CC BY
31
стоятельность, жизненную приземленность или идеалистичность.
1. Бердяев Н. А. Душа России. М., 1990. С. 6, 8-10, 15-17.
2. Мнацаканян М.О. // Общественные науки и современность. 2006. № 2. С. 15.
3. Лосский Н. Характер русского народа. М., 1990. Кн. 2.
4. Шкаратан О. // Общественные науки и современность. 2004. № 4.
5. Тихонова Н.Е. // Общественные науки и современность. 2005. № 6.
6. Allport G.W. The historical back ground of modem spesial psychology. Handbook of sosial psychology. V.L. Cambridge, 154. P. 9.
7. Дилигенский Г.Г. Социально-политическая психология. М., 1996. С. 155.
8. Гуревич К.М., Раевский А.И. // Психол. журнал. 2001. Т. 22. № 5. С. 29-38.
9. Абульханова К.А. Психология и сознание личности: Избр. психол. тр. М., 1999.
Поступила в редакцию 22.03.2007 г.
О ВОЗМОЖНОСТИ СИНЕРГЕТИЧЕСКОГО ВИДЕНИЯ МАТЕМАТИКИ1
А.А. Артемов, Н.Б. Болотова, С.В. Кольцова
Artyemov A.A., Volotova N.B., Koltsova S.V. On an opportunity of the synergetic vision of mathematics. The given work attempts to construct the elementary metaphorical model of mathematics using the synergetic visions of it as an open complex developing system. Henceforth the construction of theoretical model with its subsequent improvements will be proposed. The authors conclude that the comparison of development of the complex self-organizing system, as it is presented by synergetrics, with a historical picture of mathematics development shows, that evolution of mathematical knowledge submits to the same laws of development, and, hence, the mathematics as a complex system can be studied from positions of synergetrics.
Несомненно, что1 современная математика является очень сложным и важным объектом изучения. Реальность современной математики обнаруживает очаг напряжения в самой науке - это увеличившийся до непомерных размеров разрыв в скоростях протекания процессов дифференциации и интеграции исследований. Это приводит к катастрофической разобщенности сообщества математиков и, как следствие, к утрате видения единства математики, к отсутствию внедрения нового в общематематический цикл университетского специального математического образования, т. к. живое положительное содержание, понятное не только узкому специалисту, а математику из другой области, практически исчезло из науки.
Возникает проблема управления процессом интеграции, выяснения роли человеческого фактора, его возможности противостоять хаосу дифференциации. Языком, на котором удобно и естественно описывать жизнь слож-
1 Исследование выполнено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ 06-06-96318р_центр_а).
ных развивающихся систем, является синергетика. В современном понимании синергетика -наука о процессах развития и самоорганизации сложных систем любой природы.
В данной работе предпринята попытка построения простейшей метафорической модели математики с использованием синергетического видения ее как открытой сложной развивающейся системы. В дальнейшем предполагается построение теоретической модели с последующими ее усовершенствованиями.
Будем при этом исходить из определенного образа математики. Как известно, исторически сформировались и продолжают сосуществовать три основных взгляда, три образа математики: содержательный (или
предметный), формалистский (или структуралистский) и функциональный (или системный) [1]. Мы придерживаемся функциональной точки зрения на математику, понимаем ее как функционально подчиненную подсистему в системе научного знания в целом, делая акцент на ее целостности как сложной самораз-вивающейся системы. В своих рассмотрениях будем опираться на работы [2-3].
Напомним (см. [2]), как синергетика представляет процессы развития сложных систем. В их развитии различают два этапа. Один из этапов характеризуется стационарностью, на всем его протяжении не происходят принципиальные качественные изменения в состоянии системы. Эволюционные процессы жестко детерминированы, будущие состояния предсказуемы, если выявлена общая тенденция развития. Однако пребывание системы в стационарном состоянии требует протекания определенных внутренних и внешних взаимодействий, позволяющих системе устойчиво сохранять внутреннее равновесие при ее неравновесности с окружающей средой. Внутреннее равновесие поддерживается либо постоянной выработкой энергии внутри системы, либо постоянным притоком необходимой энергии извне.
Под влиянием внешних воздействий или в результате развития внутренних противоречий стационарное состояние рано или поздно заканчивается, в развитии системы наступает кризисный этап, для которого характерно нарушение внутреннего равновесия и потеря устойчивости.
На кризисном этапе развития системы заканчивается однозначный эволюционный путь, отвечающий стационарному этапу. Возникает несколько ветвей потенциально возможных продолжений развития в результате выхода из кризиса. Выбор той или иной ветви определяется воздействием на систему одной из возникающих в этот период времени флуктуаций.
Как протекают переходные процессы не все ясно. Понятно, что решающее значение здесь имеет открытость сложной системы, ее взаимодействие с внешней средой, откуда поступает энергия, обеспечивающая выход из состояния кризиса. Если величина поступающей энергии будет меньше потерь энергии внутри системы, то выход из кризиса пойдет деструктивным путем, путем частичного или полного разрушения упорядоченного состояния системы. Деструктивный путь выхода из кризиса реализуется механизмами достижения равновесных состояний. Переход неравновесной системы в некоторое промежуточное равновесное состояние сопровождается ростом энтропии, что означает снижение уровня организованности. Механизм деструктивной тенденции развития за-
ложен в стремлении систем к достижению равновесия.
Выход из кризисного этапа считается конструктивным, если система приобретает качественно новое состояние с более высоким уровнем организации, чем до ее вступления в кризисный этап. Такой переход может протекать в форме гигантской коллективной флуктуации, во время которой элементы системы, до того проявлявшие лишь способность к хаотическим близкодействи-ям, вдруг обретают способность к дальнодействиям, объединяющим элементы в единый когерентный коллектив.
Давно было замечено, что в природе наблюдаются процессы нарастания со временем сложности и упорядоченности развивающихся открытых неравновесных систем. Такие наблюдения рождают представление о направленном развитии высокоорганизованных открытых систем. Процесс развития у таких систем - историческая эволюция, время от времени прерываемая кризисными этапами с выходом в качественно новые состояния с более высоким уровнем сложности и организованности, чем на предшествующем стационарном этапе.
Основываясь на вышеизложенном, мы попытаемся переосмыслить на языке синергетики результаты работы [3]. Кратко напомним ее содержание. В этой работе рассматриваются наиболее общие закономерности (механизмы) развития математического знания, относящиеся к эволюции способа его систематизации. Показано, что существуют два основных способа систематизации математического знания, которые названы автором «практическая математика» и «теоретическая математика».
Диалектическая природа механизмов развития математического знания обусловливает изменяемость каждого из способов систематизации и необходимость перехода от одного способа к другому. Исторически указанные способы чередовались, представляя собой эпохи в развитии математики. В истории математики прослеживаются периоды, когда в ее развитии сильно сказывается влияние внутренних теоретических закономерностей, а когда практически ориентированная проблематика перестраивает способ ее систематизации и дает мощный импульс к
последующему созданию принципиально новых теоретических конструкций.
Практическая математика представляет собой исторически первый способ организации математического знания, при котором вместе соединяются направленные на удовлетворение одинаковой практико-прикладной потребности элементы математического знания. Математика при этом вбирает в себя практическую проблематику и как бы готовится в теоретических построениях отразить стороны объективной реальности, которые однопорядковы ее исходному практическому фундаменту. Математика начинает развиваться как практически ориентированная целостность математического знания. Переход математического знания в теоретическое состояние был разрушением одного типа и возникновением другого типа целостности.
При теоретической систематизации знания используются логические связи, идеальные математические объекты, осознается отличие этих объектов от реальных физических тел. Сведение с помощью логики одних математических утверждений к другим, более простым, производится в виде мысленных операций над идеализированными объектами. Математические абстракции «живут собственной жизнью», которая заключается в постоянном совершенствовании теоретических конструкций. Появление математики как теоретической науки связано с требованиями практической деятельности. Происходит внутренняя перестройка практической математики, проявляющаяся в эволюции типов задач, стремлении обосновать правильность результатов, в поисках общих методов решения.
Итак, математика зарождается и существует как целостное образование, как определенная область результатов дифференцированной практической деятельности. Эта целостность не определяется теоретической связанностью ее частей. Практическая математика подчинена практической деятельности, нацелена на ее осуществление. Однако сама практическая математика содержит возможность последующего перехода в математику теоретическую. Этот переход постоянно готовится в рамках обучения, направленного на воспроизводство практической математики.
Основой теоретико-математического
знания являются теоретические конструкции, в которых положения связаны друг с другом сетью доказательств, при этом теоретические конструкции заметно усложняются. В классической теоретической математике во времена Аполлония и Архимеда сложность в терминологическом аппарате достигла такой высоты, что дальше математику невозможно было развивать. Можно сказать, что в развитии математики возникло своеобразное напряжение, тормозящее развитие знания, которое в результате привело снова к установлению практического способа систематизации математики в средние века. Однако после всплеска теоретичности в математике античности и эпохи эллинизма чистота практического способа систематизации математического знания уже никогда не могла быть восстановлена. Математическое знание средних веков синтезировало теоретическую традицию и практическую ориентацию. Это слияние теоретической традиции и практической предназначенности в математике средних веков реализовалось посредством систематизации математических знаний вычислительно-алгоритмическим способом. Вычислительный алгоритм как бы зашифровывает теоретическую традицию и одновременно исполняет функции практической предназначенности математических знаний.
В результате математика средних веков выступает как практически ориентированная целостность: и как особым образом систематизированное знание, и как методологически осознанная целостность, и как совокупность однопорядковых представлений о математике.
Практика в средние века дает мощный импульс развитию математики. Нарастает гносеологическое противоречие, выражающее неспособность математического знания адекватно в математических понятиях отразить многочисленные эволюционные процессы.
Теоретическая математика первого уровня исчерпала свои возможности. Требовались качественные изменения, переход к новому кругу идей. Теоретическая математика Нового времени по своей сущности выражает диалектический скачок от неизменных величин и фиксированных отношений к движению, широкому использованию предельных переходов и функциональных зависимостей, возникают дифференциальное и
интегральное исчисления. Вторая теоретическая революция в математическом знании сопровождалась повышением адекватности теоретической математики при отображении более сложных процессов и отношений действительности, расширением сферы ее практической приложимости. Систематизация математического знания вновь изменилась в пользу теоретического. И знание, впитав новые идеи, сделало рывок вперед, в результате которого многие проблемы, стоявшие с древности, нашли свое решение, многие решения древних упростились, и много новых проблем было сформулировано в связи с усложнившейся реальностью. В ходе терминологической революции окончательно наступает период накопления новых терминов математических объектов и операций в рамках теоретической математики Нового времени. Математическое знание приобретает механизм саморазвития. Для математики, добившейся адекватного теоретического отображения более сложных процессов объективной реальности, раскрылись горизонты развития за счет потенциальных возможностей новых понятий. Переход от практического способа систематизации к теоретическому реализуется как качественный скачок терминологического аппарата и совершается аналогично скачку эпохи становления классической теоретической математики Древней Греции. Эти скачки, представляющие разрыв постепенности в росте понятийного аппарата математики, приводят к перелому в соотношении внутренних и внешних факторов развития математики.
При становлении теоретического способа систематизации происходит теоретическая консолидация математического знания, хорошо прослеживающаяся в эволюции понятийного аппарата. При переходе к практическому способу систематизации наблюдается обратный процесс «размывания» теоретической целостности, растворения ее в едином потоке математического знания.
Главная тенденция развития современной математики - усиление практической направленности, попытка подойти ближе к практической деятельности, обеспечить непосредственную помощь в решении практических проблем. Все более усиливающаяся
ориентация на практику свойственна не только математике, но и науке в целом. Современная математика идет полностью в русле общего развития науки. Однако «заземление» математики на практическое направление не следует понимать как отказ от собственно теоретических разработок и достижений абстрактного знания. Современная математика способна гораздо более полно синтезировать в себе практическую ориентацию и теоретические направления исследований, чем это удалось практической математике средних веков. Переход от теоретического способа систематизации математического знания к практическому осуществляется посредством, с одной стороны, разрушения теоретической интеграции знания, сопровождаемого отходом от сложившихся стандартов доказательности. С другой стороны, единство математического знания все более восстанавливается в процессе алгоритмизации и построения математических моделей, т. е. систематизации внедоказа-тельного типа.
Вернемся к началу нашей статьи. Простое сравнение процесса развития сложной самоорганизующейся системы, как его представляет синергетика, и предъявленной выше исторической картины развития математики показывает, что эволюция математического знания подчиняется тем же закономерностям развития, а следовательно, математику как сложную систему можно изучать с позиций синергетики. Такой подход позволяет сделать оптимистический вывод, что из наблюдаемого сегодня кризиса в математике возможен конструктивный выход, и в этом основную роль должен сыграть человеческий фактор.
1. Перминов В.Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства. М., 1986.
2. Ровинский Р.Е. // Вопр. философии. 2006. № 2. С. 162-169.
3. Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания. М., 1983.
Поступила в редакцию 2.03.2007 г.
