CC BY
28
УДК 514.765
И. В. Поликанова
О центре тяжести трубчатоподобной поверхности
Пусть в трехмерном евклидовом пространстве Е3 заданы гладкая класса С3 линия Г и плоская спрямляемая линия 7.
Определение. Поверхность назовем трубчатоподобной (ТПП) с направляющей Г, профилем 7 и коэффициентом А, если она образована перемещением в пространстве линии 77 подобной линии 7 с коэффициентом А таким образом, что центр тяжести линии 7’ движется вдоль кривой Г, а ее несущая плоскость в каждый момент является нормальной к Г. Обозначим через Тл(Г, 7). Сечения ТПП плоскостями, нормальными к направляющей, конгруэнтны. Их будем называть образующими.
Класс ТПП включает в себя трубчатые (об-разующая-окружность), поверхности вращения (направляющая - окружность), развертывающиеся (образующая - отрезок) и другие.
В действительности мы несколько сузим класс поверхностен, подлежащих рассмотрению, введя дополнительные ограничения на способ переноса линии 7 вдоль направляющей.
Цель настоящей работы - получить формулу центра тяжести ТПП, выяснить условия, при ко -торых он совпадает с центром тяжести направ-ляющей.
Пусть направляющая Г задана (при фиксированном в пространстве полюсе О) уравнением
где вектор-функция ?г($) натурального параметра 8 на Г трижды непрерывно дифференцируема, Ь -длина кривой Г. В каждой точке Ы(з) О Г, соответствующей параметру Б, определен репер Френе
Ф(5) = Л/(«)г(5)|7(«)/?(5).
Пусть Орк - прямоугольная система координат в Е3. Без ограничения общности можно считать, что профиль 7 лежит в плоскости :'Ри начало координат О является центром тяжести линии 7. Предполагаем, что 7 не содержит прямолинейных отрезков, проходящих через точку О, и, если обладает осями симметрии, то они совпадают с координатными осями. Линия 7 в полярной системе
уравнением
От
координат ‘ задается р = ра(<р)ё{<р), <р£ I,
где ‘Р - полярный угол, образованный радиусом- вектором р текущей точки линии 7 с ортом »;
е(У’)\ —совірі + орт вектора^’
длина вектора р; I - объединение числовых ин-тервалов, на каждом чз которых вектор-функция р однозначна. Линия"*' , получающаяся и^7 го-мотетеией с центром О и коэффициентом-^, задается увавнением
Р = ¥? Є /,где р(<р) = Ар0(<р)
При любом заданном профиле 7 число А можно выбрать столь малым, что все точки поверхности Та (Г, 7) однозначно проектируются на Г и
(1)
1
тах[/э(9?)1 < о = тт . ,
„е/ 1 *€[0,1] к(з)
где к(в) - кривизна направляющей Г в точке М(в).
Обозначим через*У(Я)сечение ТПП нормальной плоскостью к Г, проходящей через точку А/(в) 6 Г. Образующая -"У Сможет быть получена из 7 движением являющимся композицией движения, переводящегов и после
дующего поворота на некоторый ориентированный угол q(s) вокруг касательной Т(8), а(8) -
непрерывно дифференцируемая функция на интервале [0,Ь], причем в случае замкнутой линии
Г а(Ь) = а(0) + 2тгк, к
[ая 7(в) в репере Ф(а) задается уравнением
где е\(р, в) = соз<рР(з) 4- эй
Заметим, что вектор-функция е(<р,8) и ее* производная.
образуют ортонормированный базис в нормали! ной плоскости.
Введем на 7\(Г,"/) криволинейные коордит-ты, сопоставляя каждой ее точке М пару чисе,
(8,V?), где 8 - натуральный параметр на Г, соот ветствующий проекции М\ точки М на Г;
.
полярный угол прообраза точки А/ €*' 'щл движенииТогда поверхность 7) задает
ся уравнением
Я = ф) + р(<р)е(<р + а(з), з).
В дальнейшем условимся аргумент в функциях, зависящих от одного параметра, не писать, производную функции р по ее аргументу обозначать точкой вверху, а производную от а (8) -штрихом вверху.
Элемент длины дуги линии 7(я) имеет вид
Ф#= |рс(у’ + а,») + рё1(<р + а,8)\(1<р =
\/р2 + р7с1<р.
Так как центр тяжести инвариантен относительно " центром тяжести
ля всех 6 [о, Ь]
/ рє(ір + а, в) х/Р2 + р2(і<р = б
/
или в координатах
(2)
Используя формулы Френе
+ а, в)
(ІЦ)
= еі(у> + о,в);
(4)
(1&
= -віп(^ + а)а Р +
со«(^ + а)а Д+ сов(1р + а)(-кт + х$) + (5)
$т(ч> + а)(-ху) = -/гсов(у>4- а)т +
(а +«)§■[ + а, в). •
Принимая во внимание формулы (3)-(5) и штывая, что тройка векторов (г(в),е(^ +
О центре тяжести трубчатоподобной
а,8),е1(у> + а,й)) задает ортонормированный базис в Е3, найдем элемент площади поверхности.
Я, = т + р[-кс08(ф + а)?+{а +х)?\(<р + а,8)\ =
[1 - крсоа(у> + а)]г + р(а' + х)е!(<р + а, в);
ЩЩ - (Я,Я*)2 = [1 - крсо8{<р + а)] V + Р2) +
Элемент площади поверхности имеет вид >/[1 — крсоз((р + а)]2(/>2 + р2) + (а' + х)2р2р2<18с1<р. Дальнейшие вычисления осуществимы в сле-1. р = 0. Случай трубчатой поверхности.
(6)
(здесь к, х - соответственно кривизна и кручение линии Г, являющиеся функциями натурального параметра 8), вычислим производные по <р и по 8 от вектор-функции е(у> + а, в) = сов(у> + а)и + + а) Д.
Имеем
Из формулы(5) видно, что во втором случае а,з)
вектор и. коллениарен касательному
вектору^5) что означает параллельное перенесение
вектора^"(^ + в)вдоль Г в нормальном
расслоении. Аналогично проверяется,что век-^,(у+а,5) V
тор Ля коллениарен вектору V0/. Поэто
му требование (6) означает, что ортонормиро-
ванный базис в нормальной плоскости, жестко
связанный с линией 7, параллельно переносится
вдоль Г.
ТЗ Р.1ТТТ\^ \^Р.ТТП'ЯТЛ'СГ (^ Л
|крсо8(<р + а)| < кр < ка < 1.
Следовательно,^ — крсов((р + а) > 1-Поэтому элемент площади поверхности ТПП при условии (6) имеет вид
и площадь поверхности ТПП равна Ввиду формулы (2) второе слагаемое равно нулю, а в первом слагаемом интеграл в скобках ра-Окончательный результат: 8 = / Ь, Вывод 1. Площадь поверхности ТПП равна произведению длины образующей на длину на-Вычислим теперь центр тяжести ТПП.
МАТЕМАТИКА
= ЇЇ І Д?Г+ + Q>s))(1 ~ kpcos(<р + a))s/p2 + frdsdtp = п; j / r( J vV + P~d<p)ds -
І
N_
f kr( І pcos(<p + q)Vp2 + p2dip)ds —
о J
Заметим, если профиль 7 симметричен относительно оси О*, то
f(J ре> + а, .) - / / к?г[у 4-
0 1
'--------------------------'
о
а, »)с08{<р + а) \/р~ + p-dsd^p^.
Второе и третье слагаемое - нулевые в силу (2), а последнее обозначим за А. Преобразуем А:
f р2\/р2 + p2c.os2>pd‘-f = 0.
А = / Р2\/Р2 + Р'іі ке(<р + а, а)со«(у> +
Вычислим интеграл в квадратных скобках:
f k[cos'~(<p + а)£» + sin(tp + a)cos(ip + a)0]ds — a
з\ds =
і J fcj [1 + cos(2<fi + 2a)]i7 + sin(‘2ip + 2a)]/? " о
L L
~ f кі/ds + % f ke[2ip + 2a, s)ds —
" о о
|[f(L) - f(0)] + \ f ke(2<p + 2a, s)ds.
Принимая во внимание, что є(2у> + 2a, s) = cos2tpe(2a, s) + sin2<pei(2a, s), получим
L
A = i[f(L) — f(0)]J + 5 / ke\2a, s)ds *
о
_______ L
* f p2\/p2 + P2cos2<pdip + і f kei(2a, s)ds *
I о
* f P~\/P~ + p2sin2ipdp.
(7)
Вывод 3. Если профиль 7 симметричен от -носительно двух взаимно перпендикулярных осей, то формула центра тяжести ТПП имеет вид
йа=Г-0-!ш#т.
2И
В частности, если г(0) ~ ' №)’например, в слу чае замкнутой поверхности, центры тяжести по -верхности ТА (Г, 7) и ее направляющей Г совпадают.
Учитывая, что длина £о и момент инерции Ло профиля 7 связаны с аналогичными характерис-тиками линии 7 формулами £ = Х£о, J — А3Ло, получаем такую формулу для центра тяжести поверхности Т\{Г,7) (в случае симметричности 7 относительно двух взаимно перпендикулярных осей)
Я - г? Л?(1)-?(0)] АУо
П0 — Г0 /_ 210 ‘
Рассмотрим некоторые частные случаи ТПП
1. Заметим, что центр тяжести трубчатой до верхности может быть вычислен по тем же фор -мулам , профильная кривая - единичная окружность: р(1р) = 1. Тогда
Здесь J = / р~\/р2 + іРІЇір - момент инерции линии 7 относительно ее центра тяжести. Вывод 2. Радиус-вектор Ло центра тяжести ТПП определяется формулой
где го - радиус-вектор центра тяжести направля-ющей Г, интегральная характеристика А линий Г и 7 определяется формулой (7).
2. Пусть
направляющая Г замкнутая и пли кая.
Тогда**' ^ ^Следовательно, а(з)£
сопвЬ =0. Кроме того, /^(5) = Р = СОП8(. Пос* несложных вычислений получаем
ЗО
О центре тяжести трубчатоподобной поверхности
К(Г)=/М«
где 0 - интегральная кривизна ли
нии Г.
Вывод 4. Центр тяжести ТПП, направляющая Г которой есть плоская замкнутая линия, лежит на прямой, проходящей через центр тяжести линии Г перпендикулярно плоскости линии Г.
3. ТПП - развертывающаяся поверхность, 7 -отрезок прямой.
Поверхность может быть задана уравнением
где 5 Є [0,Ь\,р Є [—§!§]• Ее центр тяжести огтелеляется Лоомулой
~ ?(°)] +
соя2<ро(/ кє(2а, $)(І8) 4- зіп2<р0(/ (2а, з)сіз) >.
о о )
Автором получена также формула для центра тяжести трубки, ограниченной ТПП, причем без условия (6).
