О ВЛИЯНИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ НА СОХРАНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ДВИЖЕНИЯ В ЛАГЕРР-ГАУССОВЫХ ПУЧКАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.9.01

О ВЛИЯНИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ НА СОХРАНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ДВИЖЕНИЯ В ЛАГЕРР-ГАУССОВЫХ

ПУЧКАХ

Е. О. Дмитриев1,2, Ф.А. Корнеев1,2

В работе рассмотрено влияние приближений, используемых при задании лазерных пучков, на результаты аналитических расчетов и численного моделирования движения электрона в поле циркулярно поляризованной моды Лагерра-Гаусса. Продемонстрировано, что для корректного описания передачи момента импульса лазерного пучка электрону необходимо учитывать поправки к параксиальному приближению и влияние огибающей одновременно.

Ключевые слова: орбитальный момент импульса, интеграл движения, параксиальное приближение, огибающая.

Введение. В последнее время становится возможным создание мощных лазерных импульсов с угловым орбитальным моментом [1]. Задача описания взаимодействия таких импульсов с плотной и разреженной плазмой включает в себя учёт коллективных эффектов, однако для разреженной плазмы может быть оправдано использование од-ночастичного приближения. Одним из интересных явлений, наблюдаемых в численном моделировании, является генерация квазистационарного магнитного поля при взаимодействии пространственно структурированных лазерных пучков, переносящих орбитальный момент импульса, с плазмой [2-4]. В этом случае проведённый детальный анализ позволяет заключить, что этот процесс может быть рассмотрен как результат взаимодействия лазерного пучка с одной частицей [5].

В общем случае симметрии, присущие плоской волне, нарушаются в структурированных пучках. Однако определённые пространственные структуры допускают сохранение некоторых из этих симметрий. Последние могут быть использованы при численном и аналитическом исследовании взаимодействия частиц с волной. С другой стороны,

1 НИЯУ "МИФИ", 115409 Россия, Москва, Каширское ш., 31.

2 ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: egor.o.dmitriev@gmail.com.

при некоторых условиях возможно определение параметров, приводящих к нарушению симметрий плоской волны. В таких ситуациях малость данных параметров характеризует малость нарушения исходных имметрий и соответствующих интегралов движения.

Уравнения движения электрона в циркулярно поляризованной моде Лагерра-Гаусса. Рассмотрим движение электрона (заряд электрона —e < 0) во внешнем электромагнитном поле, задаваемым векторным потенциалом A. Запишем функцию Лагранжа части-

ir-1 Ir

цы, измеряя длины в единицах k , где k = — - волновое число, время в единицах

А

-1 л eAo

ш 1, где ш - частота волны, векторный потенциал в единицах a0A0, где а0 = --, где

mc2

m - масса электрона, A0 - амплитуда векторного потенциала, импульс в единицах mc

2

и энергию в единицах mc2:

L = — —1 — v2 — Av. (1)

Из функции Лагранжа получаются стандартные уравнения движения

I = -E - lvH]' (2)

1 т, dA

где p = yv - импульс электрона, y = — - энергия электрона, E = —— и

Vi - v2 dt H = rotA - электрическое и магнитное поле, соответственно.

В цилиндрических координатах выражения для продольных компонент векторного

потенциала циркулярно поляризованной моды Лагерра-Гаусса принимают вид

Ar = aoRe (upl (r, ю, z) ei(t-z-CTz^) , Av = aoRe {-iazupl (r, p, z) ei(t-z-CTz^) ,

где az = ^1, причем знак "—" соответствует правой поляризации, а знак " +" - левой. Продольная компонента векторного потенциала Az определяется из условия калибровки divA = 0.

Функция upi (r, <р, z) зависит только от координат и задаёт пространственную структуру электромагнитного пучка [6]

Upi (w) = CW ^ exp( — L«( 2r2

w (z) \w (z) \ w2 (z) J p \

w (z)\ w (z)l \ w2 (z) J p \w2 (z)

X

r2z z x exp ( —Ню — i——-тр- + i (2p + Ш + 1) arctan —

2(z2 + zR) VzR

где C(p'l) = \ —P'i,,s, - нормализующая константа, w (z) = w0\ 1 + ( — ) , LP -

Vn (P + |l|)! V VzR/

w2

обобщенный полином Лагерра, zr = —— обезразмеренная длина Рэлея.

В силу слабой зависимости амплитуд потенциалов от координаты z, электромагнитное поле в параксиальном приближении локально близко к плоской волне, соответствующий приближенный интеграл движения [7]

£ - Pz = £ - Pz + Az - 0, (5)

где £, Pz и pz - кинетическая энергия, канонический импульс, сопряженный координате

z, и продольная компонента импульса электрона, соответственно. За время наблюдения

At этот интеграл набирает значение ~ —0 At, обладающее малостью за счет множителя ^ wo

—2, где w0 ^ 1 - характерный продольный размер пучка в безразмерных единицах. То

wo2 o

есть в сравнении с энергией и импульсом данная величина будет в w0 ^ 1 раз меньше.

Данную оценку можно получить, рассматривая трансляцию времени и координаты z на малую величину е в действии электрона S. С одной стороны, исполь-

¿2

зуя уравнения движения, получаем вариацию действия 8S = е (Pz — е) , с другой,

ti

¿2 д и

8S = е f vRe—— ei(t-z)dt, где и обозначает слабозависящую от координаты z амплитуду

ti dz

поля. Предполагая амплитуду колебаний скорости ~ 1 (в случае слабой интенсивности

~ а0, поэтому оценка должна получиться завышенной), колебаний поля ~ а0 и произ-1

водную по z ~ —2, и считая, что вклад в интеграл дает произведение осциллирующих

w0

вкладов в скорость и компоненты векторного потенциала, получим оценку, приведенную выше.

Функция upi (r, ф, z) зависит от азимутального угла как e-dip, где l = 0, ±1, ±—, .... Тогда Ar и Av содержат зависимость от времени и азимутального угла только в комбинации t — (az + 1)ф. Поскольку Az определяется из уравнения divA = 0, то и продольная компонента зависит от времени и угла таким же образом. Соответственно, функция Лагранжа (1) зависит только от этой же комбинации, что приводит к интегралу движения

Е = Pv — (l + az )H = const, (6)

где Pv = Lz — rAv - канонический импульс, сопряженный азимутальному углу ф, Lz = 7Г2ф - момент импульса электрона и H = y = ^J1 + (P + A)2 = J1 + p2 - функция гамильтона частицы, в которой P - канонический импульс электрона.

Для численного исследования движения частицы будем моделировать включение и выключение электромагнитного поля с помощью приближения медленно меняющейся огибающей g(t — z) с характерной длительностью т ^ 1. Такое поле будем называть квазимонохроматическим. При вычислении электрического и магнитного полей огибающая должна считаться постоянной, чтобы не превышать первоначально заданную точность. Основной вклад при взаимодействии с частицей вносит область вблизи пика огибающей, где она может быть разложена в ряд Тейлора. Первый не постоянный член

этого ряда имеет малость ~ —, что позволяет оценить точность данного приближения

т

как ~ —. Помимо этого, огибающая не содержит зависимость от р, что в случаях т

l + °z = 0 нарушает симметрию, необходимую для существования интеграла движения.

В любом случае, величина S остается интегралом движения лишь с точностью до сла-«0

гаемых ~ —, что приводит к изменению ее значения а время , взаимодействия т

на ~ а0.

Еще одной причиной разрушения интеграла движения является использование параксиального приближения, в котором производные от функций upi по координате z

считаются малыми и опускаются в некотором порядке. Характерное значение отклоне-

a0

ния от интегралов движения при определении полей ~ —2, что за все время взаимо-a0

действия дает ~ —2 т.

w5

Движение электронов в циркулярно поляризованной моде Лагерра-Гаусса с огибающей. Рассмотрим взаимодействие изначально покоящегося электрона с циркулярно поляризованной модой Лагерра-Гаусса, заданной векторным потенциалом

Ar = «g(t — z)Re (upei(t-z-CTz

A^ = «g(t — z)Re (—mzuplei(t-z-<7z V2

Az = «g(t — z)Re (—i^ei(t-z-<J*+ ^uplei(t-z-^^^

Электрическое и магнитное поля должны быть определены с той же точностью, что

и векторный потенциал. То есть должны быть отброшены слагаемые ~ —0, возникают

г- —0

щие от производных огибающей, и слагаемые ~ —2, возникающие от производных Ир.

Таким образом, для электрического и магнитного полей получаем

Ег =

Ez

Hz

-=git - z)Re {-%uvlel(t-z-a*v) a0

-Hr = —:g(t - z)Re {-azupiei(t-z-°z,

a0 ao

— g(t - z)Re ( -dUplei(t-z-CTz«О + i^zuplei(t-z-^-

I

— ( r

—g(t - z)Re ( -iazei(t-z-az& + ll i(t-z-*z 1 dr r

Проанализируем с помощью численного моделирования уравнение (2) для первоначально покоящегося электрона в поле (8) с р = 0 и I = 1. Возьмем огибающую в виде

t - т/2

п I при 0 ^ t ^ т и g(t) = 0 в ином случае.

g(t) = cos2

Для определения точности сохранения интеграла движения будем сопоставлять величины Е с кинетической энергией £, поскольку последняя не является интегралом движения и входит в определение Е. Поэтому разумно предположить, что интегра-

Рис. 1: Зависимость переданных электрону кинетической энергии е, продольного импульса грх, момента импульса Ьх и Е от начального расстояния электрона г0 от оси пучка при движении в квазимонохроматической моде Лагерра-Гаусса с т0 = 10 и п = 12, полученные при численном моделировании для левополяризованной (зеленая прерывистая линия) и правополяризованной (красная сплошная линия) мод.

лы движения можно считать сохраняющимися приближенно, если их величины будут малы в сравнении с величиной е, то есть Е ^ е.

т

При параметрах —0 = 1, wo = 10 и п = 12, где п = —, влияние параксиального

2п

приближения и огибающей велико. Параметр —2т принимает значение ~ 0.1, которое

w2

за счет численных коэффициентов может оказаться недостаточно малым для сохранения величины Е, поэтому она получается сопоставимой с кинетической энергией е (см. рис. 1). Величины Е в этом случае не сохраняются, что определяется недостаточной точностью удовлетворения параксиального приближения и приближения медленно меняющейся огибающей.

Рис. 2: Зависимость переданных кинетической энергии е, продольного импульса рг, момента импульса Ьг и Е от начального расстояния электрона г0 от оси пучка при движении в квазимонохроматической моде Лагерра-Гаусса с w0 = 100 и п =12, полученные при численном моделировании для левополяризованной (зеленая прерывистая линия) и правополяризованной (красная сплошная линия) мод без учета производных по г от амплитуд и с их учетом (оранжевая линия из точек и синяя штрихпунк-тирная линия для право- и левополяризованной мод, соответственно).

Улучшим условия применимости параксиального приближения, взяв w0 = 100. Результаты расчетов без и с учетом производных по г от амплитуд Лагерра-Гаусса, представленные на рис. 2, отличаются слабо, что говорит о том, что параксиальное при-

ближение выполняется с большой точностью. Однако, как видно, величина Е не сохраняется и в этом случае, что говорит о необходимости учесть зависимость огибающей от £ — г. Добавим к электрическим и магнитным полям слагаемые с производными от огибающей, вычисленные через векторный потенциал. Такие добавки являются, строго говоря, превышением точности, поскольку для их учета необходимо также учесть

поправки к векторному потенциалу ~ —0 при решении уравнений Максвелла.

т

Рис. 3: Зависимость переданных кинетической энергии е, продольного импульса грг, момента импульса Ьх и Е от начального расстояния электрона г0 от оси пучка при движении в квазимонохроматической моде Лагерра-Гаусса с т0 = 100 и п =12 с учетом производной от огибающей, полученные при численном моделировании для левопо-ляризованной (зеленая прерывистая линия) и правополяризованной (красная сплошная линия) мод.

Зависимости, полученные в результате расчетов с учетом производных от огибающей, представлены на рис. 3. Величина Е стала на порядок меньше, но все еще сопоставимой с энергией электрона. За несохранение Е в этой ситуации ответственно только параксиальное приближение, которое при заданных параметрах вносит вклад ~ —02т ~ 10-3. За счет численных коэффициентов вклад может получаться меньше, что и видно на рис. 3.

При учете производных по координате г от амплитуд поля Е становится малой в сравнении с е, что видно из рис. 4. Однако, для корректного учёта этих поправок,

Рис. 4: Зависимость переданных кинетической энергии е, продольного импульса pz, момента импульса Lz и S от начального расстояния электрона r0 от оси пучка при движении в квазимонохроматической моде Лагерра-Гаусса с w0 = 100 и n =12 с учетом производной от огибающей и амплитуды поля по координате z, полученные при численном моделировании для левополяризованной (зеленая прерывистая линия) и правополяризованной (красная сплошная линия) мод.

необходимо определение самих полей (7) с той же точностью. В случае левой поляризации S не является интегралом движения, поскольку огибающая не содержит угла р. Добавление зависимости огибающей от р восстановит сохранение S, если при этом также добавить слагаемые с производными от огибающей по углу р.

Заключение. Обсуждаемые приближения играют важную роль при описании взаимодействия структурированной световой волны с заряженной частицей. Для того чтобы переданный частице момент импульса оказался больше ошибок, определяемых пренебрежением переменностью огибающей и точностью паракисального приближения, необходимо выполнение двух неравенств Ьг ^ — 0 и Ьг ^ —2т, соответственно. Удо-

w2

влетворение обоих условий приводит к ограничению на безразмерную длительность импульса т < w0j, что не позволяет неограниченно увеличивать длительность импульса в численном расчете без привлечения поправок к сделанным приближениям. В случае гауссовых пучков в работе [10] было отмечено, что для коротких импульсов т < 2w0

необходимо учитывать поправки, возникающие за счет влияния огибающей. Таким образом, возможность пренебрежения формой огибающей определяется ещё более жёстким условием и>0 ^ т < и>0.

Поскольку при добавлении слагаемых, необходимых для сохранения интегралов движения, однако, превышающих точность определения полей в (7), менялась в основном величина Е, а не энергия, можно сделать вывод, что эти добавки определяют поглощение момента импульса. Таким образом, для корректного описания передачи момента импульса частице в структурированном электромагнитном поле необходимо как при решении уравнений Максвелла, так и при рассмотрении уравнений движения учитывать поправки и к паракисальному приближению, и к медленно меняющейся огибающей.

Авторы выражают благодарность В. Т. Тихончуку и И,. Ки1ег за плодотворные обсуждения. Данная работа была поддержана грантом Фонда развития теоретической физики и математики "БАЗИС". При моделировании использовались вычислительные ресурсы Центра Высокопроизводительных Расчётов НИЯУ МИФИ.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Q. Zhan, Advances in Optics and Photonics 1(1), 1 (2009). DOI: 10.1364/AOP.1.000001.

[2] S. Ali, J. R. Davies, J. T. Mendonca, Phys. Rev. Lett. 105, 035001 (2010). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.105.035001.

[3] Z. Lecz, I. V. Konoplev, A. Seryi, A. Andreev, Nature: Scientific Reports 6, 36139 (2016). DOI: 10.1038/srep36139.

[4] W. Wang, B. Shen, X. Zhang, et al., Sci. Rep. 5, 8274 (2015). DOI: 10.1038/srep08274.

[5] R. Nuter, Ph. Korneev, I. Thiele, V. T. Tikhonchuk, Phys. Rev. E 98(3), 033211 (2018). DOI: 10.1103/PhysRevE.98.033211.

[6] L. Allen, M. W. Beijersbergen, R. J. C. Spreeuw, J. P. Woerdman, Phys. Rev. A 45(11), 8185 (1992). DOI: 10.1103/PhysRevA.45.8185.

[7] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, том II. Теория поля (M., Наука, 1973).

[8] R. Nuter, Ph. Korneev, E. Dmitriev, et al., Phys. Rev. E 101(5), 053202 (2020). DOI: 10.1103/PhysRevE.101.053202.

[9] V. T. Tikhonchuk, Ph. Korneev, E. Dmitriev, R. Nuter, High Energy Density Physics 37, 100863 (2020). DOI: https://doi.org/10.1016/j.hedp.2020.100863.

[10] Brice Quesnel, Patrick Mora, Phys. Rev. E 58(3), 3719 (1998). DOI: 10.1103/ PhysRevE.58.3719.

Поступила в редакцию 23 ноября 2021 г. После доработки 20 декабря 2021 г. Принята к публикации 21 декабря 2021 г.

Публикуется по рекомендации оргкомитета V Международной конференции "Сверхбыстрые Оптические Явления" (UltrafastLight-2021), Москва.