CC BY
41
УДК 514.75
О цилиндроиде, направляющие кривые которого есть винтовые линии
М.А. Чешкова
Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)
A Cylindroid with Circular Helixes as Directing Curves
M.A. Cheshkova
Altai State University (Barnaul, Russia)
Линейчатая поверхность называется поверхностью Каталана, если ее прямолинейные образующие параллельны некоторой плоскости. К поверхностям Каталана относятся и цилиндроиды. Цилиндроид — линейчатая поверхность, образованная движением прямой линии по двум кривым (направляющим), причем образующая прямая параллельна некоторой плоскости. В работе исследуются цилиндроиды, направляющие кривые которых есть винтовые линии. Возможны четыре случая: 1) обе винтовые линии правозакрученные с одним шагом; 2) обе винтовые линии правозакрученные с разными шагами; 3) одна винтовая линия правозакрученная, другая — левозакручен-ная, причем обе винтовые линии с одним шагом; 4) одна винтовая линия правозакрученная, другая левозакрученная, обе винтовые линии закручены с разным шагом. Определены полная и средняя кривизны рассматриваемых поверхностей. Только в первом случае средняя кривизна равна нулю. Поверхность в этом случае есть минимальная. Единственная линейчатая минимальная поверхность есть геликоид.
Ключевые слова: цилиндроид, винтовая линия,
полная кривизна, средняя кривизна.
БОТ 10.14258/^уа8и(2014)1.2-11
A ruled surface is called a Catalan surface if its rectilinear generators are parallel to a certain surface. A cylindroid is the Catalan surface formed by a straight-line movement along two directing curves with a rectilinear generator being parallel to a certain surface. In the paper we study cylindroids with circular helixes as directing curves. There are four cases: 1) the two helixes are right-rotary and they have the same screw pitch, 2) the two helixes are right-rotary and they have different screw pitches, 3) one helix is right-rotary, the second helix is left-rotary and they have the same screw pitch, 4) one helix is right-rotary, the second helix is left-rotary and they have different screw pitches. Total and the mean curvatures of the considered surfaces are calculated. The mean curvature equals to zero in the first case only. The only surface is the minimal surface. A helicoid is the only minimal ruled surface. We construct these surfaces with a help of mathematical software package.
Key words: cylindroid, helix, total curvature, mean curvature.
Цилиндроид — линейчатая поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим кривым, причем во всех положениях образующая прямая параллельна некоторой плоскости параллелизма [1, 2].
В монографии [1] авторы рассматривают цилиндроиды, когда направляющие кривые есть эллипсы и окружности.
Косые цилиндроиды — линейчатые поверхго-сти, образованные при помощи трех образующих, из которых две кривые, третья — прямая, рассматриваются в [1, 3].
В работе [4] приводится пример цилиндроида, который является листом Мебиуса.
В евклидовом пространстве Е3 рассмотрим линейчатую поверхность М
т(п,у) = Р\(и) + VI (и), (1)
где Р1 = р\(и) — направляющая кривая, 1(и) — вектор образующей прямой.
Потребуем, чтобы линейчатая поверхность (1) была цилиндроидом.
Пусть р2 = р2 (¿) — вторая направляющая кривая. Тогда
I = р1 (и) - р2^).
Предположим, что вектор I образующей прямой параллелен некоторой плоскости.
Рис. 1. Геликоид (двойная спираль 1) и = — 2п, ...2п, V = -1,..., 1 и его полная кривизна V = -5,..., 5
Рассмотрим цилиндроиды, когда направляю-шие кривые есть винтовые линии.
Возможны четыре случая:
1) обе винтовые линии правозакрученные (ле-возакрученные) с одним шагом;
2) обе винтовые линии правозакрученные (ле-возакрученные) с разным шагом;
3) обе винтовые линии разнозакрученные с одним шагом;
4) обе винтовые линии разнозакрученные с разным шагом.
Случай 1.
Обе винтовые линии правозакрученные с одним шагом.
Зададим винтовые линии в виде
Р1(и) = (2сов(и), 2вт(и),и), (2)
р2(*) = (сов(*), 8т(*),г). (3)
Вектор I имеет вид
I = (2 сов(и) — соб(4), 2 вт(и) — вт(£), и — ¿). (4)
За направляющую плоскость примем плоскость г = 0. Тогда имеем и = I = (соБ(и), вт(и), 0). Уравнение линейчатой поверхности (1) примет вид
г(и, V) = (2 соэ(и) + V сов(и), 2 вт(и)+
+ V вт(и),и). (5)
Определим среднюю кривизну Н =
^гаве(А),и полную кривизну К = сШ{А), где А = С-1В,С = (^),В = (^), дп = < г„,г„ > , 512 =< >, ^22 =< гу>,
b
11
512
b22
(ruu ? ru ? rv )
\Jdet(G) '
(ruv ? ru ? rv )
^det{G) '
(rvv ? ru ? rv )
\J det(G)
Средняя кривизна Н = 0. Поверхность в этом случае минимальная. Единственная линейчатая минимальная поверхность есть геликоид Полная кривизна имеет вид
K = -
1
(5 + 4v + v2)2 '
(6)
Используя математический пакет, построим линии и поверхность (рис. 1).
Случай 2.
Обе винтовые линии правозакрученные с разным шагом.
Зададим винтовые линии в виде
р1(и) = (2сов(и), 2вт(и),и), (7)
р2(г) = (СОБ(4), вт(£), Н£), Н = 1. (8)
Вектор I имеет вид
I = (2 соэ(и) — соб(£), 2 вт(и) — вш(£), и — Н£). (9)
За направляющую плоскость примем плоскость г = 0. Тогда имеем и = Ы, I = (сов(и) — соз(^), 8ш(ы) -8т(^),0).
Уравнение линейчатой поверхности (1) примет вид
и
г(ы, г') = (2соз{и) + г>(соз(и) — соз( —)), (10)
Н
и
28ш(и) + г|(зт(и) — вт( — )),«).
Н
Используя математический пакет, определим среднюю кривизну Н = ^Ьгаве(А) и полную кривизну К = ¿е£(А), полагая Н = 2,
36 2sin(f)(16-8cos(f) + 3v)
jFC =--Н =----' —-
Р2' v/((2cos(f)-3)PP :
Р = 18cos(-)v2 +24cos(-)í>+ 8cos(|) — 48г» - 27v2 + 28.
Рис. 2. Двойная спираль 2 и ее направляющие кривые, и = — 2п,..., 2п, V = -1,..., 0
Рис. 3. Полная К и средняя Н кривизны двойной спирали 2, и = —2п,..., 2п, V = —2,..., 2
Построим эту поверхность (рис. 2) и поверхности кривизн К, Н (рис. 3). Случай 3.
Обе винтовые линии разнозакрученные с одним шагом.
Зададим винтовые линии в виде
р1(и) = (2ео8(и), 2зт(и),и), (11)
р2 (г) = (-сов(г), вт(г),г). (12)
Тогда
I = (2 еов(и) + еов(г), 2вт(и) — вт(£), и — г). (13)
За направляющую плоскость примем плоскость г = 0. Тогда имеем и = г, I = (3 еов(и), вш(и), 0).
Уравнение линейчатой поверхности (1) примет вид
г(и, V) = (2 еов(и) + v(3 еов(и)), 2 зш(и)+
+ v(sin(u)), и) (14)
Используя математический пакет, определим среднюю кривизну Н = ^гаве(А),и полную кривизну К = ¿е£(А).
Имеем
Н = —
К = —
д2
2sin(u) cos(u)(—8еos(u)2 + 5 + 12v)
То1 '
д = 16еos(u)4+24еos(u)2+5+24еos(u)2v+9v2+12v.
Построим эту поверхность (рис. 4) и поверхности кривизн К, Н (рис. 5). Случай 4.
Обе винтовые линии разнозакрученные с разным шагом.
Зададим винтовые линии в виде
р1(и) = (2cos(u), 2sin(u),u), (15)
р2(г) = (— еos(t), sin(t),ht),h = 1. (16)
Имеем
I = (2 cos(u) + cos(t), 2 sin(u) — sin(t), и — ^г). (17)
За направляющую плоскость примем плоскость г = 0. Тогда имеем и = Ы, I = (cos(u) +
со8(|),8т(г() -вт(|),0).
9
Рис. 4. Двойная спираль 3 и ее направляющие кривые, и = — = —1,..., 0
Рис. 5. Полная К и средняя Н кривизны двойной спирали 3, и = — = —1,..., 0
Рис. 6. Двойная спираль 4 и ее направляющие кривые, и = — 2п,..., 2п, V = —1,..., 0
Рис. 7. Полная К и средняя Н кривизны двойной спирали 4, и = — 2п,..., 2п, V = —2,..., 2
Уравнение линейчатой поверхности (1) примет вид
u
г (и, v) = (2 cos(w) + vicos (и) + cosí —)), (18)
h
u
2 sin(w) + -y(sin(w) — sin( —)), u)
h
Определим среднюю кривизну H = ^trase(A), и полную кривизну K = det(A), полагая h = 2. Имеем
H
2sin(f)A
-Gcos^ + Scos^R)3'
А = -128cos(^)5 + 32cos(^)2 + 128cos(^)3+
, СО , О , со ,
+ 108cos( —) г> - 8 - 24cos(-) - 27v, R = 32cos(-)3 + 8cos(-)V +
__ , СЬ ч О _ , СЬ ч
32соз( —) -у - 24сов(-)г;-
—24 соз(^) - 6совфг;2 + 7г;2 + 16« + 12.
Построим эту поверхность (рис. 6) и поверхности кривизн К, Н (рис. 7).
Библиографический список
1. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Хала-би С.М. Аналитические поверхности. — М., 2006.
2. Perez A., McCarthy J.M. Bennett's linkage and the cylindroid // Mechanism and Machine Theory. — 2002. — № 37.
3. Буланов С.Н., Буланов Г.С. Исследование поверхности дважды косого трохоидного цилин-
дроида с наклонной осью вращения // Прикладная геометрия и инженерная графика. — Киев, 1985. — Вып. 40.
4. Чешкова М.А. Построение листа Мебиуса // Известия Алт. гос. ун-та. — 2013. — №1/1(77).
