CC BY
7
УДК 51 (091)
https://doi.org/10.24412/2226-2296-2023-3-4-44-54
0 вкладе отечественных математиков
в развитие нелинейного функционального анализа (1920-1960-е годы)*
Богатов Е.М.1' 2
1 Филиал Национального исследовательского технологического университета «МИСИС» в г. Губкине Белгородской области, 309186, г. Губкин, Россия
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4897-0394, E-mail: embogatov@inbox.ru
2 Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) Национального исследовательского технологического университета «МИСИС», 309516, г. Старый Оскол, Россия
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4897-0394, E-mail: embogatov@inbox.ru
Резюме: В статье рассмотрены: развитие вариационного исчисления в целом, которое исторически началось в нашей стране; теория полуупорядоченных пространств; метод неподвижной точки; теория конусов и теоретическое обоснование приближенных методов решения операторных уравнений; теория пространств Орлича; прямые методы вариационного исчисления; теория степени отображения; теория ветвления. Представлены предыстория и эволюция этих разделов. Автор поставил своей целью провести воссоздание указанной картины с акцентом на развитие качественных методов, идей и подходов к исследованию операторных уравнений.
Ключевые слова: нелинейный функциональный анализ, отечественная математика, советская математическая школа, история математики.
Для цитирования: Богатов Е.М. О вкладе отечественных математиков в развитие нелинейного функционального анализа (19201960-е годы) // История и педагогика естествознания. 2023. № 3-4. С. 44-54. D0I:10.24412/2226-2296-2023-3-4-44-54
Благодарность: Автор выражает признательность участникам общегородского семинара по истории математики, его руководителю -профессору МГУ С.С. Демидову (Москва), а также доценту В.П. Богатовой (г. Воронеж) - за внимание к работе и полезные обсуждения. Отдельную благодарность хотелось бы также выразить профессору МГУ А.В. Дмитруку (Москва) за знакомство с рукописью и конструктивные замечания.
ON THE CONTRIBUTION OF RUSSIAN MATHEMATICIANS TO THE DEVELOPMENT OF NONLINEAR FUNCTIONAL ANALYSIS (1920-1960) Bogatov Egor M.1' 2
1 Branch of National Research University of Science and Technology "MISIS" in Gubkin town of Belgorod Region, 309186, Gubkin, Russia ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4897-0394, E-mail: embogatov@inbox.ru
2 Stary Oskol Technological Institute of National Research University of Science and Technology "MISIS", 309516, Stary Oskol, Russia ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4897-0394, E-mail:embogatov@inbox.ru
Abstract: The article considers: the development of calculus of variations in general, which historically began in our country; the theory
of semi-ordered spaces; the fixed point method; the theory of cones and the theoretical justification of approximate methods for solving
operator equations; the theory of Orlich spaces; direct methods of calculus of variations; the theory of degree of mapping; the theory of
branching. The background and evolution of these sections are presented. The author set out to recreate this picture with an emphasis on
the development of qualitative methods, ideas and approaches to the study of operator equations.
Keywords: nonlinear functional analysis, russian mathematics, soviet mathematical school, history of mathematics.
For citation: Bogatov E.M. ON THE CONTRIBUTION OF RUSSIAN MATHEMATICIANS TO THE DEVELOPMENT OF NONLINEAR FUNCTIONAL
ANALYSIS (1920-1960). History and Pedagogy of Natural Science. 2023, no. 3-4, pp. 44-54.
DOI:10.24412/2226-2296-2023-3-4-44-54
Acknowledgments: The author expresses his gratitude to the participants of the city-wide seminar on the history of mathematics, its leader, Professor of Moscow State University S.S. Demidov (Moscow) and associate professor V.P. Bogatova (Voronezh) for attention to the work and useful discussions. I would also like to express special gratitude to Professor of Moscow State University A.V. Dmitruk (Moscow) for acquaintance with the manuscript and constructive comments.
* Работа представляет собой адаптированное изложение текста доклада, сделанного на семинаре МГУ по истории математики 27.03.2023 (руководитель - профессор Демидов С.С.).
Au = 0,
(1)
r sj+ro=l5
n \1 1
2 ^
1+П-Д-2 10
dr,
(2)
u (x)-J К (x, s) u (s) ds = f (x)
+J "К, (x, s) v (s) ds - X U
/
где u(x) - искомая функция, а Umn
m+n>2
x
u,v
(3)
u,v
- так называемый
интегростепенной ряд, содержащий интегралы от произведений некоторых степеней функций иV (подробности в [4]).
Введение
Предметом нелинейного функционального анализа является изучение нелинейных уравнений или систем, как правило, включающих в себя интегральные, дифференциальные или интегро-дифференциальные операторы. В общей ситуации их можно записать так:
В таком виде уравнение (3) было представлено Э. Шмидтом (1908). Его простейшим примером может служить
и (х)-(х, 5) и (э) ds = = V (х) +00^ ( х, У1, У 2 ) и2( У1У3 (у 2 ) dy1dy2.
где областью определения оператора А является абстрактное функциональное пространство Е. Ведущую роль здесь играют качественные методы, позволяющие выявить важные свойства уравнения (1) в условиях невозможности нахождения его точных или приближенных решений.
В обсуждаемой области отечественные математики достигли высоких результатов (особенно в послевоенные годы), а советская школа нелинейного функционального анализа (Л.А. Люстерник, А.Н. Тихонов, Л.В. Канторович, Л.Г. Шнирельман, М.Г. Крейн, В.В. Немыцкий, П.С. Урысон, М.А. Красносельский, М.А. Рутман, Я.Б. Рутицкий, М.М. Вай-нберг, В.А. Треногин и др.) считалась одной из сильнейших в мире и была предметом гордости наших соотечественников. Одним из косвенных признаков признания этого обстоятельства служит факт включения достижений советских математиков в обсуждаемой области в сборник материалов расширенного семинара, проведенного Центром математических исследований армии США в 1963 году [1].
Таким образом, изучение истории развития нелинейного функционального анализа и вклада отечественных ученых в период до конца 1960-х годов представляется весьма актуальным и поучительным. Дополнительным мотивом может послужить тот факт, что нелинейный функциональный анализ является сложным для изучения предметом (особенно на непрофильных факультетах), а внесение исторического измерения в его преподавание позволит упростить его понимание и усвоение. С точки зрения педагогики изучение математических сущностей (определений, формул, отношений, признаков и т.п.) в историческом разрезе превращает их из «вещей в себе» в так называемые мыслительные средства (термин введен А.В. Боровских [2]).
О развитии теории нелинейных интегральных уравнений до середины 1920-х годов как одной из важнейших предпосылок нелинейного функционального анализа
Первое нелинейное интегральное уравнение возникло в работе астронома Р. Радо (1885) в связи с его исследованиями о форме Земли. Оно имело вид [3]:
Для исследования уравнения (3) Шмидт задействовал аппарат теории Фредгольма, относящийся к линейным интегральным уравнениям, а также распространил закон Пюизе (1850) о разветвлении решений нелинейных систем уравнений на нелинейные интегральные уравнения.
В работах Ляпунова и Шмидта была реализована идея редукции нелинейного интегрального уравнения относительно функции и в бесконечномерном пространстве Е к нелинейному уравнению «разветвления» (или системе таких уравнений) в некотором конечномерном пространстве. Основным инструментом исследования уравнения (3) было разложение искомой функции в ряд по степеням малого параметра и применение метода мажорант.
Отметим, что редукция Ляпунова-Шмидта показала путь исследования уравнения (1) посредством перехода к более простому уравнению А1и = 0 с сохранением числа всех решений (1), что станет одним из базовых приемов нелинейного функционального анализа.
Построение малых решений нелинейных интегральных уравнений в виде рядов было продолжено в работах многих математиков и механиков первой четверти XX века, в том числе А.И. Некрасова. Решая задачи плоской теории волн и обтекания препятствий (1921), он получил нелинейное интегральное уравнение вида
2п
sin Ф(е)
Ф(0)=- J-J е
12п о 1 + mJOsinФ(а)da
К (е,6) de,
(4)
где D = D(r).
Еще один вид нелинейных интегральных уравнений, значительно более сложный, чем (2), появился в работах А.М. Ляпунова 1903-1916 годов, относящихся к исследованию форм равновесия вращающихся жидкостей:
где т - малый параметр [5].
Некрасов также показал, что для волн малой амплитуды уравнение (4) переходит в линейное интегральное уравнение, первое собственное значение которого является точкой бифуркации уравнения (4).
Для решения уравнения (4) Некрасов разработал самостоятельную теорию без использования редукции Ляпунова-Шмидта, основанную на построении рядов по дробным степеням малого параметра, связанного с т по некоторой системе функций, и доказал их сходимость методом мажорант [6].
Работы Ляпунова и Шмидта послужили основой для развития теории ветвления решений операторных уравнений. Именно в статье Шмидта впервые появилось операторное обозначение нелинейного интегрального уравнения. Из их результатов следует, что неединственность решений является характерным свойством нелинейных интегральных уравнений. Уравнения (3) и (4) долгое время служили модельным примером при разработке общих методов исследования нелинейных операторных уравнений.
Развитие вариационного исчисления в целом
Вариационное исчисление в малом имеет дело непосредственно с окрестностью экстремали. Одной из его задач является, например, установление таких условий, в которых экстремаль, в отличие от соседних кривых, доставляла минимум некоторому функционалу. Вариационное исчисление в целом рассматривает все многообразие М, на котором дана вариационная задача. Пусть, к примеру, М -
поверхность двумерной сферы. Тогда при решении задачи о геодезических (об определении линий наименьшей длины, соединяющих две заданные точки на поверхности) рассматриваются все экстремали, соединяющие точки А и В.
Предыдущая тема подразумевала развитие локальных подходов к решению операторных уравнений (1), унаследованных от математического анализа. Более глубоким и перспективным является рассмотрение всей совокупности решений задачи (1) - глобальный подход. Это мировоззрение было сформировано в рамках эволюции классического вариационного исчисления; его родоначальником можно считать К.Г. Якоби (1839). В полной мере идея глобального рассмотрения была кристаллизована в работах А. Пуанкаре (1905) и его последователя Дж. Биркгофа (1917), посвященных задаче о трех геодезических (на всякой дифференцируемой поверхности рода ноль существует по крайней мере три замкнутых несамопересекающихся геодезических) [7]. Биркгоф использовал вариационную постановку указанной задачи в контексте теории динамических систем. При этом для одной части задач минимизирующие экстремали существовали, а для другой - нет (как, например, в задаче трех тел). Он увидел в этом факте возможность дополнить теорию так называемым принципом минимакса, восходящим к теоремам существования критических точек x* гладкой функции n переменных. Суть этого принципа применительно к функции f, заданной на m-связной поверхности S, заключалась в том, что наличие у нее r точек минимума с необходимостью влечет существование (m + r - 1)-й точки минимакса.
Идеи Биркгофа нашли свое продолжение в работах его ученика М. Морса (1928), который вывел неравенства, позволяющие оценить число критических точек функций (функционалов), заданных на многообразии М, через А-мер-ные числа Бетти1 этого многообразия (неравенства Морса) [8]. Развитые Морсом методы позволили доказать, что на многообразии, гомеоморфном n-мерной сфере, алгебраическое число замкнутых геодезических не менее чем счетно.
Связь между числом N геометрически различных критических точек функции F, заданной на многообразии M и топологическими свойствами M, была исследована Л.А. Люстерником и Л.Г. Шнирельманом (1930) [9]. Основным мотивом их исследований был качественный анализ задач вариационного исчисления - изучение свойств экстремалей.
Люстерником и Шнирельманом (1930) был введен (гомотопический) инвариант категория (cat M), с помощью которого оценивалось число N. Категорией замкнутого множества А относительно содержащего это множество пространства М (catM A) было названо минимальное число замкнутых множеств, в сумме покрывающих А, каждое из которых стягиваемо в точку. К примеру, сфера S2 имеет категорию 2, поскольку ее саму невозможно стянуть в точку, но можно представить, как объединение двух полусфер, каждая из которых стягиваема в точку.
Оказалось, что категория многообразия М относительно самого М не меньше числа геометрически различных критических точек дважды непрерывно дифференцируемой функции, заданной на М.
Перенося понятия категории и основные результаты на случай функционалов, Люстерник и Шнирельман получили возможность оценивать число решений вариационных задач. В качестве приложений ими рассматривались задачи
об экстремумах положительно определенных функционалов, заданных на некоторых конечномерных семействах кривых; в частности - задача о геодезических линиях.
С возникновением теории бесконечномерных банаховых многообразий (С. Ленг, начало 1960-х годов) теория категорий получила новый импульс. Бесконечномерное обобщение этой теории (Я. Шварц, 1964; Р. Пале, 1966 и др.) стимулировало появление новых способов решения нелинейных задач, допускающих вариационную трактовку (С. Смейл, 1964; Ф. Браудер, 1965), а также новых минимаксных принципов. Здесь следует отметить ставшую уже классической теорему о горном перевале (А. Амброзетте, П. Рабинович, 1973), которая, в частности, нашла свое продолжение в теории оптимального управления (А. Брессан, 1990), а также применение теории Морса к исследованию управляемых систем (А.А. Аграчев, Р.В. Гамкрелидзе; вторая половина 1980-х годов) [10] (рис. 1).
Развитие вариационных методов
Большое влияние на формирование нелинейного функционального анализа оказали вариационные методы исследования уравнений, в основе которых лежит принцип Дирихле (1876) [11]. Первоначально его суть состояла в замене краевой задачи для уравнения
F(u) = 0
(5)
на задачу минимизации функционала Ф, ассоциированного с оператором F (в классе функций К). При этом наличие решения исходной задачи следовало из разрешимости вариационной задачи вида:
Ф(и)
min.
(6)
Строгое обоснование принципа Дирихле было дано Д. Гильбертом (1900-1904), который доказал существование абсолютного минимума функционала Ф, выделив из всего класса допустимых линий компактный класс К, на котором минимум Ф достигается. При этом он задействовал минимизирующую последовательность функций {ип(х)}, сходящихся к решению задачи (6), и доказал, что класс К не
Рис. 1. Бесконечномерное обобщение теории Морса-Люстерника-Шнирельмана
! Грубо говоря, это число ^-мерных отверстий на поверхности.
пуст. Метод, предложенный Гильбертом в рамках обоснования принципа Дирихле, был назван прямым методом вариационного исчисления.
Конструктивное решение задачи (6) было впервые дано В. Ритцем (1909), который использовал разложение u(x) в ряд Фурье. Распространение метода Ритца на нелинейные краевые задачи было осуществлено Л. Лихтенштейном (1915), а на нелинейные интегральные уравнения вида
у (x ) = / "К (x, s) f (5,( У (x)) ^ (7)
А. Гаммерштейном (1930) [4]. Это уравнение впоследствии стало носить имя Гаммерштейна.
Шаг к абстрактному рассмотрению уравнений вида (7) в контексте вариационных методов оказалось возможным сделать после обособления теории операторов и функциональных пространств (здесь важную роль сыграли вполне непрерывные операторы, переводящие ограниченные множества в компактные и являющиеся непрерывными). Этот шаг был сделан учеником Гаммерштейна М. Голомбом (1935), который рассмотрел аналог уравнения (7) в гильбертовом пространстве Е:
Y - H2G(у) = 0, (8)
где Н: Е ^ Е - ограниченный, вполне непрерывный оператор, G - градиент некоторой вещественной функции F. Такое представление уравнения (1) было связано с возможностью перехода к задаче минимизации функционала у) = (у, у) + 2F (Ну), ассоциированного с (8). В 1937 году прямой метод решения задачи (6) был использован С.Л. Соболевым для доказательства разрешимости первой краевой задачи для полигармонического уравнения в л-мерной области [12]. Обоснование метода привело к появлению интегральных тождеств, расширяющих трактовку решений, и возникновению новых функциональных пространств. Такая трактовка оказалась полезной в дальнейшем и при решении нелинейных уравнений [13].
После опубликования работ Голомба стало понятно, что вариационные методы применимы в тех случаях, когда исследуемое уравнение Аф = 0 можно свести к уравнению вида
Gф = 0, (9)
в котором G - оператор градиента (то есть потенциальный оператор) функционала Ф, определенного в гильбертовом пространстве Н. В этом случае решениями уравнения (9) будут критические точки функционала Ф.
В начале 1950-х годов к данной теме обратился М.А. Красносельский. Он вывел важный признак существования критических точек гладких в каждом шаре Н возрастающих функционалов, градиенты которых G представимы в виде суммы суммы G1 + G2, где G1 - обратимый линейный непрерывный оператор, а G2 - вполне непрерывный (1954). В этой ситуации минимизирующий Ф элемент у0еН всегда существует, причем Gy0 = 0.
С использованием вариационных методов получилось доказать новые теоремы о существовании собственных функций нелинейных операторов. Голомб, в частности, показал, что в пространстве L2 из одного факта потенциальности оператора вытекает то, что у него есть континуум различных собственных векторов (1935). Обобщая результат Голомба на произвольные гильбертова пространства Н, Красносельский наложил требование слабой непрерывности и дифференцируемости функционала Ф в некотором шаре Н (1956). В развитие этого направления Красносельский обобщил также теорему Люстерника (1939) о существовании на каждой сфере 5 гильбертова пространства
не менее чем счетного числа собственных векторов четного однородного функционала Ф, заменив требование однородности Ф на 5 на его неотрицательность в шаре с границей 5 и дополнив ее утверждением об устойчивости критических значений Ф.
В развитии прямых методов вариационного исчисления можно выделить еще одно направление, основанное на использовании свойства полунепрерывности функционалов (Л. Тонелли; 1911-1924). Это свойство позволяло распространить теорему Вейерштрасса о достижении непрерывной на отрезке функции своих экстремальных значений, на функционалы. Первостепенное внимание Тонелли уделил функционалам вида
1 (и ) = / / (^ и ( x ), и'( x)) ^
где С - допустимая кривая или поверхность, а F(x, и, и') -выпуклая относительно и' функция. Ряд ценных идей о взаимном влиянии функционального анализа и вариационного исчисления был опубликован Тонелли в 1940-м году [14]. Среди них была идея о том, что для исследования функционала Ф(и), подлежащего минимизации в классе функций К, целесообразно в подходящей ситуации рассматривать:
а) другой, более узкий класс функций, для которого функционал Ф обладает нужными свойствами;
б) другой функционал G(u), с лучшими свойствами, который имеет те же минимумы, что и Ф(и).
Можно считать, что реализация части установок из пункта а) была осуществлена С.Л. Соболевым, доказавшим теоремы вложения (1938).
Что касается установок из пункта б), то тут вместе с М.А. Красносельским нужно отметить достижения М.М. Вай-нберга (1952-1956), обосновавшего замену уравнения А1 (и) = 0, в котором оператор А1 не является потенциальным, на уравнение А2(и) = 0, с потенциальным оператором А2, а также вывел ряд условий разрешимости уравнения вида
1у - AF(y) = 0,
где А - линейный, F - потенциальный, в зависимости от свойств входящих в него операторов [15]. Позднее (1972) Вайнберг смог ослабить требования к пространствам, в которых может действовать функционал Ф, отказавшись от их полноты, а также заменить условие полной непрерывности оператора в схеме Голомба на свойство монотонности [16].
Прикладное значение полученных Люстерником, Красносельским и Вайнбергом результатов было обнаружено во второй половине 1950-х годов отечественным механиком И.И. Воровичем. Он рассмотрел математическую модель деформации оболочки с учетом влияния поперечных прогибов, сведя уравнение ее состояния к нелинейному инте-гро-дифференциальному уравнению, допускающему операторную трактовку и адаптировал упомянутые результаты к его исследованию [17].
История пространств Орлича и Канторовича
Одним из распространенных способов решения задач математического анализа и дифференциальных уравнений в конце XIX века было разложение функций у = f(x) в ряд Фурье. В какой-то момент стало естественным трактовать коэффициенты этого ряда как координаты вектора в бесконечномерном евклидовом пространстве и проводить действия с такими векторами по правилам конечномерного пространства. Однако алгебраизации ансамблей функций для перехода на новый уровень абстракции и понимания было недостаточно: своего решения ждали еще вопросы, относящиеся к сходимости. Эта работа была проделана
Л • щ М ИСТОРИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ
Д. Гильбертом в контексте исследования линейных интегральных уравнений вида
u (х ) = f (х )+J bK (x ,4) u (4) d4, (10)
что привело к открытию новых видов сходимости и определению пространств I2 (1907) и L2. Указанные пространства были обобщены Ф. Риссом, получив обозначение Lp, (1909); они оказались удобным инструментом для исследования интегральных уравнений Гаммерштейна со степенными не-линейностями (В.В. Немыцкий, 1934). Другие нелинейности поддавались изучению значительно хуже. На помощь пришла теория нормированных пространств С. Банаха (1931), в значительной степени опиравшаяся на геометрию л-мер-ных выпуклых множеств Г. Минковского (1896). Ученики Банаха получили ряд классических результатов, среди которых открытие пространств Орлича LM (1936), состоящих из функций, интегрируемых с выпуклой функцией M(u) [18] (частным случаем такой функции является степенная функция M(u) = lulp/p).
Первоначально теория пространств Орлича была использована для доказательства разрешимости уравнений вида (10) с неограниченными ядрами, принадлежащими LM (А. Цанен, 1946). Пространства LM в работе Цанена были порождены функциями, удовлетворяющими так называемому А2-условию на их рост (не быстрее степенной функции). Это условие обеспечивало «хорошие» свойства пространства Орлича - сепарабельность, рефлексивность и т.п. Однако такое ограничение на функции M(u) не позволяло задействовать LM в изучении нелинейных интегральных уравнений с существенно нестепенными нелинейностя-ми. Это побудило М.А. Красносельского и Я.Б. Рутицкого произвести (1951-1954) «доработку» теории пространств Орлича на основе новой классификации выпуклых функций M(u), определяемой их поведением на бесконечности («быстрорастущие», экспоненциально растущие). Целью Красносельского и Рутицкого было достижение полной непрерывности оператора Гаммерштейна H, определенного правой частью равенства (7), с нестепенной нелинейностью функции f и дальнейшим применением теоремы Шаудера о неподвижной точке (о ней речь пойдет позже).
Параллельно с пространством Орлича во второй половине 1930-х годов появилось другое функциональное пространство (Канторовича), также играющее важную роль в нелинейном функциональном анализе. К тому времени назрела необходимость в инструменте, позволяющем сравнивать элементы функциональных пространств друг с другом, что дало бы возможность распространить на эти пространства принцип мажорант. Этим инструментом стала полуупорядоченность, введенная Л.В. Канторовичем. Он назвал K-пространством линейное многообразие Y, удовлетворяющее следующей системе аксиом относительно его элементов y (1935):
I. Если y > 0, то исключено, что y = 0.
II. Если y1 > 0 и y2 > 0, то y1 + y2 > 0.
III. Каково бы ни было y существует y1 > 0, такое, что
y1 - y > 0.
IV. Если l > 0, leR и y > 0, то ly > 0.
V. Всякое подмножество Y, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань.
Так как элементы полуупорядоченного пространства во многом очень близки к понятию числа, они так же, как и вещественные числа, могут использоваться в качестве нормы. Это дало общий и удобный принцип мажорирования, который позволил Л.В. Канторовичу доказать положительную разрешимость функциональных уравнений вида
у = Ау + Уо, у, Уое Y;
где А - положительный монотонный нелинейный оператор (Ау > 0, если у > 0), с минимальными требованиями [19] (1937). Геометрическая сторона положительности операторов (в пространстве Банаха, упорядоченного конусом) разрабатывалась параллельно с Канторовичем в школе М.Г. Крейна начиная с 1937 года, о ней речь пойдет позднее.
Развитие топологических методов нелинейного анализа
К топологическим методам отнесем метод неподвижной точки и теорию степени отображения. Оба эти метода получили свою завершенность в конечномерном случае в работах Л. Брауэра (1911-1912) [20]. Мотивированный решением проблемы инвариантности размерности, Брауэр занялся изучением свойств непрерывных отображений F л-мерной сферы в себя. На этом пути он определил новый топологический инвариант - степень отображения ^ед Р как число окутываний сферы Sn ее образом F(Sn) с учетом ориентации (в других терминах можно было определить deg Р через вращение векторного поля, определенного на сфере и ассоциированного с р. Этот инвариант стал играть ключевую роль в проверке наличия неподвижных точек Р:
Если deg Р*(-1)п, то существует такая точка х на сфере Sn, что Р(х) = х.
При этом в качестве следствия было доказано, что при отображении л-мерного шара в себя всегда существует неподвижная точка.
Аналог теоремы Брауэра в бесконечномерном случае был дан Дж. Биркгофом и О. Келлогом (1922). Они вывели существование инвариантной функции у непрерывного оператора А, переводящего в себя выпуклое компактное подмножество функций К пространств С, Ст, L2, опираясь на предельный переход по размерности (метод заключался в приближении функции отрезком ее ряда Фурье или Тейлора) и соответствующие критерии компактности. Обобщение теоремы Биркгофа-Келлога на произвольные сепарабель-ные банаховы пространства было осуществлено Ю. Шау-дером (1927), учеником Г. Штейнгауза [21]. Идея метода, применяемого Шаудером, заключалась в приближении компактного множества К из банахова пространства Е последовательностью компактных подмножеств Кл конечной размерности с последующим применением теоремы Брауэра.
Важным дополнением к теореме Шаудера, обеспечивающим единственность неподвижной точки, стал принцип сжатых отображений, восходящий к Банаху (1922):
Если при преобразовании полного нормированного пространства в свою часть расстояние между образами меньше, чем расстояние между прообразами, то существует и притом лишь одна неподвижная точка.
Распространение теоремы о сжатых отображениях на полные метрические пространства было выполнено Р. Кач-чиополи (1930). Его результаты вместе с теоремой Шаудера были использованы В.В. Немыцким для исследования однозначной разрешимости уравнения Гаммерштейна (1934). Более общий результат, справедливый для уравнений вида
Аи = и, (11)
где оператор А представим в виде суммы вполне непрерывного и сжимающего оператора, был доказан М.А. Красносельским (1955). В этом случае неподвижная точка А существует и единственна.
Отказ от требования полноты привел к появлению так называемых локально-выпуклых пространств - характер-
F(x) = x, xeUcE заменяется на более общее уравнение F(k, x) = x,
(12)
(13)
где F непрерывно зависит от параметра к.
Предполагается, что при к = к0 уравнение (13) разрешимо и имеет вид
Fo(x) = x.
(14)
Переход от уравнения (12) к уравнению (14) может быть выполнен путем непрерывного преобразования оператора F.
Предположим, что существует топологический инвариант, характеризующий наличие решений у всего семейства (13). Тогда разрешимость уравнения (14) влечет за собой существование решения уравнения (12). Таким инвариантом, как показали Лере и Шаудер, является степень отображения x ^ у = x - F(x) в точке у = 0, где F - вполне непрерывен. Новая степень отображения Deg (Ф, и) унаследовала все свойства конечномерной степени, в том числе принцип неподвижной точки.
Развитию идей Лере и Шаудера в СССР много внимания было уделено со стороны М.А. Красносельского [24]. Он связал степень отображения Ф области и с вращением у соответствующего векторного поля Ф на ее границе ди (1954):
Deg (Ф, U) = g(U),
(15)
ный пример - пространства Кете (А.Н. Колмогоров, 1934; А.Н. Тихонов, Дж. Нейман, 1935), для которых также была доказана теорема о неподвижной точке (Шаудера-Тихо-нова, 1935). Несмотря на казалось бы, некоторую экзотичность, она нашла свое применение при доказательстве теоремы Маркова-Какутани о существовании общей неподвижной точки семейства непрерывных операторов, которая (то есть теорема Маркова-Какутани), в свою очередь, сыграла важную роль в теории игр [22]. Отметим, что А.А. Марков доказал ее в 1936-м, а С. Какутани (независимо) - в 1938 году.
Вслед за обобщением теоремы Брауэра о неподвижной точке на бесконечномерный случай естественно было ожидать аналогичных результатов и для степени отображения deg F. В 1934 году сотрудничество Ю. Шаудера и Ж. Лере вылилось в открытие степени отображения Deg Ф, где Ф действует в банаховом пространстве E [23]. Аналогом непрерывной функции F, фигурирующей в определении Брауэра, стало «вполне непрерывное возмущение тождественного оператора»: Ф = I - F:
Изложим эвристические соображения, раскрывающие мотивацию Лере и Шаудера для введения Deg Ф.
Уравнение
гомотопное ему поле Т, для которого несложно вычислить вращение (данный прием сразу нашел свое применение в задачах теории нелинейных интегральных и дифференциальных уравнений).
Подход Красносельского к исследованию разрешимости нелинейных уравнений не ограничивался использованием принципа Лере-Шаудера и его аналогов. Обобщив теорему Борсука-Улама о том, что всякая непрерывная функция, отображающая п-мерную сферу в л-мерное евклидово пространство, для некоторой пары диаметрально противоположных точек имеет общее значение, на вполне непрерывные векторные поля в бесконечномерных пространствах [25], он получил новый принцип неподвижной точки - аналог теоремы об антиподальном отображении.
Пусть F - вполне непрерывный оператор, заданный на замкнутом шаре В банахова пространства Е, границу которого обозначим через 5. Если для каждой точки и сферы 5 векторы Fv-v и F(-v)+v направлены неодинаково, тогда вращение поля Ф = I - F на сфере 5 нечетно и в шаре В найдется неподвижная точка оператора F.
Интересным применением указанной теоремы является утверждение о существовании решений уравнений, близких к нечетным, но не близких к линейным:
u = Au + Bu + Cu,
(16)
причем правая часть (15) определялась проектированием Ф на конечномерное подпространство (проектор Шаудера). Опираясь на определение (15), Красносельский доказал свой принцип неподвижной точки:
Если вращение вполне непрерывного векторного поля Ф = I - F на границе области и банахова пространства отлично от нуля, то в этой области у оператора F существует неподвижная точка.
Для его использования важную роль играли признаки отличия от нуля вращения поля Ф. Они также были найдены Красносельским (1956) и были основаны на утверждении о том, что вращения гомотопных полей одинаковы [13] (гомотопность вполне непрерывных полей Ф и Т предполагает возможность вполне непрерывной деформации их друг в друга). Это позволяло заменять заданное поле Ф на
где А - линейный, В - нечетный вполне непрерывный оператор, C - вполне непрерывный оператор c малой нормой. Примером уравнения (16) может служить уравнение (3) с нечетным интегро-степенным рядом А.М. Ляпунова.
История теории положительных операторов
Как уже упоминалось, теория положительных операторов обязана своим появлением М.Г. Крейну (1937). Этому способствовало два обстоятельства [26]:
- интерес Крейна к математическим моделям колебаний упругих континуумов, в рамках которых важную роль играли так называемые осцилляционные матрицы, все миноры которых неотрицательны;
- его исследования по проблеме моментов, восходящие к работам М. Рисса (1923) и Ф. Рисса (1928), в которых определяющую роль играли положительные функционалы (y(x)> 0 ^ Fy(x) > 0, y(x) - непрерывная функция). В упрощенном виде эту проблему можно сформулировать следующим образом: определить массы бусин и их расположение на натянутой нити так, чтобы частоты ее колебаний имели наперед заданные значения.
Крейн определил позитивность функционала в бесконечномерном пространстве E как его способность преобразовывать элементы некоторого конуса KcE в неотрицательные (в обычном смысле) элементы. При этом конус в пространстве E представлял собой множество элементов, удовлетворяющее следующим условиям:
- вместе со своим x элементом конус К содержит также весь луч, проходящий через этот элемент;
- вместе с любыми двумя элементами конус К содержит также и сумму этих элементов;
- конус К не может содержать одновременно элемент x и ему противоположный.
Такое определение давало возможность наилучшим образом использовать геометрию банахова пространства E, к тому времени уже хорошо разработанную силами львовской математической школы. Здесь, в частности, сыграла свою роль теорема Асколи-Мазура о существовании опорной к конусу гиперплоскости: она обеспечила наличие хотя бы одного позитивного функционала в E* [27].
Для определения положительности операторов в пространствах с конусом ключевую роль сыграло топологическое доказательство теоремы Перрона-Фробениуса о существовании положительного собственного вектора х линейного преобразования А с положительной матрицей (П.С. Александров, Х. Хопф, 1935). Обсуждаемое доказательство базировалось на свойстве оператора А оставлять инвариантным положительный октант К (х(- > 0), что давало возможность применить теорему Брауэра. Тогда бесконечномерный аналог теоремы Перрона-Фробениуса логично было бы доказывать посредством теоремы Шаудера, наделяя соответствующий оператор свойством инвариантности относительно некоторого конуса К. Это (то есть что АКсКсЕ) и было взято в качестве определения положительности оператора М.Г. Крейном и его учеником М.А. Рут-маном (1940).
Подтверждением правомерности выделения конусов банахова пространства на роль «эквивалента» множества положительных функций явилась также изоморфность конуса К сепарабельного пространства Е множеству неотрицательных функций у(х)еС[а, Ь], доказанная М.Г. Крейном и С.Г. Крейном в 1940 году [28].
Большая часть задач, предназначенных для исследования методами теории конусов Крейна и Рутмана, имела линейный характер [29]. К нелинейной составляющей можно отнести доказательство операторного аналога теоремы Перрона-Фробениуса. Оно было выведено Рутманом для положительных операторов А, удовлетворяющих условию монотонности:
х У у ^ Ах У Ау
(17)
где скорость изменения К по переменной у оценивалась следующим образом:
Р(х, в) > Ку (х, в,у) > Q(х, в) > 0.
(20)
и условию, похожему на вогнутость скалярной функции (рис. 2)
А\Г>су для У^е[0, Уе]. (18)
В неравенстве (17) х У у равносильно тому, что (х - у) принадлежит конусу К.
Требования (17)-(18) к нелинейному оператору А позволили Рутману сделать заключение о глобальной разрешимости уравнения
Аи = Хи, иеК, ХеЯ
для элементов произвольной нормы.
Дальнейшее развитие нелинейного направления теории положительных операторов было осуществлено М.А. Красносельским.
Он тщательно изучил статью П.С. Урысона [30], который рассматривал уравнение
у(х) = Х| К(х, э,у(э)) бэ,
Одной из основных заслуг Урысона в указанной области было доказательство теоремы об оценке спектра:
Положительные собственные функции оператора, порожденного интегральным выражением в правой части (19), существуют при условии, что значения Х принадлежат некоторому интервалу (Хр ;Х0), где числа Хр и Х0 - это наибольшие собственные значения линейных интегральных операторов с ядрами Р и Q.
Ориентируясь на результаты Урысона и на решение задач нелинейной механики [26], Красносельский ввел понятие монотонной миноранты В (1951) нелинейного оператора А как положительного оператора, удовлетворяющего неравенству
Ах У Вх, хеК.
При этом в качестве миноранты В оказалось удобным использовать линейный положительный оператор (производную Фреше оператора А в нуле, если А - гладкий).
В рамках развития указанного направления Красносельский определил новый класс операторов А (1954): и0-ограниченные операторы (и0 - любой внутренний элемент конуса). Они должны были обладать тем свойством, что некоторая степень оператора А переводит произвольный элемент конуса и внутрь конусного отрезка [аи0,ри0]. Свойства и0-ограниченного оператора помогли доказать аналог теоремы Урысона о спектре при условии замены условия (20) на систему
Рф У Аф У Q1ф фе К,
где Р1, Q1: и0 ограничены и вполне непрерывны. При этом в случае дифференцируемости оператора А в качестве его мажоранты и миноранты можно взять А' (да) и А' (0) соответственно.
Из теоретических результатов, полученных Красносельским в данной области, наиболее ярким является, по-видимому, конусная теорема о неподвижной точке (1960) [30]:
Пусть вполне непрерывный оператор А сжимает или растягивает конус К. Тогда А имеет в конусе К по крайней мере одну ненулевую неподвижную точку (рис. 3-4).
Эта теорема стоит в одном ряду с теоремами о неподвижной точке Брауэра и Шаудера; она дала возможность распространить классический подход на отображения, не обязательно переводящие область пространства Е в себя.
(19)
Рис. 2. Геометрический смысл условия Рутмана: существование пересечения вогнутой функции с наклонной прямой
Рис. 3. Схема сжатия конуса
Рис. 4. Схема растяжения конуса
История теории ветвления и бифуркаций
Как уже упоминалось, теория ветвления берет свое начало от работ А.М. Ляпунова по теории равновесия вращающихся жидкостей, дополненных результатами Э. Шмидта. Эти математики использовали классические методы, основанные на явном построении решения задачи.
К началу 1930-х годов по мере упрочнения позиций теории операторов взгляды на исследование уравнений Ляпунова-Шмидта стали меняться. Первые результаты в указанном направлении применительно к теории ветвления были связаны с именем Л. Лихтенштейна (1931). Он представил интегро-степенной ряд, стоящий в правой части уравнения Ляпунова-Шмидта функционалом, и применил к доказательству его разрешимости «в малом» метод сжимающих отображений Банаха, что существенно упростило это доказательство и наметило дальнейший путь к исследованию подобного рода уравнений в банаховых пространствах. Более общая форма уравнения Ляпунова-Шмидта была предложена А. Гаммерштейном - уравнение (7). Применяя метод Ритца, Гаммерштейн изучил вопрос о числе решений уравнения (7) путем перехода к анализу разрешимости бесконечной системы нелинейных уравнений (разветвления) в зависимости от свойств функции f(s,(y)).
Нетривиальным вопросом теории ветвления явился вопрос о конечности числа всех малых решений уравнения Гаммерштейна, который до конца 1940-х годов оставался открытым. Новым словом в этом направлении явилось использование диаграммы Ньютона (Ж. Дьедонне, 1949; А.Э. Стапан, 1950), что помогло дать утвердительный ответ на данный вопрос [32].
Следующий шаг в развитии теории ветвления - замена конкретных интегральных операторов в уравнениях Ляпунова-Шмидта их операторными аналогами. Этот шаг был сделан Т. Симидзу (1948), что дало возможность, помимо значительного расширения числа одновременно решаемых задач, получить выход и на топологические методы.
Существенную роль в исследовании ветвлений решения уравнения Ляпунова-Шмидта и его аналогов также сыграла теорема о неявной функции (Хильденбрантда-Грэйвса, 1927), в которой были сформулированы условия разрешимости уравнения вида Ф^, у) = 0 для малых y в абстрактных пространствах. Ее использование дало возможность Дж. Кронин исследовать абстрактный аналог уравнения Ляпунова-Шмидта в виде
(I + C + T) x = у,
(21)
Помимо определения множества значений параметра 1, при которых уравнение
Au = 1u, ueE
(22)
где x, уеЕ (банахово пространство); I - тождественный оператор, С - линеен и вполне непрерывен; Т- оператор более высокого порядка по отношению к С [33]. Одним из основных достижений Кронин явилась оценка числа различных решений уравнения (21) посредством введения так называемой «кратности», которая определялась в терминах топологического индекса по Лере и Шаудеру [23].
В процессе дальнейшей адаптации методов Ляпунова-Шмидта к задачам теории ветвления в банаховых пространствах были использованы методы многоугольника Ньютона и теория исключений Кронекера-Лефшеца (М.М. Вайнберг, В.А. Треногин, конец 1950-х годов). При этом определение числа и асимптотик решения уравнения разветвления опирались на аналитичность оператора Т из (21). Инструментарий функционального анализа дал также возможность получить существенные продвижения в изучении многомерного ветвления, которое не поддавалось анализу традиционными методами (М.М. Вайнберг, П.Г. Айзенгендлер, 1965).
имеет не единственное решение, большой интерес представляют те значения параметра 1 = 1*, при которых в дополнении к априори известному (часто тривиальному решению) возникает еще одно решение или несколько решений. В таком случае говорят, что в точках 1 = 1* имеется бифуркация.
Характерным примером является появление поверхностных волн при некоторой критической силе воздействия на жидкость, имеющую свободную границу [5].
Наибольших успехов в изучении бифуркаций удалось добиться в рамках локального рассмотрения; ориентиром могут служить два принципа, введенные М.А. Красносельским [13]:
- принцип смены индекса: если на известной кривой решения уравнения (22), его индекс (как правило, это локальная степень отображения оператора) претерпевает скачок, то имеет место бифуркация;
- принцип линеаризации (бифуркационная теорема Красносельского): если к0 - собственное значение нечетной кратности оператора А'(0), то 1/к0 - точка бифуркации А.
Для гладких операторов к ним можно добавить теоремы о расположении спектра в окрестности точки бифуркации в зависимости от кратности к0 [13].
В применении к уравнению Некрасова (4) эти принципы и теоремы дали возможность получить ряд новых результатов [34]. А именно М.А. Красносельским были определены
- число малых ненулевых решений (4) при т ^ т*;
- число непрерывных ветвей решений (4) при т ^ т*;
- вид зависимости ненулевых решений от т;
- условия на уравнение, когда спектр оператора Некрасова будет сплошным.
В своих работах по теории бифуркации Красносельский продемонстрировал, что переход к глобальному анализу задач теории бифуркаций возможен только с опорой на дополнительные свойства нелинейных операторов, входящих в исходное уравнение. Этот переход был выполнен силами П. Рабиновича (1971), доказавшего так называемую глобальную бифуркационную теорему на основе результатов Красносельского [35].
О развитии качественных аспектов приближенных методов решения операторных уравнений
Для исследования процессов, описываемых в терминах нелинейных операторных уравнений, большим подспорьем являются приближенные методы. Их применение должно сопровождаться качественным анализом, поскольку даже ответ на вопрос о сходимости метода не очевиден. Одним из первых инструментов, позволяющих на него ответить, явился метод сжимающих отображений С. Банаха (1922). Как показал Банах [36], для сжимающих операторов итерационная последовательность {р^, построенная по правилу xn = F(xn-1), сходится к решению уравнения x = F(x), кроме того, имелась возможность оценить скорость такой сходимости.
Следующий шаг был сделан Л.В. Канторовичем в контексте созданной им теории полуупорядоченных пространств. Идея заключалась в мажорировании исходного уравнения
у = и (у), yеY, (23)
где и: Y^Y, другим, более простым уравнением:
г = У^), zеZ,
Л • Ц ИСТОРИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ
где V: Z^Z; Z - это К-пространство.
Дополнительно должны выполняться условия Ш(0)11 < V(0); НАШ < AV при 11у11 < г, 11Ау11 < Аг.
При этом предполагалось, что У - это пространство Банаха-Канторовича, в котором в качестве нормы использованы элементы Z.
Тогда, если оператор V - положителен ^ > 0, если г > 0) и монотонен, то построенная для (23) итерационная последовательность будет сходиться [37].
Создание конкретных численных алгоритмов для решения нелинейных задач, описываемых уравнением с гладким оператором F, оказалось удобным проводить методом Ньютона (касательных) по схеме вида
**+1 = ** -|>'()]-1 F(х,) Р X ^ У. (24)
Обоснование указанного метода было проведено Канторовичем на основе принципа мажорирования. Идея заключалась в сравнении процесса (24) с процессом скалярных итераций, для которых сходимость уже была известна [38].
Дальнейшее исследование сходимости методов решения различных вычислительных задач укрепили Канторовича в его убежденности в том, что наиболее подходящей «системой координат» в этом вопросе является функциональный анализ [39]. К подобному умозаключению пришел немецкий математик Л. Коллатц, только на 5-8 лет позже [40]. Посыл Канторовича основывался на предположении о связи пространства X, в котором задано исследуемое уравнение, с некоторым более простым Х1, в которое исходное пространство отображается (примером того, что точное и приближенное уравнения рассматриваются в разных пространствах, может служить численная аппроксимация интегрального уравнения алгебраическим). На основе исследования приближенного уравнения в Х1 открывалась возможность строить и изучать конкретные вычислительные методы в X. Это позволяло решать ряд задач по теоретическому обоснованию приближенных методов, в том числе:
- устанавливать сходимость и давать оценку ее быстроте;
- эффективно оценивать априорную и апостериорную погрешность;
- определять устойчивость численных схем;
- доказывать существование и единственность исходной и приближенной задач;
- получать свойства решений исходного уравнения на основе данных о приближенном решении.
Отметим, что перечисленные задачи были решены Канторовичем, в основном, для линейного случая. Нелинейная ситуация стала предметом систематического исследования М.А. Красносельского и его учеников начиная с середины 1950-х годов [13]. Находясь в рамках теории индекса, восходящей к Ж. Лере и Ю. Шаудеру [23], Красносельский осуществил переход от уравнения
Ах = х,
где А - вполне непрерывный нелинейный оператор, к приближенному уравнению
А1х = РпАх = х,
где Рп - проекционный оператор, с сохранением свойств оператора А. Это позволило доказать сходимость решений (произвольной) проекционной задачи, оценить ее скорость и получить условие устойчивости метода Петрова-Галерки-на для гладкого оператора А [41].
Метод оказался действенным и в более общей ситуации - при анализе сходимости приближенных методов решения уравнений вида
Г
Аи = Ви,
где А - линейный непрерывный оператор, В - нелинейный непрерывный оператор, действующие из банахова пространства Е в банахово пространство F (Г.М. Вайникко, [42]).
Интересные результаты были получены М.А. Красносельским вместе с его учеником И.А. Бахтиным в рамках теории конусов (1961). Оказалось, что итерационная последовательность хп = Ахп-1 будет сходиться к ненулевому решению уравнения х = Ах в конусе при любом выборе начального приближения в том случае, когда оператор А удовлетворяет условию и0-вогнутости [43]. Это условие заключается в том, что оператор А должен быть непрерывен, монотонен, переводить все элементы конуса внутрь конусного отрезка [аи0; ри0], для точек и которого должно выполняться условие:
Для любого t из интервала (0; 1) существует положительная функция, такая, что А(Ш) у (1 + п) tAu.
Заключение
Развитие нелинейного функционального анализа в нашей стране явилось частью общемирового процесса. Выделим характерные его особенности:
1. Большая часть результатов была получена путем обобщения соответствующих конечномерных аналогов, пришедших из топологии или анализа (исключением явились теория пространств Орлича и теория бифуркаций).
2. Необходимость рассматривать все множество М возможных решений уравнения Аи = 0 в абстрактной постановке повлекло за собой изучение структуры М (категории, рода и т.п.) и классов функций/функционалов, заданных на М.
3. Появившись в результате исследования прикладных задач (о фигурах равновесия вращающихся жидкостей), нелинейный функциональный анализ не перестает оставаться основным инструментом изучения нелинейных систем.
4. Теоретическое обоснование приближенных методов решения нелинейных уравнений Аи = 0 (вне зависимости от природы оператора А, включающее в себя оценку скорости сходимости и погрешности метода, оказалось возможным осуществить только в рамках функционального анализа.
5. Сведение уравнения Аи = 0 к уравнению с более простым оператором А1и = 0, идущее от Ляпунова и Шмидта, стало одним из базовых методов в рамках качественного исследования операторных уравнений. В СССР это особенно явно проявилось в вариационных методах, теории вращения векторных полей, теории конусов и в обосновании приближенных схем.
6. С начала 1950-х годов для нелинейного функционального анализа стало характерным взаимное проникновение идей из его различных ветвей, а также высокая востребованность со стороны других дисциплин.
7. Помимо отечественной, значительный вес имели следующие зарубежные математические школы:
• немецкая школа (Э. Шмидт, Л. Лихтенштейн, В. Ритц, А. Гаммерштейн, М. Голомб, Э. Роте);
• польская школа (С. Банах, Ю. Шаудер, В. Орлич, С. Мазур, С. Улам, К. Борсук);
• американская школа (Дж. Биркгоф, О. Келлог, М. Морс, Дж. фон Нейман, Т. Хильденбрандт, Л. Грэйвс);
• французская школа (М. Фреше, Ж. Адамар, Ж. Лере, Ж. Дьедонне).
Вклад отечественных математиков видится достаточно весомым: только за 20 лет (с 1951 по 1971 год) было опубликовано 10 монографий в этой области, переведенных на иностранные языки. Отечественная школа нелинейного функционального анализа была большей ча-
стью представлена ленинградскими (Л.В. Канторович, А.А. Марков, С.Л. Соболев), московскими (Л.А. Люстерник, Л.Г. Шнирельман, А.Н. Тихонов, В.В. Немыцкий, М.М. Вай-нберг, В.А. Треногин), киевскими (М.Г. Крейн), одесскими (М.Г. Крейн и М.А. Рутман) и воронежскими (М.А. Красносельский, С.Г. Крейн, Я.Б. Рутицкий, И.А. Бахтин и др.)
математиками. Их работы быстро стали классическими и вошли во многие учебники и монографии по функциональному анализу. Визитной карточкой советской школы нелинейного функционального анализа стала теория положительных операторов, развиваемая в период до 1970 года в основном силами воронежских математиков.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Anselone P.M. (ed.). Nonlinear Integral Equations: Proceedings of an Advanced Seminar Conducted by the Mathematics Research Center, United States Army, at the University of Wisconsin, Madison, April 22-24, 1963. University of Wisconsin Press, 1964. №. 11. 378 p.
2. Боровских А.В. О содержании математического образования. Математика для нематематиков // Математика. Информатика. Образование. 2022. № 4(28). С. 51-65.
3. Radau R.R. Sur la loides densités à l'intérieur de la Terre. C.R. Acad. Sci. Paris, 100 (1885), 972-974.
4. Богатов Е.М., Мухин Р.Р. О развитии нелинейных интегральных уравнений на раннем этапе и вкладе отечественных математиков // Чебышев^ий сборник. 2021. Т. 22. Вып. 3. С. 312-345.
5. Некрасов А.И. О волнах установившегося вида // Изв. Иваново- Вознесен. политехн. ин-та. 1921. Вып. 3. С. 52-65.
6. Богатов Е.М. Об истории уравнения Некрасова // Прикладная математика & Физика. 2021. Т. 53. № 3. С. 213-229.
7. Богатов Е.М. Об истории вариационного исчисления в целом и вкладе отечественных математиков // Мат. Междунар. конф. Российского национального комитета по истории и философии науки и техники РАН, посвященной 90-летию ИИЕТ РАН им. С.И. Вавилова. М.: ИИЕТ РАН, 2022. С. 433-436.
8. Morse M. The foundations of a theory in the calculus of variations in the large. Trans. Amer. Math. Soc. 30 (2) (1928), p. 213-274.
9. Люстерник Л.А., Шнирельман Л.Г. Топологические методы в вариационных задачах. М.: Исслед. ин-т матем. и мех. при 1-м МГУ, 1930. 68 с.
10. Вахрамеев С.А. Теория Морса и теория Люстерника-Шнирельмана в геометрической теории управления // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики Новые достижения. 39, ВИНИТИ, 1991, С. 41-117.
11. Bogatov E.M. On the history of variational methods of non-linear equations investigations and the contribution of Soviet scientists (1920s-1950s). Antiq. Math., 2020, vol.14, p. 1-36.
12. Соболев С. Л. Об одной краевой задаче для полигармонических уравнений // Математ. сб. 1937. Т. 2. № 3. С. 465-499.
13. Красносельский М.А. Топологические методы в теории интегральных уравнений. М.: ГИТЛ, 1956. 392 с.
14. Tonelli L. L'analisi funzionale nel calcolo delle variazioni //Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa-Classe di Scienze. 1940. Vol. 9. No. 3-4. P. 289-302.
15. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: ГИТТЛ, 1956. 344 с.
16. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972. 417 с.
17. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1957. Т. 21. № 6. С. 747-784.
18. Богатов Е.М. Некоторые заметки об истории пространств Орлича // Таврический вестник информатики и математики. 2015. № 3. С. 24-39.
19. Канторович Л.В. О полуупорядоченных пространствах // Изв. АН СССР. Сер. математика. 1937. Т. 1. № 1. С. 91-110.
20. Богатов Е.М. О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2019. Т. 27. № 1. С. 96-114.
21. Богатов Е.М. Об истории метода неподвижной точки и вкладе советских математиков (1920-1950-е гг.) // Чебышевский сб. 2018. Т. 19. № 2(66). С. 30-55.
22. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.
23. Leray J. , Schauder J. Topologie et équations fonctionnelles. Ann. Sei. École Norm. Sup. 61 (1934), p. 45-73.
24. Богатов Е.М. Об истории геометрических методов нелинейного анализа // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории: Матер. XVIII междунар. конф. Тула: ТГПУ им. Л.Н. Толстого. 2020. С. 317-321.
25. Красносельский М.А. Об одном принципе неподвижной точки для вполне непрерывных операторов в функциональных пространствах // Докл. АН СССР. 1950. Т. LXXIII. № 1. С. 13-15.
26. Богатов Е.М. Об истории положительных операторов (1900- 1960-е гг.) и вкладе М.А. Красносельского // Прикладная математика & Физика. 2020. Т. 52. № 2. С. 105-127.
27. Крейн М.Г. О линейных операторах, оставляющих инвариантным некоторое коническое множество // Докл. АН СССР. 1939. Т. XXIII. № 8. С. 749-752.
28. Крейн М.Г., Крейн С.Г. Об одной внутренней характеристике пространства всех непрерывных функций, определенных на хаусдорфовом бикомпактном множестве // Докл. АН СССР. 1940. Т. 25. № 6. С. 427-430.
29. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха // Успехи математических наук. 1948. Т. 3. № 1(23). С. 3-95.
30. Урысон П.С. Об одном типе нелинейных интегральных уравнений // Матем. сб. 1923. Т. 31. № 2. С. 236-255.
31. Красносельский М.А. Неподвижные точки операторов, сжимающих или растягивающих конус // Докл. АН СССР. 1960. Т. 135. № 3. С. 527-530 .
32. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие // Успехи математических наук. 1962. Т. 17. № 2(104). С. 13-75.
33. Cronin J. Branch points of solutions of equations in Banach space. II //Transactions of theAmerican Mathematical Society. 1954. V. 76. Iss. 2. P. 207-222.
34. Красносельский М.А. Об уравнении Некрасова в теории волн на поверхности тяжелой жидкости // Докл. АН СССР. 1956. Т. 109. № 3. С. 456-459.
35. Rabinowitz P.H. Some global results for nonlinear eigenvalue problems. Journal of functional analysis. 1971. V. 7. Iss. 3. P. 487-513.
36. Banach S. Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations integrals. Fund. Math. 3 (1922), p. 133—181.
37. Kantorovitch L. The method of successive ap proximation for function alequations. Acta Mathematica. - 1939. - v. 71. - Iss. 1. - p. 63-97.
38. Канторович Л.В. Принцип мажорант и метод Ньютона // Докл. АН СССР. 1951. Т. 76. № 1. С. 17-20.
39. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // Успехи математических наук. 1948. Т. 3. № 6(28). С. 89-185.
40. Collatz L. Funktion analytische Methoden in der praktischen Analysis. Z. Angew. Math. Phys. 4. 1953. P. 327-357.
41. Красносельский М.А., Вайникко Г.М. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 455 с.
42. Вайникко Г.М. Возмущенный метод Галеркина и общая теория приближенных методов для нелинейных уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1967. Т. 7. № 4. С. 723-751.
43. Бахтин И.А., Красносельский М.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами // Сибир. математ. журн. 1961. Т. 2. № 3. С. 313-330.
REFERENCES
1. Anselone P.M. Nonlinear integral equations. Proc. of an advanced seminar conducted by the mathematics research center. Madison, 1963.
2. Borovskikh A.V. On the content of mathematical education. Mathematics for non-mathematicians. Matematika. Informatika. Obrazovaniye, 2022, no. 4(28), pp. 51-65 (In Russian).
3. Radau R.R. Sur la loides densités à l'intérieur de la Terre [On the law of densities inside the Earth]. Paris, 100 (1885), 972-974.
4. Bogatov YE.M., Mukhin R.R. On the development of nonlinear integral equations at an early stage and the contribution of domestic mathematicians.
История и педагогика естествознания
153
Chebyshevckiy sbornik, 2021, vol. 22, no. 3, pp. 312-345 (In Russian).
5. Nekrasov A.I. On waves of steady state. Izv. Ivanovo- Voznesen. politekhn. in-ta, 1921, no. 3, pp. 52-65 (In Russian).
6. Bogatov YE.M. On the history of the Nekrasov equation. Prikladnaya matematika & Fizika, 2021, vol. 53, no. 3, pp. 213-229 (In Russian).
7. Bogatov YE.M. Ob istorii variatsionnogo ischisleniya v tselom i vklade otechestvennykh matematikov [On the history of the calculus of variations in general and the contribution of Russian mathematicians]. Trudy Mezhd. konf. Rossiyskogo natsional'nogo komiteta po istorii i filosofii nauki i tekhniki RAN, posvyashchennoy 90-letiyu IIYET RAN im. S.I. Vavilova [Proc. of Int. conf. Russian National Committee on the History and Philosophy of Science and Technology of the Russian Academy of Sciences, dedicated to the 90th anniversary of the IIET RAS after S.I. Vavilov]. Moscow, 2022, pp. 433-436.
8. Morse M. The foundations of a theory in the calculus of variations in the large. Trans. Amer. Math. Soc., 1928, no. 30 (2), pp. 213-274.
9. Lyusternik L.A., Shnirel'man L.G. Topologicheskiye metody v variatsionnykh zadachakh [Topological methods in variational problems]. Moscow, Issl. in-t matem. i mekh. pri 1-m MGU Publ., 1930. 68 p.
10. Vakhrameyev S.A. Morse theory and Lyusternik-Shnirelman theory in geometric control theory. Itogi nauki i tekhn. Ser. Sovrem. probl. mat. Nov. dostizh., 1991, no. 39, pp. 41-117 (In Russian).
11. Bogatov E.M. On the history of variational methods of non-linear equations investigations and the contribution of Soviet scientists (1920s-1950s). Antiq. Math., 2020, vol. 14, pp. 1-36.
12. Sobolev S. L. On a boundary value problem for polyharmonic equations. Matem. sb., 1937, vol. 2, no. 3, pp. 465-499 (In Russian).
13. Krasnosel'skiy M.A. Topologicheskiye metody v teoriiintegral'nykh uravneniy [Topological methods in the theory of integral equations]. Moscow, GITL Publ., 1956. 392 p.
14. Tonelli L. Functional analysis in the calculation of variations. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa-Classe di Scienze, 1940, vol. 9, no. 3-4, pp. 289-302 (In Italian).
15. Vaynberg M.M. Variatsionnyye metody issledovaniya nelineynykh operatorov [Variational methods for studying nonlinear operators]. Moscow, GITTL Publ., 1956. 344 p.
16. Vaynberg M.M. Variatsionnyy metod i metod monotonnykh operatorov v teorii nelineynykh uravneniy [Variational method and the method of monotone operators in the theory of nonlinear equations]. Moscow, Nauka Publ., 1972. 417 p.
17. Vorovich I.I. On some direct methods in the nonlinear theory of oscillations of shallow shells. Izv. AN SSSR. Ser. matem., 1957, vol. 21, no. 6, pp. 747-784 (In Russian).
18. Bogatov YE.M. Some notes on the history of Orlicz spaces. Tavricheskiy vestnikinformatikiimatematiki, 2015, no. 3, pp. 24-39 (In Russian).
19. Kantorovich L.V. On semi-ordered spaces. Izv. AN SSSR. Ser. matem., 1937, vol. 1, no. 1, pp. 91-110 (In Russian).
20. Bogatov YE.M. On the development of qualitative methods for solving nonlinear equations and some consequences. Izvestiya vuzov. Prikladnaya nelineynaya dinamika, 2019, vol. 27, no. 1, pp. 96-114 (In Russian).
21. Bogatov YE.M. On the history of the fixed point method and the contribution of Soviet mathematicians (1920s-1950s). Chebyshevskiysbornik, 2018, vol. 19, no. 2(66), pp. 30-55 (In Russian).
22. Kantorovich L.V., Akilov G.P. Funktsional'nyy analiz [Functional analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1977. 742 p.
23. Leray J. , Schauder J. Topology and functional equations. Ann. Sei. École Norm. Sup., 1934, vol. 61, pp. 45-73 (In French).
24. Bogatov YE.M. Ob istorii geometricheskikh metodov nelineynogo analiza [On the history of geometric methods of nonlinear analysis]. TrudyXVIII mezhd. konf. «Algebra, teoriya chisel i diskretnaya geometriya: sovremennyye problemy, prilozheniya i problemy istorii» [Proc. of XVIII int. conf. "Algebra, number theory, and discrete geometry: modern problems, applications, and problems of history"]. Tula, 2020, pp. 317-321.
25. Krasnosel'skiy M.A. On a fixed point principle for completely continuous operators in function spaces. Dokladyakademiinauk SSSR, 1950, vol. LXXIII, no. 1, pp. 13-15 (In Russian).
26. Bogatov YE.M. On the history of positive operators (1900s - 1960s) and the contribution of M. A. Krasnoselsky. Prikladnaya matematika & Fizika, 2020, vol. 52, no. 2, pp. 105-127 (In Russian).
27. Kreyn M.G. On linear operators leaving some conic set invariant. Doklady akademii nauk SSSR, 1939, vol. XXIII, no. 8, pp. 749-752 (In Russian).
28. Kreyn M.G., Kreyn S.G. On one internal characteristic of the space of all continuous functions defined on a Hausdorff compact set. Doklady akademii nauk SSSR, 1940, vol. 25, no. 6, pp. 427-430 (In Russian).
29. Kreyn M.G., Rutman M.A. Linear operators leaving a cone invariant in a Banach space. Uspekhi matematicheskikh nauk, 1948, vol. 3, no. 1(23), pp. 3-95 (In Russian).
30. Uryson P.C. On one type of nonlinear integral equations. Matem. sb., 1923, vol. 31, no. 2, pp. 236-255 (In Russian).
31. Krasnosel'skiy M.A. Fixed points of operators compressing or stretching a cone. Doklady akademii nauk SSSR, 1960, vol. 135, no. 3, pp. 527-530 (In Russian).
32. Vaynberg M.M., Trenogin V.A. Methods of Lyapunov and Schmidt in the theory of nonlinear equations and their further development. Uspekhi matematicheskikh nauk, 1962, vol. 17, no. 2(104), pp. 13-75 (In Russian).
33. Cronin J. Branch points of solutions of equations in Banach space. II. Transactions of the American Mathematical Society, 1954, vol. 76, no. 2, pp. 207-222.
34. Krasnosel'skiy M.A. On the Nekrasov equation in the theory of waves on the surface of a heavy liquid. Doklady akademii nauk SSSR, 1956, vol. 109, no. 3, pp. 456-459 (In Russian).
35. Rabinowitz P.H. Some global results for nonlinear eigenvalue problems. Journal of functional analysis, 1971, vol. 7, no. 3, pp. 487-513.
36. Banach S. On operations in abstract sets and their application to integral equations. Fund. Math, 1922, no. 3, pp. 133—181 (In French).
37. Kantorovitch L. The method of successive approximation for function alequations. Acta Mathematica, 1939, vol. 71, no. 1, pp. 63-97.
38. Kantorovich L.V. Majorant principle and Newton's method. Doklady akademii nauk SSSR, 1951, vol. 76, no. 1, pp. 17-20 (In Russian).
39. Kantorovich L.V. Functional analysis and applied mathematics. Uspekhi matematicheskikh nauk, 1948, vol. 3, no. 6(28), pp. 89-185 (In Russian).
40. Collatz L. Function analytical methods in practical analysis. Z. Angew. Math. Phys., 1953, no. 4, pp. 327-357 (In German).
41. Krasnosel'skiy M.A., Vaynikko G.M. Priblizhennoye resheniye operatornykh uravneniy [Approximate solution of operator equations]. Moscow, Nauka Publ., 1969. 455 p.
42. Vaynikko G.M. The perturbed Galerkin method and the general theory of approximate methods for nonlinear equations. Zhurnal vychisl. matem. i matem. fiz, 1967, vol. 7, no. 4, pp. 723-751 (In Russian).
43. Bakhtin I.A., Krasnosel'skiy M.A. The method of successive approximations in the theory of equations with concave operators. Sibirskiy mat. zh., 1961, vol. 2, no. 3, pp. 313-330 (In Russian).
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ / INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Богатов Егор Михайлович, к.ф.-м.н., доцент, Филиал Национального Bogatov Egor M., Cand. Sci. (Phys.-Mat.), Assoc. Prof., Branch of National
исследовательского технологического университета «МИСИС» в Research University of Science and Technology "MISIS" in Gubkin town of
г. Губкине Белгородской области, Старооскольский технологический Belgorod Region; Stary Oskol Technological Institute of National Research
институт им. А.А. Угарова (филиал) Национального исследовательского University of Science and Technology "MISIS". технологического университета «МИСИС».
