CC BY
18
УДК 537.872,535-34,53.043,53.01
О ТОМСОНОВСКОМ СЕЧЕНИИ РАССЕЯНИЯ СВЕТА ДВИЖУЩЕЙСЯ ЧАСТИЦЕЙ
Е. Г. Бессонов1, М.В. Горбунков1, А. В. Виноградов1, Ю.Я. Маслова1, А. А. Михайличенко2
В данной работе в рамках классической электродинамики вычислено сечение томсоновского рассеяния света движущейся частицей.
Ключевые слова: томсоновское рассеяние, сечение, электродинамика, теория относительности.
Заряженная частица во внешнем электромагнитном поле испускает электромагнитное излучение. Интенсивность этого излучения определяется формулой Лармора
3то2сз ^ ( +
¡зн])2 - (де)'
где е, т - заряд и масса частицы, /3 = у/в, V - вектор скорости частицы, 7 = 1/\/1 — в2 -релятивистский фактор частицы, в = |в|, с - скорость света, Е, Н - вектора внешних электрического и магнитного полей в точке нахождения частицы [1]. Зависимость входящего в выражение (1) вектора скорости частицы от ее координат и времени определяется законом изменения рассматриваемого поля в пространстве и во времени.
Ниже мы рассмотрим случай, в котором внешним электромагнитным полем являет-
ся поле плоской монохроматической лазерной волны. В этом случае вектор Н
пьЕ
величина ^ПьЕ^ = 0, интенсивность
2
I = cy ато = 4п
Е
1 - (Дйь)
где иь - единичный вектор в направлении распространения волны, ато = 8пгр/3 - сечение томсоновского рассеяния лазерной волны на неподвижной частице, гр = е2/(тс2) -классический радиус частицы.
Плоская монохроматическая волна является частным случаем ондулятора. Это дает возможность использовать результаты общей теории движения и излучения частиц в
1 ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: bessonov@x4u.lebedev.ru.
2 Cornell University, CLASSE, Newman Lab., Ithaca, NY 14853, USA.
2
2
ондуляторах (см. [2] и ссылки). Вектор скорости частицы, входящий в выражения для интенсивности (1) и (2), для ондуляторных траекторий имеет вид v = 3y + v±, где 3y -средняя продольная, а v± - поперечная составляющие скорости частицы.
Компоненты поля плоской, монохроматической, в общем случае эллиптически поляризованной волны, распространяющейся в направлении оси x, можно представить в виде
Ey = Eym sin р, Ez = Ezm cos p, Ex = 0, (3)
где ip = kLx — uLt + ^o - фаза рассматриваемой волны, - начальная фаза, kL = uL/c -волновой вектор, шь = 2nc/Xb - круговая частота, Хь - длина волны. Обычно лазерная волна представляет собой волновой пакет длиною lwp = MXl , где M - целое число. Ниже мы рассмотрим случай квазимонохроматических пучков (M ^ 1).
Частота колебаний частицы, движущейся под углом к направлению распространения волны, определяется выражением ш* = шь — Пь3^ , а частота испущенного ей излучения, в соответствии с эффектом Доплера, равна
ш* шь (l — ñb3^j
ш
1 — и3 1 — и/3
где и - единичный вектор в направлении наблюдения, 3 = v/c — 3y = vy/с [2].
В слабых полях лазерной волны вида (3), соответствующих условию дипольного излучения
I3±I = \3±/c\ « 1/Y, (5)
или, что то же, условию eEXb ^ mc2 (на квантовом языке это условия однофотонных процессов рассеяния), излучение испускается на одной первой гармонике. Здесь E = IE|. Далее мы будем работать в рамках приближения (5). Из него следуют соотношения I3y I = I31 = в = const, y = const.
Если частица проходит путь, соответствующий большому числу колебаний в поле лазерного пучка (M ^ 1), то излучение, испущенное ей, в любом направлении будет квазимонохроматическим, распределенным согласно (4) в диапазоне частот (шт1п, штах),
где _ _ _
шь (1 — пьЗ) шь (1 — иьЗ) шь (1 — иьЗ ) ш . =_^_L ~_V_L ш ^_V_L (6)
^min — — q i "-'max — 10' \ У
1 + I31 1+ Р 1 — Р
Спектральное распределение потока энергии, испущенного частицей в поле лазерной волны в условиях дипольного излучения (5), определяется выражением Ц = If (£),
где I - интенсивность испущенной волны (2), f (£) - нормализованное спектральное распределение излучения по безразмерной частоте £ = ш/штах, ^%тах f (£)й£ = 1, величины £тт = (1 — в)/(1 + в), £тах = 1- Вид функции f (£) зависит от направления колебаний частицы относительно направления ее средней скорости [2]. Для релятивистских частиц (7 ^ 1, £т;п ^ 1), совершающих соответственно поперечные или продольные гармонические колебания, функции
Д(£) = 3£(1 — 2£ + 2£2), Щ) = 12 £ 2(1 — £). (7)
В ряде случаев проблему рассеяния излучения движущейся частицей удобно рассматривать на квантовом языке в терминах числа рассеянных квантов. В этом случае спектральное распределение потока фотонов рассеянного лазерного излучения определяется выражением ¿Мф/йш = I%/(Ншштах) = I%/(£), которое можно представить в виде
¿^У = Ig (8)
¿£ £ ЬШтах '
Отсюда следует, что полный поток фотонов рассеянного лазерного излучения равен
МрН = ^тах Г и (£)/£]й£. (9)
Jо
Вычислив интеграл (9), убеждаемся, что для функций f±(£) и f||(£), заданных в выражении (7), поток одинаков и равен
ЫрН = 2I/hWmax. (10)
Отношение полного потока фотонов рассеянного излучения к плотности потока фотонов лазерного пучка Б^ = сЕ1 /(4пНшь), т.е. сечение рассеяния лазерных фотонов движущейся частицей
а = от о — пь/3^ = от о(1 — в сов 6>со0, (11)
где 0со\ - угол, под которым сталкиваются пучки (угол между векторами п^ и в у).
Из (11) следует, что при столкновении релятивистской частицы с лазерным пучком под углами вС0\ = ±п, как и следовало ожидать, величина сечения а = (1 ± в)от0. В этих случаях световой пучок в единицу времени смещается относительно движущейся частицы на расстояние в 1 ± в раз большее (меньшее), чем относительно покоящейся частицы. Это означает, что в рассматриваемых случаях число рассеянных фотонов на
единицу длины смещения лазерного пучка относительно частицы является инвариантом (не зависит от скорости частицы).
При столкновении пучков частиц под углом #со\ = п/2 величина сечения о = от о не зависит от скорости движения частицы в поперечном направлении и равна сечению рассеяния лазерных фотонов неподвижной частицей. При этом длина пути частицы в лазерном пучке зависит от скорости частицы (~ 1 + /2 ).
Соотношение между сечениями взаимодействия пересекающихся пучков массивных частиц было рассмотрено в работе В. Паули (1933 г.) [3] и отражено в [1, 4]. Из него, как частный случай (для фотона 3Рн = иь), следует отношение сечений рассеяния света на движущейся и покоящейся заряженной частице вида
К = о/ото = У (иь - - иь/3
:12)
Его, как нетрудно убедиться, можно привести к виду (11).
Рассмотренная зависимость томсоновского сечения рассеяния света от вектора скорости движущейся частицы описывает полный поток рассеянных фотонов. Зная параметры лазерного пучка и частицы и используя соотношение (11), можно определить число фотонов, рассеянных одной частицей за всё время прохождения лазерного пучка.
При выводе сечения рассеяния фотонов на движущейся заряженной частице мы, в отличие от В. Паули, использовали электродинамику (см. [1, 2]) и не использовали релятивистские преобразования специальной теории относительности (инварианты, переход между движущимися системами координат). Окончательный результат представлен в виде простого выражения. Вывод справедлив для рассеяния фотонов длинных лазерных волновых пакетов (М ^ 1), когда излучение, испускаемое в заданном направлении, квазимонохроматично и описывается функциями вида (7). Это соответствует тому факту, что В. Паули рассматривал случай, в котором частицы каждого пучка обладали одинаковыми энергиями. Нам представляется, что прямой вывод выражения для инвариантного сечения имеет определенный методический интерес.
В настоящее время сечение комптоновского рассеяния широко используется, в частности, в теории источников света, основанных на электронных и ионных пучках (см., напр., [5-8]). Полное число квантов лазерного пучка, рассеянных пучком частиц, в этом случае определяется выражением
^ри = ото ■ с ■ К ^ иьПрдУМ, (13)
где иь и ир - плотности числа лазерных фотонов и частиц соответствующих пучков,
2
¿V - элемент объема, в котором происходит рассеяние, коэффициент К =1 — пьЗ =
называется кинематическим фактором.
- Д )2 -
пь(3
Работа проведена при поддержке программы фундаментальных исследований Президиума РАН "Фундаментальные и прикладные проблемы фотоники и физика новых оптических материалов" и УНК ФИАН.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля (М., Наука, ГИФМЛ, 1960).
[2] Е. Г. Бессонов, Труды ФИАН 214, 3 (М., Наука, 1993); http://proceedings.lebedev.ru/214-1993/.
[3] W. Pauli, Helvetica Physica Acta 6, 279 (1933).
[4] W. Herr and B. Muratori, Proc. of CERN Accelerator School, Zeuthen 2003, CERN-2006-002 (2006); http://cds.cern.ch/record/941318/files/p361.pdf
[5] E. Bulyak and V. Skomorokhov, Phys. Rev. Special Topics - Accelerators and Beams 8, 030703 (2005).
[6] C. Sun and Y. K. Wu, Phys. Rev. Special Topics - Accelerators and Beams 14, 044701 (2011).
[7] E. G. Bessonov, Nucl. Instrum. Meth. B 309, 92 (2013).
[8] M. W. Krasny, The Gamma Factory proposal for CERN; arXiv:1511.07794.
Поступила в редакцию 19 февраля 2016 г.
