О влиянии агрегатов на магнитофорез и диффузию частиц в магнитной жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Физика Вып. 1 (38)

УДК 537.84

О влиянии агрегатов на магнитофорез и диффузию частиц в магнитной жидкости

А. С. Иванов, А. Ф. Пшеничников

Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Акад. Королёва, 1

Экспериментально и теоретически исследовано пространственное распределение коллоидных частиц в магнитной жидкости, формирующееся под действием магнитофореза и градиентной диффузии в сильных магнитных полях. Анализ экспериментальных данных показывает, что присутствующие в растворе агрегаты сильно изменяют профиль концентрации, делая его нелинейным даже на небольших (порядка 2 мм) расстояниях. Обсуждаются теоретические модели, описывающие равновесные профили концентрации частиц с учетом цепочечных и ква-зисферических агрегатов. Хорошее согласие между экспериментальными и теоретическими кривыми наблюдается, если допустить, что агрегаты состоят в среднем из 40-50 частиц.

Ключевые слова: магнитные жидкости, магнитофорез, диффузия, межчастичные взаимодействия, агрегаты, цепочки.

1. Введение

Известно, что сильное изменение магнитных [1-7] и реологических [2, 8-11] свойств магнитной жидкости, наблюдаемое экспериментально, обычно связывают с наличием наноскопических агрегатов, формирующихся под действием магнитоди-польных и Ван-дер-Ваальсовых сил. Согласно экспериментальным результатам [2, 4, 5, 9], компьютерному моделированию [11-14] и аналитическим вычислениям [15, 16], можно сделать вывод, что в концентрированных растворах преобладают квазисферические агрегаты, а в разбавленных - агрегаты в виде цепочек. Единственной причиной появления цепочечных агрегатов служат анизотропные магнитодипольные взаимодействия. Влияние магнитодипольных взаимодействий становится существенным, когда безразмерная константа спаривания (отношение энергии диполь-дипольного взаимодействия к энергии теплового движения) превышает две единицы. Квазисфери-ческие агрегаты формируются под действием анизотропных магнитодипольных и Ван-дер-

Ваальсовых взаимодействий. Согласно [2, 5], основной причиной возникновения квазисфериче-ских агрегатов в магнитных жидкостях типа “магнетит - олеиновая кислота - керосин” являются дефекты в защитных оболочках коллоидных частиц. Такие агрегаты существенно влияют на динамические процессы в растворах: они многократно увеличивают время релаксации намагниченности и уменьшают коэффициент диффузии частиц. Так

как наноскопические агрегаты не видны в оптический микроскоп, информацию об их форме, размерах и количестве можно получить только косвенным путем, обрабатывая результаты реологических, магнитных или диффузионных измерений. Каждый из этих методов имеет свои достоинства и недостатки. В частности, определение размеров агрегатов по экспериментальным значениям коэффициентов диффузии является одним из немногих способов, исключающих механические возмущения в исследуемом образце. Основным недостатком диффузионных методов является их невысокая точность, обусловленная слабой зависимостью коэффициента диффузии от размеров частиц (агрегатов) и высокой погрешностью измерений. В последнее время были проведены исследования диффузионных процессов, направленные на изучение структуры агрегатов [2, 17, 18], оценку вклада магнитодипольных взаимодействий в расслоение магнитных жидкостей [19] и определение коэффициентов Соре [20-22].

Целью настоящей работы является получение дополнительной информации о размерах агрегатов в магнитных жидкостях и оценка их влияния на магнитофорез и диффузию коллоидных частиц. Используется метод, основанный на анализе пространственного распределения частиц внутри измерительной ячейки, помещенной в градиентное магнитное поле. Причиной концентрационного расслоения магнитной жидкости является магни-тофорез - движение частиц под действием градиентного магнитного поля. Единственным механиз-

© А. С. Иванов, А. Ф. Пшеничников, 2010

мом, выравнивающим концентрацию частиц в образце, является градиентная диффузия. Равновесное распределение частиц внутри образца жидкости достигается в результате этих конкурирующих процессов и не зависит от кинетических коэффициентов, включая подвижность частиц. В этом случае интерпретация экспериментальных результатов оказывается более надежной. Более того, равновесное распределение частиц зависит от числа частиц в агрегате и не зависит от формы агрегата, что позволяет подсчитать общее количество агрегатов вне зависимости от их формы.

2. Теоретическая часть

2.1. Равновесное распределение частиц в разбавленных растворах

В случае разбавленных магнитных жидкостей, когда объемная доля частиц ф << 1, межчастичные взаимодействия (стерические, магнитодипольные и гидродинамические) слабы, и равновесное распределение частиц можно описать аналитически. Решение задачи упрощается, так как все поля являются потенциальными, а границы полости непроницаемые. В этом случае состояние системы термодинамически равновесное (потоки массы, энергии и импульса отсутствуют), и расслоение жидкости описывается распределением Больцмана. Потенциальная энергия и однодоменной частицы равна

и = ~И0шИ(х, У,2)соє$--АрУ g(2соєа + хєіпа) ,

(2.1)

а плотность распределения

/(г,в) =Аехр| -

и (г,в) кТ

(2.2)

Здесь в - угол между магнитным моментом т и напряженностью поля Н, Ар - разность плотностей твердого ядра частиц и жидкости носителя, V - объем твердого ядра частицы, а - угол между осью ъ и вектором силы тяжести g, который располагается в плоскости х02. Последний член в уравнении (2. 1) описывает действие архимедовой силы. Числовую плотность частиц в произвольной точке пространства можно вычислить, усреднив (2.2) по ориентациям магнитного момента:

п(х, У, 2) = А

т

ехр

и

2 соє а + х єіп а

)], (2.3)

О = Ар7^ / (кТ) - гравитационный параметр (обратная высота барометрического распределения). Константу нормировки А можно определить через

среднюю концентрацию твердой фазы ф частиц

внутри образца. В этом случае локальная концентрация частиц ф описывается уравнением

ф=ф

т

>и

ехр и(2 соє а + х єіп а

)]

1 єИ £ г

— I -----ехрІО(2соєа + хєіпа)IсЫ

КК £

(2.4)

где параметр Ланжевена £ = шИ / (кТ) считается известной функцией координат, а

В пределе слабых магнитных полей (£ << 1) уравнение (2.4) совпадает с барометрической форму*

лой. В случае сильных полей (£ >> 1, 02 << 1,

2 - характерный размер полости) распределение частиц также близко к барометрическому, если градиент напряженности магнитного поля дБ / д2 незначительно меняется в границах полости. Основное ограничение формулы (2.4) - пренебрежение межчастичными взаимодействиями, поэтому ее нельзя использовать в случае сильно концентрированных растворов, включая ситуацию, когда высокая концентрация частиц достигается лишь в некоторой части полости. Уравнение (2.4) справедливо только для равновесных систем. Оно не содержит кинетических коэффициентов и применимо для полостей любой геометрии (включая пространственные задачи) и для произвольной конфигурации магнитного поля.

2.2. Учет полидисперсности частиц

Для учета полидисперсности коллоидных частиц можно снова воспользоваться уравнением (2.4), написав его для каждой фракции отдельно и просуммировав левые и правые части полученных уравнений. Проделаем эти вычисления, принимая во внимание условия проводившегося эксперимента. Эти условия можно охарактеризовать двумя малыми безразмерными параметрами: произведением гравитационного параметра на толщину

ячейки Оа и 10 3 и относительным изменением напряженности магнитного поля внутри измери-

_2

тельной ячейки АН / Н0 < 2 -10 . Принимая во

внимание малость этих параметров, влиянием гравитации можно пренебречь и среднее значение функции «И(£)/ £ в знаменателе заменить значением в средней точке ячейки. После сделанных упрощений в уравнении (2.4) вклад отдельной фракции в локальную концентрацию частиц будет равен

dф = dф £-£, dф =—х3/(x)dx, (2.5)

£ «и £0 6

где £0 - параметр Ланжевена, определенный через

напряженность поля H0 в центре ячейки, dф -

вклад отдельной фракции в среднюю объемную концентрацию, x - диаметр магнитного ядра частицы, /(x) - функция распределения частиц по размерам в начальный момент времени, когда распределение частиц по полости однородное. Согласно [24], в качестве функции /(\) можно использовать Г -распределение:

Дх) =

(х/х) ехр(-х/х) х Г(а+1)

(2.6)

где Г(а + 1) - гамма-функция. При этом к-й момент по х может быть вычислен с использованием параметров распределения х0 и а по формуле

< х >=хк(а + 1)(а + 2)....(а + к). Угловые скобки

означают усреднение по ансамблю частиц. Вводя новую переменную интегрирования у = х/х0, напишем уравнения для концентрационного поля в разбавленных растворах:

Ф=-

И0 у а+з

И о єИ

У ехр(-у)Су

(а + 1)(а + 1)(а + 1)Г (а +1)

І0 =-^ х0И0У', £=£И / И0

6кТ

(2.7)

(2.8)

Уравнение (2.7) является приближенным в той степени, в какой можно пренебречь разностью между концентрацией в средней точке ячейки и средней концентрацией частиц в образце. В пределе а >> 1 из (2.7) можно получить приближенное выражение для распределения частиц в монодис-персной жидкости

ф =ф

И єИ £0

(2.9)

2.3. Учет влияния агрегатов

В сильноразбавленных растворах стерические, магнитодипольные и гидродинамические межчас-тичные взаимодействия слабо влияют на физические свойства раствора. Тем не менее потенциально магнитодипольные и Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия могут привести к появлению агрегатов, для которых процессы магнитофореза и диффузии протекают иначе, нежели для одиночных частиц. Как показано в работах [2, 8, 11], влияние агрегатов на диффузионные процессы и реологию магнитных жидкостей может быть описано в рамках простой двухфракционной модели. Первая фракция состоит из отдельных однодоменных частиц, вторая фракция - из агрегатов, включающих в себя от нескольких частиц до несколь-

ких десятков частиц. В рамках такого приближения распределением частиц по размерам пренебрегают. Воспользуемся этой моделью для описания пространственного распределения цепочечных и квазисферических агрегатов в измерительной ячейке.

Цепочки появляются в магнитных жидкостях благодаря анизотропным магнитодипольным взаимодействиям, если константа спаривания становится достаточно большой (Х> 2) [13-16]. В условиях проводившихся экспериментов среднее значение параметра X варьировалось в диапазоне 0.5-0.7, поэтому образование многочисленных цепочечных агрегатов в нулевом магнитном поле маловероятно. Тем не менее включение сильного магнитного поля и наличие частиц, чей диаметр значительно превышает средний диаметр одиночных частиц, увеличивают вероятность образования цепочечных агрегатов, поэтому полностью исключить их существование в жидкости нельзя.

Следуя [27], представим цепочки в виде жестких стержней, состоящих в среднем из N частиц, ориентированных вдоль внешнего магнитного поля. Каждая цепочка обладает полным магнитным моментом Nm и движется как единое целое. Внутри цепочки магнитные моменты частиц ориентированы по типу “голова-хвост” и общий момент цепочки ориентирован вдоль внешнего магнитного поля. В сильных магнитных полях такая ориентация агрегатов обеспечивает глубокий минимум потенциальной энергии цепочки, и ориентационные флуктуации оси цепочки подавляются. Энергия цепочки в магнитном поле равна _^0 NmH, и вероятность нахождения цепочки в произвольной точке пространства определяется больцмановским множителем. Таким образом, в рамках двухфракционной модели (одиночные частицы + цепочки) пространственное распределение магнитной фазы описывается уравнением

єЬ(£)

Ф=С ——+С ехр(Ы£), 1 I

(2.10)

где £ - параметр Ланжевена, вычисленный для среднего магнитного момента. Константы Сь С2 определяют объемную долю одиночных (ф) и агрегированных (ф) частиц. Константы связаны уравнениями нормировки:

С ^ *=ф,

7 7 £

С

— О ехр(Ж£)Су=ф2, V V

К +Ф2 =Ф

(2.11)

Рассмотрим теперь простую модель квазисфе-рического агрегата, предполагая, что он состоит из большого количества N одиночных однодоменных частиц. Вследствие большого числа частиц в агрегате важную роль начинают играть взаимодействия магнитных моментов частиц. Такие взаимодействия увеличивают намагниченность агрегата и могут быть учтены в рамках модели модифицированного поля [24-26]. Кроме того, на частицы внутри агрегата действует размагничивающее поле, которое уменьшает намагниченность агрегата на величину того же порядка, что и добавочный член, характеризующий магнитодипольные взаимодействия. Для квазисферического агрегата эти два противоположных эффекта почти полностью компенсируют друг друга. Для приближенного описания магнитофореза в этом случае достаточно учесть только взаимодействие частиц с внешним полем. Тогда средний вклад каждой частицы в суммарный магнитный момент агрегата будет равен шЬ(£), и сила, действующая на агрегат в однородном магнитном поле, будет в N раз больше, чем в случае одиночной частицы:

F = ц0 mNL(I)VH.

(2.12)

Эта сила обуславливает направленное движение агрегатов (магнитофорез), плотность потока которого равна \2=п2Ь2Р (п2, й2 - числовая плотность и подвижность агрегатов соответственно). Противоположно направленный поток частиц ^ =-_02Уп2 =-Ь2кТУп2 обусловлен градиентной

диффузией (Д2 - коэффициент диффузии кластеров). Суммарный поток агрегатов можно представить в следующем виде:

j= b2kT [n2NL(|)V|-Vn2 ]. (2.13)

J

В условиях термодинамического равновесия правая часть уравнения (2.13) равна нулю, поэтому

sh(|)

ln(n9) = N ln(-----)+const.

2 I

Таким образом, когда квазисферические агрегаты доминируют в магнитной жидкости, уравнение равновесного распределения магнитной фазы внутри полости (учитывая одиночные частицы) отличается от (2.11) во втором члене правой части и в условии нормировки для C2:

с

sh(|)

sh(|)

sh(|)

dv=а

(2.14)

3. Экспериментальная часть

Эксперименты проводились с тонкими (0.02 -0.2 мм) слоями магнитной жидкости, помещенными в неоднородное магнитное поле. Средняя напряженность магнитного поля 9.47-104 А/м, а градиент напряженности равен 2.96-106 А/м2. Использовалось четыре образца жидкости типа “магнетит - олеиновая кислота - керосин”, приготовленные стандартным методом химического осаждения. Объемная концентрация твердой фазы жидкостей варьировалась от 2 до 5%. Был использован оптический метод измерения концентрационного расслоения жидкостей, описанный ранее в [28], т. к. этот способ позволяет аккуратно проследить за процессом расслоения жидкости в течение длительного времени без прерывания опыта. Для исследования магнитодиффузионных процессов образцы помещались в экспериментальную установку на время от 10 до 15 дней. В первый день измерения проводились в течение 8 ч каждые 40 мин, далее 1 раз в сутки. Типичное семейство концентрационных профилей для одного из образцов приведено на рис. 1.

0026 + + » 1

0.024 -

-&■ 0.022 -

0.020 -

0.018

-I---1-----1--1----1----1---1---1----1----1

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

г, мм

Рис. 1. Распределение твердой фазы по длине ячейки для различных моментов времени. Кривая 1 — t = 0, 2 - 40 мин, 3 -24 ч, 4 - 2 недели (4)

В конце опыта профиль концентрации переставал изменяться, что означало достижение термодинамического равновесия. Типичный пример равновесного распределения магнетита в измерительной ячейке показан на рис. 2 для образца со средней объемной концентрацией 0.0231 и средним магнитным моментом частиц 2.140-19 А-м2. Несмотря на малые размеры измерительной ячейки, на графике отчетливо виден характерный нелинейный профиль концентрации, типичный для всех опытов. Для проверки описанных ранее теоретических моделей была проведена серия опытов с образцами магнитных жидкостей, различающихся между со-

N

2

I

бой средним диаметром частиц и шириной распределения частиц по размерам. Параметры распределения и средний диаметр частиц определялись по данным магнитогранулометрического анализа, подробно описанным в [24]. Экспериментальные результаты сопоставлялись с предсказаниями теоретических моделей. Основное внимание уделялось среднему наклону и кривизне профилей концентрации. Теоретическая кривая ф(2) на рис. 2

построена по формуле (2.9) в предположении, что магнитный момент частицы равен среднему магнитному моменту частиц в образце. Дополнительные подгоночные параметры не использовались. Как видно из рис. 2 (кривая 1), монодисперсная модель без учета агрегатов не соответствует эксперименту: она предсказывает почти линейный профиль концентрации и трехкратно заниженный средний градиент концентрации.

Нелинейность кривой ф(2) может наблюдаться только в том случае, когда размер ячейки сопоста-

*

вим с характерной высотой 2 “барометрическо-

го” распределения (2.9): параметр Ланжевена должен измениться хотя бы на единицу в результате изменения напряженности магнитного поля. Это означает, что

кТ

ҐдИЛ

Яо т

Уд2 у

(3.1)

Линейность профиля концентрации, вычисленного по (2.9), означает, что длина ячейки мала по срав-

*

нению с характерной высотой 2 . Это обстоятельство оправдывает использование приближенной нормировки в (2.9). В результате небольшой погрешности вычислений константы нормировки средняя концентрация частиц, вычисленная по

(2.9), немного меньше, чем в эксперименте. Если приближенную формулу (2.9) заменить более точной формулой (2.4), этот незначительный дефект исчезает, однако общая ситуация не меняется.

Кривая 2 на рис. 2 построена по формуле (2.7) с параметрами распределения, определенными из магнитогранулометрического анализа. Эта формула предсказывает уже правильный наклон ф(2) (кривая 2 на рис. 2), однако по-прежнему не объясняет нелинейность экспериментального профиля концентрации. Магнитные моменты отдельных (даже очень больших) частиц слишком малы, чтобы нелинейность кривой ф(2) проявилась в масштабах измерительной ячейки. Чтобы получить нелинейный концентрационный профиль, необходимо увеличить магнитный момент в знаменателе

(2.9) (в параметре Ланжевена) на один - два порядка. Такое увеличение магнитных моментов может объясняться только наличием агрегатов. Это означает, что учет агрегатов необходим для точного описания экспериментальных результатов.

Вычисления, проведенные согласно (2.10),

(2.14), подтверждают эти выводы. Для построения кривой ф(2) одна из констант в (2.10), средний магнитный момент одиночной частицы и среднее число частиц в агрегате использовались в качестве подгоночных параметров, т. к. независимая информация о количестве и размерах агрегатов отсутствовала. Подгоночные параметры вычислялись по методу наименьших квадратов.

Рис. 2. Равновесное распределение частиц вдоль ячейки в градиентном магнитном поле. Кривая 1 соответствует формуле (2.9), 2 - (2.7), 3 - (2.10). Точки - эксперимент

Вторая константа в (2.10) и средняя объемная доля одиночных (й) и агрегированных (й) частиц определялись из условия нормировки (2.11). Вычисления показали, что уравнения (2.10) и (2.14) с одинаковой точностью аппроксимируют экспериментальные результаты (рис. 2). Различие между ними настолько мало, что на рис. 2 они неразличимы. На графике в качестве примера приведена кривая 3, соответствующая формуле (2.10). Значения парциальных констант и среднее число частиц в агрегате приведены в табл. 1.

Средний магнитный момент одиночной частицы из табл. 1 совпадает с результатом магнитогранулометрического анализа (2.1-1019 А-м2) в пределах погрешности измерений. Это обстоятельство можно рассматривать как косвенное подтверждение справедливости сделанных ранее предположений. Обе формулы предсказывают одинаковое по порядку величины среднее число частиц в агрегате и малую долю агрегированных частиц (менее 3%). Тем не менее даже такое малое количество агрегатов может сильно изменить равновесное распределение частиц в измерительной ячейке.

1

= <

2

Таблица 1. Параметры частиц и агрегатов, вычисленные по формулам (2.10), (2.14)

Формула Магнитный момент <т>, 10-19 А-м2 N ф2

(2.10) 2.2 40 0.00061

(2.14) 2.2 47 0.00057

Результаты, приведенные в табл. 1, были получены из анализа равновесных профилей концентрации и не позволяют выбрать преобладающий тип агрегатов. Теоретические модели, основанные на преобладании цепочечных или квазисфериче-ских агрегатов, предсказывают близкие результаты. Остается открытым вопрос о возможности появления длинных цепочечных агрегатов. Длинные цепочки не возникают в нулевом внешнем магнитном поле: они либо разрушаются на более мелкие фрагменты под действием теплового движения, либо трансформируются в компактные глобулы, аналогичные сферическим агрегатам [12]. Согласно результатам [5], полученным из анализа динамической восприимчивости в нулевом внешнем поле, в жидкостях типа “магнетит - олеиновая кислота - керосин” преобладают квазисферические агрегаты со средним диаметром 60 - 90 нм. Если предположить, что частицы внутри такого агрегата расположены в произвольном порядке (с коэффициентом упаковки 0.6), то среднее число частиц в агрегате будет N = 43-65, что хорошо согласуется с результатами в таблице. Тем не менее в условиях проводившихся экспериментов магнитное поле

достаточно сильное (параметр Ланжевена £о > 6)

поэтому мы не можем исключить полностью появление цепочечных агрегатов.

Помимо анализа равновесного распределения частиц, особый интерес представляет изучение динамических параметров, характеризующих весь процесс расслоения жидкости в целом. В качестве таких параметров могут выступать коэффициент диффузии и подвижность частиц, однако в поставленном эксперименте прямые измерения этих величин не были предусмотрены. В качестве параметров, характеризующих динамическое состояние жидкости, были выбраны времена релаксации линейной и нелинейной составляющих в профиле концентрации. С этой целью пространственная зависимость концентрации представлялась в виде ряда по полиномам Лежандра

ф (2, г) = <ф>+\ (Г )Р (2 ) + &2 (/ )Р (2). (3.2)

Представление экспериментальных результатов в виде ряда (3.1) имеет то известное преимущество, что обеспечивает минимум среднеквадратичной невязки и не меняет ранее вычисленные коэффициенты при добавлении в сумму новых слагаемых. Коэффициент к1 перед линейным членом тождествен по смыслу с пространственным наклоном про-

филя концентрации и характеризует общий перепад концентрации жидкости на границах ячейки. Коэффициент к2 перед вторым полиномом Лежандра характеризует кривизну профиля концентрации. Вычислив эти коэффициенты для каждого образца в те моменты времени, когда измерялся профиль концентрации, можно построить соответствующие графики. Типичная зависимость коэффициента к1 от времени для одного из образцов жидкости показана на рис. 3.

г, мин

Рис. 3. Коэффициент к1 в зависимости от времени. Точки - эксперимент, сплошная линия - аппроксимация суммой экспонент (3.2)

Имея в виду релаксационный характер установления термодинамического равновесия в ячейке, зависимость коэффициентов к1 и к1 от времени удобнее всего аппроксимировать суммой затухающих экспонент. Формула (3.3) демонстрирует вид этой суммы для к1 - среднего перепада концентраций по длине ячейки:

к (г) = А (1 - Ае г/Т - Ае г).

(3.3)

Эта аппроксимация предполагает наличие двух характерных времен т и ^, соответствующих процессам магнитофореза одиночных частиц и кластеров. Весовые коэффициенты перед экспонентами связаны условием нормировки А1+А2 = 1, отражающим отсутствие возмущений в начальный момент времени. Аппроксимация, аналогичная (3.3), использовалась и для квадратичного коэффициента к2. Полученные значения для времен т и ^, вычисленные для обоих коэффициентов, приведены в табл. 2. Найденные характерные времена позволяют оценить размеры мигрирующих частиц. Если считать, что процесс установления равновесия в системе лимитируется диффузией частиц, то характерное время т = И2/(ж2В), где Б - коэффициент диффузии. Так как в эксперименте использовались

слабо концентрированные жидкости, то хорошим приближением для коэффициента диффузии можно считать эйнштейновское значение

В0=кТ/(3кцё).

Таблица 2. Времена т и у для одного из образцов магнитной жидкости

Время k(t) k2(t)

т, мин 108 124

щ, мин 285 520

Здесь п - динамическая вязкость керосина, И -длина экспериментальной ячейки, к - постоянная Больцмана, Т - температура. Объединяя выражения для времени релаксации и коэффициента диффузии, получаем оценку эффективного диаметра диффундирующих частиц:

d :

пкТт

2

(3.4)

Вычисленный по (3.4) характерный диаметр частиц (4.5 нм) совпадает с диаметром одиночных частиц, определенным по магнитогранулометрическому анализу (14.5 нм) только по порядку величины. Численное расхождение в три раза можно объяснить тем, что на начальной стадии процесса его скорость определяется, главным образом, дрейфом частиц в неоднородном поле, а процессы диффузии играют второстепенную роль. С течением времени ситуация изменяется в нужную сторону: роль магнитофореза уменьшается, а роль диффузии возрастает. Поэтому подстановка в (3.4) вместо т второго времени ц дает уже результат, близкий к данным гранулометрического анализа (d = 11,9 нм). Тем не менее для корректного описания динамики процесса и более точного определения коэффициента диффузии необходимо, по-видимому, решать динамическое диффузионное уравнение с учетом магнитофореза и межчастич-ных взаимодействий.

Работа выполнена в рамках программы ОЭМ-МПУ РАН «Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил» и при поддержке РФФИ (проект № 07-02-96015).

Список литературы

1. Бибик Е. Е. Применение магнитных измерений в исследовании физико-химических и технологических свойств дисперсных систем // Журн. прикл. хим. 1970. Т. 43. С. 587-592.

2. Buzmakov V. M, Pshenichnikov A. F. On the structure of microaggregates in magnetite colloids //J. Col. Int. Sci. 1996. Vol. 182. P. 63-70.

3. Пшеничников A. Ф., Лебедев А. В. Дисперсия магнитной восприимчивости магнитных коллоидов // Журн. эксперимент. и теор. физ. 1989. Т. 95, № 3. С. 869-876.

4. Pshenichnikov A. F., Fedorenko A. A. Chain-like aggregates in magnetic fluids // J. Magn. Magn. Mater. 2005. Vol. 68. P. 332-344.

5. Лахтина Е. В., Пшеничников А. Ф. Дисперсия магнитной восприимчивости и микроструктура магнитного поля // Коллоид. журн. 2006. Т. 68, № 3. С. 294-303.

6. Klokkenburg M., Erne B., Mendelev V., Ivanov A. Magnetization behavior of ferrofluids with cryo-genically imaged dipolar chains // J. Phys.: Cond. Matt. 2008. Vol. 20, 204113 [5pp].

7. Rasa M., Bica D., Phillipse A., Vekas L. Concentrated magnetic fluids on short chain length organic carriers // Eur. Phys. J. 2002. Vol. 7. P. 209-221.

8. Бузмаков В.М., Пшеничников А.Ф. О концентрационной зависимости вязкости магнитных жидкостей // Магнитная гидродинамика. 1991. № 1. С. 18-22.

9. Gazeau F., Baravian C., Bacri J.-C., Perzynski R., Shliomis M.I. Energy conversion in ferrofluids: magnetic nanoparticles as motors of generators // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 56. P. 614-618.

10. Odenbach S., Raj K. The influence of large particles and agglomerates on the magnetoviscous effect in ferrofluids // Magnetohydrodynamics. 2000. Vol. 36, N 4. P. 379-386.

11. Zubarev A.Yu., Odenbach S., Fleischer J. Rheo-logical properties of dense ferrofluids. Effect of chain-like aggregates // J. Magn. Magn. Mater. 2002. Vol. 252. P. 241-243.

12. Morozov K.I., Shliomis M.I. Ferrofluids: flexibility of magnetic particle chains // J. Phys.: Cond. Matt. 2004. Vol. 16, 3807 [11pp].

13. Mendelev V.S., Ivanov A.O. Ferrofluid aggregation in chains under the influence of a magnetic field // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70, 051502 [10pp].

14. Mendelev V.S., Ivanov A.O. Magnetic properties of ferrofluids: an influence of chain aggregates // J. Magn. Magn. Mater. 2005. Vol. 289. P. 211-214.

15. Пшеничников А. Ф., Мехоношин В. В. Фазовое расслоение дипольных систем: численное моделирование // Журн. эксперимент. и теор. физ. 2000. Т. 72, № 4. С. 261-266.

16. Pshenichnikov A.F., Mekhonoshin V.V. Cluster structure and the first-order phase transition in dipolar systems // Eur. Phys. J. 2001. Vol. 6. P. 399407.

17. Дроздова В. И., Чеканов В. В. Диффузия частиц в феррожидкости в магнитном поле // Магнитная гидродинамика. 1981. № 1. С. 61-65.

18. Бузмаков В. М., Пшеничников А. Ф. Измерение коэффициентов диффузии и анализ дисперсного состава магнитных коллоидов // Там же. 1986. № 4. С. 23-28.

19. Bacri J.-C., Cebers A., Bourdon A., et al. Forced Rayleigh Experiment in a magnetic fluid // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74, N 25. P. 5032-5035.

20. Bacri J.-C., Cebers A., Bourdon A., et al. Transient grating in a ferrofluid under magnetic field: Effect of magnetic interactions on the diffusion coefficient of translation // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 52, N4. P. 3936-3942.

21. Blums E., Mezulis A., Maiorov M., Kronkals G. Thermal diffusion of magnetic nanoparticles in fer-rocolloids: experiments on particle separation in vertical columns // J. Magn. Magn. Mater. 1997. Vol. 69, N 1. P. 220-228.

22. Blums E., Odenbach S., Mezulis A., Maiorov M. Magnetic Soret effect in a hydrocarbon based colloid containing surfacted Mn-Zn ferrite particles // J. Magn. Magn. Mater. 1999. Vol. 201, N 2. P. 268-270.

23. Bashtovoi V. G., Polevikov V. K., et. al. Influence of Brownian diffusion on the statics of magnetic fluid // Magnetohydrodynamics. 2007. Vol. 43, N 1. P. 17-25.

24. Pshenichnikov A.F., Mekhonoshin V.V., Lebedev A.V. Magneto-granulometric analysis of concentrated ferrocolloids // J. Magn. Magn. Mater. 1996. Vol. 161, N 1. P. 94-102.

25. Ivanov A. O., Zubarev A. Yu. Internal structure of colloidal aggregates // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64, 0414403 [5pp].

26. Ivanov A.O., Kantorovich S. S., Reznikov E. N. et. al. Magnetic properties of polydisperse ferrofluids: A critical comparison between experiment, theory, and computer simulation // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 75, 061405 [12pp].

27. Зубарев А. Ю. Реологические свойства поли-дисперсных магнитных жидкостей. Влияние цепочечных агрегатов // Журн. эксперимент. и теор. физ. 2001. Т. 120. С. 94-103.

28. Иванов А.С., Пшеничников А. Ф. Расслоение магнитной жидкости в градиентном магнитном поле // Вестн. Перм. ун-та. 2009. Вып. 1. Физика. С. 45-48.

About the influence of aggregates on magneto-ph oresis and diffusion of particles in magnetic fluids

A. S. Ivanov, A. F. Pshenichnikov

Institute of Continuous Media Mechanics Ural Branch of Russian Academy of Science, Korolyeva St., 1, 614013, Perm

Experimental and theoretical investigations were carried out to experience the spatial distribution of colloidal particles in the magnetic fluids, formed under the influence of magnetophoresis and gradient diffusion in the strong magnetic fields. The analysis of the experimental data showed, that the aggregates in the colloid essentially change the concentration profile, making it nonlinear even at short (2 mm) ranges. Several theoretical models, describing equilibrium concentration profiles with taking rigid chain-like and quasispherical aggregates into consideration, are discussed. The good coincidence between the experimental and theoretical curves is observed, when assumed, that aggregates contain on average 40-50 particles.

Keywords: magnetic fluids, magnetophoresis, diffusion, interparticle interactions, aggregates, chains.