CC BY
2
Научная статья УДК 517.925.42 ББК 22.161.6 У 95
DOI: 10.53598/2410-3225-2023-3-326-21-27
О циклах квадратичной системы
(Рецензирована)
Дамир Салихович Ушхо
Адыгейский государственный университет, Майкоп, Россия, damirubych@mail.ru
Аннотация. Для квадратичной системы, имеющей четыре состояния равновесия в ограниченной части фазовой плоскости, найдены достаточные условия того, что предельные циклы окружают только одно антиседло (фокус).
Ключевые слова: квадратичная система, состояние равновесия, предельный цикл,
фокус
Original Research Paper
On cycles in quadratic systems
Damir S. Ushkho
Adyghe State University, Maikop, Russia, damirubych@mail.ru
Abstract. For a quadratic system with four equilibrium states in a limited phase plane area, we found sufficient conditions for the limit cycles to surround only one antisaddle (focus). Keywords: quadratic system, equilibrium state, limit cycle, focus
Прямые изоклины и связанные с ними канонические формы полиномиального векторного поля
dx n
— = 2 a1Jx'y1 - Pn(x yl
dt i+1=0 (1)
dy n
f = 2 W - Qn (x, УX
^ Ш i+j=0
где aij, bj e R, (Pn, Qn) = 1, играют определенную роль в качественной теории.
Замечание 1. Под канонической формой записи системы (1) подразумевается такая форма ее записи, при которой
Pn(xу) = (aix+diy+ci)ai ■■■■■ (akx+dky+ck)a" •P(x,y)
или
Qn(x,У) = (mx + nxy + [У1 ■■..■ (msx + nsy + lsУ' ■ Q(x,y), где ai, Pj (i = 1, k, j = 1, s) - целые неотрицательные числа, причем
k f s ^
2ai > 0 или 2 A > 0 , P(x, У) Q(x, y)) - либо многочлен нулевой степени, либо
i=1 V j=l J
многочлен степени n > 2, не имеющий делителей вида ax + by + c (см. [1]).
В работе [2] доказана теорема 3, согласно которой алгебраическая кривая L
порядка n -1 является изоклиной системы (1), если n2 - n состояний равновесия этой системы принадлежат кривой L. Следствием этой теоремы является утверждение: прямая, проходящая через два состояния равновесия системы
dx
dt
= Z avx'yJ = P2( x yX
d i+f° (2)
dy = Z W - Ö2( x, y),
1+} =0
где ац,Ьц е К, (Р2,Q2) = 1, является ее изоклиной.
Данное утверждение доказано в работах [3, 4].
Четыре точки на плоскости могут быть вершинами четырехугольников двух типов: а) невыпуклых; б) выпуклых.
Четырехугольник будем называть невыпуклым, если одна из его вершин расположена внутри треугольника, образованного тремя остальными вершинами. Эту вершину условно будем называть внутренней. Четырехугольник, не имеющий внутренней вершины, естественно называть выпуклым.
В статье [5] доказана теорема: если система (2) имеет четыре состояния равновесия в ограниченной части фазовой плоскости, образующие выпуклый (невыпуклый) четырехугольник, то две противоположные его вершины являются седлами, а две другие - антиседлами (внутренняя вершина есть седло, а остальные вершины - антиседла или внутренняя вершина - антиседло, а остальные вершины - седла).
Замечание 2. Под антиседлом подразумевается простое состояние равновесия, не являющееся седлом.
Целью настоящей заметки является установление достаточных условий, определяющих местоположение предельных циклов системы (2). В этой связи уместно отметить, что активное изучение системы (2) на предмет существования, отсутствия, оценки числа и взаимного расположения предельных циклов приходится на период 60-70-х годов прошлого столетия (см. [6-9]).
Следуя работе [2], точку М (х0, у0) фазовой плоскости системы (1) будем называть контактом на гладкой кривой Ь, если вектор V = (Рп (х, у), Qn (х, у)) является направляющим вектором касательной к кривой Ь в точке М(х0, у0).
Имеет место
Теорема 6 [2]. Сумма числа состояний равновесия системы (1) и числа контактов на гладкой алгебраической кривой порядка т , не состоящей из траекторий этой системы, не превосходит числа N = т(т + п -1).
Следствие 1. Сумма числа состояний равновесия и числа контактов системы (2) на прямой I, не являющейся инвариантной, не более двух.
Определение 1. Пусть дуга АВ - часть простой гладкой замкнутой кривой I, разбивающей фазовую плоскость на две области 01, G2, причем G2 - внешняя (дву-связная область). Вектор поля системы (1) в точках А и В обозначим V(А) и V(В) соответственно. Предположим, что начала этих векторов совмещены с точками А и В соответственно, а каждый из векторов расположен в одной из областей G1 и G2. Если векторы V(А) и V(В) лежат в одной области (в разных областях), то точки А и В называются согласованными (несогласованными) на дуге АВ .
Очевидно, в силу непрерывности векторного поля системы (1) между двумя не-
согласованными точками А и В на дуге АВ есть хотя бы один контакт или одно состояние равновесия (1).
Согласно теореме 2 [2] все четыре состояния равновесия системы (2) являются простыми, кроме того, эта система в случае четырех состояний равновесия может быть приведена к каноническому виду [4, 5]:
= ( х + Ъху + сх )(а2 х + Ъ2 у + с2 ^
т
— = (а3 х + Ъ3 у + с3 )(а4 х + Ъ4 у + с4 ). Ж
f Qn (x, y) ^
Определение 2. Пусть L - изоклина системы (1), и = m, m - const, тогда m будем называть направлением, индуциро-
Рп (х, у) х,у )еЬ
ванным этой системой на изоклине Ь .
Теорема 1. Пусть система (2) имеет четыре состояния равновесия в ограниченной части фазовой плоскости, причем прямая
<т(х, у) = Р2х (х, у) + 02у (х, у) = 0 (3)
проходит через одно и только одно состояние равновесия М этой системы. Если М - седло, то существует не более одного антиседла, окруженного предельным циклом.
Доказательство. Предположим, что четыре состояния равновесия системы (2) образуют выпуклый четырехугольник (см. рис. 1).
Рис. 1. Состояния равновесия A, B, D, E системы (2) образуют выпуклый четырехугольник Fig. 1. The A, B, D, E equilibrium points of the system (2) form a convex quadrangle
Согласно упомянутой теореме 3 [2], прямые AB, BD, DE, AE, AD, BE - изоклины
системы (2). В силу теоремы 2.6 [4] точка W(x0, _у0) - состояние равновесия системы
(2) тогда и только тогда, когда существуют хотя бы две изоклины Lx и L2, проходящие
через W(x0, _у0), на которых индуцированы различные направления. Так как система
(2) имеет на прямой не более двух состояний равновесия, то точка R (см. рис. 1) не является состоянием равновесия, следовательно, на прямых AB и DE индуцировано
одно и то же направление mj, на прямых BD и AE - направление m2 (mj Ф m2) . На
прямых AD и BE индуцировано направление m3, и так как все четыре состояния равновесия A,B,D,E системы (2) простые, то (mx -m2)(m1 -m3)(m2 -m3) Ф 0 [4].
Не уменьшая общности, предположим, что A — 0(0,0).
С помощью преобразования
Гx = х +_y _ (4)
[y = m2 x + m3y v '
придадим системе (2) вид (обозначения переменных x,y оставляем неизменными):
dx
— = (axx + \y)(a2x + b2 У + c2%
d (5)
— = (a3 x + b3 y)(a4 x + b4 y + c4), ,dt
где
alb3 - a3bl Ф 0, a1b4 - a4b1 Ф 0, a1b2 - a2b1 Ф 0, a3b2 - a2b3 Ф 0, a2b4 - a4b2 Ф 0, c2c4 Ф 0 (5')
В результате преобразования (4) прямые AD и BE (BD и AE ) трансформировались в изоклины бесконечности (нуля) системы (5) [4]. Для определенности полагаем, что A — 0(0,0) - седло, тогда B и E - антиседла, а D - седло.
Пусть прямая
<j( x, y) — (2a1a2 + b3a4 + a3b4) x + (axb2 + a2b1 + 2b3b4) y + a1c2 + b3c4 = 0 (6)
проходит через точку A — 0(0,0). Тогда она пересекает: а) отрезок BR, или б) отрезок RE, или в) не пересекает ни один из отрезков BR и RE. Если прямая (6) пересекает отрезок BR, то антиседло E не может быть окружено замкнутой траекторией системы (5).
Действительно, согласно критерию Бендиксона [10] любая замкнутая траектория этой системы пересекает прямую (6). Поэтому замкнутая траектория l, окружающая точку E, если она существует, то пересекает прямую изоклину бесконечности AD. Точки пересечения l и прямой AD не согласованы, следовательно, между ними существует хотя бы один контакт. Это невозможно, так как AD - линия без контакта для траекторий системы (5). Таким образом, в рассматриваемом случае замкнутая траектория, а именно предельный цикл системы (5), может окружать только антиседло B .
Аналогичными рассуждениями в случае б) приходим к выводу о том, что предельный цикл может окружать только антиседло E. Пусть далее имеет место случай в), то есть прямая (6) не пересекает ни один из отрезков BR и RE . Если замкнутая траектория l системы (5) окружает антиседло B, то l пересекает прямую (6) в точках S1 и S2, расположенных выше прямой AD. Поскольку S1 и S2 не согласованы, то на прямой (6) найдется контакт S3 , расположенный между точками S1 и S2 . Поэтому антиседло E не окружает замкнутая траектория, а именно предельный цикл системы (5) согласно следствию 1. Теорема доказана в случае выпуклого четырехугольника.
Пусть состояния равновесия системы (2) образуют невыпуклый четырехугольник (см. рис. 2).
Нетрудно видеть, что на прямых BD и AE индуцировано одно и то же направление, которое обозначим m1. Направление, индуцированное на изоклинах BE и AD (AB и DE), обозначим m2 (m3). При этом выполняется неравенство (ml -m2)(m1 -m3)(m2 -m3) Ф 0 .
В
A
E
Рис. 2. Состояния равновесия A, B, D, E образуют невыпуклый четырехугольник Fig. 2. The A, B, D, E equilibrium points form a non-convex quadrilateral
С помощью преобразования (4) система (2) приводится к системе (5), удовлетворяющей условиям (5'). Полагая, как и в случае выпуклого четырехугольника, точку A совпадающей с началом координат, прямые AB и DE (BE и AD) переводим в прямые изоклины бесконечности (нуля) системы (5). Так как внутренняя вершина D может быть седлом или антиседлом [5], то рассмотри случай седла. Тогда остальные три состояния равновесия A, B, E - антиседла.
Можно показать, что все три антиседла одновременно не могут быть фокусами. Тот факт, что все три состояния A, B, E не могут быть центрами, доказан в статье [5] впервые, а затем и в работе [1] другим способом. Следует также отметить, что состояние равновесия типа «узел» системы (2) не может быть окружено предельным циклом [11].
Прямая (6), проходящая через седло D, пересекает отрезки BA' и AB', или A'E и AE', или BE' и B'E . Поскольку прямая AB (AD) - изоклина бесконечности (нуля) системы (5), то, как видно из рисунка 2, антиседло A является узлом, то есть предельные циклы системы (5) могут окружать только B или E.
Рассуждая так же, как и в случае выпуклого четырехугольника, рассмотрим следующие возможности расположения прямой (6). Она пересекает отрезки: 1) A'E и AE';
В случае 1) предельный цикл системы (5) может окружать только антиседло Е, в случае 2) - только антиседло В, в случае 3) - только одно из антиседел В и А . Если предположить, что Б - антиседло, то остальные три состояния равновесия системы (5) суть седла, и теорема верна в этом случае. Теорема доказана полностью.
Пример. Система
где 8 - сколь угодно малое положительное число, имеет два седла
^(0,1) окружен хотя бы одним устойчивым предельным циклом.
Действительно, система (70) имеет устойчивый негрубый фокус ^(0,1) крат-
2) BA' и AB'; 3) BE' и B' E .
= x(-2 x - y + 2),
^ dt
(7J
и два фокуса (1,0) и (0,1), причем неустойчивый грубый фокус
Ж
ности 1, так как третья фокусная величина a3(V1) = — — < 0. При переходе от системы
(70) к системе (7s), где s - сколь угодно малое положительное число, негрубый фокус превращается в грубый фокус противоположной устойчивости и из него рождается один устойчивый предельный цикл, окружающий неустойчивый фокус V1(0,1) [12]. Этот цикл пересекает прямую sy — x = 0, и согласно теореме 1 фокус V2(1,0) не окружают предельные циклы.
Примечания
1. Тлячев В. Б., Ушхо А. Д., Ушхо Д. С. К вопросу о прямых изоклинах полиномиальных дифференциальных систем на плоскости // Вестник Нижегородского университета им. Н И. Лобачевского. 2010. № 1. С. 156-162.
2. Тлячев В. Б., Ушхо А. Д., Ушхо Д. С. Состояния равновесия и смежные вопросы теории плоских полиномиальных векторных полей // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2020. № 1. С. 30-54.
3. Тун-Цзинь-чжу. Расположение предельных циклов системы dx dy
— = X2 (x, y), — = Y2 (x, y) // Периодический сборник переводов иностранных статей: Мате-dt dt
матика. 1962. Т. 6, № 6. С. 150-168.
4. Ушхо Д. С. Прямые изоклины и канонические формы полиномиальных дифференциальных систем на плоскости. Майкоп, 2007. 93 с.
5. Берлинский А.Н. О поведении интегральных кривых одного дифференциального уравнения // Известия высших учебных заведений. 1960. № 2 (15). С. 3-18.
6. Черкасс Л. А. О циклах уравнения y' = Q2( x, y)/ P2( x, y) // Дифференциальные уравнения. 1973. Т. 9, № 8. С. 1432-1437.
7. Черкас Л. А., Жилевич Л. И. Некоторые признаки отсутствия и единственности предельных циклов // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, № 7. С. 1170-1178.
8. Черкас Л. А. Об отсутствии предельных циклов одного дифференциального уравнения, имеющего негрубый фокус // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, № 5. С. 779-783.
9. Рычков И. Г. О предельных циклах уравнения
u(x + 1)du = (-x + cu + ax2 + bxu + du2)dx // Дифференциальные уравнения. 1972. Т. 8, № 11. С. 2257-2259.
10. Качественная теория динамических систем второго порядка / А. А. Андронов, Е. А. Леонтович, И. И. Гордон, А. Г. Майер. Москва: Наука, 1966. 568 с.
11. Воробьев А. П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа «узел» // Доклады АН БССР. 1960. Т. 4, № 9. С. З69-Э71.
12. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А. А. Андронов, Е.А. Леонтович, И. И. Гордон, А. Г. Майер. Москва: Наука, 1967. 488 с.
References
1.Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D. S. On the question of straight isoclines of polynomial differential systems on the plane // The Bulletin of Nizhny Novgorod University of N.I. Lo-bachevsky. 2010. No. 1. P. 156-162.
2.Tlyachev V. B., Ushkho A.D., Ushkho D. S. Equilibrium states and adjacent questions of the plane polynomial vector fields theory // Differential Equations and Control Processes. 2020. No. 1. P. 30-54.
3.Tung Chin-Chu. Positions of limit-cycles of the system — = X2(x,y), — = Y2(x,y) //
dt dt
The periodic collection of translations of foreign articles. Mathematics. 1962. Vol. 6, No. 2. P. 150168; Sci. Sinica, 1959. Vol. 8, No. 2. P. 151-171.
4. Ushkho D. S. Straight isoclines and canonical forms of polynomial differential systems on the plane. Maikop: ASU Publishing House, 2007. 93 p.
5.Berlinsky А.К On the behavior of integral curves of one differential equation // News of
Higher Educational Institutions. 1960. No. 2 (15). P. 3-18.
6.Cherkas L.A. About Equation Loops y' = Q2(x,y)/P2(x,y) // Differential Equations. 1973. Vol. 9, No. 8. P. 1432-1437.
7.Cherkas L.A., Zhilevich L.I. Some signs of absence and uniqueness of limit cycles // Differential Equations. 1970. Vol. 6, No. 7. P. 1170-1178.
8.Cherkas L.A. On the lack of limit cycles of one equation having non-rough focus // Differential Equations. 1970. Vol. 6, No. 5. P. 779-783.
9. Rychkov G.S. On the limit cycles of an equation
u(x +1)du = (-x + ax2 + bxu + cu + du2 )dx // Differential Equations. 1972. Vol. 8, No. 12. P. 22572259.
10. Qualitative theory of second-order dynamical systems / A.A. Andronov, E.A. Leontovich, I.I. Gordon, A G. Maier. Moscow: Nauka, 1973. 568 p.
11. Vorobyev A.P. On the issue of cycles around a singular point of the "knot" type // DAN BSSR. 1960. Vol. 4, No. 9. P. 369-371.
12. Theory of bifurcations of dynamical systems on a plane / A.A. Andronov, E.A. Leontovich, I.I. Gordon, A G. Maier. Moscow: Nauka, 1967. 488 p.
Статья поступила в редакцию 03.07.2023; одобрена после рецензирования 25.07.2023; принята к публикации 26.07.2023.
The article was submitted 03.07.2023; approved after reviewing 25.07.2023; accepted for publication 26.07.2023.
© Д. С. Ушхо, 2023
