О вибрациях в гидроагрегатах ГЭС с широким диапазоном рабочей зоны Текст научной статьи по специальности «Физика»

© Т.Р. Абдульмянов УДК 621.51:534

О ВИБРАЦИЯХ В ГИДРОАГРЕГАТАХ ГЭС С ШИРОКИМ ДИАПАЗОНОМ

РАБОЧЕЙ ЗОНЫ

Т.Р. Абдульмянов

Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, Россия

ORCID*:// https://orcid.org/0000-0002-2501-5634,[email protected]

Резюме: В данной работе рассматривается модель формирования акустических волн в замкнутом контуре рабочего колеса радиально-осевых турбин ГЭС. Согласно гипотезе гидроупругих колебаний, обтекание лопасти турбины происходит в свободном пространстве. Такое предположение справедливо для волновых движений в направлении свободного падения потока. Однако в горизонтальном направлении поток замкнут. В связи с этим, в данной работе предпринята попытка учета замкнутости потока в турбине: рассматриваемая математическая модель учитывает вращение потока воды, окружающего рабочее колесо гидроагрегата. Модель может быть полезным для изучения причин разделения рабочей зоны турбин ГЭС на разрешенные и неразрешенные зоны эксплуатации. Согласно расчетам, величина виброускорения для нормированного потенциала скорости является большим по сравнению с виброускорением, полученным по данным датчиков. Необходимо, чтобы на это различие обратили внимание специалисты, проектирующие радиально-осевые типы турбин, и специалисты, эксплуатирующие их.

Ключевые слова: акустическая волна, радиально-осевая турбина, рабочее колесо, рабочая зона турбины, виброускорение.

ABOUT VIBRATIONS IN HYDRAULIC POWER PLANTS WITH A WIDE RANGE OF

WORKING ZONE

T.R. Abdulmyanov

Kazan State Power Engineering University, Kazan, Russia

ORCID:// https://orcid.org/0000-0002-2501-5634, [email protected]

Abstract: In this paper a model for the formation of acoustic waves in a closed contour of the impeller of radial-axial turbines of a hydroelectric power station is considered. According to the hypothesis of hydroelastic vibrations, flow around the turbine blade occurs in free space. This assumption is valid for wave motions in the direction of free flow. However, in the horizontal direction the flow is closed. In this regard, an attempt to account closure flow in the turbine: a mathematical model takes into account the rotation of the water flow surrounding the impeller hydraulic unit. The model can be useful for studying the reasons for the separation of the working zone of hydroelectric turbines into allowed and unauthorized exploitation zones. According to calculations, the magnitude of vibration acceleration for the normalized velocity potential is large in comparison with the acceleration due to sensor data. It is necessary that specialists who design radial-axial types of turbines and specialists who exploit them pay attention to this distinction.

Keywords: acoustic wave, radial-axial turbine, impeller, working zone of turbine, vibration acceleration.

Введение

Основной задачей вибромониторинга гидроагрегатов ГЭС является выявление дефектов их работы по результатам анализа форм вибросигналов, поступающих с установленных на этих агрегатах датчиков вибраций. Акселерометры, измеряющие абсолютную вибрацию турбинного подшипника, устанавливаются в опоре сервомоторов, управляющих поворотом лопаток направляющего аппарата [1]. Возбудителем автоколебаний с положительной обратной связью часто бывает направляющий аппарат, вибрации которого, в свою очередь, зависят от колебаний системы водовод - гидроагрегат -энергосистема [1].

Сравнения характерных зон работы гидроагрегатов Саяно-Шушенской и Красноярской ГЭС показывают большое сходство в чередовании частей рабочих зон: зоны (I), в которой эксплуатация гидроагрегата разрешается; зоны (II), в которой эксплуатация не рекомендуется; зоны (III), в которой эксплуатация рекомендуется, и зоны (IV), в которой эксплуатация запрещена. При этом, зона рекомендованной работы гидроагрегата составляет около четверти всей рабочей зоны. Границы зон (I) - (IV) определяются положением лопаток направляющего аппарата. Появление зоны (II), не рекомендованной работы гидроагрегатов, к настоящему времени не вполне понятно. Существует несколько гипотез о происхождении таких зон. Согласно первой из этих гипотез, нестационарные процессы в работе гидроагрегатов могут возникать по причине гидродинамической неустойчивости потока в проточной части гидротурбины. По второй гипотезе, такие процессы могут появиться в результате гидроупругих колебаний, возникающих при обтекании лопасти гидротурбин в замкнутом потоке [1].

По результатам детального анализа причин аварии на Саяно-Шушенской ГЭС сделан вывод о том, что причиной этой аварии стало усталое разрушение элементов крепления крышки турбины энергоблока № 2, обусловленное высоким уровнем вибрации турбины в штатном режиме ее работы [2]. Возможность появления таких вибраций исследована в работе Курзина и Селезнева [3] при помощи одномерного волнового уравнения для потенциала скорости акустических колебаний.

Целью данной работы является анализ одного из аспектов моделирования процесса формирования акустических волн, который может оказаться полезным в решении обсуждаемой проблемы: всестороннего изучения причин разделения рабочей зоны на множество частей. Согласно гипотезе гидроупругих колебаний, обтекание лопасти турбины происходит в свободном пространстве. Такое предположение справедливо для волновых движений в направлении свободного падения потока. В горизонтальном направлении, в турбине, поток замкнут [1]. В связи с этим, в данной работе предпринимается попытка учета замкнутости потока в турбине и рассматривается математическая модель волновых движений, учитывающая вращение потока воды, окружающего рабочее колесо гидроагрегата. Полный анализ обстоятельств и причин аварии на Саяно-Шушенской ГЭС проведен в статьях [2; 4-15].

Модель формирования круговых волн для радиально-осевых турбин с учетом вращения потока

Моделирование физических явлений и процессов состоит из трех основных этапов: эксперимента, этапа моделирования и заключительного этапа - проверки адекватности модели. Корректно проведенный эксперимент и соответствующее моделирование могут гарантировать долговременное безаварийное функционирование узлов и агрегатов гидротехнических сооружений и устройств. Этап моделирования важен с точки зрения правильной эксплуатации, определения режимов работы гидроагрегатов и корректирования действий блока микропрограммного управления. В лабораторных условиях адекватность модели формирования акустических волн можно проверить при помощи простых опытов формирования на поверхности прямоугольных и круглых пластин, фигур Хладни [16; 17]. В

действительности же, все намного сложнее: авария на Саяно-Шушенской ГЭС показала неадекватность заложенной модели тем условиям, в которых происходила эксплуатация ГЭС. В таких случаях необходимо подвергнуть глубокому и всестороннему анализу каждый из трех основных этапов моделирования. В связи с этим, рассмотрим некоторые математические аспекты построения модели формирования акустических волн.

Колебательное движение с малыми амплитудами в сжимаемой жидкости называют звуковыми волнами [18]. Относительные изменения плотности, давления и скорости в жидкости предполагаются малыми: р = р0 + р1, р = р0 + р1, V = у0 + у1 где р0, р0, у0 -равновесные плотность, давление и скорость. Учитывая то, что колебания в звуковой волне малы, при помощи уравнений Эйлера и уравнения неразрывности можно получить следующее волновое уравнение для потенциала и (V = grad(u)) [18]:

д u 2» —- = c2Au.

dt2

(1)

Рассмотрим звуковую волну, в которой все переменные зависят только от двух переменных х и у. В этом случае волновое уравнение (1) будет иметь следующий вид:

д 2u

at2"

(Я 2

д 2u

2

д u

дх 2 ду2

(2)

Выберем систему координат с началом в центре рабочего колеса гидроагрегата и плоскостью х0у, совпадающей с плоскостью рабочего колеса. В этом случае движение жидкости в плоскости рабочего колеса удобнее рассматривать в цилиндрической системе координат (г, ф) и уравнение (2) будет иметь следующий вид:

d2u

ГЯ2.

dt

2

1 я2 А 1 д u

д u 1 du

2 r дг r2 дф2

дг 2

(3)

С учетом вращения потока в плоскости рабочего колеса уравнение (3) будет следующего вида:

d2u

2

dt

2

^ d2u 1 du

дг 2

дг

_L d2uA

г2 дф2

+ 2div(Ox vi).

(4)

Дивергенция векторного произведения fi^Vj вычисляется по следующей формуле [19]: div(Q х vi) = vi • rotO - Q • rot (v),

где

rotfi) = (i V -V

^ r дф dz

(1 d(V) 1 д¥ф Л

dVr dVz dz dr

еФ +

dr

r дф

h h(1 + e • cos ф)

ez, v = (V V ,0),Vp — - л .

ф ф r a(1 - e2)

где к - удвоенная секторная скорость, е, а - эксцентриситет и большая полуось эллиптической траектории потока. Для определения скорости вращения П потока воспользуемся формулой вращения рабочего колеса [20]:

ю = -т0/(М/2 + т) = -0/[М/(2т) + 1] «-П/ (ц/2+1),

где М и т - масса вращающейся части турбины и масса воды потока, заключенного в зоне рабочего колеса, ю - угловая скорость вращения рабочего колеса, п = ^эф/ЖГ - КПД гидротурбины, Жэф и ЫГ - эффективная и гидравлическая мощность. Откуда получим О = -ю(П/2+1), О = (0, 0, -ю(п/2+1)). Следовательно,

2

+

= c

2

= c

х V) = -О • го/ (г^) = ю(п /2 +1)

_ ю(п/2 +1)• еsinф

2 *

г • а • (1 - е )

1 д{г¥ф) 1 дУ^

дг

г дф

Подставляя полученное выражение для дивергенции векторного произведения в уравнение (4), получим волновое уравнение математической модели формирования цилиндрических волн, учитывающее вращение потока. Модель может быть применена для исследования вибраций радиально-осевых турбин.

Краевая задача и ее решение для волнового уравнения

Рассмотрим сначала случай кругового движения потока в плоскости рабочего колеса (е = 0). В этом случае уравнения (4) и (3) будут одинаковыми. Уравнение (3) является линейным, поэтому его аналитическое решение можно найти при помощи метода разделения переменных. Согласно этому методу решение и(г, ф, 0 будем искать в виде произведения двух новых искомых функций Гм V: и(г, ф, 0 = ДО • V(r, ф). Подставляя это выражение для потенциала и в уравнение (3), получим следующее уравнение для функций Г и V:

V д2Г

с д/

,д2У

1

д2УЛ

дг

,+ т1 -+т9 ,

2 г дг г2 дф2

(5)

Теперь уравнение (5) можно заменить равносильной ему системой двух более простых уравнений. Для этого необходимо правую и левую части уравнения (5) разделить на произведение функций V и Г:

1

д2Т

с2Т д/2

1 д2У 1 д¥

1

д2УЛ

V дг2 Уг дг

Уг2 дф2

= -Х 2

(6)

Левая часть уравнения (6) является функцией только переменной t, а правая - зависит только от г, ф. В этом случае как правая, так и левая части равенства (6) будут равны одной и той же константе. Обозначим эту константу через - X2. В результате, вместо уравнения (6) получим следующие два уравнения:

а 2т

( 1 д2У

+ с212Т = 0,

дУ_

У дг 2 Уг дг

д2 УЛ

Уг 2 дф2

= -Х 2

(7)

(8)

Уравнение (7) имеет простое решение. Поэтому рассмотрим уравнение (8). Решение уравнения (8) будем искать также методом разделения переменных, представив искомую функцию V в виде произведения функций Ш и Z: V(r, ф) = Л(г) 5"(ф). Подставляя это выражение для функции V в уравнение (8) получим следующее уравнение:

,д2 Я

Я д2 Б

дг'

Б дЯ +--+

2 дг г 2 дф2

+ X2 Я • Б = 0.

(9)

Разделим правую следующему виду:

и левую части уравнения (9) на и преобразуем его к

г2 д2Я г дЯ ,22

--- +--+ X2 г2 =--

Я дг 2 Я дг

1 д2Б

(10)

Б дф2

Левая часть уравнения (10) является функцией только г, а правая часть - только ф. Тогда правая и левая части уравнения (10) будут равны одной и той же константе. Обозначим эту константу через п2. В результате, вместо уравнения (10) получим следующие два уравнения:

2

^ + п2Б = 0, (11)

2 ^

+ +12 г2 -п2 = 0. (12)

г2 а 2я г ая ,22 2

я аг2 я аг

Уравнение (11) имеет простое решение, а уравнение (12) является уравнением Бесселя:

2

а 2я 1 ая

аг2 г аг

,2 п

1 —2

г2

я = 0. (13)

Обозначим через х выражение Хг Тогда уравнение (13) примет классическую форму уравнения Бесселя:

а2 я 1 ая

-+--+

( 2 ^ 1 - ~2

У х

я = 0. (14)

ах2 х ах

Частными решениями уравнения (14) являются функции Бесселя порядка V:

я( х) = Зп(х) = Зп (1 • г).

Величину константы Х определим так, чтобы выполнялось граничное условие и(Я0, ф,

¿) = 0:

яо • Я = А^п. Откуда получим константу Х: 1 = /яо. Произвольная константа V в уравнении (10) является порядком функции Бесселя. Учитывая это, получим следующие частные решения уравнения (3): и(г, ф, ¿) = ТЯку(г)• Бп(ф), где Тпк(() = аь,со8(сХ() + Ькп$т(еХ1) Бп(ф) = соБ(пф + ф0), Якп(г) = Jn(Хr), - функция Бесселя порядка п. Коэффициенты акх, Ьку определяются при помощи начальных условий краевой задачи. Учитывая линейность волнового уравнения (15), сумма этих частных решений (их линейная комбинация) также будет решением уравнения (15). Эта сумма будет общим решением уравнения (15):

да да

и(г,ф,() = ^ ео8(пф + фо) ^ [а • cos( с1?) + Ъ • sm(c1г)] • Jn (1г). (15)

п=0 к=0

Частные решения волнового уравнения (1) можно представить в следующем виде: ип (г, ф,?) = Ап СОБ(пф + ф0 )[акп со8(сХ?) + Ъкп 8т(сХ?)] Jn (1г).

Откуда, приравнивая к нулю Jn(Х г) и со8(пф + ф0), получим круговые и диагональные линии узлов основных колебаний:

г = Ьяп я0,^я0,..., 1(г-")пя0 , ф =1 ГФ0 ±П + 2пк 1,п * 0.

1кп 1кп 1кп п V 2 )

Расположения круговых линий узлов определяют зоны распространения максимальных амплитуд вибраций, а диагональные - определяют степень асимметричности вибраций. При п = 0 круговые волны будут симметричными, а при п Ф 0 с увеличением п будет увеличиваться число переходов от максимума к минимуму амплитуды вибрации по углу ф.

Будем считать, что в начальный момент / = 0 потенциал и одинаковой во всех точках потока. В этом случае функция Бп(ф) в общем решении (15) будет константой. Тогда индекс V в функции Бп(ф) будет равен нулю. Для формулировки и решения краевой задачи необходимо, чтобы потенциал в начальный момент времени, как функция радиуса г, был разложен в ряд Фурье по функциям J0(Хkr/Я0). Представим и(г, 0) как среднюю арифметическую потенциалов J0(Хkr/Я0) на расстоянии г от центра рабочего колеса:

т

и(г,0) = ^ £^(1кг /я). т +1 к=0

Учитывая это, начальные и граничные условия краевой задачи для волнового уравнения (3) определим следующим образом:

25

и(г,0) = ^ /«о), ^(г,0) = 0,

т +1 к=о »

| и(0, 0 | < и(Л0, 0 = 0. (16) Тогда коэффициенты ак будут равны ак = м(0, 0) = 1, Ьк = 0. Решение краевой задачи, нормированное относительно значения потенциала в центре рабочего колеса и(0, 0), будет следующее:

1 т

Ы(Т,/) =-- X ^(С* /«о) • ^(V /«о). (17)

т +1 к=0

Скорость вибраций, давление и виброперемещение

Действия звуковых волн в лабораторных экспериментах могут быть представлены в виде фигур Хладни. Вынужденные колебания круглой мембраны и фигуры Хладни, которые формируются при этом, детально были проанализированы в классической монографии Реллея [21] по теории звука. Современные опыты с фигурами Хладни и исследования процесса их формирования рассматриваются в статьях [16; 17]. Показано, что формирование фигур Хладни происходит в течение определенного промежутка времени. То есть, действия звуковых волн при формировании фигур Хладни заключаются в постепенном перемещении частиц из окрестности максимума потенциала [17] к окрестности точек минимума. Звуковые волны, которые формируют фигуры Хладни на поверхности круглой мембраны, отличаются от гидроакустических волн, которые формируются в потоке внутри рабочего колеса турбины только средой распространения и формой турбины. Однако, законы распространения акустических волн общие для всех сред. Основным источником гидроакустических волн в потоке внутри рабочего колеса радиально-осевых турбин является вибрация в подшипниках вала и самого рабочего колеса. Эта вибрация создает вынужденные колебания потока. Если бы поток был стационарным, то гидроакустические волны потока были бы подобны акустическим волнам от вибрации рабочего колеса, подобно фигурам Хладни. Но, в виду сложности потока (например, вращения), акустические волны начинают действовать независимо от начальных возмущений и начинают оказывать обратное действие на рабочее колесо. Изучение такого влияния потока на вращение рабочего колеса является основной целью моделирования. В связи с этим, рассмотрим основные характеристики вибраций.

При помощи решения (17), определим скорость потока в радиальном направлении и давление [18]:

1 т X

V = £гай (и(г,/)) = --^-¡г X • ТТcos(tcXk /«о)• МХкг /«о),

(т + 1)11 Л11к=о «о

'1 ="РI*"роI= ро • (т + 1)1^/Х• %™(/СЧ ' «о)• ^о^'^ (18)

Если найдена скорость потока, то интегрируя ее по времени получим формулу для определения радиального сдвига:

т

* (г,/) = ^-^"Г / «о) • Зх(\кг / «о). (19)

с(т +1)11 Л к=о

В качестве нормы в выражениях скорости V и давления р1 берется модуль наибольшего значения этих функций.

В качестве примера, для расчета скорости V, давления рх и радиального сдвига ё были использованы параметры радиально-осевой турбины Саяно-Шушенской ГЭС [1]. В здании Саяно-Шушенской ГЭС размещено 10 гидроагрегатов мощностью 640 МВт каждый с радиально-осевыми турбинами, работающими при расчётном напоре 194 м (рабочий

диапазон напоров - от 175 до 220 м). Номинальная частота вращения гидротурбины -142,8 об/мин, максимальный расход воды через турбину - 358 м3/с, КПД турбины в оптимальной зоне - около 96%, общая масса оборудования гидротурбины - 1440т. Рабочее колесо, соединенное с валом турбины - это ротор радиально-осевой турбины, преобразующий энергию потока воды в механическую. Вес колеса - 145 тонн, диаметр -6,77 м, диаметр вала турбины - 1,945 м [1]. Следовательно, внешний радиус Я0 в формуле (18) будет равен 3,385 м, внутренний радиус колеса около одного метра (половина диаметра вала турбины). В вычислениях были использованы следующие константы: скорость распространения звука в воде с = 1500 м/с, плотность воды в равновесном состоянии Ро = 1000 кг/м3. Подставляя значения этих констант и численные значения нулей ^ функции Бесселя нулевого порядка в формулу (18), получим функцию плотности р\ для этих констант. Определим численное значение и размерность постоянного множителя р0с/Я0 в формуле давления (18):

Ро^ = 1,5-10б = _105 н/м2 = о,4373МПа.

Я0 3,385

Ро •с

_ Щ

где производная безразмерного потенциала скорости по времени имеет размерность 1/с.

Скорость и производная потенциала скорости также нормированы. Норма -максимум модуля этих величин. Для того, чтобы применить данную модель к реальным условиям, необходимо нормированное значение потенциала и(0, Г) заменить реальными значениями, полученными при помощи данных датчиков вибраций.

На рис. 1 показаны графики потенциала и скорости, вычисленного по формуле (17). Согласно рис. 1а наибольшее значение и в пять раз больше других значений, но расположено внутри малого радиуса г0 = 1 м (г0 < г < Я0). Внутри интервала г0 < г < Я0 потенциал и почти равномерно убывает (рис. 1,б).

О 0.2 04 06 08 1 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

а) б)

Рис. 1. Графики потенциала и(г, Г) скорости для начального момента времени Г = 0, нормированного относительно и(0, 0). Вертикальная ось системы координат - значения потенциала и, горизонтальная -

полярный радиус г, выраженный в метрах

На рис. 2 показаны графики вариаций давления р:(г, Г) для шести значений Г интервала 0 < Г < 2%Я^(ск1): Г = 2//1500 секунд, / = 0, ..., 5. Давление выражено в мега паскалях (МПа). Согласно рис. 2,а и рис. 2,б, максимумы давления в четыре раза больше фонового, и периодически перемещаются в радиальном направлении от внутреннего радиуса г0 до внешнего Я0 и обратно.

На рис. 3 показано распределение давления в полярной плоскости (г, ф) для моментов

кг м 1 1

м3 с м с

кг

2 2 мс м

1 =н/м2,

времени t = 2//1500 секунд, i = 1, 2, 3, 5. Полярные координаты (г, ф) на рис. 3 преобразованы в прямоугольные координаты (х, у): г = (х2 + у2)12, ф = аг^(у/х).

Рис. 2. Графики вариации давленияр^г, {) для шести значений t = 2г/1500 секунд, г = 0, ..., 5. Вертикальная ось - давление рь выраженное в мега паскалях (МПа), горизонтальная ось - полярный

радиус г, выражен в метрах

в) г)

Рис. 3. 3-Б график распределения давленияр1(г, ^ для четырех значений t = 2г/1500 секунд, а) г = 1, б) г =2, в) г =3, г) г =5. Вертикальная ось - давлениерь выраженное в мега паскалях (МПа), горизонтальная - полярный радиус г, выражен в метрах, г = (х2 + у2)1/2, ф = аг^(у/х)

На рис. 4 показаны графики радиальных смещений й(т, (), вычисленных по формуле (19) для шести значений полярного радиуса г =1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5 м. Согласно рис. 4

радиальные смещения происходят вблизи положения равновесия как в направлении увеличения полярного радиуса, так и в направлении его уменьшения. Наибольшее значение радиального сдвига составляет около 2,5 см для полярных радиусов 1 < г < 2 м (рис. 4,а), для полярных радиусов 2,5 < г < 3,5 м (рис. 4,б) величина наибольшего радиального сдвига уменьшается до 1,5 см.

Рис. 4. Графики радиальных смещений d(r, t): а) для полярных радиусов r = 1; 1,5; 2 м; б) для полярных радиусов r = 2,5; 3; 3,5 м. На вертикальной оси - величина радиальных смещений d(r, t), выраженная в метрах, на горизонтальной оси - время, выраженное в секундах

Согласно рис. 4 радиальные смещения потока, ограниченного между внутренним радиусом рабочего колеса ( радиус вала турбины, r0 ~ 1 м) и внешним радиусом (радиус рабочего колеса, R0 = 3,38 м), могут достигать величин 2,5 см (рис. 4а) и 1,5 см (рис. 4б). Эти величины намного больше даже по сравнению с аварийными радиальными виброперемещениями. По данным пьезоакселерометра, установленного на опоре сервомоторов Саяно-Шушенского ГЭС, максимальные радиальные вибрации на момент аварии составляли 1500 мкм. При нормальной работе - радиальные вибрации могут достигать 200-400 мкм. Номинальная частота вращения гидротурбины - 142,8 об/мин. Тогда виброускорение при нормальной работе (200 мкм) будет равно 0,044 м/с2, а на момент аварии (1500 мкм) - 0,33 м/c2. Такие значения виброускорения не могут быть причиной аварий. Следовательно, виброперемещения потока для нормированного потенциала скорости на порядок больше показаний акселерометра. Однако, если даже предположить, что реальное виброперемещение будет на порядок меньше расчетного (рис. 4), различие расчетного виброускорения и полученного по показаниям датчиков будет большим. Причина в том, что более значимым в расчете виброускорения является величина периода вибраций. Согласно рис. 4 период вибрации составляет около 410-4 секунд. Тогда виброускорение будет равно 616 м/c2. Уменьшая его на порядок, получим 61,6 м/c2. Даже уменьшенная на порядок величина виброускорения является достаточно большим для того, чтобы на это различие обратили внимание специалисты, проектирующие радиально-осевые типы турбин и специалисты, эксплуатирующие их.

Выводы

Конструкция рабочего колеса радиально-осевых гидротурбин сложная. По этой причине трудно моделировать волновые движения потока, проходящего через рабочее колесо. В таких случаях, как правило, применяются все возможные упрощения. В данном случае предполагалось, что поток имеет только круговые движения в радиальном направлении. Но даже при таком упрощении можно получить основные характеристики

волнового движения потока относительно его равновесного состояния: скорость потока, давление и радиальное виброперемещение. Построенная в данной работе модель волновых движений потока позволяет учитывать также и эллиптичность потока.

Ввиду сложности конструкции рабочего колеса, начальный потенциал скорости будет иметь более сложную форму, чем принятая в данной работе. В таком случае, распределение давления в полярной плоскости будет зависеть также от полярного угла. Тогда на характер вибраций будут влиять также и диагональные узлы. В результате, вибрации будут асимметричными, и будут возникать вибрации рабочего колеса в виде биения. В случае больших амплитуд такие вибрации могут приводить к большим разрушениям.

Упрощением также является условие отсутствия вибраций потока по периметру рабочего колеса. Для решения общей задачи с учетом различных вариантов краевых условий необходимо применение методов приближения или численных методов решения уравнений в частных производных.

Несмотря на то, что рассматриваемая модель значительно упрощает реальные движения потока внутри радиально-осевых гидротурбин, при помощи этой модели и полученных формул, можно выполнить предварительную оценку возможных проблем, связанных с эксплуатацией и управлением режимами работы радиально-осевых гидротурбин ГЭС.

Литература

1. Тарасов В.Н. Механизмы Саяно-Шушенской аварии. Факты и гипотезы. [Электронный ресурс], февраль 2011. http://forums.drom.ru

2. Акт технического расследования причин аварии, произошедшей 17 августа 2009 года в филиале Открытого Акционерного Общества «РусГидро» - «Саяно-Шушенская ГЭС имени П.С. Непорожнего». [Электронный ресурс], 2009. http://www.gosnadzor.ru/news/aktSSG_bak.doc

3. Курзин В.Б., Селезнев В.С. О механизме возникновения высокого уровня вибраций турбин Саяно-Шушенской ГЭС // Прикладная механика и техническая физика. 2010. Т. 52, № 4. С. 166-175.

4. Лобановский Ю.И. Технические причины катастрофы на Саяно-Шушенской ГЭС. [Электронный ресурс], ноябрь 2009. http://synerjetics.ru/article/catastrophe.htm

5. Селезнев В.С., Лисейкин А.В., Альжанов Р.Ш., Громыко П.В. Влияние работы гидроагрегатов на собственные колебания плотины Саяно-Шушенской ГЭС // Гидротехническое строительство. 2013. № 7. С. 2-7.

6. V.S. Seleznev, A.V. Liseikin, A.A. Bryksin, and P.V. Gromyko. What Caused the Accident at the Sayano-Shushenskaya Hydroelectric Power Plant (SSHPP): A Seismologist's Point of View // Seismological Research Letters. 2014. Vol. 85. P. 817-824.

7. Вульфович Н.А., Потехин Л.П. Об ограничениях интенсивности наполнения и опорожнения водохранилища бетонных платин (на примере Саяно-Шушенской ГЭС) // Гидротехническое строительство. 2017. № 12. С. 11-19.

8. Селезнев В.С., Курзин В.Б., Лисейкин А.В., Громыко П.В. О собственных акустических колебаниях в водоводах гидротурбин Саяно-Шушенской ГЭС // Гидротехническое строительство. 2016. № 7. С. 41-45.

9. Гордон, Л.А., Скворцова А.Е. Актуализация критериев безопасности для основных диагностических показателей плотины Саяно-Шушенской ГЭС // Гидротехническое строительство. 2013. № 4. С. 22-31.

10. Егоров А.Ю., Костылев В.С., Саранцев М.И. Определение собственных частот плотины Саяно-Шушенской ГЭС по показаниям сейсмометрической аппаратуры и расчетными методами // Гидротехническое строительство. 2016. № 8. С. 45-50.

11. Рассказчиков В.А. Дополнения и уточнения к статье «Пути повышения достоверности измерения напряжений в бетонных плотинах (на примере Саяно-Шушенской ГЭС)» // Гидротехническое строительство. 2013. № 3. С. 38-40.

12. Рассказчиков В.А. Пути повышения достоверности измерения напряжений в бетонных плотинах (на примере Саяно-Шушенской ГЭС) // Гидротехническое строительство. 2013. № 3. С. 24-34.

13. Савич А.И. Статическое и динамическое поведение Саяно-Шушенской арочно-гравитационной плотины / Гидротехническое строительство. 2013. № 3. С. 2-13.

14. Тарасов В.Н. Гидроунругие колебания агрегатов ГЭС // Гидротехническое строительство. 2012. № 1. С. 13-23.

15. Юсупов Т. M., Решетникова Е.Н., Александров Ю.Н. Оценка состояния системы «плотина -основание» Саяно-Шушенской ГЭС но завершении этана наполнения водохранилища в 2012 г. / Гидротехническое строительство. 2013. № 4. С. 3-9.

16. Mелешко В.В., Панков С.О. Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями: от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших дней // Акустический вестник. 2009. Т. 12, № 4. С. 34-51.

17. Журавлев О.А., Комаров С.Ю., Mолевич Н.Е. Исследования процесса изменения фигур Хладни на колеблющейся мембране с тонким слоем жидкости // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. Mеханика и машиностроение. 2003. Т. 3, № 2. С. 369-372.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика. Гидродинамика. Т. 4. M.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 736 с.

19. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А., Справочник но математике. M.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. 544 с.

20. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Часть II. M.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. 322 с.

21. Стретт Дж. В. (Лорд Рэлей). Теория звука. Т. 1. M.: Госуд. изд. технико-теоретической лит., 1955. 503 с.

Автор публикации

Абдульмянов Тагир Раисович - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Инженерная кибернетика» Казанского государственного энергетического университета.

References

1. Tarasov V.N. Mekhanizmy Sayano-Shushenskoy avarii. Fakty i gipotezy. [Elektronnyy resurs], fevral' 2011. http://forums.drom.ru.

2. Akt tekhnicheskogo rassledovaniya prichin avarii, proizoshedshey 17 avgusta 2009 goda v filiale Otkrytogo Aktsionernogo Obshchestva «RusGidro» - «Sayano-Shushenskaya GES imeni P.S. Neporozhnego». [Elektronnyy resurs], 2009. http://www.gosnadzor.ru/news/aktSSG_bak.doc.

3. Kurzin V.B., Seleznev V.S. O mekhanizme vozniknoveniya vysokogo urovnya vibratsiy turbin Sayano-Shushenskoy GES // Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika. 2010. T. 52, № 4. S. 166-175.

4. Lobanovskiy YU.I. Tekhnicheskiye prichiny katastrofy na Sayano-Shushenskoy GES. [Elektronnyy resurs], noyabr' 2009. http://synerjetics.ru/article/catastrophe.htm.

5. Seleznev VS., Liseykin A.V, Al'zhanov R.SH., Gromyko P.V Vliyaniye raboty gidroagregatov na sobstvennyye kolebaniya plotiny Sayano-Shushenskoy GES // Gidrotekhnicheskoye stroitel'stvo. 2013. № 7. S. 2-7.

6. V.S. Seleznev, A.V. Liseikin, A.A. Bryksin, and P.V. Gromyko. What Caused the Accident at the Sayano-Shushenskaya Hydroelectric Power Plant (SSHPP): A Seismologist's Point of View // Seismological Research Letters. 2014. Vol. 85. P. 817-824.

7. Vul'fovich N.A., Potekhin L.P. Ob ogranicheniyakh intensivnosti napolneniya i oporozhneniya vodokhranilishcha betonnykh platin (na primere Sayano-Shushenskoy GES) // Gidrotekhnicheskoye stroitel'stvo. 2017. № 12. S. 11-19.

8. Seleznev V.S., Kurzin V.B., Liseykin A.V., Gromyko P.V. O sobstvennykh akusticheskikh kolebaniyakh v vodovodakh gidroturbin Sayano-Shushenskoy GES // Gidrotekhnicheskoye stroitel'stvo. 2016. № 7. S. 41-45.

9. Gordon, L.A., Skvortsova A.Ye. Aktualizatsiya kriteriyev bezopasnosti dlya osnovnykh

diagnosticheskikh pokazateley plotiny Sayano-Shushenskoy GES // Gidrotekhnicheskoye stroitel'stvo. 2013. № 4. S. 22-31.

10. Yegorov A.YU., Kostylev V.S., Sarantsev M.I. Opredeleniye sobstvennykh chastot plotiny Sayano-Shushenskoy GES po pokazaniyam seysmometricheskoy apparatury i raschetnymi metodami // Gidrotekhnicheskoye stroitel'stvo. 2016. № 8. S. 45-50.

11. Rasskazchikov V.A. Dopolneniya i utochneniya k stat'ye «Puti povysheniya dostovernosti izmereniya napryazheniy v betonnykh plotinakh (na primere Sayano-Shushenskoy GES)» // Gidrotekhnicheskoye stroitel'stvo. 2013. № 3. S. 38-40.

12. Rasskazchikov V.A. Puti povysheniya dostovernosti izmereniya napryazheniy v betonnykh plotinakh (na primere Sayano-Shushenskoy GES) // Gidrotekhnicheskoye stroitel'stvo. 2013. № 3. S. 24-34.

13. Savich A.I. Staticheskoye i dinamicheskoye povedeniye Sayano-Shushenskoy arochno-gravitatsionnoy plotiny / Gidrotekhnicheskoye stroitel'stvo. 2013. № 3. S. 2-13.

14. Tarasov V.N. Gidrouprugiye kolebaniya agregatov GES // Gidrotekhnicheskoye stroitel'stvo. 2012. № 1. S. 13-23.

15. Yusupov T. M., Reshetnikova Ye.N., Aleksandrov YU.N. Otsenka sostoyaniya sistemy «plotina -osnovaniye» Sayano-Shushenskoy GES po zavershenii etapa napolneniya vodokhranilishcha v 2012 g. / Gidrotekhnicheskoye stroitel'stvo. 2013. № 4. S. 3-9.

16. Meleshko V.V., Papkov S.O. Izgibnyye kolebaniya uprugikh pryamougol'nykh plastin so svobodnymi krayami: ot Khladni (1809) i Rittsa (1909) do nashikh dney // Akusticheskiy vestnik. 2009. T. 12, № 4. S. 34-51.

17. Zhuravlev O.A., Komarov S.YU., Molevich N.Ye. Studies of the Chladni changing process on a vibrating membrane with a thin fluid layer // Izvestiya Samarskogo nauchnogo tsentra Rossiyskoy akademii nauk. Mekhanika i mashinostroyeniye. 2003. T. 3, № 2. S. 369-372.

18. Landau L.D., Lifshits Ye.M. Teoreticheskaya fizika. Gidrodinamika. T. 4. M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1986. 736 s.

19. Strett Dzh. V. (Lord Reley). Teoriya zvuka. T. 1. M.: Gosud. izd. tekhniko-teoreticheskoy lit., 1955. 503 s.

Author of the publication

Tagir R. Abdulmyanov - cand. sci., associate professor, Department of Engineering Cybernetics, Kazan State Power Engineering University.

Дата поступления 19.02.2018.