CC BY
14
шений в классе т.а.а. К, содержащем автомат с одноэлементной алгеброй состояний и замкнутом относительно топологических изоморфизмов, прямых произведений и замкнутых подсистем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Birkhoff G., Lipson J.D. Universal algebra and automata // Proc. Tarski Symp. (Proc. Symp. Pure Math., Vol. 25). Providence, R.I. 1974. Vol. 2. P. 41-51.
2. Богомолов A. M., Салий В. H. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука. Физматлит, 1997.
3. Кон П. Универсальная алгебра . М.: Мир, 1968.
4. Плоткин Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия А. А. Элементы алгебраической теории автоматов. М.: Высшая школа, 1994.
5.ДевисМ. Прикладной нестандартный анализ. М.: Мир, 1980.
6. Молчанов В. А. Нестандартные многообразия псевдотопологических алгебраических систем // Сиб. мат. журн. 1991. Т. 32, № 3. С. 104 - 112.
УДК 517.984
М. В. Парфенов
О ВОССТАНОВЛЕНИИ САМОСОПРЯЖЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 4-ГО ПОРЯДКА НА ПОЛУОСИ
Рассмотрим дифференциальное уравнение (ДУ) вида
£у = yw + р2 (х)/'+Р] (х)у'+р0 {х)у = Ху, х> 0. (1)
Здесь pv(x) eWv, pv(х)- комплекснозначные функции, Х- спектральный параметр. Пусть функции Фк (х,X),к = 1,4 являются решениями ДУ (1) при условиях <t>k(*-J\0,X) = bkj, j = ljc, Фк(х,Х) = 0(exp(pRkx)), х-> <х>, где X = р4, Rk = 1 и Reip^j:) < Re(pRjx), при к <j , 8kJ - символ Кронекера. Матрица М(Х) = [Mkj (Х.)]А = называется
матрицей Вейля (MB).
В [1] приводится решение обратной задачи восстановления несамосопряженного ДУ (1) по данной MB и необходимые и достаточные условия, при которых матрица М(Х) будет матрицей Вейля некоторого ДУ вида (1). Одним из этих условий является требование однозначной разрешимости так называемого основного уравнения обратной задачи (ОУ). В данной работе, при некоторых дополнительных ограничениях на спектр, опираясь на метод, изложенный в [2], доказывается, что разрешимость ОУ будет иметь место в случае самосопряженного ДУ (1). Отметим , что этот
результат был получен в [2] для ДУ произвольного порядка, но при дополнительном условии отсутствия дискретного спектра.
1. Положим р4О) = 1, р3(х) = 0, Г±1 = {X: ± X > 0}, П±1, Х- плоскость с разрезом Г±1,
k+j< 3
В [1] доказывается, что функции Mkj(X) регулярны в П t за исключением не более чем счетного, ограниченного множества полюсов , и непрерывны в П(-1)* /{0}, за исключением ограниченных множеств Akj.
Для простоты рассуждений мы ограничимся случаем, когда
ЛА;оГ±1=0, A2j = {0}, (2)
и когда при Х-^Х0 е A'kj,= Лк} /{0},
Mkj(X) = Mkj<_l>(X0)(Х - Х0Г1 + Mkj<0>(X0) + MkJ<l>(X0)(X - Х0) +
+ о{Х-Х 0), (3)
MkJ(X) = 0(pk-J), Х-+0, (4)
Обозначим
Qk(X) = \un(2ni)-\Mkk+1(X-iE)-Mkk+l(X + ie)), ХеГ к, Ree >0, М<р>(Х0) = \MkJ<p>(X0>]fty=O, Р = 0,-1, N(X0) = М<_1>(>.0)(М<Й>(Х0))-1,
Если t такое, что I = (* и выполняются равенства (2) - (4), то говорим, что
¿eF.
ТЕОРЕМА 1. Пусть £eF, тогда матрица М(Х) обладает следующими свойствами:
1. Mkj(X) - регулярны в П * и непрерывны в П(_1)* /{0} за
исключением конечного числа простых полюсов Л'^-с: П *; M2j(X)
регулярны в П+1;
2- м= М4-к,5-к <Х>-' к = 1,2,3;
3. ß2(*.)>0, при Л,> 0;
4. Мkj (X) - МкМ1 (Х)Мk+lJ (X) регулярны при А,еГ(1)*; при k = \,j- 3,4 регулярны в П+1;
5. N,g(X0) = 0, у ^ & + 1, Л^зСЛо) = 0, при этом если ХёЛ.к к+1, то
xkMl(x0) = o-,
где \i-lj
ТЕОРЕМА 2. Выполняются равенства
= | -----ф + Е . „--
Г * ЦобЛ^ Л_>Х0
(-1Г
2. Наряду с ^ е К будем рассматривать £ еУ с заведомо известными коэффициентами ру(х).
Обозначим = =
" множество полюсов матрицы М(Х), а ДЛ^^Т^ " множество полюсов матрицы М(Х), /к (х, X) = Фк (х, X), X е Г *_1, к -2,3,4,
ук(х,Хя) = Фк(х,Х5) , к = 2,4(так же понимаются /к(х,Х), (рк(х,Х5)).
В рассматриваемом случае ОУ относительно неизвестных /к (х, X), ц>к (х, Х5) принимает вид
4 (ЛОДХ/в-уС*.И>)_ Л(*Д) = /*(*Д)+£ I л-—-+
(-1У
ч
+ Е
^=1
(/*ОД),ф4(*ДЛ)~
Л. — Х-
(л<>Д),Ф2<>Д*))7
Л. Х-
Фк(лДг) = Фк(*Д,)+ 2 I
Фк(х,Х),76ч(х,^
,ХеГ ;
У=2г
с-ц'"1
«=1
Х-Х,
М1(Х!)Ч>2(х,Х,) +
\х=хг,<о>
Фк(х,Х), <р2(*Д,))
X - Х5
■1р.=Хг<0>
ТЕОРЕМА 3. Пусть М(Х) такая, что Мк/(Х) = 5ц, у <А:, и выполняются свойства 1-6 теоремы 1. При каждом фиксированном х > О ОУ (5) имеет единственное решение в классе вектор-функций г(х,Х),
г(х,Х) = [г2 (л, X), г3 (х, X), г4 (х, Х)£2 (х, Х^^х, Х^,...,^ (х Д 9 )С4 (х ,Х д)], гк(х,Х) = 0, Х,еГ(1)4: таких, что
вир |р4~*ехр(-р^л:)2Л(д:,А,)|<со.
-00<Я.<-Н»
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Х.Юрко В. А. Обратная задача для дифференциальных операторов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1989.
2. Yurko V. A. On determination of self-adjoint differential operators on a semiaxis // Math. Notes. 1995. Vol. 57. Nos. 3-4.
УДК 517.54
Д. В. Прохоров
К ГИПОТЕЗЕ О ДВУХ ФУНКЦИОНАЛАХ В ТЕОРИИ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ*
Пусть 5 - класс голоморфных однолистных в единичном круге О функций
/(г) = г + а2г2 +.... Обозначим через Ь и N два линейных непрерывных функционала в классе 5, Ьф сИ, с > 0. Гипотеза о двух функционалах [1] в классе 5 предполагает, что только функция Кебе
или ее вращения могут одновременно доставлять максимум 91/,и 3IN.
' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 98-01-00842, программы "Ведущие научные школы", грант № 00-15-96123, Минобразования РФ, грант № 97-01.6-67 и INTAS, грант № 99-00089.
