CC BY
7Механика
УДК 511
О ВЛИЯНИИ ОСАЖДЕНИЯ КВАРЦА НА ДИНАМИКУ ДЕГАЗАЦИИ МАГМАТИЧЕСКОГО ОЧАГА
И. С. Уткин1, О.Э. Мельник2, А. А. Афанасьев3, Ю.Д. Цветкова4
Проведено численное моделирование фильтрации сверхкритического раствора соли при дегазации магматического очага с учетом переноса и отложения кварца. Показано, что осаждение кварца и сопутствующее ему снижение проницаемости уменьшают размер линзы концентрированного раствора соли, образующейся над очагом. Исследовано влияние гидроразрыва пород на процесс формирования линзы. Обнаружен нестационарный режим дегазации, связанный с периодическим увеличением и снижением проницаемости из-за гидроразрыва и осаждения. Результаты расчетов согласуются с геологическими данными по строению медных месторождений.
Ключевые слова: магматический очаг, пористая среда, фильтрация, фазовый переход.
Numerical simulation of supercritical brine flow in a porous medium during the degassing of a magma chamber with consideration of the transport and quartz precipitation is performed. It is shown that the precipitation of quartz and the accompanying decrease in permeability reduce the dimensions of the concentrated brine lens formed above the chamber. The effect of hydraulic fracture of rocks on the lens formation is studied. A nonstationary degassing regime is revealed, which is associated with a periodic increase and decrease in permeability due to fracturing and quartz precipitation. The numerical results are in agreement with the geological data on the structure of copper deposits.
Key words: magma chamber, porous media, flows in porous media, phase transitions.
При внедрении в верхнюю кору Земли магмы происходит отделение от нее летучих компонентов — паров воды, углекислого и сернистого газа, которые по проницаемым вмещающим породам поднимаются к поверхности [1]. Летучие компоненты переносят с собой соли и в малых количествах примеси других веществ, например металлы и кварц. Они могут отлагаться на скелет породы по мере того, как магматический газ поднимается к поверхности, а давление и температура снижаются от высоких значений в магматическом очаге к более низким значениям у поверхности. Глубина отложения различных веществ определяется как их теплофизическими свойствами, так и последовательностью термодинамических условий, через которые проходит магматический газ на пути к поверхности. Если термодинамические условия допускают выпадение цветных металлов, например меди, на небольших глубинах (1-2 км), то формируются рудные месторождения, что и обусловливает актуальность изучения дегазации магмы. Исследование описанных процессов осложняется обратным влиянием фазовых превращений — осаждения примесей на скелет породы — на фильтрацию летучих компонентов. Осаждение приводит к снижению пористости и проницаемости, что в свою очередь может вызвать уменьшение притока газов или вообще его блокировку.
В работе [1] дегазация магматического очага исследовалась в рамках модели неизотермической многофазной фильтрации бинарной смеси соли и воды (NaCl-H2O), а концентрации других веществ (примесей металлов и кварца) полагались равными нулю. Для численного моделирования фильтрации смеси использовался комплекс программ MUFITS [2]. Показано, что при падении давления магматический газ — раствор соли, находящийся в очаге при сверхкритических давлениях и температурах, — расслаивается на жидкую и паровую фазы. В результате жидкая фаза обогащается
1 Уткин Иван Сергеевич — асп. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ivan@utki.ch.
2 Мельник Олег Эдуардович — доктор физ.-мат. наук, зав. лаб. общей гидромеханики НИИ механики МГУ, e-mail: melnik@imec.msu.ru.
3 Афанасьев Андрей Александрович — доктор физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. лаб. общей гидромеханики НИИ механики МГУ, e-mail: afanasyev@imec.msu.ru.
4 Цветкова Юлия Дмитриевна — мл. науч. сотр. лаб. общей гидромеханики НИИ механики МГУ, e-mail: jultsv@gmail.com.
солью, а при глубинах 1-2 км происходит ее пересыщение, приводящее к выпадению осадка соли. При этом под непроницаемой коркой с забитыми солью порами образуется линза высококонцентрированного раствора соли, которая интерпретировалась в работе [1] как область формирования месторождения.
В настоящей работе исследуется влияние примеси кварца (оксида кремния) на процесс формирования месторождения, т.е. исследованной в [1] линзы концентрированного раствора соли. Концентрация кварца в магматическом газе не превышает 1-2%, поэтому его можно рассматривать как примесный элемент, однако при длительном отложении он может занять в виде твердой фазы значительную часть порового объема, уменьшив проницаемость породы до нуля. Если интенсивное отложение кварца происходит на глубинах, превышающих глубину отложения соли, то приток магматического газа в приповерхностные области будет перекрыт, а месторождение не сформируется.
Математическая модель. Численное моделирование дегазации магматического очага проводится в рамках модели фильтрации смеси NaCl-H2O — системы законов сохранения массы и энергии, сопряженной с законом Дарси. Данная система используется в виде, сформулированном в [1], за тем исключением, что пористость и проницаемость зависят от количества кварца (SiO2), выпавшего в осадок на скелет пористой среды. Перенос примеси кварца описывается отдельным дополнительным уравнением неразрывности, в котором учитывается разделение примеси между жидкой и паровой фазами:
д
-Qt V Y1 PpSP°V + div Y1 PP°VwP = W
P=l,9 P=l,9
Здесь p — пористость породы; pp, Sp и vp — плотность, насыщенность и скорость фильтрации фазы p; cp — массовая доля примеси (кварца) в фазе p, а индексы l и g обозначают параметры жидкой и газовой фаз соответственно.
Концентрации примеси ср удовлетворяют соотношению ^ = d, где d — коэффициент распределения примеси между фазами. Так как концентрация кварца в паровой фазе пренебрежимо мала по сравнению с концентрацией в жидкой фазе, то параметр d должен стремиться к нулю. На практике результаты вычислений слабо зависят от конкретных значений d в диапазоне 10-4 — 10-2.
Предполагается, что концентрация растворенного оксида кремния, находящегося в равновесии с твердой фазой, определяется однозначно по температуре T и давлению P [3]:
18 0152
logmSio2 = А(Т) + В(Т) • log -+ 21oga;H2o,
VH2O
где msio2 — равновесная моляльность кварца в жидкой фазе раствора соли (моль ■ (кгH2O)-1); A(T) и B(T) — заданные многочлены от температуры; хн2о и VH2o — молярная доля и эффективный парциальный молярный объем H2O в смеси (параметры и их значения подробно описаны в работе [3]). Равновесная массовая концентрация кварца csio2 рассчитывается по формуле
( 1 4-1
csio2 = 1 +
ШэЮз М
где М — молярная масса жидкой фазы (кг/моль).
Численное моделирование проводится методом разделения по физическим процессам. На первом этапе вычислений в комплексе программ МИИТБ рассчитывается течение бинарной смеси КаС1-И2О в интервале одного шага по времени. При этом пористость р и проницаемость к не изменяются. В результате в заданный момент времени определяются поля скорости, плотности и насыщенностей газовой и жидкой фаз. На втором этапе на фоне распределений \р, рр и Бр в соответствии с (1) рассчитывается перенос примеси кварца и определяется распределение его полной концентрации:
сг = ^^ рр8рСр / ^^ ррвр. р=1,д / р=1,д
Далее в соответствии с коэффициентом распределения й примесь распределяется между жидкой и паровой фазами:
I Pi si + р„ s„ d \ 1
ci = act, а =
( PiSi + pgSgd
V piSi + p„S„
c„ = dci.
Если рассчитанная концентрация в жидкости с выше равновесной концентрации сзю2, то избыток примеси осаждается на скелет, а если ниже, то при наличии осажденной примеси последняя растворяется до полного насыщения жидкости или растворения осадка. С использованием объема осажденной примеси на втором этапе вычисляются новые значения пористости р и проницаемости к, причем учитываются соотношения, описанные в следующем пункте. Далее вычислительный алгоритм повторяется с первого этапа.
Расчет пористости и проницаемости. Для моделирования гидроразрыва пород на втором этапе дополнительно вводится добавочная пористость рf, равная нулю в начальный момент времени, когда давление в жидкости существенно не превышает литостатическое давление. Величина рf возрастает с течением времени пропорционально АР — Р*, где АР — избыточное над литостатическим давление в жидкости; Р* = 5 МПа — критическое избыточное давление, определяемое прочностью горных пород:
где ро — начальная пористость; рз —доля объема пород, занимаемая осажденным оксидом кремния; а = 0,02 — свободный параметр, характеризующий скорость накопления добавочной пористости. Заметим также, что добавочная пористость ограничена сверху некоторой долей от начальной пористости (во всех представленных результатах эта доля равна 0,5) во избежание неограниченного роста пористости.
Проницаемость пропорциональна кубу доли свободного объема пор, не занятого осажденным оксидом кремния:
где ко — начальная проницаемость неразрушенных пород, а в = 0,8. Согласно (3) если осажденный кварц занимает более 20% порового пространства, то происходит полная закупорка пор и проницаемость снижается до нуля. Значение критической доли пор, при котором происходит закупорка пород (20%), слабо влияет на результаты расчетов.
Результаты. Численное моделирование фильтрации проводится в рамках решения осесим-метричной задачи, постановка которой подробно описана в [1]. Рассматривается цилиндрическая, заполненная проницаемой пористой средой область, верхняя граница которой соответствует поверхности Земли, а на непроницаемой нижней границе, расположенной вблизи магматического очага, поддерживается высокое значение температуры. Через верхнюю границу моделируется тепломассообмен с атмосферой. Приток летучих компонентов (Н2О) и примесей (КаС1 и ЯЮ2) из-за дегазации магматического очага моделируется точечным источником, помещенным в точку пересечения оси симметрии с нижней границей области. Вдоль оси расположен высокопроницаемый вулканический канал, по которому летучие компоненты могут быстро подняться к поверхности. Задано неоднородное, убывающее с глубиной распределение пористости и проницаемости.
В начальный момент времени пористая среда насыщена водой при заданном квазистационарном распределении давления и температуры. У поверхности давление имеет близкое к гидростатическому распределение, отклонение от которого связано с геотермальной конвекцией. При больших глубинах в области низкой проницаемости давление равно литостатическому (учитывается вес вышележащих жидкости и породы), а конвекция не развивается.
Расчеты показали, что в первые 1,4 тыс. лет отложение кварца не оказывает существенного влияния на процесс дегазации очага, описанный в работе [1]. На глубине порядка 2 км формируется линза концентрированного рассола, в верхней части которой образуется слой непроницаемых пород. Выпадение кварца в осадок происходит на значительно больших (А4 км) глубинах. Постепенно количество осажденного кварца в порах достигает критического значения, проницаемость пород уменьшается практически до нуля, вследствие чего перекрывается подток летучих компонентов из магматического очага, а линза начинает размываться конвекцией несоленой воды, насыщающей породы в области 1-3 км. Давление жидкости в высокопроводящем канале существенно превышает литостатическое. Очевидно, что такое распределение давления приведет к гидроразрыву пористых пород с образованием трещин, по которым будет осуществляться фильтрация. Для моделирования
р = ро — Рз + Рf,
^ = о:тах{(ДР-Р*), 0} , р^=0 = 0,
(2)
(3)
растрескивания пород нами, как и в работе [4], предложена модель динамической проницаемости (см. предыдущий пункт), однако ее формулировка существенно отличается от [4].
Развитие процесса с учетом эволюции пористости и проницаемости в рамках модели (2), (3) представлено на рис. 1. Через 1,4 тыс. лет после начала дегазации наблюдаются существенное накопление кварца, рост давления в канале и уменьшение потока магматического газа. Потом происходит прорыв пробки, связанный с тем, что давление превышает предел прочности пород (АР > Р*). Образование трещин приводит к возрастанию пористости и проницаемости, а летучие компоненты распространяются вверх по каналу. Далее, кварц начинает выпадать выше, чем на предыдущем цикле, и течение снова замедляется. После череды закупорок и прорывов практически весь канал оказывается заполненным кварцем, его проницаемость уменьшается и становится более однородной, происходит медленная фильтрация магматического раствора во всем канале.
Рис. 1. Отношение проницаемости породы к проницаемости в начальный момент времени (к/ко) и изолинии давления в моменты времени 9,8; 10,2; 11,6; 11,8 и 161,1 тыс. лет с момента начала дегазации магмы
Каждый прорыв кварцевой пробки сопровождается резким падением давления, а закупорка — его восстановлением. На рис. 2 показана эволюция давления в двух точках, одна из которых находится выше кварцевой пробки, а другая — ниже. Видно, что начиная примерно с 5 тыс. лет давление под пробкой быстро поднимается в момент закупоривания, а затем, после прорыва пробки, опускается до прежнего значения. На поздних стадиях процесса давление меняется медленно.
При прорыве кварцевых пробок горячая жидкость устремляется вверх по высокопроницаемому каналу. Это сопровождается интенсивным испарением и ростом размера линзы концентрированного рассола. Когда канал перекрывается новой пробкой, приток жидкости ослабевает, линза остывает и под действием силы тяжести опускается вниз и размывается за счет геотермальной конвекции в приповерхностной области. Сравнение концентрации соли в смеси без учета и с учетом осаждения кварца представлено на рис. 3, а и б соответственно. Когда весь высокопроницаемый канал закупоривается кварцем, линза размывается за счет конвекции пресной воды и соленость значительно уменьшается.
Рис. 2. Давление в жидкости в точках, расположенных на глубине 4 и 3 км (сплошная и пунктирная линия) на расстоянии 100 м от оси г = 0
Рис. 3. Сравнение концентрации рассола енан в породах в моменты времени 10; 10,8; 11,6; 12,4 и 70 тыс. лет с момента начала дегазации магмы: а — результаты расчета без учета осаждения оксида кремния,
б — с учетом осаждения
Таким образом, в результате эволюции системы возникает область с большим объемом кварцевой минерализации, состоящая из иерархии разновозрастных трещин, заполненных кварцем. Подобные системы кварцевых жил часто наблюдаются при разработке медных месторождений геотермального происхождения [5].
Заключение. В работе построена и исследована численная модель фильтрационного течения, возникающего при дегазации магматического очага, с учетом транспорта и осаждения примеси кварца и прорыва магматического газа к поверхности из-за гидроразрыва закупоренных пород. Показано, что осаждение кварца перекрывает поток магматических газов к поверхности, приводя к уменьшению линзы концентрированного раствора соли над очагом. Поток восстанавливается, когда давление превышает предел прочности пород, вместе с ним растет и линза. Продемонстрировано, что процесс формирования линзы происходит периодически: интервалы времени, связанные с закупоркой пор кварцем, чередуются с периодами развития трещин гидроразрыва. На достаточно длительных временах это не приводит к качественной перестройке процесса, смоделированного нами ранее без учета отложения кварца. Линза образуется на той же глубине, однако ее размеры и соленость существенно меньше, чем в случае течения чистого раствора соли.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 16-17-10199).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Афанасьев А.А., Мельник О.Э. Численное моделирование формирования линзы концентрированного рассола при дегазации магматического очага // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2017. № 3. 88-95.
2. Afanasyev A. Reservoir simulation with MUFITS code: Extension for double porosity reservoirs and flows in horizontal wells // Energy Proc. 2017. 125. 596-603.
3. Akinfiev N.N., Diamond L.W. A simple predictive model of quartz solubility in water-salt-CO2 systems at temperatures up to 1000oC and pressures up to 1000 MPa // Geochim. et Cosmochim. Acta. 2009. 73. 15971608.
4. Weis P. The dynamic interplay between saline fluid flow and rock permeability in magmatic-hydrothermal systems // Geofluids. 2015. 15. 350-371.
5. Sillitoe R. Porphyry copper systems // Econ. geol. 2010. 105, N 1. 3-41.
Поступила в редакцию 22.11.2017
УДК 531.382
ПРОГРАММНЫЕ СТРАТЕГИИ ТЕСТИРОВАНИЯ КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ ЛИНИЕЙ ВИЗИРОВАНИЯ ПО ВИДЕОИЗОБРАЖЕНИЮ
В. В. Латонов1
Приводится решение частного случая игровой задачи, поставленной в предыдущей работе. В качестве модели подвижного основания используется расширенная модель машины Дубинса. Представлены условие существования седловой точки и метод ее нахождения, а также способ определения стратегий и траекторий игроков.
Ключевые слова: линия визирования, наведение, дифференциальные игры, множество достижимости, программные стратегии, седловая точка.
A particular case of the game problem formulated in the previous paper is considered. As a model of the moving platform, we use an extended model of the Dubins car. An existence condition for a saddle point and a method of its finding are proposed. A method of determining the strategies and trajectories of players is discussed.
Key words: line of sight, targeting, differential games, reachable set, program strategies, saddle point.
1. Введение. В работе [1] изложены общая физическая и математическая постановки задачи тестирования качества наведения линии визирования на цель. В задаче рассматривается подвижное основание, на котором закреплены камера и монитор. На монитор поступает изображение с камеры, поверх этого изображения рисуется маркер — точка, которой управляет оператор. Оператор пытается свести линию визирования маркера с линией визирования цели, неподвижной в инерциальном пространстве.
В настоящей работе в качестве модели подвижного основания используется расширенная модель машины Дубинса [2]. Рассматривается игра на конечном временном отрезке, тестирование проводится в программных стратегиях. Тестирование оператора в задаче выполняется с помощью динамического стенда. Во время тестирования оператор пользуется изображением виртуальной цели на мониторе, установленном на подвижной части стенда перед лицом оператора.
2. Математическая постановка задачи. Обозначим через С точку, связанную с основанием. Рассмотрим случай, когда цель неподвижна и расположена бесконечно далеко от основания. В этом случае линейные перемещения основания не влияют на направление ее линии визирования. Введем следующие системы координат: СС1С2С3 — опорная система отсчета, не совершающая вращательных
1 Латонов Василий Васильевич — асп. каф. прикладной механики и управления мех-мат. ф-та МГУ, e-mail: WLatonov@gmail.com.
