пресной [1].
Морская и пресная вода - это фактически смешивающиеся жидкости, и потому поверхность раздела между ними (ввиду явления гидродинамической диспер-) ,
, 1 0. -этому для задач управления важно знать характеристики этой зоны (такие как ши, , ) ,
(надичие скважин и их режим, наличие осадков и источников в грунте и на поверхности и т.д.).
Эта задача тем более актуальна, если в прибрежной зоне имеются скважины, предназначенные для откачки пресной воды из водоносного горизонта. Интрузия может вызвать засоление или загрязнение скважин, поэтому численные расчеты движения зоны контакта при различных условиях могут помочь в выборе режима . , -ние загрязненной или засоленной воды вглубь водоносного горизонта. Помимо про,
ниже уровня моря, картину движения загрязнений в грунте и другие факторы.
Рассмотрим задачу о совместном движении двух различных несжимаемых смешивающихся жидкостей в пористой среде вблизи обширного резервуара (море,
, ).
морской воды с пресными грунтовыми водами, текущими к морю; при загрязнении прибрежных вод или водохранилищ вредными или ядовитыми растворимыми веществами; при загрязнении почвы и последующем проникновении примесей в во. -, -( , .) [1].
Пусть р - давление жидкости, а С - концентрация одного компонента смеси в другом, 0 < С < 1. Тогда, ввиду малой скорости фильтрации, для установившегося потока имеет место закон Дарси [1]:
к
д =----(Ур -у (х)),
М
где д = пи - удельный ПОТОК (и - скорость ЖИДКОСТИ, п = п(х) - пористость среды), к = к(х) - проницаемость среды, р - давление жидкости, р(С) - плотность жидкости, М(С) - динамическая вязкость жидкости, функция у = у(х) учитывает внешние силы и в случае учета только лишь гравитации имеет вид У(х) = -РУх3. Это уравнение связывает скорость жидкости с ее основными
характеристиками.
В случае неустановившегося потока уравнение Дарси имеет вид:
1 ди 1 г-г и /1\
—=—= у-------Ур —-р— и. (1)
п д/ р кр
Основным уравнением движения жидкости является уравнение неразрывности в виде
п др + У- (ри) = I (х, /), (2)
д/
где функция I = I(х, /) моделирует внешние источники (осадки, испарение,
, ).
Третье уравнение (конвекции-диффузии) учитывает гидродинамическую дисперсию и связывает концентрацию одного компонента смеси в другом со скоростью флюида:
п ЭС- + иУС - &у(БУС) = Я( х, /), (3)
д/
где Б = Б(х) - коэффициент диффузии, а функция Я = Я(х, /) моделирует внеш-( , ).
(1)-(3) :
рдЫа = -д!_ —Ми — рУх
п д/ дх„ ки ёРУх ,
п %+Шир 1
дС + з дС — з _Э_
п д/ кКдх„ к дха
г
б
дх„
= Я
Реальные задачи должны учитывать положение свободной поверхности. Считая, что уравнение свободной поверхности имеет вид F(х, /) = 0 , получаем условие на ней в виде:
dF дF Л
—— = u ■\F = 0,
dt дt
или, так как и = (и1,и2,и3)
дF _ дF д^ дF
д/ и дх1 и2 дх2 и3 дх3
Полагая F(х, /) = х3 -И(х1, х2, /) = 0, получаем:
дИ дИ дИ (4)
п— = и3 - и,---------и2-—• ^
д/ дх1 2 дх2
Полученную систему четырех уравнений необходимо дополнить начальными и . , концентрации во всех точках жидкости, а также высоту свободной поверхности:
иа(х О = иа0(хХ _(^ О = _0(x), С( х, /0) = Се( х),
И( х1, х2, /0) = И0( х1, х2).
На границах области необходимо задать давление и компоненты скорости как функции времени (в частности, на свободной поверхности давление равно нулю, а
). -
( )
времени.
Получим дискретные сеточные уравнения, позволяющие решить задачу численно. Уравнения будем выписывать для случая трехмерной области, они очевидным образом упрощаются в двумерном случае. Для этого, прежде всего, перейдем в уравнениях движения к новым безразмерным независимым переменным.
Рассмотрим регулярную область О с К. Введем в ЙХ [0, Т ] равномерные
прямоугольные сетки по пространственным переменным и по времени:
®а = \ха \ ха = *аИа , = 00)г = \п \ К = пТ , п = °
- -
операторного уравнения:
— + АС = Б®, А = Л(0 = Щ + Б, / > 0,
сИ
с начальным условием С(0) = С0 .
Здесь БС - оператор диффузионного переноса
БС=-,ЩБх) ЗТ
и КС - оператор конвективного переноса в недивергентной форме
з дС
КС = Хиа(х,0 ЗС .
а=1 дха
Аппроксимируем со вторым порядком дифференциальный оператор Б разностным
3
•(а) — _а(и)у_ ) , хе®,
а=1
ПОЛОЖИВ
В = ^ Б(а, Б(а)у = -(а(а)ух ) , х
' П ' л*
а(1)(х) = В^х, -Ь-,х2,х^* а(2)(х) = В^,х2 -~2^,х3^ а(3)(х) = В
К
хі, х2, хз - -г3
V 2 J
Конвективные слагаемые аппроксимируем с первым порядком, используя направленные разности на разнесенных сетках:
К = X К(а) , К(а)у Л^Ух„ + Ь-а)уха , Иа< ха< 1а- Иа , а=1 [0 , ха=0 , ха=а,
положив
Ъ<а(х) = иа( х) ,
ъ+ (х)=2 (( х)+\ъ( х)| )> о: Ъ-(х) =1 (Ъ( х) - |Ъ( х)| )< 0-
После дискретизации по пространству приходим к дифференциальноразностному уравнению:
йу + Кфу + Бу = , х еа, / > 0.
й/
Расщепляем задачу на две решаемые последовательно подзадачи (расщепление по физическим процессам) [2,3]:
+к(і)у(|)+Ву=5, г, < г < г+1,
+к(г)у (|>+Ву <2> = 5, г. < г < .,
с начальными условиями
у(1)(0) = Со, у(2)(. = у(1)(гі+і).
Можно показать, что эта схема аппроксимирует исходную задачу в суммарном смысле [2].
Поставим каждой подзадаче в соответствие чисто неявную схему:
,+1/2 - уп
0,5т + К(‘"+1'2^ ’ (5)
у----------+К (г,+12) уп+1- + Ву' = Бп,
.п+1 __ у,+1/2
—+К(гп+12) уп+12 + Буп+1 = Б',
где 8" = 8(х^"+12) . На первом полушаге на верхний слой выносится конвективный перенос, на втором - диффузионный. Можно показать, что полученная схема безусловно устойчива [2].
В случае двумерной области О для решения полученной выше системы сеточных уравнений воспользуемся попеременно-треугольным методом, а в трехмерном случае произведем дальнейшее расщепление каждой подзадачи на ряд локально-одномерных схем, также аппроксимирующих подзадачи в суммарном .
,
вид:
ип+1____ип и
р а Т а = _р?а - и иа+1 _ 8РУх
Эти уравнения позволяют найти скорость флюида на новом временном слое :
>+1 р"+1 _ р"+1 >+1
, ,"+1 ‘+1/2 Рг+1 Рг I ‘+1/2 ,,"
и1,г+1/2~ р+1 7 I- т и1,г+1/2 ’
М+1/2 'К С
І+1/2
Пп+1 рП+1 ____ рП+1 у!п+1
и2и+' = __п+1 + 1 ' +-у12ип ....., (6)
2,]+Ч2 пп+1 и т 2,і+Ч2
Иі+1/2 ”2 ^
ЇЇф Рж~ РҐ +Уі2 рп+Ф \ Т
. п+1 __ 'Ч+1/2 Уі+1 У і І ^+12 „ ,п _ 2 п+1 (У
из,1 +12 п+1 Т.. - М3,і+1/2 /1І+1/2б ,
где
Оп+1 _
=-
Р+1
М-+У2
1+1/2 рп+1 / !п+1
И1+1/2 + М' +12 т к*+12
Наконец, определим поле давлений. Разностная схема, соответствующая уравнению неразрывности, имеет вид:
„п+1 ,-," ,,"+1 р" +1 _ ,"+1 р"+1 ,"+1 р"+1 _," +1 р" +1
р _р + и1,г +1/2Рг +12 “1,1 _1/2Рг _1/2 + “2,} +1/2Р} +1/2 “2,} _1/2Р } _1/2 +
Т Н1 к
2
} п+1 ,-^п+1 } п+1 ,-^п+1
+ М3,1 +1/2^7+12 и3,і _\І2Иі_1/2 =
к3
Подставив в это уравнение скорости (6), получим схему
^-*"+1 ^-*"+1 ^-*"+1 ^-*"+1 рп+1 ___ р"+1
р+1 _р , >+1 р _ рг_1 >+1 Р1+1 Р1
_ у п+1 Уі+1 її + П+1 гІ ҐІ_1 _ у п+1 г'і+1 г і +
А'+1/2 к12 !_12 к2 п+12 к22 + (7)
Рп+1 __ Рп+1 Рп+1 _ Рп+1 Рп+1 _ Рп+1
, >+1 ± і Уі_1 >+1 рі+1 Уі , >+1 Уі Рі-1 _ Т7п+1
+п_і/2—к— _л^2—й2—+п_1/2—к— р ,
где
ґ^п+1 ~п г1п+1 — Пп+1 Пп+1 — Пп+1 Г7п+1 _ этп+1
7Т'п+1 Р _ Р Чі,і+1/2 Чі,і_1/2 '/2,і+1/2 '/2,]_1/2 'І3,1+1/2 '/3,1 _1/2 . 7
^ = Т кТ кТ кТ + ,
Полученная неявная разностная схема безусловно устойчива и аппроксимирует исходную задачу со вторым порядком. Решение системы уравнений с соответствующими начальными и граничными условиями для двумерной области также можно получить попеременно-треугольным методом.
Вычисление положения свободной поверхности произведем по явной схеме
Уравнения полученной дискретной модели решаем в следующем порядке:
1) находим концентрацию С из системы уравнений (5), используя значения концентрации и скорости на предыдущем временном шаге и граничные условия (затем находим р и ц как функции С);
2) находим поле давлений из системы (7), используя значения давления на предыдущем временном шаге и граничные условия;
3) находим поле скоростей по явной схеме (6), используя полученные ранее значения скорости и давления;
4) находим новое положение свободной поверхности по явной схеме (8) с учетом полученного распределения скоростей.
Расчеты были произведены для двумерной модели взаимодействия пресной
, , , показанной на рисунке 1.
В различные моменты времени были рассчитаны форма и положение зоны контакта и свободной поверхности (в области без источников и при наличии ис). : имеет близкую к параболической форму при отсутствии скважин и меняет свое
(8)
где
и" > 0, и" < 0,
и2" > 0, и" < 0.
Свободная поверхность
Водоносный
терфх
Рис.1
положение и форму при введении источников либо при изменении потока пресной воды. Свободная поверхность также меняет свое положение при изменении режима скважин или изменении потока.
Морская вода образует клин, направленный вглубь водоносного горизонта, причем его длина зависит от величины потока пресных вод и давления пресной и . , , меняя режим скважин около побережья. При увеличении потока пресных вод увеличивается и область разгрузки, расположенная ниже уровня моря.
На рисунках 2,3 показано изменение положения и формы переходной зоны при уменьшении потока пресной воды, текущей к морю. Подобное уменьшение потока может происходить, например, при откачке воды из водоносного слоя сис-, .
, , одновременно с этим переходная зона несколько расширяется.
Рис.2
С&ыбодная
поверхность
Рис.3
На рисунке 4 показано изменение положения интерфейса при откачке пресной воды из скважины, расположенной непосредственно вблизи берега. Поверхность раздела пресной и соленой воды смешается влево, а ее форма перестает быть .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Bear J., Verruijt A. Modeling Groundwater Flow and Pollution. D.Reidel Publishing Company, 1987.
2. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. М.: Наука, 1999.
3. Марчук ГМ. Методы расщепления. М.: Наука, 1989.
УДК 519.688
И.В. Абалакин, С.А. Суков
Институт Математического Моделирования РАН, г. Москва
РАСЧЕТ ВНЕШНЕГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ НА МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ
СИСТЕМАХ*
В данной публикации представлено краткое описание структуры и возможностей комплекса последовательных и параллельных программ моделирования задач внешнего обтекания тел. Программы комплекса являются частью разрабатываемого в ИММ РАН пакета программ GIMM, предназначенного для решения задач механики сплошной среды с помощью гетерогенных вычислительных комплексов.
Введение
Многопроцессорные вычислительные комплексы представляют на сегодняшний день наиболее перспективное направление развития компьютерной техники. Среди них по показателю производительности лидируют многопроцессорные системы с распределенной памятью и вычислительные кластеры. Архитектура систем этого класса позволяет им практически неограниченно масштабироваться за счет про..
создаются высокопроизводительные ЭВМ, мощности которых достаточно для решения все более сложных научных, исследовательских и производственных проблем.
* Работа выполнена при поддержке ОМН РАН по программе фундаментальных исследований (Государственный контракт 10002-251/ОМН-03/026-023/240603-806) и грантов РФФИ 04-01-08034-0фи и 05-01-00510-А.
