О влиянии расширения продуктов детонации и сил трения на время вылета забойки при взрыве скважинных зарядов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Для равноускоренного движения забойки во времени о имеем 2

(1)

£ (г) = — + I,

© С.А. Гончаров,

А.В. Дугарцыренов, О.Ф. Клюка, И.Е. Веревочкин, 2001

УДК 622.268.4:622.235

С.А. Гончаров, А.В. Дугарцыренов,

О.Ф. Клюка, И.Е. Веревочкин

О ВЛИЯНИИ РАСШИРЕНИЯ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ И СИЛ ТРЕНИЯ НА ВРЕМЯ ВЫЛЕТА ЗАБОЙКИ ПРИ ВЗРЫВЕ СКВАЖИННЫХ ЗАРЯДОВ

Забойка скважин оказывает существенное влияние на эффективность взрывного воздействия на массив горных пород. При взрыве скважинного заряда имеет место сложный комплекс физических явлений, связанных с уплотнением и боковым распором забойки, ее срезом и последующим ускоренным движением в скважине.

Движение забойки может быть рассмотрено при различных допущениях. В первую очередь необходимо исследовать движение забойки без учета сил трения. В этом случае определяющую роль играют инерционные свойства забойки, т.е. ее масса, как мера инертности.

Первоначально рассмотрим равноускоренное движение забойки, которое осуществляется при постоянном давлении продуктов детонации.

Проведем ось £ (г) вдоль скважины и с ее дном

совместим начало координат (рис. 1, а и б). В процессе вылета положение забойки в любой момент времени определяется координатой £ (г). Величина £(г) изменяется в пределах от £ вв до £ с , где £ с - глубина скважины, а £ вв - длина ее зарядной части.

2 вв где а - ускорение забойки при ее вылете из скважины;

Ускорение а определяется выражением

а = , (2)

Рз1 з

где р - давление продуктов взрыва в момент детонации при г = 0; рз и £ - соответственно плотность и

длина забойки.

Введем безразмерную коорди-£(т)

нату

г=-г £,

определяющую

положение забойки. Тогда уравнение (1) с учетом (2) преобразуется к виду

1 =- Р

2Рз£ з£ в

-•г2 + 1 = - кг2 + 1.

2

где к = -

P

рз£ з£ вв

Разрешая (3) относительно времени ф имеем

0,5

г=[-] №г - DF

В момент вылета забойки из скважины (г = полняется условие

£ (гв) = £с или Ьг = L , (6)

где L

_ £ С

(3)

(4)

(5)

гв) вы-

(7)

вв

Продолжительность вылета забойки согласно (5) с учетом (6) определяется выражением 0,5 о,5

"в =Ц) -(^- 1)Г . (8)

Эквивалентные выражения (3) и (8) являются решениями простейшего дифференциального уравнения, описывающего движение забойки под действием постоянной силы:

1 = к . (9)

Формула для определения те, приведенная в [1], имеет вид

0,5 о 5 о 5

1 - Л0,5 =(!^0,5 Г1 -О0,5 (10)

/ \ 0,5 , , 0 5 0,5

гв = f P^V) f L2 -0 =r iVr ,2

Тз'

Р

По мере движения забойки в скважине происходит расширение газообразных продуктов детонации. При

этом процесс расширения можно рассматривать в изотермическом или адиабатическом приближении. Для быстропротекающих процессов передачей тепла можно пренебречь, поэтому обычно применяют адиабатическое приближение. В частности, характерным примером использования обеих подходов является расчет скорости распространения звука в воздухе. Скорость звука в изотермическом приближении составляет примерно 280 м/с (И. Ньютон), в адиабатическом - 330 м/с (Лаплас). Значение скорости звука, полученное Лапласом находится в полном согласии с опытом. Для сравнения рассмотрим оба подхода. Считая процесс расширения изотермическим, находим

Р(г) = Р

£

вв

£(г)

или

Р(г) = Р — .

(11)

Движение забойки под действием переменной силы Р(т) ^ , где - площадь поперечно-го сечения скважины, определяется дифференциальным уравнением 2-го порядка

Р(г) = Рз£ з • £"(г) » £"(г) =

Р(г)

Р (12)

Рз£з Рз£з

Так как £ " (г) = (£вв • Lт)" = £вв • I",то уравнение (12) приводится к виду

Р

Р 1

£ . Т" = _________________ ^ Т" =

вв г О £Т г О ££ Т з -Ь- Рз£ вв

з з т

Для решения дифференциального уравнения (13) используем следующее свойство произвольной функции

У=/(х):

((.у ')2)' = 2 у’/.

(14)

С учетом этого уравнение (13) преобразуется к ви-

ду

2 Т"

((I" )2)' = 2к-Т-.

Ьт

(15)

Интегрируя уравнение (15), получаем

(г )2 = 2к 1п( I,) + с1.

Постоянную интегрирования находим из начального условия

гг=о=1 г )-=о=0. (16)

Отсюда С1 = 0.

Тогда — = ^2к 1 п (I,) или

у[2к^ 1п(I,)

= 1.

(17)

Решение уравнения (17) определяется через специальную функцию ег/} (х) - интеграл вероятности мнимого аргумента [2] в виде

1 [к

г = 7тІЇ вф (^ ) =

^2 еф (^1п Тг )

0з£з£в Р

(18)

Рассмотрим теперь адиабатическое приближение. Согласно уравнению адиабаты Пуассона имеем

Р(г) = Р

£(-)

У

= Р

1

и

У

(19)

где у - показатель изоэнтропы продуктов детонации.

Отсюда по аналогии с вышеприведенными рассуждениями получим

1"= Р

г оз£ з£

— = к •—. ТТвв Iу Iу

Используя соотношение (14), находим

((I "Г)' 21"

Р

\

О £ £

V з з вв

1 к 1

-----=к.-У

I,У 1У

(20)

(21)

Представим уравнение (21) в виде

— = к •— (13) т т

з~ з~ вв г г

2

Ц

((I" )")' = 2 к —У-.

Т Ту

Решая это уравнение, находим

2 I 1

(г )2 = 2 к1

1 - У

■4- У+С2.

(22)

Постоянную С2 находим из начального условия (16). Тогда

С2 = -2 к

1

1 - У

Следовательно уравнение (22) можно переписать в

виде

(і" ) = 2к

1 '(4- У-1) = 2к [-Ц(1 -11- У) Vy-1

1-У

или

Н2к[7-1 >-^ 12кЬ-гЯ1-"1-Г. (23)

Интегрируя уравнение (23) и используя табличный интеграл [2], получим

1 У -1

лМ 2 где 2Р1

( 1 1 1-у^

-----;0,5;1 +------; I г

’ ’ ’ ’ т

1- у 1- у

гипергеометриче-

ская функция Г аусса.

Из начального условия г = 0 ^ Ьф = 1 находим

(л Л А

1 1

—; 0,5; 1 +---; 1

С3 /к 1 у 2 '2р

1- у 1- у

Подставляя С3 в уравнение (24), получим частное решение дифференциального уравнения (20):

.И 2 (Ьг ) 2Р1

Оз£з£вI

1 1 1 - у

-------; 0,5; 1 +---------;Ь '

1- у 1- у

л0.5

- Р 2Р1

11

--; 0,5; 1 +-;1

1- у 1- у

))

Р

(Ь г ) 2Р1

у-1

2

X

1 1 1 - у

--------; 0,5; 1 +------------;Ь '

1- у 1- у

- Р 2Р1

11

--; 0,5; 1 +-;1

1- у 1- у

/У

(25)

))

Уравнения (5), (10), (18) и (25) отличаются только множителями

72(Ьг - 1АЬг2 -1 , еф(л/1пЬ )

и

у-1

2

(Ьг ) 2РІ

1 1 -у

;0,5;1 +---------; і

1-у 1-у

’ X

— Р 21

(л л "\)

1 1

— ;0,5;1 +------------;1

1-7 1- 7

(26)

Указанные множители определяют безразмерное время вылета забойки

г = -

Оз£ з£ в

^0,5

= л[к • г .

(27)

\ Р /

Уравнения (5) и (10) получены без учета расширения продуктов детонации в процессе вылета забойки. Уравнения (18) и (25) учитывают соответственно изотермическое и адиабатическое расширение газов в скважине и более точно описывают процесс движения забойки в скважине, поскольку объемы заряда ВВ и забойки являются величинами одного порядка.

Сравнение величин указанных множителей проведено с использованием ЭВМ и в графическом виде представлено на рис. 2. Кривые 1, 2, 3 и 4 соответствуют рассматриваемым множителям в той последовательности, в которой они указаны выше. Непосредственно из рис. 2 видно, что при учете адиабатического расширения продуктов детонации (кривая 4) время

сравнению с временем (кривая 1), рассчитанным по уравнению (10). Поэтому учет влияния расширения продуктов детонации позволяет более корректно описать процесс вылета забойки. Кривая 2 на рис. 2 соответствует уравнению (10). При этом все кривые имеют одинаковый качественный характер.

Функция ег/} (х) в точном решении (18) вычисляется с помощью специальных программ для ЭВМ, поэтому целесообразно выразить ее через элементарные функции. Разложение данной функции в степенной ряд имеет вид

еф (х) = -^

У}П

Г ^ 2 5 7 9 ^

2 х х х х

2 х н--------\-\-\-н О (х)

3 5 21 108

V ;

или, применительно к множителю

ег/ ),

•ег/)•^пТ + 3^/2 (л^пТ)3 1

+

-(/шг)

+

1

9

21л/2 108л/2

+ 0(^ЫЬГ )11. (28)

Забойка обычно занимает не более 1/3 глубины скважины, поэтому величина 1 т изменяется от 1 до

1,5. Для оценки множителя ^ — ег/}(^1п 1т ) с помощью ряда (28) рассмотрены 3 случая (рис. 3). На рис. 3 выражение л К ег/}( / 1пЬт) (кривая 4) заменено: 1

X

X

г

+

- первым членом ряда (кривая 1); 2 - первыми 2 членами (кривая 2); 3 - первыми 3 членами (кривая 3). В первом случае при L Т = 1-1,2 кривая 1 практически совпадает с кривой 4; во втором - совпадение кривых 2 и 4 имеет место в интервале L Т = (1-1,5);в третьем -при изменении LТ от 1 до 2, 3. Таким образом, множи-

тель , —erfi(./lnL.) с большой точностью может

быть представлен 2 первыми членами ряда (28). Тогда решение (18) перепишется в виде

Рз1з£вв

или для безразмерного времени Т

( гг\

Т ■

Д2^ + 3• ^/1ПТ )3). (29)

Для удобства практических расчетов найдем достаточно точное приближение формулы—(25). Согласно этой формуле, безразмерное время Т представляет собой функцию двух переменных - у и L Т, трехмерный график которой приведен на рис. 4. Как видно из данного графика, время практически не зависит от показателя адиабаты у при изменении его в пределах, характерных для существующих ВВ. Поэтому введя в формулу (25) численное значение у , например у = 1,25, получим более простое соотношение:

0,25

—— х 2

х

Г г 1 1 _ л ^ ^

---; 0,5;1 +------; L ’

999 9 т

L •, F,

т 2 1

- 0,25 - 0,25

_ 2F1

;0,5;1 +----------;1

^- 0,25 - 0,25

(30)

С достаточной для практики точностью вместо формулы (30) для расчета величины может быть использовано простое выражение:

Т ■

1,45 •TV_T. (31)

Г рафики зависимости т (LТ), рассчитанные по формулам (30) и (31), представлены на рис. 5. Оба графика практически совпадают. Небольшое различие имеет место в интервале изменения LТ от 1,35 до 1,5. Однако это расхождение не превышает 1-2 % от величины L Т, рассчитанной по точному решению (30). Время тв вылета забойки определяется соотношением (25) при подстановке величины L Т = L.

Для L = 1,5 численные значения множителей (26) равны соответственно 1,0; 1,11803; 1,03858 и 1,04836. Расхождение расчетных величин времени вылета за-

ния продуктов детонации составляет 4,8 % при L = 1,5. Относительно небольшое расхождение результатов при постоянстве давления газов и при снижении этого давления по адиабате по-видимому связано с тем, что

движение забойки в отсутствии трения определяется ее ускорением в начальной стадии.

Проведем оценку степени влияния массы (плотности) забойки на время ее вылета тв при адиабатическом расширении продуктов детонации. Для этого приведем уравнение (31) к размерному виду при L т = L = 1,5. Тогда получим

1,025 ,

т в = —1=^ = 1,025 •

где k1 = 1,025 •

$ $ Р

Расчетная зависимость тв (р3), полученная по формуле (32) при

а Ц 2 Ц

Р = 4,89640 Па,Ц3 =~с,Цвв =,Цс = 17м, представлена на рис. 6. На данном интервале изменения плотности забойки зависимость т в (р3) имеет практически линейный характер. Сравнительно малая величина времени вылета говорит о том, что влияние инерционных свойств забойки на длительность импульса давления незначительно.

Проведенное исследование процесса вылета забойки не учитывает влияния сил трения на движение забойки в скважине. Силы трения, возникающие между забойкой и стенками скважины, пропорциональны боковому распору забойки, обусловленному ее сжатием под действием сил инерции при ее ускоренном движении. Испытания на прямой сдвиг (на срез) сыпучих минеральных материалов показывают, что коэффициент внутреннего трения для этих материалов имеет достаточно большие значения [3]. В частности, для крупнозернистого песка и гравия величина . находится в пределах 0,625-0,726. Произведем оценку времени вылета забойки с учетом сил трения. Предположим вначале, что забойка движется в длинном канале с диаметром, равным диаметру скважины dc. В

этом случае не происходит разрушения забойки и она в процессе движения сохраняет свою целостность и форму, а также не изменяется площадь ее контакта со стенками скважины.

При ускоренном движении забойки происходит ее сжатие за счет сил инерции. Предварительно расчеты проведем при условии ,что напряжения равномерно распределены в любом сечении забойки по ее длине. Тогда напряжение сжатия стсж в сечении забойки, находящемся на расстоянии Ц от ее нижнего торца, определяется соотношением

F

а =- ин

^сж

(33)

где Fин = т3Ц (а + g) - сила инерции забойки; g - ускорение силы тяжести; т3Ц - масса части забойки, находящаяся выше уровня Ц ; Sc - сечение скважины.

Элементарная сила бокового распора забойки dFб для кольцевого бесконечно малого элемента площади контакта высотой СЦ от уровня Ц составляет dFб = Ко асж dSб = К0[рз(Ц3 -Ц) + рвЦв]dSб , (34)

где К0 - коэффициент компрессионного распора; dSб = пСсСЦ - площадь боковой поверхности элемента СЦ забойки.

Тогда элементарная сила трения равна

dFmр = п ^рК0р3 (а + g) Сс (Ц 3 - Ц) СЦ .

Интегрируя в пределах длины забойки? находим

Ц з

Fтр = п kтрК0рз (а + g) Сс ^ (Ц з - Ц)СЦ =

0

2 п^^трК0рз (а + g )СсЦ з 2^^трК0 с Sc.

(35)

Поскольку а >> g , то пренебрегаем величиной g.

Уравнение движения забойки с учетом (35) имеет вид

Р( т)Sc - Fтр = т3 а или

Ц 3

Р( т)Sc = тз (1 + 2kTр. Ко с3) •Ц ^.

(36)

Принимая во внимание, что ЬТ = —— и учитывая

ЦТ)

I,

(19),из выражения (36) получим

Т =----Р-----А— = k • А •- 1

Т РзЦзЦвв и

Тт Г

где А =

1

1

1 + 2^Ко ^ 1 + 2^1рК0Т0

сс

где Т0 = Ц з / Сс .

Очевидно уравнение (37) отличается от уравнения (20) только постоянным множителем А. Поэтому, используя решение дифференциального уравнения (20) в виде (25), получим

т= 1.11.. г—1 х

к V А V 2

г (

(ьт)

^ Рз£з£в

1- V

л0.5

Р

1- V

т V—1

—2Р1

11

-; 0,5; 1 +-;1

1- V

1- V

(ЬТ) 2Р1

1 1 1 — V

—; 0,5; 1 +-----------;Ь /

’ ’ ’ ’г

1- V 1- у

\

—2Р1

11

-; 0,5; 1 +-;1

(38)

У\

1- V

1- V

Аналогично, с учетом сил трения представим решения (5), (10) и (18) в виде

0,5 0,5

1 ’ ........... (39)

Т=|- | ■ (2ЦТ —1))

Т =

Рз£з£в

0,5

Р ■ А

0,5

(^1—1)0,5=1Ь1 2—1)

0,5

(40)

Т=7л1\ еф ^)=

^2 еф ^1пЬт ).

Рз£з£вв Р ■ А

(41)

Таким образом, при движении забойки в длинном канале с учетом сил трения время вылета увеличивается

в раз. Естественно, рассмотренный случай реали-

<А

зуется при малой длине забойки, когда она занимает небольшую часть скважины.

Коэффициент компрессионного распора К0 при первичной компрессии грунтов мало зависит от их структуры и обычно равен 0,75 +0,05 [3].

Зависимость безразмерного времени вылета забойки от величины Ь Т, полученная расчетным путем при ктр =

0,1; £ = 17 / 3 м ; у = 1,25 и dc = 0,25 м, представлена

на рис. 7 (кривая 5). Остальные зависимости на этом рисунке соответствуют кривым 1,2,3 и 4 на рис. 2. Расхождение расчетных значений величины времени вылета забойки при адиабатическом приближении с учетом и без учета сил трения составляет 2,664 раза при ктр = 0,1.

Зависимости безразмерного времени вылета забойки от величины dc при различных значениях ктр = 0,05 (кривая 1), ктр = 0,075 (кривая 2), ктр = 0,1 (кривая 3) и ктр = 0,125 даны на рисунке 8 (Ь Т = 1,5). Непосредственно из рис. 8 видно, что с увеличением диаметра скважины время вылета забойки существенно снижается. Так, при

ктр = 0,1 (кривая 3) с увеличением диаметра скважины от 0,15 м до 0,25 м безразмерное время вылета уменьшается от 3,681 до 2,92,т.е. в 1,257 раза.

Уравнение (28) представляет по существу критериальное уравнение, в котором безразмерные

Рз£ з£ в

)0,5

и Ьз = £ / dc,

\ Р

составленные из физических и геометрических параметров заряда ВВ и забойки полностью определяют движение последней. При этом критерий Ьз = £ / dc учитывает трение между забойкой и стенками

скважины. Таким образом, величину времени вылета забойки и, соответственно, параметры взрывного импульса можно регулировать, изменяя значения геометрических характеристик £ и dc забойки. Зависимость безразмерного времени вылета забойки от критерия Ьз = £ з / dc при ктр = 0,1, у = 1,25, Ь = 1,5 и £ з = 17/3 м

представлена на рис. 9.

Выводы

г

X

X

2

X

ки при взрыве скважинного заряда с учетом адиабатического расширения продуктов детонации и влияния сил трения.

Вылет забойки рассмотрен также в изотермическом приближении. Сравнение расчетных данных показывает, что основное влияние на величину времени вылета оказывает трение между забойкой, сжатой силами инерции и стенками скважины. Расхождение расчетных величин

составляет 2,5-3 раза даже при относительно малом коэффициенте ктр = 0,1; при учете расширения (адиабатического или изотермического) продуктов взрыва расхождение между адиабатическим и изотермическим приближениями примерно равно 5-10 %. Получено критериальное уравнение, позволяющее регулировать параметры взрывного импульса, определяемые временем вылета забойки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Друкованый М.Ф., Куц В.С., Ильин В.И. Управление действием взрыва скважинных зарядов на карьерах. - М.: Недра, 1980. - 223 с.

2. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., Наука, 1971.

- 1108 с.

3. Гольдштейн М.Н. Механические свойства грунтов. - М., Стройиз-дат, 1979. - 304 с.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ

£1

ш

Гончаров Степан Алексеевич - профессор, доктор технических наук, зав. кафедрой «Физика горных пород и процессов», Московский государственный горный университет.

Дугарцыренов Аркадий Владимирович - доцент, кандидат технических наук, кафедра «Физика горных пород и процессов», Московский государственный горный университет.

Клюка Олег Федорович - соискатель, кафедра «Физика горных пород и процессов», Московский государственный горный университет, ГОК «Стойленский».

Веревочкин Игорь Евгеньевич - горный инженер, Московский государственный горный университет.