О точных решениях матричного уравнения Шреденгера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.1

А.А. Зайцев, Д.А. Каргаполов

О ТОЧНЫХ РЕШЕНИЯХ МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ ТТТРЕДЕНГЕРА

Излагаются способы построения точных решений матричного уравнения Шредингера и их свойства.

The articles offers the methods of exact solutions of the Schrödinger Equation and their properties.

Введение

Матричное уравнение Шредингера

ih\\t = Hy , H = JE + V, diagV = 0, (1)

J = diag(c1,...,cn), c > c2 >... > Cn (2)

моделирует эволюцию n-уровневой квантовой системы во внешнем поле, характеризуемом матричной функцией V = V(t), V+ = V Ф 0 [1; 2]. Условие (2) означает, что все уровни невырожденные. В уравнении (1) ^ может быть либо векторной, либо матричной функцией. Для определенности будем считать ^ матрицей. Представляют интерес случаи, когда уравнение (1) имеет точные решения, выражаемые в элементарных функциях. Их изучению посвящена данная статья. Отметим, что в [1; 2] точные решения строились с помощью аппарата алгебр Ли, но этот способ, по-видимому, пригоден лишь для небольшого числа гамильтонианов.

Основное свойство решений уравнения (1) следующее: для любого матричного решения ^ уравнения (1) выражения exp(-trJEt/ih)det^ и ^+^ будут постоянными величинами.

Вестник РГУ им. И. Канта. 2007. Вып. 3. Физико-математические науки. С. 16 — 22.

Баргмановские гамильтонианы и основные свойства решений матричного уравнения Шредингера с этими гамильтонианами

Существует большое семейство гамильтонианов H, для которых уравнение (1) имеет решения вида

у = P(E, t )exp(JEt ДЙ), (3)

где P(E,t) — многочлен от E с матричными коэффициентами, зависящими от t. Такие гамильтонианы назовем баргмановскими. Баргман построил [3; 4] все потенциалы стационарного одномерного уравнения Шредингера, для которого решение имеет аналогичный вид. Следствием основного свойства матричных решений уравнения (1) является то, что выражения det(P(E,t)) и P+(E,t)P(E,t) от t не зависят. Первое из них будет константой и в случае неэрмитовых матриц V. Кроме того, величина

R(E ) = P + (E,t )P(E,t)

при вещественных E является действительной диагональной матрицей.

Рассмотрим случай, когда величина P(E,t) является многочленом первой степени от E:

P(E,t ) = IE + A(t), (4)

где I — единичная матрица. После подстановки (3) и (4) в уравнение (1) получаем следующую систему уравнений:

V = -[J,A], iAA = VA. (5)

Она сводится к одному нелинейному матричному дифференциальному уравнению

М = [a,ja] . (6)

Из условия эрмитовости матрицы V и первого из уравнений (5) следует равенство [J,A + A+], которое, если J удовлетворяет условию (2), выполняется только тогда, когда A + A+ является диагональной матрицей.

Любое решение уравнения (6) подобно постоянной матрице. Для доказательства рассмотрим матрицу

E0 =-ф-'АФ, (7)

где ф — любое невырожденное матричное решение (например, матрица эволюции) уравнения

Шф = ^Аф . (8)

Дифференцируя Eo с учетом уравнений (6), (8), получаем

Ёо = 0 ^ E0 = const. Следовательно, матрица A подобна постоянной матрице E0. Подобие осуществляется любым невырожденным решением уравнения

Игф = JфE0, (9)

17

которое следует из (7) и (8). Отсюда в свою очередь следует, что все коэффициенты характеристического многочлена деі(А - ЕІ) постоянные.

18

В случае двухуровневой системы, п = 2, уравнение (6) сводится к следующей системе дифференциальных уравнений для элементов а^ матрицы А:

11 — —(с1 — С2 ^^¿21 , 1^ 12 — —(с1 — C2 )al2a22 ,

^ 21 — (С1 - С 2 )а11а21 , ^ 22 — (С1 - С2 )а 12а 21 • (10)

Она имеет место и в случае неэрмитовых матриц V. Для характеристического многочлена матрицы А будем иметь

МА - Е1) — Е2 -(а11 + ¿22 )Е + а11а22 - ¿12а 21 •

Следовательно, ац + а22 и аца22 - а12а21 являются первыми интегралами системы (10). Этих интегралов достаточно для интегрирования системы (10). Для общности будем считать а^ комплексными величинами. Полагаем

¿11 + ¿22 — Е1 + Е 2 , а 11а 22 — ¿12а21 — Е1Е2 . (11)

Определим функцию z равенством

г — аи — ¿22. (12)

Тогда из (11) и (12) следует

¿12а 21 — (г2 —(Е1 — Е2 )2 )/4 .

Благодаря этому равенству первое и последнее уравнения системы (10) дают следующее дифференциальное уравнение для z:

1йг — -(с1 — с2 )(г2 —(Е1 — Е2 )2 )/4. (13)

При Ба = Е2 решением уравнения (13) будет простая дробь, которая является сингулярной и физического смысла не имеет. Регулярные решения существуют при условии 1ш(Е1 - Е2) #0 и описываются следующими формулами (см. [5]):

г — ¿и — ¿22 — (Е1 — Е2)1Ь(Ь(г— ^)), Ь — (с1 — с2)(Е1 — Е2 )/ 21Й .

Далее, из второго и третьего уравнений системы (10) с учетом первого из равенств (11) находим

¿21 /а-12 — —А2ехр((С1 — с2 )(Е1 — Е2)/1й),

где А — константа интегрирования.

Полученные результаты дают простую возможность определить все элементы матрицы А; имеют место следующие равенства

¿и — (Е1 ехР(ь(1— 1о)) + Е2 ехР(— Ь(1— ^ )))/о,

¿12 — (Е1 — Е 2 )еХР(—(с1 — С 2 )(Е1 + Е2 X1 — 1о )/21^)/А0 ,

¿21 — —(Е1 — Е 2 )АеХР((с1 — С 2 )(Е1 + Е2 X1 — 1о )/21^)/0 ,

¿22 — (Е2 еХР(Ь(1 — 1о ))+ Е1 еХР(— Ь(1 — 1о )))/0 ;

О = 2сь(ь(і - ^)).

(14)

С помощью этих равенств матрица А может быть представлена в виде

где Е0 = diag(El,E2), ф — матричное решение уравнения (9), для элементов которого справедлива формула

Из условия эрмитовости V следует а21 — —а12.

Это условие будет выполнено, если Б;! и Е2 — комплексно сопряженные числа и А = ехр(1а). Тогда Ь е И. Полагаем

Е1 — й(со+ 1Ь)/(с1 — с2), Е2 — й(ю— 1Ь)/(с1 — с2).

Тогда формулы (14) переходят в следующие:

аіі = Й((ю + Ш)ехр(ъ(-10^■+ (Ю - іь)ехр(-ь(г-10 )))/(2(с! - с2 )с:Ь(ъ(-10))), а12 = ЙЪ ехр(і(ю1 + а ))/((сі - С2 -10))),

а21 =-ЙЪехр(- і(ю1 + а))/((с1 - с2 )сИ(ь(і -10))), а 22 = Й((ю - іь)ехр(ь(1 - І0 )К (Ю + іЬ)ехР(- Ъ(г - І0 )))/(2(с1 - с 2 )ж(ъ(-10)));

таким образом, матрица И(Е) подобна единичной. Вероятно, что это свойство выполняется для любых невырожденных баргмановских гамильтонианов, для которых матричное уравнение Шредингера не расщепляется на самостоятельные уравнения с гамильтонианами меньшего порядка.

Баргмановские гамильтонианы и точные решения уравнений Шре-дингера с этими гамильтонианами можно получать итерациями матричного преобразования Дарбу [6 — 8]:

А = -фЕ0ф-1,

(15)

ф* = Акехр(с Е^/ій), і,к =1,2 .

Итерации матричного преобразования Дарбу и матричный аналог формулы Крама

у = уЕ - сту, ст = фЕ0ф 1,

Н = ДЕ + V, V = V + [і, ст], іЙф = 1фЕ0 + Уф . (16)

Здесь Е0 — диагональная матрица. Матричное преобразование Дар-бу является обобщением классического преобразования [9], которое получено для одномерного уравнения Шредингера.

20

Простейшее применение преобразования Дарбу следующее. При

V = 0 уравнение Шредингера принимает вид

1Йу = 1Бу.

Все его решения выражаются через матричную экспоненту

у = ехр(Ш1/1Й )С,

где С — произвольная постоянная матрица. Преобразование Дарбу (16)

дает

ст = фЕ0ф-1, V = [I, ст], у = (Е1 -ст)ехр(Ш1/1й)С. (17)

При С = I получается формула (3), где Р(ЕД) определено равенством (4). Сравнивая формулы (5), (15) и (17), видим, что

А(1 )=-ст(!).

Таким образом, все баргмановские гамильтонианы и решения уравнения Шредингера с этими гамильтонианами, которые рассмотрены в конце предыдущего пункта, могут быть получены с помощью преобразования Дарбу.

Итерации классического преобразования Дарбу ведут к формуле Крама [6—8]. Аналогичную формулу можно получить для матричного преобразования. Сделаем это.

Пусть ф(т) — решения уравнений

1Йф (т)= 1ф(т)Е(т), т = 1,п, (18)

где все диагональные элементы матрицы Е(т) — различные. Тогда п-кратное преобразование Дарбу дает решение вида (3), для которого

Р(Е,!)=]ГАк ()Е\ Ап = I. (19)

к=0

Все решения уравнения (18) выражаются через экспоненты. В покомпонентной форме записи они имеют вид

ф„ (т) = а8 exp(clEJ (т^ / 1Й).

Здесь а!, — произвольные константы интегрирования.

Используя свойства преобразования Дарбу, для коэффициентов многочлена (18) получаем следующую систему уравнений:

^ Ак (і)ф(ш)Ек (ш) = -ф(ш)Е" (ш), т = 1,п .

Эту систему уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения, если использовать блочные матрицы:

АФ = -В, (20)

где Ф, А, В — следующие блочные матрицы:

к=0

Ф =

^Ф(1) ф(1)Б(1)

ф(2) ф(2)Б(2)

ф(1)Б"1 (1) Л ф(2)Б"-1 (2)

уф(ш) ф(ш)Е(ш) ... ф(ш)Еп 1 (ш)

А = (Ао (і) Аі (і) ... Ап-і (і)),

В = -(ф(і)Еп (і) ф(2)Еп (2) ... ф(п )Еп (п)).

Решение уравнения (20) имеет следующий вид:

А = -ВФ-1.

В свою очередь для Ф-1 справедливо представление

Ф-1 = Б 1 (п)в,

где О(п) — определитель матрицы Ф, а Є — матрица, элементы которой являются многочленами от ф^(т). Разлагая Є на блоки С^ , получаем

Ak(t) = -D 1 (n )J ф(т)Б" (m)Gmk+1 .

(21)

Формулы (3), (19), (21) дают матричный аналог формул Крама.

Заключение

21

т=1

В статье дано определение баргмановских гамильтонианов, для которых решение матричного уравнения Шредингера имеет вид произведения многочлена от спектрального параметра E с матричными коэффициентами на экспоненту exp(JEt/ih). Установлен ряд основных свойств этих решений. В частности, показано, что баргмановские гамильтонианы могут быть получены итерациями преобразования Дарбу. Для конечного результата последовательного применения матричного преобразования Дарбу получены точные формулы типа известной формулы Крама. Полученные результаты могут быть использованы для решения других задач теоретической и математической физики.

Список литературы

1. Ivanov A.I., Kostrikova N.A. Lie-algebraic approach to the calculation of quasienergies // Phys. Let. A. 1998. Vol. 239. P. 285-288.

2. Ivanov A.I., Kostrikova N.A. Perturbation theory for the calculation of quasi-energies on the basis of the Lie-algebraic approach // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1999. Vol. 32. P. 389-394.

3. Bargmann V. On the connection between phase shifts and scattering potential // Rev. Mod. Phys. 1949. Vol. 21. P. 488 -493.

4. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1983.

5. Зайцев А.А. Лекции по теории динамических систем: Учеб. пособие. Калининград: Изд-во КГУ, 2004.

22

6. Matveev V.B., Salle M.A. Darboux Transformation and Solitons. Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 1991.

7. Зайцев А.А., Лебле С.Б. Теория нелинейных волн: Учеб. пособие / Кали-нингр. ун-т. Калининград, 1984.

8. Юров А.В. Преобразование Дарбу в квантовой механике: Учеб. пособие / Калинингр. ун-т. Калининград, 1998.

9. Darboux G. Sur une proposition relative aux équation lineaires / / Compt. Rend. 1882. Vol. 94. P. 1456-1459.

Об авторах

А. А. Зайцев — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.

Д. А. Каргаполов — студ., РГУ им. И. Канта, Dmitry_AK@mail.ru.