О циклах автоморфизма Фибоначчи Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

О ЦИКЛАХ АВТОМОРФИЗМА ФИБОНАЧЧИ Морозов А.В.

Морозов Алексей Валентинович - кандидат физико-математических наук, профессор,

кафедра математики, Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург

(1)

Аннотация: обсуждаются структурные особенности циклов автоморфизма Фибоначчи.

Ключевые слова: дискретная динамическая система на плоскости, отображение Арнольда, циклы (периодические траектории).

УДК 531

На плоскости R2 рассмотрим квадрат ££ = [0 , 1 ] х [ 0, 1 ] и определим на нем двумерное отображение Л : ££ — ££ :

[x = 2x + y (modi),

[y = x + y (modi). Отображение (1) в литературе называется отображением «кот Арнольда» и является частным случаем более общего отображения Д.В. Аносова [1,2]. Другое название отображения (1) - автоморфизм Фибоначчи оправдывается тем, что для

задающей его матрицы А = ( ^ ^ ) = f \ ) выполняется равенство Ап =

V J 2 îi'

/ fïn+l fïn V fin fin-l'

Циклом периода П отображения Л называется множество П точек {z, <Az,..., Лп~ 1 z} , z = (х, у) £ ££, если все они различны и Лпг = z, при этом каждая точка такого цикла называется периодической периода П .

( k l Л

В квадрате ££ рассмотрим m X m решётку с узлами œfc ¿= I —,— I,

1 m m )

0 < k < m — 1, 0 < l < m — 1. Множество узлов такой решетки обозначим ££т.

Известно [1], что каждый узел является периодической точкой некоторого, вообще говоря, неизвестного периода, а, следовательно, является элементом некоторого цикла X периода T = П.

Приведем примеры циклов, для некоторых т. Для m = 4 циклами с периодом

'1 1Л ( 2 Г

h А

, где числа Фибоначчи.

3 являются:

для

J,07 ( 2,5

0,1

0,3

5

4 4 M 4 4

3 3 5,5

4 1 5,5

0,1

4,0

4,0 ), 1 4,4 / 1 4,4 ), 1 40

3,4I, ( 0,21, ( 2,21, ( 1,4 I, ( 1/

У 5A 5A 5 5 / IУ 5 AУ )

периода 10, [|31 |f 21 |f 31 II - цикл периода 2; [I 5'5 А 5'5/I 5'5 If

для

'1 1Л ( 3 2 ^

7, 7 ) , 1 7,7

1 5 л

7,7

6 6 *

7, 7.

4 5 * 7, 7

6 2 * 7,7

7, 7

m = 5 : - цикл

m = 7 :

- цикл

6

1

0

0

7

7

— 8; - - - (М) Ю (М)} -

цикл периода 5.

Каждой решётке 0,т с узлами сск¿, к,I — 0, \,...,т, поставим в соответствие символ Б : Т^1 • Т^2 •... • Тг • 1 , где Т > Т > ..> Т > 1 " периоды циклов, Г -

число циклов периода Т [3, 4]. Соответствующие узлы, лежащие на противоположных сторонах квадрата, отождествляются. Ясно, что для любого т

о

выполняется равенство Тг + Т2Г2 + ... + Т^ + 1 — т .

В статье [4] была приведена таблица 1 количества циклов для всех решёток вплоть до т —113, из которой, в частности, следует, что находит подтверждение следующая гипотеза [3]. Для простых т > 5 символы, характеризующие структуру циклов,

имеют вид Б: Т{1.1.

Таблица 1. Количество циклов для всех решёток

т т

2 3.1 58 2^120 у120^1 ^

3 42.1 59 29120.1

4 35.1 60 б040.3010.208. 1250. 102. б10 410.35 .22. 1

5 102.22.1 61 30124.1

6 122.42.3\1 62 1525б. 31 .1

7 8б. 1 63 24144.12б.854.42.1

8 68.35.1 64 48б4.2432.121б.б8.35.1

9 12б.42.1 65 7048.14б0.102.22.1

10 302.102.б2.31.22.1 66 б048.2078.1524.122.524.42.31.1

11 524.1 67 б8б<5 . 1

12 1210.42.35.1 68 1825б.35.1

13 1412.1 69 24198.42.1

14 24б.8б.31.1 70 12024.4024.302.2430.102.830. б2. 31 . 22 . 1

15 208.102.410.22.1 71 35144. 1

16 121б.б8.35.1 72 1242б.б8.42.35.1

17 181б.1 73 7472.1

18 122б.42.31.1 74 1143<5. 383б. 31.1

19 940.1 75 10040.5010.20 48.1012.410.22.1

20 3010.102.б10.35.22.1 76 9б40.35. 1

21 834.42.1 77 40144.8б.524.1

22 1524.524.3\1 78 8418.4212.2848.1412. 122.42.32. 1

23 24 22.1 79 391б0.1

24 1242.б8.42.35.1 80 б0б4.3042.1280.102.б50.35.22.1

25 5010.1012.22.1 81 10854.3б18. 12б . 42.1

26 4212.1412.31.1 82 б084.2084.31.1

т т £>: ,...Г5ГМ

27 3618.12б.42.1 83 8482.1

28 2430. 86 . 35 . 1 84 24270.1260.854.42.35.1

29 7120.1 85 9064.1830.102.22.1

30 608.302. 208.1210. 102. б2 . 410. 31. 22 . 1 86 13242.4442.31.1

31 1564. 1 87 2^21^12^2 ^

32 2432.1216б8.35.1 88 30192.15120. 68. 524.35. 1

33 2048.524.42.1 89 22360.1

34 1864.3\1 90 60104. 302. 208. 12130. 102. 62. 410.31.22. 1

35 4024.830.102.22.1 91 56144. 1412. 86.1

36 12106.42.35.1 92 24352.35.1

37 3836.1 93 60128.1564.42.1

38 980.311 94 48138. 16138.31.1

39 2848.1412.42.1 95 9080.1880.102.940.22.1

40 3042.102.650.35.22.1 96 24288.12186.68.42.35.1

41 2084.1 97 9896.1

42 2454.122.854.42. 31. 1 98 16842.5642.246.86.31.1

43 44 42.1 99 60144.2048.126. 524.42. 1

44 15120.524.35.1 100 15050.5010.3060.1012.610.35.22.1

45 6024.208.1230.102.410.22.1 101 25408.1

46 2488.31. 1 102 36256.1864.122.42. 31. 1

47 16138.1 103 104102.1

48 12186.68.42.35.1 104 42252.1412.68.35.1

49 5642.86.1 105 40216.208. 102. 8270.410. 22. 1

50 15010.5010. 3012. 1012. 62.31. 22. 1 106 54 208.31.1

51 3 664.1816.42.1 107 36318.1

52 4260.1412.35.1 108 36288.12106.42. 35. 1

53 5452.1 109 22360 1

54 3 672.1226.42.31. 1 110 3 0290. 1524. 10290. 62. 524.31.22.1

55 10290.524.22.1 111 76144.3836.42.1

56 24126.86.68.35.1 112 24510.1216.86.68.35.1

57 3680.940.42.1 113 38366.1

Проведенные в [4,5] вычисления и анализ циклов на плоскости позволяют сделать следующие заключения и выдвинуть гипотезы, о структуре циклов и их расположении в квадрате ££. Есть циклы симметричные относительно центра

( к I Л

квадрата ££. Цикл X называется симметричным, если из включения I —,— I 6Х

I т т I

следует

т - к т -1 ,

6 X. Симметричные циклы всегда входят парами (базисный

V

тт

п

плюс союзный - повёрнутый относительно базисного на —). Есть циклы

2

несимметричные относительно центра. Один из таких несимметричных циклов, назовём его также базисным, порождает три союзных - циклы, которые получаются из

п

исходного - базисного, последовательными поворотами на —. Таким образом, для

каждого базисного несимметричного цикла существуют три союзных. В совокупности с базисным они образуют 4 цикла. Среди циклов особую роль играет цикл периода 1 - это положение равновесия {(0,0)} и цикл периода 3 с центром в

/

центре квадрата ££:•

1 1

/

2 2,

0 1

/

2 2

10

. За исключением этих циклов всех

.....V 2 2 JJ

остальных при любом т чётное число. Заметим, что для чётных т циклы периода 3 есть всегда. Если при некотором т на решётке т X т есть симметричный (несимметричный) цикл относительно центра квадрата, то все циклы симметричны (несимметричны). Циклов, обладающих другой, по отношению к перечисленным, структурой нет.

Перейдём к примерам, иллюстрирующим сказанное выше. На рис. 1 для решётки ££4 изображены циклы периода три: центральный, базисный и три союзных. Углы квадрата соответствуют положению равновесия и трём его копиям.

Рис. 1. Решетка П4 (О:35.1

На рис. 2 для решётки ££4 изображены 2 цикла периода 10 (при этом использован символ чёрного кружка для базисного цикла и белый кружок для союзного цикла) и два цикла периода 2 (использованы символы чёрного и белого квадратиков). Оба базисных цикла симметричны относительно центра квадрата. На решётке существуют 3 пары симметричных циклов периода 8. На рис. 3 представлены три базисных цикла (для их отличия использованы 3 символа).

----< 1—1 ь--< ----1 1 1 ^ Л

1 1

1 1

1 1 1

1 ! 1

' ! 1

-« >-1 1-1 1—< \- V 1 1

Рис. 2. Решетка П5 (В :102.22.Ъ> Рис. 3. Решетка П7 (В : 86.

На решётке ££ 8 формула В :68.35.1 даёт 5 уже известных циклов периода 3 и 8

циклов периода 6: 2 базисных несимметричных цикла и по 3 союзных для каждого. На рис. 4 изображены 2 базисных цикла, для каждого из которых путём поворота на

п

—, скажем по часовой стрелки, можно построить по три союзных.

Рис. 4. Решетка Пв (В : 68.35.1) 24

Для решётки ££ гг с символом В : 5 .1 имеется двадцать четыре цикла периода 5, которые в свою очередь, разбиваются на 6 групп по 4 цикла (базисный плюс три союзных). На рис. 5 изображены 6 базисных циклов.

—к —

-г ч-

Рис. 5. Решетка ßii (D ; 524. 1)

В заключении приведем следующий пример, отражающий прикладную сторону отображения (1). Пример

Пусть для множества Q.m установлен символ D; Tr ■ Tr ■... • ТГ -1. Тогда, учитывая, что HOK(T1,T2,...,TS) = Т1, получаем kг) = шkь Vco kг 6 Qm. Таким

образом, все точки множества Q.m через T итераций отображения Л вернутся на

свои места (например, для m = 98 период 7\ = 1 6 8). Именно это свойство отображения Л применяется при демонстрации "хаотического" размазывания оцифрованных изображений и их возвращение в исходное состояние. Чтобы физически осуществить этот эксперимент необходимо за каждым узлом сетки ш k ь закрепить число от 0 до 9 - глубину оттенка скажем серого цвета, и организовать циклическую перестановку элементов по каждому циклу.

Список литературы

1. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МЦНМО, 2012. 304 с.

2. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем. М.: МЦНМО, 2005. 464 с.

3. Арнольд В.И. Экспериментальное наблюдение математических фактов. М.: МЦНМО, 2006. 120 с.

4. Морозов А.В., Пирожков М.А. Вычисление периодических точек автоморфизма Фибоначчи. Сборник материалов XIV Международной научно-практической конференции «Теория и практика современной науки» 2-3 июля 2014 г. М.: НИИЦ «Институт стратегических исследований», 2014.

5. Морозов А.В., Пирожков М.А. Об одном вопросе Арнольда. Сборник материалов XIX Международной научно-практической конференции «Теория и практика современной науки» 7-8 октября 2015 г. М.: НИИЦ «Институт стратегических исследований», 2015.