О влиянии жидкости на динамические характеристики конической фрезы для измельчения пней Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 630*232.211

О ВЛИЯНИИ ЖИДКОСТИ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНИЧЕСКОЙ ФРЕЗЫ ДЛЯ ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ ПНЕЙ В.В. Цыплаков, С.В. Фокин

ФГОУ ВПО «Саратовский государственный аграрный университет им. Н.И. Вавилова»

Рассмотрен вопрос о влиянии жидкости на динамические характеристики конической фрезы с жидкостным наполнителем для измельчения пней (КФЖН). Приводится математическое обоснование основных конструктивных элементов фрезы с учетом ее взаимодействия с жидкостным наполнителем при измельчении пней со сложной формой торцевой поверхности.

Ключевые слова: измельчение пней, динамические характеристики, жидкостный наполнитель, элементы фрезы, коническая фреза.

Для рассмотрения вопроса о влиянии жидкости на динамические характеристики конической фрезы с жидкостным наполнителем для измельчения пней (КФЖН) [1] необходимо определить начало координат. Для этой цели начало координат - точку 0 выбирают на оси вращения фрезы в центре тяжести объема жидкости, содержащейся в коническом корпусе вертикально расположенной неподвижной фрезы (рис. 1). Найдем положение точки 0 относительно нижней точки А.

Для этого необходимо вычислить тройной интеграл по объему жидкости:

а = Нцэ + —

цэ V

ж V

г Я.ИхёУё2

(1)

где ^ - объем жидкости,

V,,

ряж н я

3

Запишем выражение для объема конуса с жидкостью в цилиндрической системе координат г, ф, ъ:

2 < н ж

V : 10 <ф< 2р . (2)

0 < г < Я ж = Н ж

Связь декартовой хуъ и цилиндрической г, ф, 2 системами координат определяется как:

X = ГСОБф, у = ГБШф, ъ = Ъ. (3) Тогда из (2), (3) получим следующее выражение:

Рис. 1. Схема рабочего органа в вертикальном положении при неполном заполнении корпуса

жидкостью

а = Нцэ + -1- ДОггбгё ф

* МЛ ЛГ

= Н цэ +

1

ж V,

Иж 2р Нж

|ёг |ё ф |

ж 0 0 г1§р

^ а = Н + 0.75Н .

V,

Как видим, центр тяжести однородного конуса всегда находится на расстоянии от вершины конуса равном 0.75 высоты конуса. Поэтому положение начала координат - точку 0 легко найти. Она находится на расстоянии от вершины конуса с жидкостью равном 0.75 высоты жидкости. Причем, решая задачу определения начала координат можно определить высоту центрирующего элемента фрезы, которая из

уравнения (4) будет равна:

H цэ = a - 0.75Н ж = a - 0.75^ (5) При измельчении пней со сложной формой торцевого среза конической фрезой с жидкостным наполнителем происходит смещение центра тяжести жидкости при неполном заполнении рабочего органа и отклонении фрезы от вертикали. При этом механизм отклонен от вертикали на угол а. В этом случае объем, занимаемый жидкостью, представляет собой конус, у которого основание (свободная поверхность жидкости) - плоскость, отклоненная от вертикали на угол а (рис. 2).

Рис. 2. Схема сил, действующих на КФЖН при фрезеровании пня с торца

Так как объем, занимаемый жидкостью, представляет собой конус, у которого основание (свободная поверхность жидкости) - плоскость, отклоненная от вертикали на угол а (рис. 2), то вычисление смещений центра тяжести у сж, ъ сж, х сж сводится к вычислению тройных интегралов по объему такого "косого" конуса:

V.

1 Я^хёуёъ, (6)

= V- Л|ъёхёуёъ - 0.75Нж , (7)

Уж V,

х сж = Я^хау^ (8)

ъ < Н ж - ytga 0 <ф< 2р (9)

0 < г < Я ж = Н ж <*вД

Вычисляя интегралы (6)-(8) с учетом (9) в цилиндрической системе координат, получим:

Ус

— № фс!гё ф:

Л т

ж

2р

Нж-гsinфtga 2

(11) (12)

|ёг |ёф ^ (10)

'ж 0 0 rtgb

^ Усж = -0.75Нж Аналогично имеем: ъ сж = 0.375Н ж ctg2btg2a, х сж = 0.

При неполном заполнении корпуса фрезы жидкостью и отклонении КФЖН от вертикали на угол а центробежные и осевые моменты инерции жидкости вычисляются как тройные интегралы по объему "косого" конуса (рис. 2) с учетом выражения для объема жидкости:

к

ъ

сж

M M M R ж Нж-rsin^tga

Jyz = —ж {{{yzdxdydz = —ж {{{zr2 sinjdrd jdz = —ж {dr {d j {zr2 sin jdz ^

V V, V V, V 0 0 rtgb

^ Jyz = -0.75MжНЖctg2b tga. (13)

— m M Rж 2p Нж-rsinjtga

Jxz = —- jjjxzdxdydz = —- JJJzr2 cos jdrd jdz =—- jdr jd j jzr2 cos jdz ^

V- V, V- V, V- 0 0 rtgb

^ Jxz = 0. (14)

Осевой момент инерции жидкости вычисляется аналогично:

M rrr M rrr M Rr 2p H--r7jtga

Jz- =—- |||(x2 + y2)dxdydz = —- J|Jr3drdjdz =—- Idr Idj Ir3cosjdz

V- V, V- V, V- 0 0 rtgb

^ JzЖ = 0.3MжНЖctg2b . (15)

При этом свободная поверхность жидкости за счет центробежных сил инерции и сил тяжести не является плоскостью, а представляет параболоид вращения [2, 3,

4]. У стенок объема рабочего органа высота жидкости больше, чем на оси вращения (рис. 3).

Рис. 3. Свободная поверхность жидкости во вращающемся объеме - конусе

Поэтому важно получить количественные оценки этого явления для рассматриваемого рабочего органа, выполненного в виде конуса.

Динамические уравнения движения жидкости как сплошной среды в напряжениях имеют вид [5]:

Р Р Р

Эи Эи Эи Эи

--+ и--+ v--+ w —

Э1 Эх Эу Э2

Эv Эv Эv Эv

--+ и--+ v--+ w —

Э1 Эх Эу Э2

pFx +

ЭР ЭРух ЭР„

= pFy +

Эх Эу Э2 ЭР ЭР ЭР

Эw Эw Эw Эw + и--+ v--+ w-

Э1

Эх Эу

где р - плотность;

и, V, w - компоненты скорости; Р - компоненты тензора напряжения;

Бх, Б Бъ - проекции массовых сил.

Уравнения равновесия получаются из (16), где и = w = V = 0,

Р , = р = р = Р , = р = Р

= 0;

ху ух уъ ъу

Рхх = Руу = Ръъ = -Р (Р - гидростатическое

давление).

Тогда имеем: ^ ЭР ЭР ЭР

рх = эх; рру = эу; ръ = &• (17)

или в векторной форме:

рБ = gradP. (18)

При решении задачи об относительном равновесии вращающейся жидкости с постоянной угловой скоростью ю вокруг неподвижной вертикальной оси следует к непосредственно приложенным силам с потенциалом ПЕ присоединить еще отнесенную к единице массы центробежную силу Бц = ю2г и имеющую потенциал

ПЕ ц =-1 Юг2, 2

где r - кратчайшее рас-

стояние от оси вращения до рассматриваемой точки жидкости.

Уравнение относительного равновесия вращающей жидкости будет иметь вид:

Э2

Эх Эу Э2 Э^ ЭРу2 ЭР

= pFz + + +

Эх Эу Эz

1

Р + рПЕ --pw r2 = const.

(19)

Уравнение свободной поверхности: 1

ПЕ = —w2r2. 2

(20)

Для вертикальной оси вращения име-

ем:

z - z0 =

W 2 — r2.

2g

(21)

Найдем связь между высотой Ь0 воды в объеме - конусе при отсутствии вращения и величинами Ьтах и Ьтш при вращении с угловой скоростью ю.

Объем покоящейся жидкости

о.

(22)

Объем вращающейся жидкости

2p Ri

VBp = jdj jrdr jdz, (23)

где

0 < r < R1 = Ьтах ctgß, 0 < z < Z1 = hmin + Из равенства V. = VBp имеем:

22 w r2

2g

2

hm« W ctg2b+hmax = 1h3. (24) 4g 3

При h0=120 мм, в=45°, ю=5 c-1; g=9800 мм/c.

hmax = 152.2 мм; hmm = 2h0 - hmax = 87.8 мм.

Пусть объем имеет цилиндрическую форму с радиусом Rц = h0 ctgß для срав-

Z

0

0

0

нения с конусной формой сосуда. Тогда

IV,, = Ш + ^, (25)

2

Ьшах = 129 мм; Ьщ1п = 111 мм.

Следовательно, отклонение высоты жидкости от номинальной высоты при вращении, может достигать значительных величин, и этот факт необходимо учитывать при неполном заполнении рабочего органа.

Для нахождения центра тяжести рабочего органа проводятся расчеты аналогичные нахождению центра тяжести жидкости в вертикальном положении механизма. При этом учитывается полученный результат о том, что центр тяжести конуса находится на расстоянии от вершины конуса равном 0.75 высоты конуса:

2сро = 0.75 (Нро - Нж). (26)

Осевой момент инерции рабочего органа определяется аналогично определению осевого момента инерции жидкости. Однако, поскольку масса рабочего органа не распределена равномерно по всему объему, а сосредоточена ближе к внешней поверхности конуса (за счет наличия режущих кромок), то целесообразно ввести поправочный коэффициент к12 > 1, учитывающий эту неравномерность.

Тогда выражение для осевого момента инерции рабочего органа примет вид:

12ро = 0.3к12МроНРоС1в2Д (27)

Формулы для осевых моментов инерции жидкости и рабочего органа используются только, когда решается уравнение вращательного движения механизма. Расчеты показывают, что имеются не-

которые ограничения на применение формул (10), (11), (12) при которых учитывается влияние высоты жидкости во вращающемся корпусе фрезы при некотором угле наклона на динамические характеристики фрезы. Справедливы следующие соотношения:

Нж < Нро = (28)

1ва< Щ0- Н ж/ Я. (29)

Последнее условие показывает, что существует ограничение на применение формул (10), (11), (12) для усж, 2сж, 1у2. Эти

формулы можно применять при выполнении условий (29). В противном случае параметры усж ,2 сж, 1у2 надо полагать равными 0, поскольку при достаточно большой высоте жидкости наклон механизма не вызывает смещения центра тяжести жидкости и появления центробежных моментов инерции жидкости.

Библиографический список

1. Пат. 2170005 РФ, МПК А 01 О 23/06 Рабочий орган для измельчения пней / А.В. Зацепин, В В. Цыплаков, С В. Фокин; заявл. 05.01.2000; опубл. 10.07.2001. Бюл. № 19.

2. Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1977. 831 с.

3. Лойцянский П.А. Механика жидкости и газа: монография. М.: Наука, 1970. 94 с.

4. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость: монография / М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1965. 3-10 с.

5. Пономарев К. К. Составление и решение дифференциальных инженерно-технических задач: учеб. пособие / М.: Учпедгиз, 1962. 234 с.