CC BY
1
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 2 (2024). С. 3-15.
УДК 517.958
О ВЛОЖЕНИИ В ПРОСТРАНСТВА ЛОРЕНЦА (ДАЛЕКИЙ СЛУЧАЙ)
А.Т. БАЙДАУЛЕТ, K.M. СУЛЕЙМЕНОВ
Аннотация. В работе изучается оценка сверху невозраетающей неотрицательной функции из пространства Ьр (0,1) через модуль непрерывности переменного приращения шр,а,ф(/, 5). Показано, что для приращения функции вида /(х) — /(х + кхаф(х)) в
оценке модуль непрерывности примет вид шр,а,ф ^ /, ¿^(гу J' Также изучается вложение Hp а гф С L(p,u)(р = и) (далекий случай). Получены необходимые и достаточные условия на параметры р, а, v и функции ш для данного вложения.
Ключевые слова: Классы функций, модуль непрерывности переменного приращения, невозрастающая перестановка функций, пространства Лоренца.
Mathematics Subject Classification: 34В45, 81Q15
1. Введение
Пусть ш(5) — непрерывная на [0,1] функция, удовлетворяющая условиям:
0 = w(0) ^ ^ ш(^) ^ ш(6 + ri) ^ + ш(^), (0 ^ S ^ v < & + V < 1).
Такие функции называют модулями непрерывности.
Пусть up(f, ¿) модуль непрерывности функции f в пространстве Lp(0,1), т.е.
1
1 -h \ р
Положим
up(f,5) = sup I / If (x + h) - f (x)lp dx\ (0 <5 ^ 1). (1.1)
0 <h^S
Hp = {f e Lp(0,1) : up(f, 6) ^ u(6)} (0 <S ^ 1), (1.2)
где ш(ё) — заданный модуль непрерывности.
Положительная функция ф(х), определенная для х > х0 называется слабо колеблющейся, если при любом 5 > 0 функция хёф(х) при достаточно больших х возрастает, а х-ёф(х) убывает (|1, стр. 29|).
Пусть 1 ^ р < го, 0 ^ а < 1. Пусть f e Lp(0,1), тогда функцию
up^(f,5)= sup { / If(x + hx^(x)) - f(x)IP dx\ (0 <£< 1), (1.3) 0<h<& I J
\ph,a,ip
где Еь,а,ф = {x e (0,1) : x + hxa^(x) e (0,1)}, назовем модулем непрерывности переменного специального вида приращения функции f в Lp(0,1).
Заметим, что Z. Ditzian и V.Totik |7| ввели и изучали общий случай, который получается при замене в определении ( ) функции ха-ф(х) на непрерывную на [0,1] функцию ф(х).
А.Т. Baidaulet, К.М. Suleimenov, On embedding into Lorentz spaces (a distant case). © Байдаулет А.Т., Сулеймепов К.М. 2024. Поступила 29 апреля 2023 г.
р
Ясно, что, при а = 0 ф(х) = 1 имеем шр,0,1(/, = /, ё).
Пусть 1 ^ р < го, 0 ^ а < 1, ф(ё) — слабо колеблющаяся функция и ш(ё) — заданный модуль непрерывности. Через Нра ^ обозначим класс всех невозрастающих неотрицательных функций f € Ьр(0,1) таких, что
(ё) ^ ш(ё).
Отметим, что при а = 0, ф(х) = 1 получим Н^рф С Нр.
Пусть 0 < и, и < го Пространство Лоренца ТТ(ц, и) определяется как множество всех измеримых в смысле Лебега на [0,1] функций /, для каждой из которых конечна величина
II/ Ни,, = 4 I х*-1иг<1х
I
Подробное обсуждение пространства Лоренца Т(и, и) приведено в [ ], а также в работе [ ],
В дальнейшем через С (а, $,...) = Са,р,... обозначаются положительные величины, зависящие лишь от входящих параметров а,3,... и, вообще говоря, разные в различных формулах. Пусть А и В — некоторые числовые функции, причем А неотрицательна. Тогда запись В = 0ад...(А), В ^ А будет обознач ать |В | ^ С (а, 3,.. .)А.
а,/3,...
В работе |4, стр. 283| получена оценка сверху невозрастающих неотрицательных функций f € Ьр(0,1):
Г2-1 (2^ - Л
!'(х) «< I ---Н/НЛ (0 ^ х ^ 1) (1 ^ р< го, 0 ^ а < 1).
Настоящая статья является продолжением работы |5|, В работе получены оценка сверху неотрицательной и певозрастающей функций через модуль непрерывности переменного специального вида приращений, а также теорема вложений классов функций Нра ^ в пространство Лоренца Ь(ц, и).
Применение методов, основанных па оценках невозрастающих перестановок в теории вложения классов функций восходит к работам П.Л, Ульянова (см., напр., |6|).
В работе |4| применяется оценка сверху певозрастающей неотрицательной функции через модуль непрерывности переменного специального вида приращения.
Первая общая теорема вложения, носящая характер необходимых и достаточных условий, выраженных через произвольный модуль непрерывности, состоит в следующем:
Теорема А ([ , стр. 285]). Пусть даны ш(ё) — модуль непрерывности и числа 1 ^ р < д < го. Тогда,
(X /-.
Тш Г- Т<К(\ "П ^ ^ гЛ-2,. Я '
Н С Т(0,1) & ¿пр-2ШЯ(^ < го.
п= 1 ^ '
Приведем критерий вложения классов функций Н^ в пространство Лоренца Т(и, и), который связан с постановкой задачи данной работы.
Теорема В ([ , стр. 160]). Пусть даны ш(ё) — модуль непрерывности и числа 1 ^ р < го, 0 < V < го, 0 < и < го. Тогда, 1) если, и > р, 0 < V < го, то
(
Тш с Т(и, р -1-1)иА
(
Н С Т(и, у) & ^ п(р-*- ) < +го;
га=1 ^ '
2) если у = р и 0 < и < р, то
™ 1 /1\ Щ С Ь(р, и) & ^ 1 <
±?пп(Ъ.п) р \п/
(в случае необходимости, предполагается ш(8) = 0{ш(#2)} (0 < 8 < 1)).
Теорема С ([4, стр. 283]), Пусть даны, числа 1 ^ р < у, 0 ^ а < 1 — ^ — 0 < V < го. Пусть также дан некоторый модуль непрерывности ш(8). Тогда
тш г гл. ,л ^ т^(1 -1 (1 | < оо.
Н^ С Ь(у, и) & ¿п ^(*-*)-1ш»( 1)
п=1 ^ '
Замечание 1.1. При а = 0 условие вложения совпадает с условием вложения в теореме П.Л. Ульянова (см. теорему А).
2. Вспомогательные утверждения
,
сти {а^%=0, аг ^ 0 имеет место неравенство:
те / 1 \я ^
£2-,т £ а) « £
1=0 \ 1=0 / 1=0
Лемма 2.2. ([ ], стр. 659) Пусть конечная неотрицательная функция $(х) не возрастает на, [1; +го) и г Е (—го, +го) — некоторое действительное число. Тогда
те оо оо
^2п(1-г)/3 (2п) (п) < ^ 2п(1-т)/3 (2п).
п=2 п=3 п=1
Лемма 2.3. ([ ], стр. 660) Пусть даны числа и > 0, г Е (1 — и, 1), модуль непрерывности ш(8). Тогда, если
^ (]-^=+гo,
п=1 ^ '
то найдутся числа Вп (п = 1,2,...) та,кие, что: 1) Вп 0 щи п \ го и Вп ^ ш для всех п;
Ю Еп=1 Вп = 0 {Мш (£)} приЪ ^ +го; з) ЕГ=1 2п(1-г) [В2П — В2П+1 = +го.
Лемма 2.4. Пусть даны числа и > 0, г Е (1 — и, 1), модуль непрерывности ш(8). Пусть также дана неубывающая последовательность {тп}^°=1 : тп = п1-аф (-). Тогда, если
^п ^ ("Н =+го,
п=3
то найдутся числа Вп(п = 1, 2,...) та,кие, что: 1) Вп ^ 0 щи п ^ +го и Вп ^ ш ^^ для, всех п;
Ю Еп=1 Вп = о {ТМш (при N ^ +го; 3) ЕГ=1 2п(1-г) [В2П — В<2п+1 Г = +го.
Доказательство. Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 2,3, Будем следовать схеме доказательства леммы 2,3, Согласно лемме Стечкипа, можем считать, что ш(6) — выпуклый модуль непрерывности и поэтому ¿-1ш(5) ^ при 6 ^ 0,
Пусть п0 = 0, п1 = 1. Тогда если числа п1 < п2 < ... < Пк подобраны, то, с учетом неубывающей последовательности {тга}, положим тк+1 равным наименьшему среди тех целых чисел М для которых
тмш ( — ) > 2тпкш ( — ) \TN/ \TnkJ
Таким образом
и
тпш[ — ) ^ 2тпкш[ — ) при пк ^п < пк+\
\тп/ \гпк/
(——) > 2тпкш ( —)
\Tmk+\J \TnkJ
(2.1)
(2.2)
ттк+1ш
\ ' т
Так как ш(8) ^ 0 при 5 ^ 0 и последовательность {тп} неубывающая, тпш ^^^^ ^ 2тпкш (при пк ^ п < 2пк и тогда
тк+1 > 2пк.
Если
ш
Ш ^ U±),
\Ттк+1/ 2 \Тпк/
(2.3)
(2.4)
то полагаем
ш
nfc+i = mk+\.
(2.5)
i
Tmk + 1
> ( т^ )' т0 полагаем пк+1 равным наименьшему среди всех целых
чисел N для которых ш (т^) ^ 2^ (г^)- ® этом случае
пк+1 > тк+1 > 2пк, ш ( —1—) ^ ^ш ( — )
\Ттк+1/ 2 \Тпк/
ш( — ) > ^ш ( — ) при пк ^п<пк+1. \тп; 2 \тпк/
и
Положим
В1 = ш(1), Вп = ш
(^)
\тпк+1/
пк ^п < nk+i(k =1, 2,...).
(2.6)
(2.7)
Так как ш(6) ^ 0 при 6 ^ 0 т0 из ( ) вытекает свойство 1) Пусть дано целое число N с пр-1 ^ п < пр (р ^ 2) Тогда, с учетом лакунарности тпкВпк
N
р-1 пк N р-1
^^ Вп У ^ ^^ Вп + У ] BnJ2 ТпкВпк + TnNBnN п=1 к=1 п=пь-1 + 1 п=пр-1+1 к=1
< 2Тпр-1Впр-1 + ТпМВМ < 2Тпр-1ш ( - ) + ТпИш ( - ) < 3ТпИш ( - )
\Tnp-1j \TnN/ \TnNj
Доказательство 3) аналогично лемме 2,3, Лемма 2,4 доказана.
□
3. Оценка сверху невозрастающей неотрицательной функции Имеет место
Теорема 3.1. Пусть даны числа 1 < р < го, 0 < а < 1. Пусть также дана слабоколеблющаяся на [0,1] функция ф(х). Тогда, для, любой невозрастающей неотрицательной функции / Е Ьр(0,1) справедливо
{}шр,а,'ф[ 1,С(а) -¡Лщ) |
У--^л + \\Д\А (0 <х< 1). (3.1)
Доказательство. Пусть / Е Ьр(0,1). Выберем число к0 Е N так, что
ко(1 — а) > \сщ2(21+2а + 1) ж ф(^ 1.
Тогда, в частности, справедливо к0 ^ \og2(21+2a + 1^. Определим последовательность кк, следующим образом:
кк = ' (3,2)
где С (а) = 22а+1 и цело е к ^ к0.
Пусть целое к ^ к0 и пусть у+г < х < ^ следовательно
_1_< ха < —
2(к+1)а 2ка'
Тогда имеют место следующие неравенства:
0 <кк < 1, (3.3)
х + кхаф(х) < 1, (3.4)
х + кхаф(х) > . (3.5)
Действительно, при к ^ к0, имеем
_ С (а) _ 22а+1 22а+1 22а+1
к = 2к(1-а)ф (1) = 2к(1-*)ф(-1) < 2ко(1-*)ф(^) < 21+2а + 1 < 1
тем самым, неравенство (3.3) доказано.
Пусть целое к ^ к0 и пусть ^й+т < х < , тогда справедливо
+ С (а) 1 /= 1 + С (а) 2к + 2к(1-а)ф (1) 2каф V2к ) 2к + 2к-ка2ка
= 1 + СШ= 1 + С (а) < 1 + С (а) < ( 22а+1) < 22а+1 + 1 2к + 2к 2к < 2к° < 2к° 22а+1 + 1
то есть неравенство (3.4) доказано.
При целом к ^ к0 и ^ят < х < , получим
, * ,, ч 1 С (а) 1 / 1 \
х + Нх ф(х) > — + Пк(1-П)., I 1 Ао(к.+ 1)пфу)
2к+1 1 2к(1-»)ф (2(к+1)
1 С (а) 1 1 1/1
2к+1 + 2к(1-а)ф (1 ^ 2(к+1)а 2(к+1)а 2-(к+1)аф ' ^
1 С (а) 1 1 _ 1 С (а)
2к+1 2к(1-а) 22(к+1)а 2-ка 2к+1 2к+2о
1
1
2к-1 1
2к~1
1 + С(а)
2к-1-к+1 ' 2к+2а-к+1
1
1 22а+1 - +
4 22а+1
1
2к-1
1
4 + 1
2й-1
1 + Са)
4 + 22а+1 1
2к-1'
стало быть, неравенство (3,5) доказано. Теперь перейдем к оценке снизу модуля непрерывности шр,а,.ф (¿) (0 ^ Ь < 1), Сначала, докажем что
" 1 1 "
^Нк ,а,ф
2&+1' 2к
Действительно, при 2+ < % ^ и С (а) = 22а+1 имеем
х + ккхаф(х) ^
1 _ 2 1 2к-1 2к > 2к '
тем самым, (3,6) доказано. Из соотношения (3,6) имеем
ш.
р,а,ф
( Л 2*(1- 2к))
|/(х + Ихаф(х)) - /(х)|р <1х
Так как — 2+ = 2+ (2 — 1) = 2+ , то, в силу (2,5), получим
ш
'
С( а)
» —
Отсюда,
2к(1-а(Ф Ц); 2
^ 2ршр,а,ф
Покажем, что имеет место неравенство
С( а)
1
(\ 2к —1 С (а) \ < — ;
2к
^2к) ^ (у2к-1)
Л С (а) \ ^ 1' 2к(1-»(ф (ф) )
шр,а,ф (¡' С(а) )
2/' 2к(1-а)ф J &
Действительно, в силу монотонности модуля непрерывности, получим
т
2^-1
шр,а,ф (I' С(а) )
1 2^
и
+1
(И >
1
(\ 2к — 1
Л °(а) 1Л [ г Р
J ' 2к(1-«Ц Ш) I '
22к
далее,
Ь р 1 (И = —г ~т
1 2 к —1 к к—1 к \ 1 1
= 2 р — = р2р 1 — "Г
¿Р 1 [. 2 р]
» 2 $.
р,а,ф
Таким образом, соотношение (3,8) доказано. Из (3,7) и (3,8) имеем
1
( ¡'С (а) 14Щ )
шр,а,ф
<
1 2^
¿Р
+1
(И.
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
1
р
1
1
к-1
Р
к
2
к
2
Используя оценку
\\р 0
при Л = получим
\\ П\1= [ 1(х)]р Лх > [¡(х)Гйх > [¡(х)ТЛ
(21)
1 \ | V шр,»,-Ф (!,С(а))
/ ~ « —^—\\/\
2П \ 4-1 + 1
2 I I ./ 1
1 2 ^
0< х<1
;(Х) «< / ^^^ Л+ \| / О . (З.Ю)
Р+1
Тем самым, теорема 3.1 доказана полностью. □
Замечание 3.1. При ф(Ь) = 1 из ( ) вытекает оценка
(¡, 2-1 (2 Т—а — Л 1
!(х) «^ / -4+-1-\\Ц\Р} (0 < х < 1) (1 <р < го, 0 < а < 1).
4. О вложении С Ь(/1, у)(ц = р)
Теорема 4.1. Пусть даны числа 1 < р < у < го 0 <а < 1 — (1/р — 1/ц), 0 < и < го.
ш( )
ф(х),х Е [0,1]. Тогда, для того чтобы, имело место вложение
Нр,а,ф СЬ(ц, и) (4.1)
необходимо и достаточно, чтобы
У 2к»(*-Ьил 1 . . Л < +го. (4.2)
Доказательство. Достаточность. Пусть выполнено условие (4.2) и f Е Нра ф. Тогда
Для неотрицательной невозрастающей функции ¡(х) Е Ьр(0,1), в силу теоремы , будем иметь
Г }шр,а,ф(!,С(а,ф) ¡^ш) )
/(х) « И --— &+ \Ш\Л (0 <х< 1).
Возможны следующие случаи:
1) Иш $ Р'а'Ф ) ^ < Тогда существует С1 > 0 такое, что 0 < ¡(х) < С1
ж^+0 " гр + 1
при всех 0 < х < 1.
1
\\fWuv)« [х*-1С(4х< +го
X
1
и включение f € Ь(/1' и) имеет место при всех 0 < и < го.
2) Иш [
ж^+0 и
I (!,С{а,-ф) )
ЬР
+1
& = +го. Тогда, применяя теорему 3,1 получим
}шр,а,ф (I' С (а'Ф) ¿4® ) /(х) « -^-—-(И 0 < х ^ 1.
Ьр
+1
Применяя лемму 2,1 при т = ап = 2рш , (1
фг ))
имеем
1 2к
1/1
V
{^У
V 1 ^Г—Л
хМ- [f(х)]Vdх « у ^
^-1 хм
к=0 1
2к+1
шр,а,ф ( А С (а'Ф) ¿¿Щ )
Ьр
+1
йх
те
2к
« ^ хМ 1
к=0 1
р+г
1
1 ш ()
+1
сИ
¿х
<
те 2„
^ 2 М-1) й=0 1
2 к + 1
Е
ш
(¿4 и)
« Е2
к=0
те
« Е 2
-к V
Е 2
п=0
п=0 _^ 2П+1
1 /
—ш -
2 п
+1
(И
¿х
1
п( $ + 1) 1
\ р )-ш |
2п \2п(1-«)р (£)
к=0
те
Е 2Рш(
п=0
те
« £ 2 *V(Р-МЫ к=0 \
2п(1-а)Р (±)
2 ш (2к)
В силу (4,2) будем иметь С Ь(Ц' и). Вложение (4,1), и тем самым достаточная часть
доказана.
Необходимость, Пусть не выполнено условие (4,2), т.е.
£ ^ " ^ ^ ( ^^ )
.
(4.3)
По лемме 2,2, будем иметь
^ V ( $ - М ) V
у 2 ^р м'ш к=0
(2 ())
^^ ^^ кV(1 1) ~ш' к=1
1ш(к1-аР (1))
тете
у к"(Р-М)-1 шV -^ V к^(Р-М)-1ш^
1=1 \к1-ар Ш/ ¿1
- \к/
V
1
1
1
V
V
р
1
1
1
При 0 <а < 1 — ^ — ^ имеем
1 — и (T — 1 ) С (1 — и, 1]. \р у)
(4.4)
Условия (4.3) и (4.4) дают возможность воспользоваться леммой 2.4. Искомую функцию определим равенством
Кх)
( )
и
+1
¿х х Е [0,1),
=1 В2к — В2к+Т х Е (2^+Т , 2^] , )0, х Е (^2к+1 , 2*] ,
(4.5)
где {Вп} — числовая последовательность из леммы . Функция ¡(х) неотрицательна и не возрастает на [0,1]. Докажем включение f Е Для этого достаточно для включения
1(К)
[¡(х) — ¡(х + кхаф(х))]р ¿х,
(4.6)
(4.7)
где Е^,а,ф = {х Е (0,1) : х + кхаф(х) Е (0,1)} получим оценку
1(К) = 0{шр(К)}) (к ^ 0).
Отсюда, в частности будет следовать и включение f Е Ьр(0,1).
^^ .При 0 < к < пи ^т+т < х < ф
Пусть дано число п (п = 0,1, 2,...) и к имеет соотношение
2п(1-а)
1 < х + кхаф(х) < 1
2к+1 " ~ 1 ) ^ 2к-1
В самом деле, при 0 < к < п, учитывая соотношение 2п(1-а)ф (2^) ^ 2к(1-а)ф (ф), получим
1 < х + кхаф(х) < ^-г +
1
2- +1
2к 2п(1-а)ф (2,) 2ка
Ч Й
2- -1
+
2к2-к+1 1 2п(1-а)ф(^2-к+1 2к
Ч 2т)
<
1
2- -1 1
2к—
1
1
2 + 2к1-а)2-к+1ф 2к " 1
Ч
1 1 2 + 2
<
2к-1'
и, тем самым соотношение ( ) доказано. Далее, при к ^ п и 2+ < х < ф справедливо
—^т < х + кхаф(х) < 2-+1 г К ' ^ 2п-1
Так как при к ^ п справедливо фф < фф (24 т0
1 < х + кхаф(х) < ^-г +
2к+1
2к 2п(1-а)ф (£) 2к
Ч
~>п-1
+
2к2-П+1 2-п+12п(1-а)ф (—) 2к
Ч *)
1
1
1
1
1
1
1
1
<
<
2п-1 1
2п-1 1
п- 1
+
1 2-каф (2к)
2к-п+1 2-п+12п(1-а)р (2ка 2-ка
1 + 2-паф
2
2 й-п+1 2 ■ 2-паф (-1) 1
п 1
11
+ х
2к-п+1 2
1 1 2 + 2
2
п- 1
то есть соотношение (4,9) доказано.
Оценим модуль непрерывности шр,а,ф(¿), 0 < £ ^ 1: 1
шр,а,-ф (I' К) ^ [/(х) — / (х + ^пх"р(х))]Р ¿х
( )
¿р
+1
М-
( )
х+кпхаф(х)
¿р
+1
^х =
1 2к
Е
&=0
2 к + 1
х+кггхаф(х) ^
' Л
х+кпхаф(х) П ^
' Л
¿Р
+1
х
¿Р
+1
2 к Г х+Кп хаф(х)
те
¿х + ^ у у
( )
й=п+1 1
¿р
+1
<и
х = 1 + 2 .
Оценим Д. При 0 ^ к ^ п и 2+ < х ^ 2р будем иметь (см, ( ))
[х' х + кпхарф(х)} С
(±-у 2 к+1
11
и поэтому
2 к+1' 2^-1 Г](х) = Г]к + V к+1.
1
п
'1 = Е
&=0
2 к+1
1 2 к
х+Нпха'ф(х) 1 ^
' Л
Ьр
+1
¿х
<
Е/
2р+1
х+Нпха,ф(х)
(Щ + ^+1)
¿Р
+1
х
1 2к
« ^ [('Пк + Щ+1 )(Кхаф(х))2р2
&=0
«2
к=0 п
« Е
к=0
2 к + 1 -А:
11
^х
+ Лк+1П К)2к
^х
г)к
2п(1-«)ф (2П) 2каТ \2к
х
<
_1_у
2п(1-а)гфР (_П)
Щ
2к(1-а)
1
1
1
р
1
1
1
1
1
к
р
1
р
к
р
р
1
р
=_1_V 2кр{1-а)фр (—\ 'Пр
2п(1—а)фр (2,) к=о 2 ф \2к/ •
Применив (4,5) определение последовательности г]к и лемму 2,4 для т2к = 2 к(1—а)ф (20 > будем иметь
/1 «
<
<
<
<
2 п(1 — ■а)фр ( 1
2 п(1 — ■а)фр ( 1
2 п(1 — 'а)фр ( 1
2 п(1 — 'а)фр (
[2п(1 —а)фр (2",
^^ 2 кр(1-а)гфр
2к(1—а)фр( 2к ) В2к
р кр
£2кр(1-«у(-к) [в*-Б2,+1 ]р к=0 п
Е
к=0 п
Е
к=0
2 к(1-аУ(2^) р-1 [2к(1-^(2к)
2к(1—«Оф ___ В2к
1 р—1
~\п(1—а)
1
2п(1—а)фр (-1
п 2К
к=0
« [^2П]р—^ ^ В8 « |пО л.4| « [В2П]р « Ш
к=0 8=2к—1+1 Отсюда, с учетом кп— 1
(^2п(1—»^фр (£)) •
получим
Д «
Оценим Д. при & ^ п и < ж ^ 2к, учитывая соотношение ( ) и лемму , 1
2 к Г
те 2„ „
4=£ / /
к=п+1 у
2^+1
1 2 к
те 2„
- £ /
к=п+1 1
х+кпхаф(х) р
1 2 к
те
¿X ^ ^ /
к=п+1 1
2к+Т
2п —1
1
2 к+1
^Х
£
т=п— 1
Ф)
и
+ 1
«Е-
к=п+1
1 2^
2т+1
1 2т
^Х
Е
т=п— 1
Ф)
и
+1
2т+1
¿ж ^ ^^
к= п+1
2 к
£ р+1)2—г
т=п— 1
1
« £ 2к^к = £ <
2 к
к=п+1 к=п+1
к
тете р
^ = Е € = Е [В2к - В2к+1 ]р « ^ [В2к ]р—1 [В2к - В2к+1 ]
к=п+1 к=п+1
к= п+1
1
1
2
п
р
р
1
р
<
<
<
ш
(
1
ш
ш
2п(1-а)фР
2'п(1—а)фр ( 2_) 1
)п(1—а)фр
Р-1 те
[ В2 к — В2к+1 ]
к=п+1
Р—1
В2
Р—1
ш
(^2п(1—а)фр (ф))
шр(И),
2п(1—а)фр (2_)
тем самым соотношение 12 « шр(к) доказано. Отсюда получим ( )
1(к) = 0{шр(к)} (к ^ 0), т.е. f Е Остается показать f Е и). В силу леммы выполнено
^ 2п(1—г) [В2п — В2п+г]и = +го.
п=1
При х = ф, имеем
21 (1) =\ ^—(1+0 ^ > / ^—('+1] ^ > Щ2к( '+1]2—к = ^2'.
г г
2к 2к
Отсюда и из определения пространства Лоренца, определения последовательности г/к и
леммы 2,4, получим г = 1 — и (1 — -
\р р
г
2к-1
\Ш\
V
&, "У
хм 1[/(х)]иЛх ^ ^^ хI-1 1[/(х)]иЛх
к=0
г 2 к
^ 2ки(р — *)[В2п — В2п+г]и = ^ 2п(1—г)[В2П — В2п+г]и = +го. к=0 к=0 Утверждение $ Е ^(ц, и) и тем самым, необходимая часть теоремы доказана. Теорема 4,1 доказана полностью.
Следствие 4.1. Пусть ш(8) = 8Т, 0 < т < 1. При 0 < а < 1 — 1 — ^
Н&Тр,а,ф С L(ц, и) ф( х)
Следствие 4.2. Пусть ш(8) = 8Т, 0 < т < 1, ф(х) = Пусть также
а =1 — -(- — ^ . т \р у)
□
Тогда, Ндр>а>ф С Ь(ц, и) & )
( Р м )
Следствие 4.3. Пусть у = и = д и, даны, числа 1 < р < д < го 0 < а < 1. Пусть
ш( )
н:
р,а,ф
С
те
V(0,1) & ^ 2к<р—*)шд
1
к=0
2к(1—а)фр (1)
)
< +го.
п+1
1
1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. А. Зигмунд. Тригонометрические ряды. Том 1. Москва: Мир. 1965.
2. С.М. Никольский. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука. 1977.
3. И. Стейн, Г. Вейс. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир. 1974.
4. К. Сулейменов, Н. Темиргалиев. Критерий вложения Н^^ в пространства Лоренца, // Analysis Math. 32, 283-317 (2006). '
5. Н. Темиргалиев. О вложении классов Нр в прострапоства Лоренца, // Сиб. мат. журнал. 24:2, 160-172 (1983).
6. П.Л. Ульянов. Вложение некоторых функций Нр // Изв. АН СССР. Сер. матем. 32:3, 649-686 (1968).
7. Z. Ditzian, V. Totik. Moduli of smothness. New York: Springer. 1987. Амангелды Токенулы Байдаулет,
Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, ул. Кажымукана, 13, 010000, г. Астана, Казахстан E-mail: baidauletov.at@gmail.com
Кенесары Машимович Сулейменов,
Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, ул. Кажымукана, 13, 010000, г. Астана, Казахстан E-mail: kenessarymath@gmail.com
