О восстановлении решения некоторых краевых задач сплайн-функциями первого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №10_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

М.П.Пулатов

О ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СПЛАЙН-ФУНКЦИЯМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Таджикский государственный педагогический университет им. С.Айни

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 16.03.2015 г.)

В работе рассматриваются методы восстановления решения некоторых краевых задач математической физики сплайн-функциями первого порядка дефекта 1 и интерполяционными линейными сплайнами. Полученные результаты на классе Липщица порядка 1 являются неулучшаемыми.

Ключевые слова: краевые задачи - задача Дирихле - задача Неймана - гармонические функции -бигармонические функции - сплайны.

1. В данной заметке рассмотрим конкретные применения сплайн-функции первого порядка дефекта 1 к следующим краевым задачам математической физики:

а) краевая задача Дирихле для бигармонического уравнения: требуется найти бигармониче-

скую в области О = {(х, у) : х2 + у2 = р2 < 1} функцию и(р, 0 < р < 1, 0 < t< 2;т, удовлетворяющую уравнению

'д2

1 д

1 д2 ^

др р др р dt

u (р, t) = 0,

(1)

для которой

и(р, t)U = g (t), дир) 1р., = 0;

(2)

б) краевая задача Неймана для уравнения Лапласа в единичном круге: найти гармоническую функцию и (Р, 0 (0 < р < 1, 0 < t < 2ж), удовлетворяющую уравнению

^д2

1 д 1 д

2

др2 р др р2 &2

и1(р, t) = 0,

(3)

и двум граничным условиям

Цр11 р=! = W), jW )dt = 0.

др р 0

(4)

Известно [1], что решение задачи (1) - (2) существует и задаётся формулой

Адрес для корреспонденции: Пулатов Махмуд Пирмаматович. 734003, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Рудаки, 121, Таджикский государственный педагогический университет. E-mail: makhmud@mail.ru

■у 2Л

u(p, t) := u(g;p, t) = — f X(t - u)g(u)du,

7Г •> ^

где ядро K (t) имеет вид

л о

K,(t) =(1 -p2)(1 -pcos;t), о<p< 1.

p 2(1 - 2pcos t + p2)

Непосредственным вычислением коэффициентов Фурье для ядра Kp (t) получаем следующее разложение в ряд Фурье [2]

Kp(t) = 1 + 1 +1(1 - Р2)к У' cos kt =

^ w ^ 00

= — + ^ pk cos kt +—(1 - p2 kpk cos kt. 2 k=l 2 k=l

Также известно [3], что решение задачи (3) - (4) существует, определяется с точностью до постоянной и задается формулой

^ 2л

u (p, t) := u (ф',Р, t) = C +— [Ф (t-r)^(r)dr, C = const, (5)

77" J p

л о p

где

0 pk

°p(t) = Zpcos kt, 0 <p< 1 (6)

k=1 k

- ядро Неймана.

Рассмотрим следующий метод восстановления решения краевых задач Дирихле (1)-(2) для бигармонического уравнения и Неймана (3)-(4) для уравнения Лапласа в единичном круге. Через Н1 обозначим класс функций / (Ч), удовлетворяющих условию

1/(0-/(Ч )\<\Ч —Ч \.

2. Восстановление решения краевой задачи (1)-(2)

Пусть ^ = iп / п,гг. = ^ — п/ (2п)( = 0,±1,±2,...) и £(Ч) = £(/, t) - периодический сплайн порядка 1 дефекта 1 по разбиению {ti}, однозначно определяемый по функции /(t) е С[0,2п] условием

ч

n С

S(f,rI) = - f f(r)dr,i = 1,2,...,2и. (7)

rr J

i-1

^ 2л

Свёртке и(д;р, t) := и(д;р, {) = — I К ^ — т)д(т)ёт, являющейся решением краевой задачи

л ^ р л 0

(1)-(2) с учетом (7), поставим в соответствие функцию

2л

S1(u(g;р,•); t) = - | Хр(г — т)Б(д, т)йт.

7Г ^ И

л

0

Рассмотрим задачу вычисления точной верхней грани величины

$ир{| и(д; р, г) — ^ (и(д; р, •); t) |: д е Н*}.

Нам понадобится следующая

Лемма [4]. Пусть / е Н\ 5^) = /(t) — S(f, t),

(8)

(9)

I I

5 (и) = 15 (и)йи = | [ f (и) — S (f, и)]^и.

Тогда для любых t,т е [0, л] выполняется неравенство

|5^ + -) — 5l(t) |< ц(т) :=«|

т(2л \ ^ л

-I---\, 0<т<~,

41 п ) п

(10)

л

4п2

л

— <-<л. п

Существует функция ^ е Н1, для которой при некотором t в (10) имеет место знак равенства при всех - из [0, л].

Заметим, что величина (9) не зависит от t, так что, не нарушая общности, можно считать t = 0. Поэтому имеем

2л

и(д; р, 0) — Sl(u(g; р, •); 0) = - | Кр(-)[д(-) — S(g, т)]ёт =

л *

л/2

3л/2

л / 2 3л / 2

= - Г К и5+- Г К и5>#.

л р л р

л —л/2 л л/2

В силу леммы, для д е Н1 имеем:

л/ 2

-л/2

| Хр (05(0^ < | Хр (t)№)&

л/2

3л/2

л/ 2

I Хр ^)5 (t< I Хр (0Д2л — 2t

л 2

Введя обозначения

X(t) = {^(2t), 0 < t <п!2; ¡л(2ж-2t), п!2 <т<п]

будем иметь

I u(g; р, 0) - S (u(g; р, •); 0) |<

<

1 п 1 п

- J K (t )Á(t )dt = - J [Xp (t) - C ]¿(t)dt

п 0 п 0

(11)

Вычисляя интеграл в правой части (11), получаем

I u(g; р, 0) - S (u(#; р, •); 0) |<

8 ^ p2v+1 . 2 f2v +1 I 4„ - p2v+1 . 2 f 2v +1 , / ч

<-Y —-7sin21-п | + —(1 -р)У—-sin21-п I. (12)

п^ (2v +1)2 I 4п ) п У v 2v +1 1 ' 1

4п

Легко подсчитать, что знак равенства в (12) имеет место, если д ( Ч) является интегралом от sgnsint. Таким образом, справедлива следующая

Теорема 1. Для восстановления решения краевой задачи (1)-(2) методом (8) при всех значениях Ч имеет место точная оценка

^ир{\п(д-,р, Ч) — 51(и(д; А •); 0 \: д е Н*} =

8 ^ .2 ( 2v +1 I .2 ( 2v +1

= — -- sin21-п \ + — (1 - р)У —-sin21-

п Vv (2v +1)2 ^ 4п ) п v 2v +1 ^ 4п

Отметим, что если сплайн S(f, t) определить не условием (7), а условиями

S (f ;т) = д(т), i = 1,2,..., 2n,

то точная оценка погрешности величины (9) на классе H1 равна

sup{| u(g; р, t) - S1(u(g; р, •); t) |: д е H*} =

9 ш 2«(2v+1) 1 ш 2«(2v+1)

=—+——г+1(1 -р2)Ер-.

4n пп v (2v +1)2 п v 2v +1

Используя очевидные равенства

ш _ 2n(2v+1) . . 2п ш _ 2n(2v+1) п р . . 2п

Ур-= —ln——р--р2п, -- = J Ini^V-,

¿ 2v +1 2 1 -р2п р , 1 (2v +1)2 р2п J 1 - r2n ,

запишем соотношение (14) в виде

sup{| u(g; р, t) - S1(u(g;p,•); t) |: д е H*} =

п \. (13)

(14)

dr,

ж 2 Р, 1 + г2" 1П 2. 1 1+ Р1 п 2п

■■ — + —н ln-— dr + — (1 -р2) - ln—Ч-—p2n

4n жр2п \ 1 - r2n ж 2 1 -p2n

Правые части равенств (13) и (14) в пределе при р^ 1 стремятся к ж / 2п, но при р ^ 0 имеют разные предельные значения, а именно, соотношение (13) стремится к нулю, а (14) стремится к значению ж / 4п.

3. Восстановление краевой задачи Неймана (3)-(4)

Не останавливаясь на подробностях, отметим, что изложенный в пункте 2 метод восстановления применим также к краевой задаче (3)-(4), и если полагать

2 Ж

S2(u1(^-,p,-y,t) = C + — 0 Фр(t -T)s(p,r)dr

ж J

Ж 0

и сплайн порядка 1 дефекта 1 s(p, т) однозначно определить условием

п ''г

s(<p, ti) = -\p(r)dr, i = 1,2,..., 2n, (15)

77" •>

Ж '

то простые вычисления приводят к следующему утверждению

Теорема 2. Для восстановления решения (5)-(6) краевой задачи (3)-(4) методом (8) при всех значениях г имеет место точная оценка

8ир {| щ (<р; р, г) - ^ (де; р, ■); г) |: (р е Н*} =

=I у-р-^1п2<2^-1)£. (16)

ж^=1(2у- 1)3 4п

Если же ломаную s (<р, г) вместо (15) определить условиями интерполяции s(ф, ti) = (р(^ ), г = 1,2,..., 2п, то точная погрешность на классе Н1 будет равна величине

^ <» (2у+1)2п

Бир{| ^О;р, о - р, ■);г) |: <р е Н 1} = —2 Е р—т^т. (17)

жп 5~0(2у + 1)

В заключение отметим, что методы восстановления (16) и (17) в отличие от методов (13) и (14) имеют одинаковые предельные значения, как при р ^ 1, так и при р ^ 0.

Поступило 18.03.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1978.

2. Шабозов М.Ш. Наилучшее и наилучшее одностороннее приближения ядра бигармонического уравнения и оптимальное восстановление значений операторов. - Укр. мат. журнал, 1995, т.47, №11, с.1549-1557.

3. Бугров Я.С. Свойства полугармонических функций. - Изв. АН СССР. Серия матем. 1958, т.22, с.491-514.

4. Корнейчук Н.П. О приближении сверток периодических функций. - Вопросы анализа и приближения. - Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1989, с.76-80.

М.П.Пулатов

ОИДИ БАРЦАРОРКУНИИ ^АЛЛИ БАЪЗЕ МАСЪАЛА^ОИ КАНОРЙ БА ВОСИТАИ СПЛАЙН-ФУНКСИЯ^ОИ ТАРТИБИ ЯКУМ

Донишго^и давлатии педагогии Тоцикистон ба номи С.Айни

Дар макола методх,ои баркароркунии баъзе масъалах,ои канории муодилах,ои физикаи математикй ба воситаи сплайн-функсиях,ои тартиби аввали дефекти 1 ва сплайнои хаттй интерполятсионй дида шудаанд. Натичах,ои ба даст овардашуда барои синфи Липшитси тартиби якум бех,тар нашавандаанд.

Калима^ои калиди: масъалауои канори - масъалаи Дирихле - масъалаи Нейман - функсияуои гармоники - функсияои бигармоники - сплайнуо.

M.P.Pulatov

ON THE RECONSTRUCTION OF THE SOLUTION OF SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMS SPLINE FUNCTIONS OF THE FIRST ORDER

S.Ainy Tajik State Pedagogical University The paper deals with methods of restoration solutions of some boundary value problems of mathematical physics spline-functions of order 1 and defect interpolation linear splines. The results obtained on the class Lipschits order 1 cannot be improved more than that.

Key words: boundary value problems - Dirichlet - Neumann problem - harmonic functions - biharmonic functions - splines.