О ТОЧНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО СОБОЛЕВСКОГО УРАВНЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.955.8

А. И. Аристов1

О ТОЧНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО СОБОЛЕВСКОГО УРАВНЕНИЯ*

В статье построено несколько семейств точных решений одного нелинейного уравнения соболевского типа, выражающихся через элементарные и специальные функции. Проанализировано качественное поведение этих решений.

Ключевые слова: нелинейные уравнения, точные решения.

1. Введение. Работа посвящена изучению точных решений следующего неклассического уравнения:

д

—Аи + Аи = /мп, (1)

где и — действительнозначная функция от пространственной переменной х € £ > 0. Параметр п является натуральным числом, отличным от единицы, а у — действительной ненулевой постоянной.

Отметим, что в [1, гл. 7, §7] рассматривалось близкое к (1) уравнение

д

—Аи + Аи+ Ы% = 0 д£

с трехмерной независимой пространственной переменной. Оно описывает квазистационарные процессы в униполярном полупроводнике при наличии источника тока свободных зарядов. Исследована задача Коши для этого уравнения; установлены достаточные условия как для существования решения из некоторого класса глобально по времени, так и для разрушения решения, т.е. его существования только локально по времени.

Как правило, общие решения уравнений в частных производных нельзя найти в виде формулы. Ведется много исследований в таких направлениях, как выявление качественных свойств решений (существование, разрушение, асимптотики) и построение точных решений.

Найдено много точных решений для уравнений, в которых одна из производных ^-г или

В2 и

■що^:, равна стационарному выражению, тогда как уравнения со смешанными производными по времени и по пространственным переменным более высоких порядков в литературе о точных решениях (например, [2,3]) рассматриваются довольно редко. Однако такие уравнения описывают многие процессы, качественным свойствам их решений посвящено много исследований [1,4,5].

Теорема 1. Существуют решения уравнения (1), представляющие собой элементарные функции и имеющие следующие варианты, качественного поведения:

• обращение в бесконечност,ь на, конечных промежутках времени;

• глобальная по времени ограниченность.

Справедливость этого утверждения будет видна из дальнейших рассуждений. Будем считать, что Л, С1, С2, ... — вообще говоря, произвольные действительные постоянные, ш — произвольный постоянный Ж-мерный вектор, удовлетворяющий условию (ш,ш) = 1. Будем называть уравнение (или его решение) Ж-мерным, если в нем независимая пространственная переменная имеет размерность N.

1 Факультет ВМК МГУ, асс., к.ф.-м.н, e-mail: ai_aristovQmail.ru

* Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых—кандидатов наук МК-1829.2018.1.

1.1. "Неполный" метод бегущей волны. Рассмотрим решения (1) следующего вида:

и(хь ..., Хм, =

где -и(-) — достаточно гладкая функция от двух аргументов, £ = (ш, х). Подставив эти выражения в уравнение, после упрощений получим

+ = 11Уп. (2)

dtd£2

Таким образом, если известно решение v = v(£,t) одномерного уравнения (2), то можно утверждать, что аналогичное Ж-мерное уравнение (1) имеет семейство решений u(xi,..., xn, t) = = v((w, x), t), содержащее (Ж — 1) произвольных постоянных. Поэтому особое внимание следует уделить одномерным решениям.

2. Одномерные решения. Построим несколько классов одномерных решений (1). Перейдя к переменной v = we*, преобразуем (1) к виду

Л (3,

2.1. Метод разделения переменных. Будем искать решения (3) вида v(x;t) = f (x)g(t), где f (■) и g(-) — отличные от постоянных функции одного аргумента. Подставив это выражение в (3), получим f''(x)g'(t) = ^e(1-ra)ifra(x)gra(t), откуда

f'(x) _ ^l-n^gn{t)

Ш '

В этом равенстве левая часть зависит только от х, а правая — только от t, следовательно, они равны некоторой постоянной Л. Таким образом,

№) = Л)

f п(х) ^e(1-n)ign(t)

= Л.

g'(t)

(№ (1 ) \ 1/(1-n)

Из второго уравнения этой системы несложно получить g(t) = е1- " + c\j . В первом

уравнении понизим порядок, выразив f''(х), умножив левую и правую части на f'(х) и проинтегрировав:

//2 = ^ТГ+1 + С2. (4)

В частности, отсюда при С2 = 0 можно получить f (■) в виде элементарной функции:

/ I- \ 2/(1—га)

Возвращаясь к переменной и = г>е~*, получаем, что и = f(x) + cie*-"--1^ , где /(•)

определяется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка (4). Этот класс имеет подмножество, состоящее из элементарных функций:

/ I- \ 2/(1—гг)

Вынеся из первого выражения в скобках множитель \/А, а из второго — 1 /л/А, а затем приняв величины сз/л/А и сх л/А соответственно за новые произвольные постоянные С\ и с2, упростим это выражение:

1/(1 п)

и=

г дат)

(5)

(знак учитывается в произвольной постоянной С1). Таким образом, после сокращения выражений с \/А получаем двухпараметрическое семейство решений.

Отметим, что семейство (5) иллюстрирует оба варианта качественного поведения решений, указанных в теореме 1. Действительно, можно показать, что если С2 > 0 и у > 0, то решение существует глобально по времени (и даже ограничено глобально по времени), а если С2 > 0 > у, причем у + С2 < 0, то решение обращается в бесконечность в момент

( = —!—1„М.

п - 1 С2

2.2. Метод функционального разделения переменных. Метод функционального разделения переменных основан на том, чтобы искать решения уравнения (3) в виде V = /(г), где вспомогательная переменная г представляет собой сумму или произведение функций, зависящих только от х и только от £ [2, гл. 5]. Здесь будем искать решения (3) вида v(x; £) = /(г), где г = х + с пока произвольной функцией <^(-) (отличной от постоянной). Подставив эти выражения в (3), получим /'''(г) • = уе(1_п)*/п(г), откуда

/"(-г) _ /хе^1-")* /-(г) " ¥>'(*) " '

т.е. уравнение приведено к виду, где левая часть зависит только от г, а правая — только от а следовательно, они равны некоторой постоянной Л. Из равенства для <^(-) легко получить, что

. , уе(1-п)4

тогда как функция /(■) определяется обыкновенным дифференциальным уравнением

§ = V- (Ч

Множество решений уравнения (6) имеет подмножество, состоящее из элементарных функций. Действительно, положим /(г) = Аг^, где А и V — пока произвольные постоянные. Подставим это выражение в уравнение: Av(V — 1)^ — -3 = ЛАпгип. Оно будет выполняться тождественно, если взять V — 3 = vn и ^(V — 1)^ — 2) = Л, откуда V = 3/(1 — п), А = Л(1 — п)3/(3(2 + п)(1 + 2п)). Возвращаясь к переменной и = ve_í, получим, что

. . уе(1-п)4 \

и(ж;*) = е / I ж + _ + С1 I ,

где функция /(■) определяется обыкновенным дифференциальным уравнением (6). Этот класс имеет подмножество, состоящее из элементарных функций:

_ Л(1 - п)3 / уе(1-п)* \3/(1-п) = 6" 3(2 + п)(1 + 2п) " + Л(Г^п) +СЧ

2.3. Обобщенно-автомодельные решения. Известную идею поиска автомодельных решений можно обобщить следующим образом [2, с. 47]. Пусть г(х;Ь) = ^>(Ь)/(г), г = хф(Ь), где /(•), ^>(-) и ф(-) — произвольные отличные от постоянных (вообще говоря, не степенные) функции одного аргумента, которые надо определить. Таким образом,

дг д2г

Подставив эти выражения в (3), получим

(^)ф2 (Ь))' /''(г) + <^ЖЬ)ф' (/(г) = ^е(1-п)Уп (¿)/п(г).

Поделив левую и правую части уравнения на коэффициент при г/ '''(г) и потребовав, чтобы два других коэффициента были постоянными, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения нужных функций только от Ь и только от г:

(Ш£Ш- = г

ФШШ*) ь

[г/ '' '(г)+ С1/' '(г) = С2/ п(г).

Положив = ф2(Ь), приведем первые два уравнения этой системы к следующему виду:

2(р(Ь)0(Ь))' = С1 р(Ь)0' (Ь),

(7)

2^е(1-га)4 <^п-1(Ь) = С20' (Ь). После преобразования первого уравнения приходим к 2^'(Ь)0(Ь) = (с1 — 2)^(Ь)0'(Ь), откуда

2у/(*) = (С1 ~ 2)0'(*)

Интегрируя это соотношение, получим

р(Ь) = сз 0(с1-2)/2 (Ь). (8)

Подставив это выражение во второе уравнение (7), легко найдем 0(Ь), откуда, возвращаясь к переменной ф и учитывая соотношение (8), мы приходим к системе

' № = (С4 + ^Ц^;

2 (9)

с-^ —пс^ +2 п

^ ¥>(*) = сз (С4 + "1-1

(1 п)

Переходя к переменной и = ге-4, получим и(х; Ь) = е-*^(Ь)/ (хф(Ь)), где функции и ф(-) определяются формулами (9), а функция /(■) — обыкновенным дифференциальным уравнением

г/ '' '(*) + С1 /' '(*) = С2 / п(г).

2.4. Метод укороченных разложений. Воспользуемся методом укороченных разложений [6, гл. 5]. Он состоит в том, чтобы искать решения уравнения в виде

где Pv(•) — многочлен степени v с коэффициентами, вообще говоря, зависящими от x и i, а f (■) — некоторая вспомогательная функция двух аргументов, подлежащая определению. Общая схема построения названного многочлена такова.

• Определим степень v. Для этого подставим в уравнение вместо v(x; i) старший член из (10),

упростим и приравняем степени самых "весомых" членов, т.е. членов, имеющих наибольшие f

v

f

равенство нулю многочлена от 1/f с коэффициентами, зависящими, вообще говоря, не толь-

f

f

f

которой найдем f (■) и коэффициенты в (10).

Применим этот подход к уравнению (3). Пусть u(x; i) = a(x; i)f-v(x; i) +... (иод многоточием

f

но,

v' = —vaf-v-1f + ..., <2 = v (v + 1)af-v-2fX2 + ...,

v't = —v(v + 1)(v + 2)af-v-3fx 2ft + ...,

тогда как vn = anf-vn + ... . Значит, самыми большими по модулю степенями f, входящими в уравнение (3), являются (—v — 3) и (—vn). Они должны быть равны, в противном случае v(-) не будет многочленом степени v от 1/f. Приходим к уравнению v(n — 1) = 3. Решая его в натуральных числах, получим две пары значений: (n = 2; v = 3) и (n = 4; v = 1).

Исследуем найденные комбинации параметров, ограничиваясь рассмотрением решений, пред-

1/f

(n = 4; v = 1)

(n = 2; v = 3)

v(x.t)- а® + W (12)

V(x.t)- а{х) I f 13)

Pix-1) + Pix-ty (13)

Рассмотрим подробнее эти формулы.

• Возьмем формулу (11). Подставив это выражение в (3) и сгруппировав члены с одинаковыми степенями f, получим равенство вида A-2f-2 + A-3f-3 + A-4f-4 = 0. Оно должно

выполняться тождественно, следовательно, A_2 = A_3 = A_4 = 0. Приходим к системе

f f _2 : -a(f - a/'t = о,

f _3 : 2a'(t)/2 + 2af^2 f + 4a/ /t = 0,

^ f _4 : -6a/ 2ft - ua4e_3t = 0.

Выберем решения системы вида f (ж; t) = ax + <^(t), где a — произвольная ненулевая постоянная, а — функция одного аргумента, подлежащая определению. Для таких f (■) первое уравнение системы выполняется тождественно, второе принимает вид 2a2a'(t) = 0, откуда a = const, а третье переходит в

Ua3 „_3i

и после интегрирования

следовательно,

/(ж;t) =аж + ^2е 3i + ci-

Значит,

f(x; i) = -7 = f—ж + ua218o;2e_3i + —^ f a a

'СИ

/= и

Переобозначая величины а/а и С1 /а за новые независимые переменные и возвращаясь к и

е-4

Т/'^Ду^ — Ту Т •

с1х + ^с- е-34/18 + с2

Исследуем теперь решения вида (12), соответствующие случаю (п = 2; V = 3). Рассуждая аналогично, получим систему для определения функций, входящих в формулу (12):

' /-3 : — 2/1 — 2Ь'/'з =0,

f_4 : -3a'f'2 + 12b/ /t + 6f ft+ +6b'/2 - ub2e_ - 3af''2, = 0,

(14)

/-5 : 12а'/2 + 24а//£ — 246/2/+ +12а/^ / — 2^аЬе-4 = 0,

. /-6 : —60а/2/ — ^а2е-4 = 0.

Выберем решения системы вида /(х; Ь) = ах + ^>(Ь), где а — произвольная ненулевая постоянная, а — функция одного аргумента, подлежащая определению, и перепишем систему в виде

-2 аЧ> + ^=0,

а2а' - 2a2 V - ^ = 0,

ua 6e aV = ^

60e*

(первое равенство (14) выполняется тождественно). Из первого равенства (15) несложно

получить что

КО = (* + £«-)-'.

Подставив это выражение для Ь и выражение для а2^>' из третьего равенства (15) во второе, мы приходим к дифференциальному уравнению

а' 2у

а 15(с1 а2е* + у/6)' Интегрируя это уравнение, будем иметь следущее. 1. Если с1 = 0, то а(£) = с2е44/5, и следовательно,

откуда

v(x] t) = -^-щ + -^

4p4t/5 ieí ал__|__ß_

(аж + ^е-Ф + с3)3 (ах + ^е-*/5 + с3):

Обозначая С2/а3 и Сз/а за новые произвольные постоянные и возвращаясь к переменной u, получим

_ cíe"*/5 _6/у_

~ (ж + ^е-*/5+с2)3 + {x + ^e-^ + c2f

2. Если ci = 0, то

( c2et \4/5

= é +

\ ^ 6ci«2 у

а для <^(-) приходим к выражению

c4/5 í e-t/5dt

= /

6cia2

Обозначая интеграл в этом выражении через /, полагая e* = т, y(6cia2) 1 = M,

получим

I = J т-6/5(т + M)-4/5dT.

Теперь проинтегрируем биномиальный дифференциал [7, с. 235], вводя переменную ст = (M/т + 1)1/5. После упрощений получим, что I = —5M-1 а + сз. Возвращаясь к переменной i и переобозначая произвольную постоянную а за С4, найдем f:

/ \ 1/5

f(x;t) = С4Х + = С4Х + bc\cjb ( -—+ 1 ) +с3. (16)

\6с1 с4 у

Следовательно,

где функция f(■) определяется формулой (16).

Исследуем теперь решения вида (13) — другой класс решений, соответствующий случаю (п = 2; V = 3). Как и в предыдущих пунктах, получим систему для определения функций, входящих в формулу (13):

{ /+2/ + 6/- =0,

" з? + + 26/"гЛ'" а"Л " аГ"4 + АЬГхГ^ ~2а'^ = а/" Л + 2а'ЛЛ - 26/2Л + 2а/л/£ - ^ = 0,

/ж /4

иа 60е*'

6е4

Выберем решения системы вида /(х; Ь) = ае + ф(х), где а — произвольная ненулевая

постоянная, а ф(-) систему в виде

функция одного аргумента, подлежащая определению, и перепишем ' —ае-4 6''(х) = 0,

и62

-—г - 4аЬ'е~1ф' - 2ае~1Ьф" + ае~*а" = 0, 3е4

иа6

—ае 4аф'' — 2ае 4а'ф' + 2ае 46ф'2 — ,0/2 = №

6е4

0,

60а

Решение первого уравнения возьмем в виде 6(х) = вх, гДе в — произвольная постоянная (несложно показать, что рассмотрение линейной функции общего вида даст те же результаты). Тогда система примет вид

а" = + А/Зф' + 2 рхф",

аф" + 2а'ф' - 2[Зхф'2 + ^^ = 0,

60а 2

-ф .

и

6а

(17)

а

в(х) = ф1 (х), получим систему для определения в(-):

5в2в' +

180а2

2/3/хж6>2 15а

15а 0.

30а

Сократив второе уравнение этой системы на в2 (при ф' = в = 0 будет повторение решений в разделяющихся переменных), найдем 0(х) = С\ — ^^ . Подставив это выражение в первое уравнение системы, получим равенство вида А^х2 + А = 0. Оно должно выполняться тождественно, следовательно, А1 = А2 = 0. Из этих условий можно сделать вывод, что в = 0. Тогда из системы (17) несложно получить, что а = 60ас2/и, тогда как ф = С1 х + С2. Значит,

60ас1 /и

60с| /и

уз г С1Х С2^з а2^е ^ С1ж/ск + сг/ск)3

Возвращаясь к переменной и и обозначая С1/а и С2/а за новые произвольные постоянные, мы приходим к двухпараметрическому семейству решений:

. . 60ас2и 1е щх; = -—г

(е-4 + С1х + С2)3'

3. Решения типа бегущей волны. Будем искать решения (1) типа бегущей волны: и(ж; = = /(г), где г = (ш,ж) + а£, а — произвольная постоянная. Несложно убедиться, что Ди = = (ш; ш)/''(г) = /''(г). Поэтому уравнение можно привести к виду

а/'' '(г) + /' '(г) = у/ п(г).

(18)

Уравнение (18) допускает понижение порядка. Действительно, положим д(/) = й//йг, считая / новой независимой переменной, ад — зависимой. Тогда можно показать, что

й2/ йд й3/ й / йд

и соотношение (18) примет вид

(1г2 V с1г3 gd¡\gd¡),

й / йд\ йд

(19)

Таким образом, (1) имеет семейство решений вида и(ж; ¿) = /((ш,ж) + а£), где функция /(•) определяется соотношением

/

йг

= д(/),

а функция д(-) — уравнением (19).

4. Заключение. Дадим список построенных решений уравнения (1). Как и раньше, будем считать, что А, С1, С2 и т.д. — произвольные действительные постоянные, ш — произвольный постоянный Ж-мерный вектор, удовлетворяющий условию (ш,ш) = 1, т.е. содержащий (Ж — 1) произвольных постоянных.

1.

1/(1 п)

где /(■) определяется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка

2 2А

йж

п + 1

/п+1

+ С2.

Этот класс имеет подмножество, состоящее из элементарных функций

и =

С1 +

п — 1

\/2(п + 1)

у + С2в(п-1)4)

1/(1 п)

и(ж; ¿) = е / ж +

уе

(1-га)4

+ С1 ,

А(1 — п)

где функция /(■) определяется обыкновенным дифференциальным уравнением Этот класс имеет подмножество, состоящее из элементарных функций

, , А(1 — п)3 уе(1-п)*

3/(1-п)

3(2 + п)(1 + 2п)

А(1 — п)

+ С1

2

3.

и(ж; t) = e_V(t)f (x^(t)) где функции <^(-) и ф(-) определяются формулами

ci — nci + 2n

= ( + ^-(сх-псх + гп)^ V (1 - n)C2

/ ^Ci -nci +2n) a_n)t\ ¥>(*) = C3 [C4 +--e(i *»<j

а функция f (■) — обыкновенным дифференциальным уравнением

zf '' '(z) + C1 f '(z) = C2f n(z).

4. Если n = 4, то

5. Если n = 2, то

u(x; t) =

c1x + ^c- 2e-3t/18 + c2

u(x; t) =

c1 e

—1/5

+

6/^

ж + ^-e-*/5 + c2) 3 fx + ^-e"*/5 + c2X 2

12

n=2

u(x; t) =

p{x-t)

—4/5

+

где

n=2

,4/5 / _JJ_-t

6c2 (бс2с1в4+ //) 1 jHxyt) :

1/5

/(ж; i) = с4ж + 5cic2 I —о e 1 + 1 ) + c3.

\6cic4

„Гт-Л-—ac?Ai le 4

(e—:1 + cix + C2)3 '

и(х; Ь) = / ((ш, х) + аЬ),

где функция /(•) определяется соотношением = <?(/), а функция д(-) — уравнением

9. Пусть дано решение V = одномерного уравнения

д3^ д2 V

+

2 d{2

Тогда Ж-мерное уравнение (1) имеет семейство решений u(xi,... , xn, t) = v((w,x),t).

Отметим, что некоторые вычисления были автоматизированы с помощью системы компьютерной математики Maple.

1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007.

2. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Ж у р о в А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.

3. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2002.

4. Корпусов М. О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях. М.: Книжный дом ". ¡пороком". 2011.

5. Hayashi N., Kaikina Е., Naumkin P., Shishmarev I. Asymptotics for Dissipative Nonlinear Equations. Berlin: Springer-Verlag, 2006.

6. К у д p я ш о в П. А. Методы нелинейной математической физики. Долгопрудный: Издательский дом "Интеллект", 2010.

7. Ильин В. А., И о з н я к Э. Г. Основы математического анализа. М.: Физматлит, 2002.

Поступила в редакцию 27.06.19 После доработки 02.07.19 Принята к публикации 02.07.19