CC BY
33
Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 912-913
УДК 534.535
О ВЛИЯНИИ УЛЬТРАЗВУКА НА СТРУКТУРУ НЕМАТИЧЕСКОГО ЖИДКОГО КРИСТАЛЛА
© 2011 г. Я.В. Кучеренко
Самарский госуниверситет
Поступила в редакцию 16.05.2011
Теоретически описана деформация структуры нематического жидкого кристалла при воздействии на него ультразвука. Рассмотрен случай нормального падения ультразвука на слой кристалла с границей, полностью отражающей ультразвук. Анализ эффекта проводится на основе уравнений гидродинамики нематического кристалла. При построении модели учитываются анизотропные сдвиговые напряжения. Для планарного НЖК-слоя определены пороговая амплитуда и волновое число, проведено сравнение с экспериментом.
Ключевые слова: нематический жидкий кристалл, пространственно-модулированная структура, искажение структуры, ультразвук.
Постановка задачи
Исследуется образование пространственно-модулированных структур в планарном слое нематического жидкого кристалла (НЖК) на ультразвуковых частотах. Вдоль НЖК-слоя возникают случайные неоднородные искажения. Воздействие ультразвука вызывает в деформированной структуре дополнительные осцилляции директора. Взаимодействие этих осцилляций с исходным полем приводит к появлению стационарных потоков, которые могут приводить к усилению искажений. На пороге эффекта действие стационарных потоков стабилизируется упругими моментами Франка.
Рассмотрен случай нормального падения ультразвука на НЖК-слой. Предполагается, что верхняя граница акустически прозрачная, а нижняя граница твердая и полностью отражает ультразвук, в результате чего в слое возникает стоячая волна вида
иг = 2и0 5т(к0£) со8(<»0, где к0 = ю/с, с — скорость звука, Ю - частота ультразвука, и0 - амплитуда колебаний. В результате граничные условия имеют вид:
6=0 =6 \і=1= 0,
Vх \і=о = Vх \і=1 = 0,
^ \г=о = 0, ^ \г=1 = 2иоко с°8(ю0.
Теоретический анализ
Расчет эффекта проводится на основе урав-
нений гидродинамики НЖК Эриксена—Лесли [1] у^ - V • п + (V • п • п)п] - [Ь - (Ь • п)п] = 0,
Ж л
р-----= -УР + ¥• лу.
с1Т
Здесь р — плотность, п — директор, V — скорость жидкости, V — тензор скорости деформации, N = п — 1/2го1;^хп) — скорость вращения директора относительно жидкости, Р — давление, у — коэффициент вращательной вязкости;
Ь = у, + ^Я ,
V,- п дп
где
12 2 Я = ^[Кп№уп) + Кзз(п х гоШ) ]
— плотность упругой энергии Франка; Ки, К33 — упругие модули Франка; <3 — тензор напряжений с компонентами
сгу = а2Ы1п] + а4р! ] + а5П]П(У1а + а.6п1пау]а+апг],
где а — коэффициенты вязкости Лесли, а] — вязкоупругие напряжения вида [2]
а] =(+ ^22 )п,п],
АЕ — модуль упругости, |!3 — коэффициент объемной вязкости, игг и Vzz — соответственно амплитуда и скорость сжатия в звуковой волне, п1 — компоненты вектора директора, определяющего ориентацию молекул НЖК в слое.
Взаимодействие вязкоупругих напряжений с ультразвуковым полем приводит к появлению стационарных сдвиговых напряжений <Оу>, ко -торые индуцируют в слое стационарные потоки.
Вязкие стационарные моменты усиливают начальное искажение структуры, они на пороге эффекта компенсируются упругими моментами Франка, что в случае исходной планарной ориентации жидкого кристалла вызывает образование пространственно модулированной структуры.
Из уравнений гидродинамики выделим линейные уравнения для стационарных переменных У2х, 02. Введем безразмерные координаты г = Х/Ъ, х =Х/Ъ, безразмерное время t = юТ и безразмерные скорости ух = V]/юЪ; получим следующую задачу:
(
П2
д
2
дx2 +П1 dz2
Лv2 z =
= ( (ЛЕ"^ +^3v°,z )
2
f д!_ 2
д
2
дz dx
2
2, x
f д2 л д
— + ^
e2 + ®Т v2z ,x = 0,
(
П2-
д
2
д
22
v дг2 П1 дz2 ,v
d
/
dx2 dx2 dz2
V /
с граничными условиями
д
dx
2
+ Л
д
2
dz 2
ЛЄ2 =
Э2 Э
2
Є2
f_d! чдт2 + dz2y
д
e2 |z=0 = e2 |z=1 = 0
2 Л f ^2 ^2 Л
e2 \z=0 =
2
f д д
—2 + Л—2
vCx 2 Cz 2 ,
e2 \z=1= 0,
f2
dz
2Л
д2 д
—2 + Л—2
vdx2 dz 2 ,
e 2\z= 0 =
д
dz
2Л
дх2 дг
\ /
В уравнении (3) коэффициент
. 2ВЕ (ют0)2 т 2
А =--------- 2 «о-
а2 1 + (ЮТ0)2 Дальнейший расчет проводится на основе метода Галеркина. Считаем возмущение 02 периодическим вдоль слоя 02 ~ ^0(г)оо8 (кх), где в качестве функции Е0(г) выбираем многочлен Лежандра, удовлетворяющий заданным граничным условиям. Рассмотрим одномодовое приближение и подставим выражение для угла в уравнение (3).
(1) Результаты
Расчет проведен для следующих параметров
(2) кристалла: К33 = 7.5-10—7 дин, а2 = —77.5 сП,
2
e2\z=1=0.
Хсх 2 дz \
6 \і =0 =6 \і=1 = о/ Ух\г=0 = Ух\г=1 = 0,
Уг\г=0 = ^\2=1 = 0.
Здесь п1 = (а4 + а5 + а2)/(2а2), п2 = (а4 + а5 — — а2)/(2а2), X = Кп/К33, АЕ = АЕ / ша2 — безразмерный модуль упругости, Цз = Ц3/а2 — безразмерный коэффициент объемной вязкости, Т = = ук2/К33 — время релаксации.
Из уравнения (2) выразим У2гх и подставим в уравнение (1), предварительно продифференцировав его по переменной х. В результате система (1), (2) сведется к одному уравнению
a4 = S3.0 сП, a5 = 46.0 сП, a6 = —35.0 сП, Yj = = 77 сП [10]. Результаты расчета приведены в табл. 1.
Таблица 1
h, мкм f, МГц V0, см/с
(эксперимент [3]) (теория)
100 1 7.S 10.5
150 1 7.5 10.1
220 1 5.9 6.65
320 1 4.S 4.9
(3)
Близость экспериментальных и теоретических данных подтверждает правильность расчета.
Аналогичный расчет показывает, что в случае первоначальной гомеотропной ориентации кристалла имеет место однородная деформация его структуры
Список литературы
1. Stephen M.J., Straley J.P. // Rev. Mod. Phys. 1974. V. 46. P. 617-703.
2. Кожевников Е.Н. // Акустический журнал. 1990. Т. 36. Вып. 3. С. 458-462.
3. Аникеев Д.И., Капустина О.А., Лупанов В.Н. // ЖЭТФ. 1991. Т. 100. Вып. 1(7). С. 197-204.
ULTRASOUND INFLUENCE ON A STRUCTURE OF NEMATIC LIQUID CRYSTAL
Ya. V. Kucherenko
Structural deformation of nematic liquid crystal under the ultrasound influence is theoretically described. The normal falling of ultrasound on a crystal layer with a boundary, which reflects ultrasound completely, is described. The effect is analyzed using hydrodynamic equations for a nematic crystal. Anisotropic shift pressures are considered in the constructed model. A threshold amplitude and wave number are found for a planar NLC-layer. Results are compared with experimental data.
Keywords: nematic liquid crystal, spatially-modulated structure, structure distortion, ultrasound.
