CC BY
1
Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета
2024. Том 64. С. 97-118
УДК 517.977.1, 517.955, 517.988.6 © А. В. Чернов
О ТОЧНОЙ НАБЛЮДАЕМОСТИ НЕЛИНЕЙНОГО ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ПРАВОЙ ЧАСТИ НА МАЛОМ ПРОМЕЖУТКЕ
Для задачи Коши, связанной с нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением в гильбертовом пространстве X, получены достаточные условия точной наблюдаемости на малом промежутке. За счет условия ограниченности снизу положительной константой на единичной сфере относительно линейного наблюдателя (оператора наблюдения) и с помощью теоремы Минти-Браудера задача наблюдаемости переформулируется в виде операторного (интегрального) уравнения с правой частью, содержащей (помимо вольтеррова, «локального» по времени слагаемого), также и нелокальный член. Однозначная разрешимость полученного операторного уравнения (уравнения восстановления состояния по наблюдению) доказывается с помощью принципа сжимающих отображений за счет предположения о малости промежутка наблюдения. Кроме того, доказываются две теоремы о глобальном восстановлении состояния: 1) по наблюдению на малом промежутке и при условии глобальной разрешимости некоторого мажорантного интегрального уравнения в пространстве М; 2) по серии наблюдений на малых промежутках при наличии априорной информации о принадлежности значений состояния ограниченному шару в X .В качестве примера (представляющего самостоятельный интерес) рассматривается полулинейное уравнение глобальной электрической цепи в атмосфере Земли.
Ключевые слова: нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение в гильбертовом пространстве, нестационарный ограниченный оператор, точная наблюдаемость, уравнение глобальной электрической цепи.
Б01: 10.35634/2226-3594-2024-64-07 Введение
Для линейных сосредоточенных систем (то есть описываемых ОДУ в пространстве Мп) условия наблюдаемости (необходимые и достаточные, а также критерии наблюдаемости) хорошо известны [1, глава 2]. В [2,3], по-видимому, впервые были получены необходимые и достаточные условия глобальной наблюдаемости в нелинейных сосредоточенных системах. В [3] был приведен пример сосредоточенной нелинейной системы с наблюдателем вида Х\(¿), для которой с помощью упомянутых необходимых условий было доказано, что она не наблюдаема в фазовом пространстве ни на каком промежутке времени. Позднее необходимые условия и достаточные условия аналогичного типа были получены в работах [4-9]. Проблема аппроксимативного восстановления состояния для класса нелинейных сосредоточенных систем рассматривалась в работах [10,11].
Теория наблюдаемости для линейных операторных дифференциальных уравнений со стационарным оператором (не зависящим от времени) на сегодняшний день тоже достаточно хорошо развита, см., например, [12,13]. Вообще, для линейных систем проблема наблюдаемости (в простейшей постановке) эквивалентна проблеме управляемости сопряженной системы, см., например, [14, глава 8, § 10, пункты 4, 5, с. 601-604]. К сожалению, критерии наблюдаемости (управляемости) для линейных операторных дифференциальных уравнений формулируются зачастую в труднопроверяемой форме, см., например, [15, § 4.10, с. 265-269]. Но существуют и более конкретного вида критерии наблюдаемости для тех или
иных специальных случаев [12], в частности, для случая так называемого диагонального оператора в гильбертовом пространстве, см., например, [16,17], либо для случая автономных линейных систем со специальными свойствами [18].
Отметим, кстати, что свойство наблюдаемости можно использовать для стабилизации линейной системы на бесконечном промежутке, см., например, [19]. Как видно из [20], свойство равномерной наблюдаемости можно использовать для доказательства разрешимости задачи оптимального управления, связанной с линейным операторным дифференциальным уравнением с нестационарным замкнутым оператором, допускающим аппроксимацию сильно непрерывными (по времени) линейными ограниченными операторами. Аппроксимативная наблюдаемость линейных операторных дифференциальных уравнений со стационарным оператором в гильбертовом пространстве изучалась, например, в [21,22].
Проблема наблюдаемости для случая нелинейных операторных дифференциальных уравнений на данный момент, судя по всему, исследована слабо. Известные результаты имеются для операторов того или иного конкретного вида, см., например, [23]. Как указано в [23], в зависимости от вида нелинейного оператора, возможны различные ситуации: наблюдаемость может иметь место на произвольном достаточно малом промежутке, либо на достаточно большом промежутке, либо вообще не иметь места ни на каком промежутке по времени. Точная наблюдаемость на бесконечно большом по времени промежутке для абстрактной вольтерровой системы (при некоторых специальных условиях) устанавливается в работах [24,25].
В цитированных источниках см. также дальнейшую библиографию.
Отметим, наконец, что различными авторами рассматриваются зачастую различные способы постановки задачи наблюдаемости — ср., например, в [14, глава 8, § 10, пункты 4, 5, с. 601-604] и [26, глава 5, §3, с. 204-206]. В [13, Chapter 6, p. 173] речь идет о трех типах наблюдаемости системы: точно, аппроксимативно и по конечному состоянию (exactly, approximately, final state observable). Как видно из работ, приведенных в нашем обзоре, существуют и другие способы.
В данной статье для задачи Коши, связанной с нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением в гильбертовом пространстве с ограниченным нестационарным оператором правой части, получены достаточные условия точной наблюдаемости на малом промежутке в смысле, с практической точки зрения аналогичном [26, глава 5, §3, с. 204-206]. За счет условия ограниченности снизу положительной константой на единичной сфере относительно линейного наблюдателя (оператора наблюдения) и с помощью теоремы Минти-Браудера задача наблюдаемости переформулируется в виде операторного (интегрального) уравнения с правой частью, содержащей (помимо вольтеррова, «локального» по времени слагаемого), также и нелокальный член. Однозначная разрешимость полученного операторного уравнения (уравнения восстановления состояния по наблюдению) доказывается с помощью принципа сжимающих отображений за счет предположения о малости промежутка наблюдения. Кроме того, доказываются две теоремы о глобальном восстановлении состояния: 1) по наблюдению на малом промежутке и при условии глобальной разрешимости некоторого мажорантного интегрального уравнения в пространстве R; 2) по серии наблюдений на малых промежутках при наличии априорной информации о принадлежности значений состояния ограниченному шару в X .В качестве примера (представляющего самостоятельный интерес) рассматривается полулинейное уравнение глобальной электрической цепи в атмосфере Земли.
Заметим, что полученные в статье абстрактные результаты можно, вероятно, использовать и при исследовании уравнения с правой частью, содержащей нестационарный замкнутый линейный оператор, допускающий аппроксимацию сильно непрерывными линейными ограниченными операторами — подобно тому, как это предположение использовалось в работе [20]. Но, в виду наличия на этом пути некоторых технических моментов, исследование
этого случая остается пока в планах на будущее.
§ 1. Предварительные построения и соглашения
Пусть X — вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением [., .]х; Е = Е(Т) = С(0,Т; X). Предположим, кроме того, что задана функция (оператор) /: [0; Т] х X ^ X, удовлетворяющая условиям.
Е^ Для всех х € Е отображение [0; Т] Э Ь ^ /(Ь, х(Ь)) принадлежит классу Е = Е(Т).
Е2) Существует функция N = N(Ь, М): [0; Т] х Е+ ^ Е+, суммируемая по Ь € [0; Т] и неубывающая по М € К+ такая, что для всех х, у € X таких, что ||х||х, ||у||х ^ М,
п. в. Ь € [0; Т] имеем: ||/(Ь,х) - /(Ь,у)||х ^ N(Ь, М) ||х - у||х .
Е3) Существует функция ^(Ь,г): [0; Т] х М+ ^ М+, неубывающая по г и суммируемая по Лебегу по Ь такая, что /(Ь, £) ^ М(Ь, М) для всех М > 0, £ € X, ||£||х ^ М,
X
п. в. Ь € [0; Т].
Замечание 1. Условие Ез) можно заменить следующим.
Е'3) Существует функция N2 = N2^): [0; Т] ^ М+, суммируемая по £ € [0; Т] и такая, что для п. в. í € [0; Т] имеем: ||/0)||х < N2 (г).
Действительно, предположим, что выполнены условия Е2), Е3). Оценим:
||/)|х < ||/(*>£) - / (*, 0)|х +1|/(*, 0) |х < N (¿,м )|е|х+N2^) < ),
где М(*,М) = ^,М)М + N2^). □
Будем рассматривать нелинейное эволюционное уравнение вида
^ = f(t,x(t)), ¿€[0;Т]; х(0) = хо, (1.1)
относительно неизвестного х € С1(0, Т; X); производная по времени понимается в сильном смысле. Как видно, например, из [27, теорема 10.3.5, с. 667] (при А(Ь) = 0, и(Ь, т) = I), задача (1.1) эквивалентна интегральному уравнению (с интегралом Бохнера) вида
г
х(Ь) = х0 + У /(з,х(з)) Ь € [0; Т]; х € Е(Т). (1.2)
о
Поставим задачу наблюдения. Предположим, что задано семейство линейных ограниченных операторов (ЛОО) С(Ь) : X ^ X, удовлетворяющее следующим условиям.
С1) Существует константа в0 > 0 такая, что
||С(Ь)х||х ^ в0 ||х||х Vх € X, Ь € [0; Т].
С2) Существует константа в > 0 такая, что
||С(Ь)|| ^ в VЬ € [0; Т].
Пусть т € (0; Т] — произвольно фиксированное число. Задача наблюдения: считая известным элемент
Y = y(т) = C*(t)C(t)x(t) dt е X,
в предположении, что x(t) — неизвестное решение задачи (1.1), или, равносильно, уравнения (1.2), требуется найти начальное состояние Хо и решение x(t) на промежутке наблюдения [0; т].
Замечание 2. Элемент 7, таким образом, является наблюдением (трактуется как показание некоторого датчика), а оператор C (t) мы называем оператором наблюдения (наблюдателем) в момент времени t. Если бы мы действовали по аналогии с [26, глава 5, § 3, с. 204-206], где рассматривается линейное уравнение в конечномерном пространстве X, то известной следовало бы считать функцию y(t) = C(t)x(t). Но в такой ситуации понятно, что и элемент 7 тоже оказывается известным. В этом смысле наше понимание задачи наблюдения является более общим. Однако для метода, применяемого для решения задачи наблюдения в [26, глава 5, § 3, с. 204-206], достаточно знать аналог элемента 7:
т
У W*(t, 0)C*(t)y(t) dt,
о
где W(t, т) — семейство эволюционных операторов, отвечающее линейному оператору правой части A(t) (в конечномерном случае — матрице). Поэтому мы и говорим, что наша постановка задачи наблюдения с практической точки зрения аналогична [26, глава 5, §3, с. 204-206]. Поскольку мы рассматриваем, вообще говоря, нелинейное уравнение (1.1), то выделять специально из правой части линейную составляющую A(t)x(t) с ЛОО A(t) вряд ли имело бы смысл. Но это, разумеется, имело бы смысл, если бы линейный оператор был замкнутым, а не ограниченным. В этом случае пришлось бы налагать условие вида
т
У ||C(t)W(t, 0)x||X dt ^ во ||x||x Vx е X. (1.3)
о
С этим условием ситуация следующая, см. [28]. Для стационарного ЛОО A: X ^ X, при выполнении условия Ci), оно выполняется автоматически при любом достаточно малом т > 0. Если (даже стационарный) линейный оператор A, порождающий сильно непрерывную полугруппу, не является ограниченным, то выполнение этого условия можно обеспечить лишь для достаточно узкого подкласса класса максимально монотонных операторов, но и в этом случае степень малости промежутка [0; т] будет зависеть от выбора конкретного элемента Хо из (плотной в X) области определения D(A), что для задачи наблюдения неприемлемо. Отметим, кстати, что для случая линейного стационарного оператора A, порождающего сильно непрерывную полугруппу, аналог условия (1.3) некоторыми авторами как раз и принимается за определение наблюдаемости, см., например, [13, Definition 6.1.1], [17, Definition 1]. После этого основная проблема заключается в том, чтобы выделить тот ли иной специальный подкласс операторов, для которого удается доказать выполнение этого условия. В роли такого подкласса в [13, Theorem 6.6.1 и дальше] выступает класс кососопряженных операторов (skew-adjoint: A* = -A, X — комплексное гильбертово пространство) при выполнении ослабленного аналога условия Ci) и достаточно большом т > 0 (если иметь в виду указанную теорему; либо при выполнении некоторых других условий), а в [17] — класс диагональных операторов (здесь рассматривается бесконечный промежуток наблюдения). Вероятно, пользуясь, в частности, построениями указанных работ, можно получить некоторые аналоги выполнения условия (1.3) и в нашей ситуации. Но понятно, что эта тема заслуживает отдельного исследования. Другой путь — это просто постулировать условие (1.3), и тогда можно было бы рассмотреть здесь и более общую ситуацию вхождения неограниченного стационарного линейного оператора A. Но это неким образом
отклонило бы нас от цели нашего обсуждения, поскольку привело бы к необходимости изложения основ теории полугрупп и представления других примеров применения абстрактной теории. С другой стороны, подобное обобщение абстрактной теории проводится достаточно тривиально. Поэтому здесь мы его опускаем. □
§ 2. Операторное уравнение, равносильное задаче наблюдаемости
Прежде чем вывести операторное уравнение, равносильное поставленной задаче наблюдаемости для нелинейного уравнения (1.2), напомним кратко следующие известные определения.
Пусть X — банахово пространство, (.,.) — скобка двойственности между пространствами X и X* (действие функционала из X* на элемент из X), П С X - заданное множество. Оператор F: X — X* называется хеминепрерывным на П, если для всех x,y е X, z е П и t е R таких, что z + ty е П, имеет место равенство: lim(F[z + ty] — F[z],x) = 0. Ясно, что из непрерывности оператора F следует его хеминепрерывность. Оператор F: X — X* называется монотонным, если
<F[y] — F[z],y — z) ^ 0 Vy, z е X.
Оператор F: X — X* называется строго монотонным, если
<F[y] — F[z], y — z) > 0 Vy, z е X, y = z.
Наконец, если существует константа в > 0 такая, что
<F[y] — F[z], y — z) ^ в ||y — z|X Vy, z е X,
то говорят, что оператор F сильно монотонный.
Следующее утверждение известно как теорема Минти-Браудера [29, теорема 2.1].
Л е м м а 2.1. Пусть во всем рефлексивном банаховом пространстве X задан хеминепре-рывный монотонный оператор F: X — X*, удовлетворяющий условию коэрцитивности:
<F(x),x) ^ y(||x||x)||x||x, где y(t) — вещественная функция при t ^ 0, lim y(t) = Тогда оператор F осуществ-
li+M
ляет сюръективное отображение пространства X на (все) пространство X*. Иными словами, для каждого y е X * уравнение F [x] = y имеет решение x е X.
Как известно [30, глава V, § 7, с. 236], гильбертово пространство X является рефлексивным, причем в качестве скобки двойственности можно взять скалярное произведение [., .]X, если (в соответствии с теоремой Рисса) отождествить X и X*. Очевидно, что для выполнения условия коэрцитивности линейного оператора F : X — X достаточно его сильной монотонности:
[F(6) — F(&Ui — £2]x ^ a||£i — 6HX V£i,£2 е X; a> 0.
Определим оператор F = FT: X — X формулой:
т
F[x] = J C*(t)C(t)xdt, x е X. о
В силу условия C2), F — линейный ограниченный оператор,
т
l|F || < J уС (t)y2 dt ^ в2т.
о
Отсюда следует, что оператор F непрерывен, а стало быть, и хеминепрерывен.
Лемма 2.2. Оператор Р сильно монотонный.
Доказательство. Для всех £1, £2 € X, и соответственно, £ = £1 — £2, получаем:
[р (£1) - Р (£2), £1 - £2] X = [Р (£ ),£]
¡X
[С *(в)С (в)£,£] х ^
[С (в)£,С (в)£] х Ж = /||С (в)£ ||Х Ж
и в силу условия С1),
[Р(£),£]х ^ « ||£Их, а = а(т)= во2т.
□
Непосредственно из лемм 2.1, 2.2 вытекает, что уравнение Р[х] = у имеет решение х € X для любого у € X. А за счет сильной монотонности (для этого достаточно было бы строгой) решение определяется однозначно, то есть определен обратный линейный оператор Р-1: X ^ X. Более того, пользуясь оценкой из доказательства леммы 2.2, можем оценить норму решения:
[у = Р(х),х]х ^ а(т)||х| откуда по неравенству Коши-Буняковского,
2
1х,
|х|х ^
1
а(т)
||у|х.
Таким образом, Р 1 — линейный ограниченный оператор (ЛОО), причем
....... " " <*(т)
Пусть х(Ь) — неизвестное решение уравнения (1.2) на [0; т], при неизвестном х0 € X. Рассмотрим соответствующее наблюдение 7 = 7(т):
7 (т) = С *(Ь)С (Ь) I х0 + /0,х(з)) ^^Ь = Рг [х0 ] + С * (Ь)С (Ь) / /(>,х(5)) ^Ь.
То же самое, с учетом обратимости оператора Р = Рт, можно переписать в виде:
х0 = Р
-1
7 - С*(Ь)С(Ь) / /(в,х(5)) ^Ь
(2.1)
Определим оператор Т = Тт: Е(т) ^ Е(т) с помощью формулы
Т [х](Ь) = Р
-1
7 - С*(Ь)С(Ь) / /(в,х(5)) ^Ь
+ / /(в, х(в))
Будем рассматривать уравнение
х = Тт [х], х € Е(т).
(2.2)
т
т
т
г
г
т
т
г
т
г
г
т
Лемма 2.3. Предположим, что уравнение (2.2) имеет единственное решение х € Е (т). Тогда пара (х0, х(.)), где х0 € X определяется по формуле (2.1), является единственным решением задачи наблюдения.
Доказательство. Докажем, что указанная пара является решением задачи наблюдения. Действительно, непосредственно из определения оператора ТТ ясно, что функция х(£) является решением уравнения (1.2) на [0; т] при начальном условии х0. А непосредственно из формулы (2.1) и тождества (1.2) на [0; т] видно, что выполняется равенство
C*(t)C(t)x(t) dt = y-
Но это, собственно, и означает, что указанная пара является решением задачи наблюдения.
Если теперь предположить, что существуют два решения (x0, x(.)), (y0,y(•)) задачи наблюдения, то повторяя рассуждения, проведенные перед формулировкой леммы, получаем, что соответствующие функции x(.), y(.) являются решениями уравнения (2.2). Однако по условию решение этого уравнения единственно. Стало быть, x(.) = y(.) на [0; т]. Но при этом эти функции являются решениями уравнения (1.2), соответственно, с начальными состояниями хо, //о. А поскольку ./'(.) = у (.) на [0; г], то отсюда сразу получаем х0 = у0. □
В соответствии с леммой 2.3, операторное уравнение (2.2) естественно назвать уравнением восстановления состояния по наблюдению.
§3. Однозначная разрешимость уравнения восстановления на малом промежутке
I. Случай липшицевости функции f (., x) по x.
Этот случай имеет смысл рассмотреть отдельно, поскольку удается получить более сильный результат и более простым путем.
Итак, предположим, что в условии F2) функция N(t,M) = N(t), то есть не зависит от M. Так будет, например, если f (t, x) = A(t)x, где A(t) : X ^ X — сильно непрерывный (по t G [0; T]) ЛОО. Тогда для всех достаточно малых т G (0; T] оператор FT оказывается сжимающим на всем пространстве Е(т):
T
Гт[х] - ТгЫ\\Е ^ (f + 1 ) /1/М5)) - /М*))
ds ^ а ||x — y||E,
X
где
а
2
+ 1 ) / Л/» ds < 1
0
для всех достаточно малых т € (0; Т]. Отсюда, согласно принципу сжимающих отображений, получаем однозначную разрешимость уравнения (2.2) на всем пространстве Е = Е(т) для всех достаточно малых т € (0; Т]. II. Общий случай.
Здесь приходится постулировать следующее естественное предположение. И.) Существует число Я > 0 такое, что для всех т € (0; Т] имеет место оценка:
||7(т)||х ^ в2тЯ. (3.1)
T
Действительно, довольно часто из некоторых априорных соображений можно заключить, что искомое решение удовлетворяет оценке ||х(£)||х ^ К. Тогда непосредственно из определения наблюдения 7(т) получаем оценку (3.1). Кроме того, с практической точки зрения, оценка вида (3.1) может быть получена также и экспериментальным путем. Заметим, однако, что из оценки (3.1) оценка ||х||Е(т) ^ К, вообще говоря, не следует (из неотрицательности функции не следует неотрицательность ее производной).
Зафиксируем произвольно число а > 0 и соответственно определим число
в 2
До- = 7^2 д + <7, а также число 5 = 5(а) > 0, исходя из условий:
в2
в2
^ + 1) Щз,Па) а, 32 + 1
в2
в02
Иа) ¿8 ^ -.
Л е м м а 3.1. Для всех т € (0; 5] оператор Тт не выводит из множества
П = Па,т = {х € Е(т): ||ж||е(т) ^ К*}.
Доказательство. Выберем произвольно х € Па,т. В соответствии с определением оператора Тт можем оценить:
в02
/(в,х(5))
X
¿8,
и пользуясь условиями Е3), И) и выбором числа 5, получаем:
\ТгШ\\х ^ + (Ц + 1) /МЛ*, К) ¿8 ^ и П + а = Па
о
для всех £ € [0; т] С [0; 5].
□
Лемма 3.2. Для всех т € (0; 5] оператор Тт является сжимающим на множестве пп — пп* т.
Доказательство. Выберем произвольно х,у € П*т. В соответствии с определением оператора Тт, а также условием Е2) и выбором числа 5 можем оценить:
Тт[х]~ Тт[у]\\Е{т)^ + У f(s,x{s))-f(s,y{s)) ^(18 ^ к\\х-у\\Е(т)
где
к
(|+1)4
□
Непосредственно из лемм 3.1, 3.2 и принципа сжимающих отображений вытекает
Т е о р е м а 3.1. Для всех т € (0; 5] уравнение (2.2) имеет единственное решение в множестве П = п*т.
5
5
5
5
5
Замечание 3. Как видно из доказательства леммы 3.2, для любого шара конечного радиуса в пространстве X можно подобрать такое число ¿1 > 0, что при всех т € (0; ¿1 ] уравнение (2.2) будет иметь не более одного решения ж(£), принимающего значения в этом шаре. □
Рассмотрим теперь случай, когда известна априорная информация о том, что начальное состояние подчиняется оценке:
1Ы1* ^ Со- (3.2)
Исходя из этого, получим оценку решения х(г) уравнения (1.2). Пользуясь такой оценкой и замечанием 3, можно будет доказать единственность решения уравнения (2.2) на соответствующем шаре. Но прежде всего, покажем, что оценка (3.2) может быть получена как следствие (3.1).
Лемма 3.3. Пусть выполнена оценка (3.1) и предполагается, что каждый из элементов 7(т) является наблюдением на [0; т], то есть порождается реально существующим состоянием х(.) € Е(Т) или хотя бы х(.) € Е(т0) при некотором фиксированном т0 > 0, х0 = х(0). Тогда справедлива оценка:
в 2 ро
Доказательство. Обозначим
т
7о(т) = ^ С*(*)С(г)х ^ = Ят[хо]. о
Следовательно, хо = Я-1 [7о(т)], а стало быть,
х ^ 1|| ||7о(т)||х ^ ||7о(т)||х.
ро т
В силу непрерывности х(г) по норме Е(то), для любого е > 0 найдется 8£ > 0 такое, что
11х(^) - хо||х ^ е Vг € [0; 4]-Таким образом, для всех т € [0; получаем:
т
||т(т) - 7о(т)||х ^ в2 /||х(г) - хо||х ^ ^ в2те.
Пользуясь оценкой (3.1), имеем:
1Ы|х ^ (г) - 7о(т)||х + ||7(г)||х} ^ ^ {Д/32 + /32е}.
во т во
После этого остается перейти к пределу при е —г +0. □
Лемма 3.4. Каковы бы ни были жо € X, т € (0; Т], уравнение (1.2) может иметь на [0; т] не более одного решения.
Доказательство. Пусть х, у — два произвольных решения. Положим м = тах{||ж||е(т), 1Ы1е(т)}, г = У - X г(г) = .
Пользуясь условием Е2), получаем:
г
г(г) ^ У N(в,м)ф)
о
После этого остается лишь воспользоваться леммой Гронуолла. □
Л е м м а 3.5. Пусть число M > 0 произвольно фиксировано. Тогда найдется константа = (M) > 0 такая, что каковы бы ни были ж0 G X, удовлетворяющее условию (3.2), и т G (0; уравнение (1.2) имеет в точности одно решение на [0; т], удовлетворяющее неравенству: ||x(t)||X ^ £0 + M.
Доказательство. Подберем число 51 > 0, исходя из условий:
¿1 ¿1
00 Тогда для оператора правой части
t
G[x](t) = ж0 + J f (s,x(s)) ds
0
первое из этих неравенств обеспечивает инвариантность относительно оператора G множества П^. = {ж G E(т): ||x||E ^ ст}, а = £0 + M, а второе — сжимаемость G на П^.. Отсюда следует существование решения в £1'ат. А из леммы 3.4 вытекает единственность. □
Непосредственно из теоремы 3.1, замечания 3 и леммы 3.5 вытекает
Теорема 3.2. Пусть M > 0 произвольно задано. Существует число 5 > 0 такое, что для всех т G (0; 5] уравнение (2.2) имеет единственное решение, удовлетворяющее оценке ||ж||Е(т) ^ max{ £0 + M, Яа}, которой должно удовлетворять любое решение уравнения (1.2) с начальным условием вида (3.2).
Важным является вопрос о том, можно ли однозначно восстановить решение по каждому ж0 G X на всем отрезке [0; T] (да и существует ли оно).
Теорема3.3. Пусть на [0; T ] существует (хотя бы одно) неотрицательное решение мажорантного уравнения:
t
<*) = & + /Ni(.,a(.)) ds, a G C[0; П (33)
0
Тогда для любого ж0 G X, удовлетворяющего условию (3.2), уравнение (1.2) имеет в точности одно решение на [0; T], и это решение удовлетворяет оценке: ||x(t)||X ^ a(t), t G [0; T].
Доказательство. Пусть M = max a(t). Подберем число 5 > 0, исходя из усло-
te[0;T]
вия:
J Я (s, M) ds<i h
для любого измеримого h С [0; T], mes h ^ 5 (это возможно в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). После этого выберем произвольно разбиение отрезка [0; T] вида:
0 = to < t\ < ... < tk = T, ti — U-1 <8, i = 1, k,
и соответствующие операторы G^: 1^(1,) /'.'(/,; ), i I. /г, формулами:
t
Gi[x](t) = ж0 + J f (s,x(s)) ds, t G [0; t,].
0
Дальнейшее доказательство проведем в несколько этапов.
1. Докажем разрешимость уравнения (1.2) на [0; ti]. Определим множество
Л1 = {ж G E(ti): ||x(i)||X ^ a(t), t G [0; t^}.
Очевидно, что Л1 = 0, так как 0 G Л1. Для любого ж G Л1, согласно условиям F3) и (3.2), а также определению функции a(t), имеем:
t t
||G1[x](t)|X ^ Со N1 (s, ||x(s)|x) ds ^ Со ^УM(s,a(s)) ds = a(t).
о о
Это означает, что G1 : Л1 ^ Л1.
При этом для всех ж, y G Л1 согласно условию F2) имеем:
t
||G1[x](t) - G1[y](t)|X ^ J N (s, a(s)) ||x(s) - y(s)||X ds ^
0
ti
^ У Л/>, M) ds||x - y||e(îi) ^ ^ ||ж - y||e(ii)-
о
Это означает, что оператор G1 — сжимающий на E(t1). Тогда по принципу сжимающих отображений уравнение ж = G1[x], то есть уравнение (1.2) на [0; t1] имеет единственное решение в множестве Л1.
2. Действуя по индукции, предположим, что уже доказано существование решения xi-1 G E(ti-1) уравнения (1.2) на [0; ti-1], удовлетворяющего оценке: ||xi-1(t)|X ^ a(t), t G [0; ti-1]. Докажем, что в таком случае уравнение (1.2) имеет решение на [0; t,] в множестве
Л, = {ж G E (ti): x(t) = Xi-1 (t), t G [0; t,—1]; ||x(t)|X ^ a(t), t G [t,—1; t,]}. Очевидно, что Л, = 0, так как содержит функцию
y(t) = Jж,—1СО, t G [0; tj-1 ],
1 (tj-1), t G [t,-1; t,],
поскольку ясно, что функция a(t) неубывающая. Выберем произвольно ж G Л,. Для
t G [0; t,—1 ] имеем:
t t
Gi^Kt) = жо + У f (s,^(s)) ds = жо + У f (s, ж,—1 (s)) ds = ж,—1 (t). оо
Для t G [t,—1; t,] имеем:
t ti-i t Gj[ж](t) = жо + J f (s,ж(s)) ds = жо + J f (s,жj—1(s)) ds + J f (s^(s)) ds, о о ti-i
откуда, согласно условию F3), предположению индукции и определениям множества Л, и функции a(t), получаем:
ti-i t t
11G,M(t) 11X ^ Со + f N1 (s, a(s)) ds + J N1 (s, a(s)) ds = Со + JM(s,a(s)) ds = a(t).
о ti-i о
Таким образом, С: Л^ ^ Л^.
Для всех х,у € Л^ при Ь € [0; ¿¿-1], очевидно, С*[х](Ь) — С[у](Ь) = 0. А при Ь € [¿¿-1; согласно условию Е2) имеем:
|ОД(Ь) — С[у](Ь)||х ^ / /(я,х(в)) — /М«))
IX
ь
" ' ' ' " ^ <
X
Ьг-1 Ьг_1
Это означает, что оператор С является сжимающим на множестве Л^. Согласно принципу сжимающих отображений, заключаем, что уравнение х = ^¿[х], то есть уравнение (1.2) на [0; ¿¿], имеет единственное решение в множестве Л».
3. По индукции заключаем, что уравнение (1.2) имеет решение на [0; Ьк] = [0; Т], удовлетворяющее неравенству ||х(Ь)||х ^ а(Ь), Ь € [0; Т]. А по лемме 3.4 решение уравнения единственно. □
§ 4. Однозначное глобальное восстановление состояния по серии наблюдений на малых промежутках
В предыдущем разделе (см. теоремы 3.2, 3.3) описана стратегия восстановления состояния глобально, то есть на [0; Т], по наблюдению на малом промежутке при априорной информации (3.1), (3.2) и при условии, что имеет место разрешимость мажорантного уравнения (3.3). В этом разделе рассмотрим ситуацию, когда не установлена разрешимость мажорантного уравнения, но имеется априорная информация вида:
||х(Ь)||х ^ К, Ь € [0; Т]. (4.1)
Тогда автоматически выполняются условия (3.1), (3.2) при Со = К. Для произвольного о > 0 выберем 8 > 0 как указано в (предыдущем) разделе 3. Соответственно, построим разбиение:
0 = Ьо < ¿1 < ... < 4 = Т, Ь, — ¿¿-1 <8, г = 1, к. (4.2)
По теореме 3.1 и замечанию 3 при т = Ь1 уравнение (2.2) имеет решение, единственное среди функций, принимающих значения в шаре Вр(0) = {х € X: ||х|| ^ р}, р = тах{К, К} = Кст, то есть в множестве ПСТ)Г. По лемме 2.3 это означает, что однозначно восстанавливается состояние, то есть решение уравнения (1.2) на [0; Ь1]. При этом, согласно априорной информации, х(Ь) € Дк(0), Ь € [0; Ь1 ].
Теперь аналогичным образом можем рассмотреть задачу восстановления состояния на [Ь1; Ь2] по наблюдению 72, где
Ъ= ] С*Ц)Са)хЦ)(И} г=1,к.
Ьг-1
При этом на [Ь1; Ь2] соответствующее сужение уравнения (1.2) можно записать как
ь
х2(Ь) = х1 + J / (*,х2(*)) Ь € [Ь1; Ь2],
ь1
ь
г
ь
г
где х1 = £(¿1) нам уже известно. Поскольку это уравнение простой линейной заменой ^ = £ — ¿1 сводится к уравнению вида (1.2) на [0; ¿2 — ¿1], то мы можем воспроизвести рассуждения, проведенные для первого промежутка [0; ¿1]. И таким образом, состояние х(£) однозначно восстанавливается и на [¿1; ¿2]. Непрерывность стыковки х(£1 + 0) = х1 обеспечивается за счет однозначности восстановления на [¿1; ¿2] и за счет наличия априорной информации о том, что решение на [0; Т] (а следовательно, и на подотрезках) существует и принимает значения в Вд(0), и наконец, за счет единственности решения уравнения (1.2), см. лемму 3.4. Тем самым, получаем, что состояние со значениями в Вд(0) однозначно восстанавливается и на [0; ¿2]. Продолжая описанный итерационный процесс, получаем, что справедлива
Теорема 4.1. Пусть известна априорная информация (4.1). Тогда найдется число 5 > 0 такое, что для всякого разбиения вида (4.2) состояние х(£), удовлетворяющее условию (4.1), однозначно восстанавливается на [0; Т] по серии наблюдений г = 1,к.
§ 5. Пример: уравнение глобальной электрической цепи
Линейное уравнение следующего вида
д
—А(р(Ь,х) + 4тгсИу (<7(г,ж)У¥>(г,ж)) = 4тг сИу (5.1)
где £ € [0; Т] — время, х € П С К3 — пространственная переменная, в физической (и смежной математической) литературе называют уравнением глобальной электрической цепи в терминах потенциалов в квазистационарном приближении. При этом неизвестная функция х) трактуется как скалярный электрический потенциал, а /ст — как объемная плотность сторонних (квазистационарных) токов. Подробную библиографию на этот счет, а также все, что касается физического смысла уравнения (5.1) и корректной постановки начально-краевых условий для него см. в [31,32]. По поводу термина «глобальная электрическая цепь» приведем (в собственном переводе) цитату из [32]: "Термин «глобальная электрическая цепь» относится к распределению электрических токов в атмосфере Земли; это <...>, в частности, молниевые токи, токи, связанные с выпадением осадков и токи корональных выбросов, но его наиболее важной составляющей являются <... > квазистационарные токи, которые текут непрерывно и <. . . > поддерживаются постоянной разностью зарядов в <... > электрически заряженных облаках".
Насколько известно автору, у специалистов существует мнение, что объемная плотность сторонних токов на самом деле зависит от градиента (по совокупности пространственных переменных) потенциала (хотя характер этой зависимости на данный момент неизвестен). Но в таком случае, возникает необходимость изучения полулинейного аналога уравнения (5.1) (в частности, при тех же начально-краевых условиях), который отличается тем, что в правую часть входит также градиент функции
В связи с этим, будем рассматривать полулинейный аналог уравнения (5.1):
д
—А(р(Ь,х) + 4тгсИу (а(Ь,х)Ч(р(Ь,х)) = 4тг сНу ж; Ур), (5-2)
где £ € [0; Т] — время, х € П С К3 — пространственная переменная.
Перейдем к строгой математической постановке. Пусть П С К3 — ограниченная область диффеоморфная шаровому слою, причем существует точка в пространстве1 такая, что луч, выходящий из нее в произвольном направлении, пересекает границу области дП = Г1 и Г2 ровно в двух точках — по одной на каждую компоненту связности Г1, Г2, причем обе эти
!Для шарового слоя это будет, например, центр шара.
компоненты связности диффеоморфны сфере в М3. С физической точки зрения, П соотносится с атмосферой Земли. Пусть, кроме того, а*, а* > 0 — заданные числа. Определим класс £(а*, а*) всех функций а(Ь, х): [0; Т] х П — М, непрерывных по Ь € [0; Т], измеримых по х € П, ограниченных на ограниченных множествах и таких, что а* ^ а(Ь,х) ^ а* для всех Ь € [0; Т], п. в. х € П.
Пусть V(П) — множество всех функций ф € Н*(П), для каждой из которых след ф
нулевой, а след ф
Г1
постоянный (то есть существует константа с € М, своя для каждой
Г2
функции ф, такая, что ф = с). В [31] уже было показано, что множество V(П) является
Г2
гильбертовым пространством со скалярным произведением вида (<^,ф)у(п) = J (V^(x) ■
п
■ Vф(x)) dx, где символ « ■ » означает скалярное произведение в R3. Определим также класс F всех вектор-функций /(t, x; n): [0; T] xHxR3 ^ R3, измеримых по (t, x) G [0; T] хП, непрерывных по n G R3 и удовлетворяющих условиям: /(.,.; V^) G C(0,T; U), U = L(П), для всех G C(0, T, X), X = V(П). Кроме того, будем считать, что задана функция G X.
Для a G E(a*,a*), / G F будем рассматривать полулинейное дифференциальное уравнение вида (5.2):
д
—A(p(t, x) + div (<j(t, x)V(p(t, x)) = div [f(t, x; V^)]. (5.3)
Для вектор-функции g(t, x), удовлетворяющей аналогичным условиям (с очевидной поправкой на случай отсутствия зависимости от V^), рассмотрим линейный аналог:
д
—A<p(t, x) + div (ait, x)V<p(t, x)) = div g(t, x). (5.4)
Как показано в [31], для уравнения (5.4) корректной является следующая постановка начально-краевых условий:
| + „(i.x) ^Л = 0. (е(0;Г], (5.5)
Г2
где gn — нормальная составляющая вектора g, n — вектор внешней нормали к поверхности Г2,
p(t,x) =0, p(t,x) = C(t), t G (0; T], (5.6)
хеГх
хеГ2
<^(t,x) = <£0(x), x G П. (5.7)
t=0
Как показано в [31], следующее определение решения задачи (5.4)-(5.7) является корректным. Решение задачи (5.4)-(5.7) будем понимать как функцию ^ G C1(0,T; X), удовлетворяющую интегральному тождеству
^ j (Vip(t, x) • Vip(x)) dx + j cr(t, x) (V<p(t, x) • Vip(x)) dx = п п
= /(g(t,x) ■Vф(x)) dx для t G (0; T], Уф G V(П), (5.8)
и начальному условию (5.7). В [31] доказана теорема о существовании и единственности решения в указанном смысле.
Аналогичным образом, для уравнения (5.3) будем ставить начально-краевые условия (5.6), (5.7), а также условия
ш *> т - ^ Ï *=(5'9)
Г2
t G (0; T]. Решение задачи (5.3), (5.6), (5.7), (5.9) будем понимать как функцию ^ из класса C1(0, T; X), удовлетворяющую тождеству
^ j (Vip(t, х) • Уф(х)) dx + j cr(t, x) (Vip(t, x) ■ Уф(х)) dx =
П П
= J /(t,x; Vp) dx для t G (0; T], V^ G X = V(П), (5.10)
n
и начальному условию (5.7).
Замечание 4. Таким образом, решение ^ мы ищем в пространстве C1(0,T; X). Согласно определению этого пространства, при заданном t G [0; T] соответствующая функция ip(t,.) принадлежит пространству X = V(П). Иными словами, <^(t,.) G H 1(^), причем ее след вдоль поверхности Г1 равен нулю, а вдоль поверхности Г2 не зависит от x G П (но, вообще говоря, может зависеть от t, учитывая, что момент времени t фиксирован, а константа c в определении V(П) своя для каждой функции из V(П)). Поэтому задание граничных условий в определении пространства V(П) диктуется граничными условиями (5.6). Что касается физического смысла этих условий, см. [31,32]. Положим
а*(<р,ф) = У a(t,x)(V^(x) ■ V^(x)) dx, ф G X = V(П), n
z(x)-V^(x) dx, z G U = Ф G X.
n
С учетом неравенства Гёльдера, для любого фиксированного z G U 1[5](ф) есть линейный непрерывный функционал на X. Поэтому, согласно теореме Рисса о представлении линейного непрерывного функционала на гильбертовом пространстве [33, глава I, теорема 6.1, с. 27], существует единственный элемент Z G X, отвечающий функционалу l[z], а стало быть, и элементу z G U, такой, что
ф"](ф) = (^ф)х, ||Z ||x = ||ФЦ|.
Указанное соответствие U Э z ^ Z G X будем понимать как оператор В : U ^ X. Таким образом,
1И(Ф) = (Вг,ф), z G U, ф G X.
Отсюда и из определения функционала 1^(ф) очевидно, что В — линейный оператор. По неравенству Гёльдера,
|ФКФ)| ^ |z!u ||ф||х.
Стало быть,
||Bz|| = ||l[z]|| ^ ||z||u,
то есть В — ЛОО, причем ||В|| ^ 1. Сопряженный оператор В* : X * ^ U *, с учетом отождествления X * = X, U * = U, определяется из условия:
= «,в5Ь = чад) = / ад ■ WH dx = (5, ww.
n
Таким образом, B*-0 = V^. И соответственно,
IIB * = IIWII2, = ll^yi ^ IIB = Н^Пх ^ IIBN = IIB*II = 1.
и = П^ФПи = ||ф|1х ^ 11в ФПи = ||ф||х
С учетом принадлежности а € Е(а*, а*), очевидно, что билинейная форма а(р, ф) является ограниченной и коэрцитивной в X. Поэтому согласно теореме Лакса-Мильграма [34, глава III, 7, с. 134] существует ЛОО С(Ь), обратимый на всем пространстве X и такой, что
а(р,ф) = (С(%,ф), ||С(Ь)|| ^ а*, ||С(Ь)-11| ^ а-1.
Докажем, что ЛОО С(Ь) сильно непрерывен на [0; Т]. Поскольку билинейная форма аг(р, ф) симметрична, то ясно, что С*(Ь) = С(Ь); поэтому и С*(Ь) тоже оказывается сильно непрерывным. Итак, для произвольных ¿, ¿0 € [0; Т], р € X положим ¿0) = — С(Ьо), а(Ь; ¿0; х) = а(Ь, х) — а(Ь0, х) и рассмотрим
||G(í; ío)p||X = (G(í)p,G(í; ío)p) - (G(ío)p,G(í; ío)p) =
= at(p, G(í; ío)p) - aÍ0 (p, G(í; ío)p) = J a(í; ío; x) [Vp(x) ■ VG(í; ío)p(x)] dx.
n
Пользуясь неравенством Гёльдера, получаем:
||G(í; ío)p||X ^ ||^(í; ío; ||G(í; Íq)p||x ^ ||G(í; ío)p||X ^ ||a(í; Íq; .
Поскольку |a(í; í0; .)Vp|2 ^ 4(a*)2|Vp|2 £ L+ (П), остается заметить, что согласно теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла [35, теорема VIII.4.1, с. 200], имеем:
||a(í; t0; — 0 при í — í0.
С помощью определенных выше конструкций интегральное тождество (5.8) переписывается в виде:
d
- {ф),ф)х + (G(t)<p(tM)x = (.Bg(t,.), VV £ X.
Соответственно, интегральное тождество (5.10) в совокупности с условием (5.7) переписывается в виде задачи Коши для операторного дифференциального уравнения:
^ = -G(t)p(t) + B/(t,.,Vp), t £ (0; Т]; р(0) = р0 £ X. (5.11)
Нетрудно заметить, что задача (5.11) имеет вид (1.1). Как уже было сказано выше, ||G(t)|| ^ а*. Для того чтобы воспользоваться полученными в статье абстрактными результатами, остается лишь указать, во что трансформируются условия Fi)-F3) в применении к функции n) = B/(í,Vn), í £ [0; T], n £ X. Укажем эти условия:
Ф1) Для всех р £ E = C(0,T; X) отображение [0; T] Э í — /(t,., Vp(í)) принадлежит классу C(0, T1; В). А тем самым, отображение [0; T] Э t — B/(í,Vp(í)) принадлежит классу C (0, T; X.
Ф2) Существует функция N = N(í, M): [0; T] х R+ —^ R+, суммируемая по í £ [0; T] и неубывающая по M £ R+, такая, что для всех р,^ £ X, ЦрЦх, Ц^Цх ^ M, п. в. í £ [0; T] имеем:
||/(í,Vp) - /(í,W)||u ^ N(í, M) ||р - . 112
Фз) Существует функция Л/i (t, r): [0; T] x R+ ^ R+, неубывающая по r и суммируе
мая по Лебегу по t, такая, что
||£||x ^ M, п. в. t G [0; T].
/(t,VC) ^ N/i(t, M) для всех M > 0, £ G X,
и
После этого к задаче (5.11) применимы результаты разделов 2-4.
Автор искренне признателен А. В. Калинину, познакомившему его с проблемой глобальной электрической цепи и связанными с этой проблемой разнообразными математическими задачами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Калман Р. Э., Фалб П. Л., Арбиб М. А. Очерки по математической теории систем. М.: Едиториал УРСС, 2004.
2. Костюковский Ю. М.-Л. О наблюдаемости нелинейных управляемых систем // Автоматика и телемеханика. 1968. Вып. 9. С. 29-42. https://www.mathnet.ru/rus/at10649
3. Костюковский Ю. М.-Л. Простые условия наблюдаемости нелинейных управляемых систем // Автоматика и телемеханика. 1968. Вып. 10. С. 32-41. https://www.mathnet.ru/rus/at10716
4. Griffith E. W., Kumar K. S.P. On the observability of nonlinear systems: I // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1971. Vol. 35. Issue 1. P. 135-147.
https ://doi.org/10.1016/0022-247X(71)90241-1
5. Kou S. R., Elliot D. L., Tarn T. J. Observability of nonlinear systems // Information and Control. 1973. Vol. 22. Issue 1. P. 89-99. https://doi.org/10.1016/S0019-9958(73)90508-1
6. Singh S.N. Observability in non-linear systems with unmeasurable inputs // International Journal of Systems Science. 1975. Vol. 6. Issue 8. P. 723-732. https://doi.org/10.1080/00207727508941856
7. Maes K., Chatzis M. N., Lombaert G. Observability of nonlinear systems with unmeasured inputs // Mechanical Systems and Signal Processing. 2019. Vol. 130. P. 378-394. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2019.05.010
8. Massonis G., Banga J. R., Villaverde A. F. Structural identifiability and observability of compartmental models of the COVID-19 pandemic // Annual Reviews in Control. 2021. Vol. 51. P. 441-459. https://doi.org/10.1016/j.arcontrol.2020.12.001
9. Martinelli A. Extension of the observability rank condition to time-varying nonlinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2022. Vol. 67. Issue 9. P. 5002-5008. https://doi.org/10.1109/TAC.2022.3180771
10. Dessau H. R. Dynamic linearization and Q-observability of nonlinear systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1972. Vol. 40. Issue 2. P. 409-417. https://doi.org/10.1016/0022-247X(72)90059-5
11. Thau F. E. Observing the state of non-linear dynamic systems // International Journal of Control. 1973. Vol. 17. Issue 3. P. 471-479. https://doi.org/10.1080/00207177308932395
12. Jacob B., Partington J. R. Admissibility of control and observation operators for semigroups: a survey // Current Trends in Operator Theory and its Applications. Basel: Birkhauser, 2004. Vol. 149. P. 199-221. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7881-4_10
13. Tucsnak M., Weiss G. Observation and control for operator semigroups. Basel: Birkhauser, 2009. https://doi.org/10.1007/978-3-7643-8994-9
14. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.
15. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
16. Jacob B., Zwart H. Exact observability of diagonal systems with a one-dimensional output operator // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2001. Vol. 11. Issue 6. P. 12771283. https://eudml.org/doc/207555
17. Jacob B., Zwart H. Exact observability of diagonal systems with a finite-dimensional output operator // Systems and Control Letters. 2001. Vol. 43. Issue 2. P. 101-109. https://doi.org/10.1016/S0167-6911(00)00117-1
18. Shklyar B. Observability of evolution equations // Functional Differential Equations. 2003. Vol. 10. No. 3-4. P. 563-578. https://zbmath.org/1175.93051
19. Suzuki T., Yamamoto M. Observability, controllability, and feedback stabilizability for evolution equations, I // Japan Journal of Applied Mathematics. 1985. Vol. 2. No. 1. P. 211-228. https://doi.org/10.1007/BF03167045
20. Ungureanu V. M. Optimal control of linear stochastic evolution equations in Hilbert spaces and uniform observability // Czechoslovak Mathematical Journal. 2009. Vol. 59. No. 2. P. 317-342. https://doi.org/10.1007/s10587-009-0023-5
21. Shklyar B. On null set and observability of abstract evolution equation // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2001. Vol. 47. Issue 2. P. 969-978. https://doi.org/10.1016/S0362-546X(01)00238-3
22. Shklyar B. Approximate observability of abstract evolution equation with unbounded observation operator // Mathematical and Computer Modelling. 2002. Vol. 36. Issue 6. P. 729-736. https://doi.org/10.1016/S0895-7177(02)00170-X
23. Letrouit C., Sun C. Observability of Baouendi-Grushin-type equations through resolvent estimates // Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu. 2023. Vol. 22. Issue 2. P. 541-579. https://doi.org/10.1017/S1474748021000207
24. Chen J.-H. Infinite-time exact observability of Volterra systems in Hilbert spaces // Systems and Control Letters. 2019. Vol. 126. P. 28-32. https://doi.org/10.1016/j.sysconle.2019.02.004
25. Chen J.-H., Yi N. Infinite-time admissibility and exact observability of Volterra systems // SIAM Journal on Control and Optimization. 2021. Vol. 59. Issue 2. P. 1275-1292. https://doi.org/10.1137/19M1303769
26. Егоров А. И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004. https://zbmath.org/1156.49001
27. Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: МАИ, 1996.
28. Чернов А. В. О точной глобальной управляемости полулинейного эволюционного уравнения // Дифференциальные уравнения. 2024. Т. 60. № 3. С. 399-417. https://doi.org/10.31857/S0374064124030093
29. Качуровский Р. И. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах // Успехи математических наук. 1968. Т. 23. Вып. 2 (140). С. 121-168. https://www.mathnet.ru/rus/rm5611
30. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
31. Жидков А. А., Калинин А. В. Некоторые вопросы математического и численного моделирования глобальной электрической цепи в атмосфере // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2009. № 6-1. С. 150-158. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=13018148
32. Kalinin A.V., Slyunyaev N.N. Initial-boundary value problems for the equations of the global atmospheric electric circuit // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2017. Vol. 450. Issue 1. P. 112-136. https://doi.org/ 10.1016/j.jmaa.2017.01.025
33. Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.
34. Иосида К. Функциональный анализ. М.: ЛКИ, 2007.
35. Вулих Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.: Наука, 1973.
Поступила в редакцию 10.10.2024
Принята к публикации 01.11.2024
Чернов Андрей Владимирович, к. ф.-м. н., доцент, кафедра прикладной математики, Нижегородский государственный университет, 603950, Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23. ORCID: https://orcid.org/0000-0003-1464-8249 E-mail: [email protected]
Цитирование: А. В. Чернов. О точной наблюдаемости нелинейного эволюционного уравнения с ограниченным оператором правой части на малом промежутке // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2024. Т. 64. С. 97-118.
A. V. Chernov
On exact observability of a nonlinear evolutionary equation with a bounded right-hand side operator on a small interval
Keywords: nonlinear ordinary differential equation in a Hilbert space, non-stationary bounded operator, exact observability, equation of the global electric circuit.
MSC2020: 93B07, 93B28, 93C10, 93C20, 93C25
DOI: 10.35634/2226-3594-2024-64-07
For the Cauchy problem associated with a nonlinear ordinary differential equation in a Hilbert space X, we obtain sufficient conditions for exact observability on a small interval. By means of the condition of boundedness from below by a positive constant on the unit sphere with respect to a linear observer (observation operator) and with the help of Minty-Browder's theorem, the observability problem is reformulated as an operator (integral) equation with the right-hand side involving (in addition to the Volterra-type term, which is "local" in time) a nonlocal term as well. The unique solvability of the obtained operator equation (the equation of state reconstruction from observation) is proved with the help of the contraction map principle and the hypothesis about smallness of the observation interval. Moreover, we prove two theorems on global reconstruction of a state: 1) from observation on a small interval and under the condition of global solvability of some majorant integral equation in the space R; 2) from a series of observations on small intervals in the presence of a priori information on the belonging of the state values to a bounded ball in X. As an example (of an independent interest), a semilinear equation of the global electric circuit in the Earth's atmosphere is considered.
REFERENCES
1. Kalman R. E., Falb P. L., Arbib M.A. Topics in mathematical system theory, McGraw-Hill Book Company, 1969. https://zbmath.org/0231.49001
2. Kostyukovskij Yu. M.-L. Observability of nonlinear controlled systems, Avtomatika i Telemekhanika, 1968, no. 9, pp. 29-42 (in Russian). https://zbmath.org/0197.12703
3. Kostyukovskij Yu. M.-L. Simple conditions of observability of nonlinear controlled systems, Automation and Remote Control, 1968, vol. 29, issue 10, pp. 1575-1584. https://zbmath.org/0188.48801
4. Griffith E.W., Kumar K. S.P. On the observability of nonlinear systems: I, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1971, vol. 35, issue 1, pp. 135-147. https://doi.org/10.1016/0022-247X(71)90241-1
5. Kou S.R., Elliot D. L., Tarn T.J. Observability of nonlinear systems, Information and Control, 1973, vol. 22, issue 1, pp. 89-99. https://doi.org/10.1016/S0019-9958(73)90508-1
6. Singh S. N. Observability in non-linear systems with unmeasurable inputs, International Journal of Systems Science, 1975, vol. 6, issue 8, pp. 723-732. https://doi.org/10.1080/00207727508941856
7. Maes K., Chatzis M. N., Lombaert G. Observability of nonlinear systems with unmeasured inputs, Mechanical Systems and Signal Processing, 2019, vol. 130, pp. 378-394. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2019.05.010
8. Massonis G., Banga J. R., Villaverde A. F. Structural identifiability and observability of compartmen-tal models of the COVID-19 pandemic, Annual Reviews in Control, 2021, vol. 51, pp. 441-459. https://doi.org/10.1016/j.arcontrol.2020.12.001
9. Martinelli A. Extension of the observability rank condition to time-varying nonlinear systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 2022, vol. 67, issue 9, pp. 5002-5008. https://doi.org/10.1109/TAC.2022.3180771
10. Dessau H.R. Dynamic linearization and Q-observability of nonlinear systems, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1972, vol. 40, issue 2, pp. 409-417. https://doi.org/10.1016/0022-247X(72)90059-5
11. Thau F. E. Observing the state of non-linear dynamic systems, International Journal of Control, 1973, vol. 17, issue 3, pp. 471-479. https://doi.org/10.1080/00207177308932395
12. Jacob B., Partington J. R. Admissibility of control and observation operators for semigroups: a survey, Current Trends in Operator Theory and its Applications, Basel: Birkhauser, 2004, vol. 149, pp. 199-221. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7881-4_10
13. Tucsnak M., Weiss G. Observation and control for operator semigroups, Basel: Birkhauser, 2009. https://doi.org/10.1007/978-3-7643-8994-9
14. Vasil'ev F. P. Metody optimizatsii (Optimization methods), Moscow: Factorial Press, 2002.
15. Balakrishnan A. V. Applied functional analysis, New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1976. https://zbmath.org/0333.93051
16. Jacob B., Zwart H. Exact observability of diagonal systems with a one-dimensional output operator, International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 2001, vol. 11, issue 6, pp. 1277-1283. https://eudml.org/doc/207555
17. Jacob B., Zwart H. Exact observability of diagonal systems with a finite-dimensional output operator, Systems and Control Letters, 2001, vol. 43, issue 2, pp. 101-109. https://doi.org/10.1016/S0167-6911(00)00117-1
18. Shklyar B. Observability of evolution equations, Functional Differential Equations, 2003, vol. 10, no. 3-4, pp. 563-578. https://zbmath.org/1175.93051
19. Suzuki T., Yamamoto M. Observability, controllability, and feedback stabilizability for evolution equations, I, Japan Journal of Applied Mathematics, 1985, vol. 2, no. 1, pp. 211-228. https://doi. org/10.1007/BF03167045
20. Ungureanu V. M. Optimal control of linear stochastic evolution equations in Hilbert spaces and uniform observability, Czechoslovak Mathematical Journal, 2009, vol. 59, no. 2, pp. 317-342. https://doi.org/10.1007/s10587-009-0023-5
21. Shklyar B. On null set and observability of abstract evolution equation, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 2001, vol. 47, issue 2, pp. 969-978. https://doi.org/10.1016/S0362-546X(01)00238-3
22. Shklyar B. Approximate observability of abstract evolution equation with unbounded observation operator, Mathematical and Computer Modelling, 2002, vol. 36, issue 6, pp. 729-736. https://doi.org/10.1016/S0895-7177(02)00170-X
23. Letrouit C., Sun C. Observability of Baouendi-Grushin-type equations through resolvent estimates, Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu, 2023, vol. 22, issue 2, pp. 541-579. https://doi.org/10.1017/S1474748021000207
24. Chen J.-H. Infinite-time exact observability of Volterra systems in Hilbert spaces, Systems and Control Letters, 2019, vol. 126, pp. 28-32. https://doi.org/10.1016/j.sysconle.2019.02.004
25. Chen J.-H., Yi N. Infinite-time admissibility and exact observability of Volterra systems, SIAM Journal on Control and Optimization, 2021, vol. 59, issue 2, pp. 1275-1292. https://doi.org/10.1137/19M1303769
26. Egorov A. I. Osnovy teorii upravleniya (Foundations of control theory), Moscow: Fizmatlit, 2004. https ://zbmath. org/1156.49001
27. Pugachev V. S. Lektsii po funktsional'nomu analizu (Lectures on functional analysis), Moscow: Moscow Aviation Institute, 1996.
28. Chernov A. V. On the exact global controllability of a semilinear evolution equation, Differential Equations, 2024, vol. 60, no. 3, pp. 374-392. https://doi.org/10.1134/S0012266124030091
29. Kachurovskii R. I. Non-linear monotone operators in Banach spaces, Russian Mathematical Surveys, 1968, vol. 23, issue 2, pp. 117-165. https://doi.org/10.1070/RM1968v023n02ABEH001239
30. Kantorovich L. V., Akilov G. P. Functional analysis, Oxford: Pergamon Press, 1982. https://zbmath.org/0484.46003
31. Zhidkov A. A., Kalinin A. V. Several problems in mathematical and numerical modeling of global electric circuit in the atmosphere, Vestnik of Lobachevsky University of Nizhni Novgorod, 2009, no. 6-1, pp. 150-158 (in Russian). https://www.elibrary.ru/item.asp?id=13018148
32. Kalinin A. V., Slyunyaev N. N. Initial-boundary value problems for the equations of the global atmospheric electric circuit, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2017, vol. 450,
issue 1, pp. 112-136. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2017.01.025
33. Gajewski H., Groger K., Zacharias K. Nichtlineare Operatorgleichungen und Operatordifferentialgleichungen, Berlin: Akademie-Verlag, 1974. https://zbmath.org/0289.47029
34. Yosida K. Functional analysis. Berlin-Heidelberg: Springer, 1995. https://doi.org/10.1007/978-3-642-61859-8
35. Vulikh B. Z. Kratkii kurs teorii funktsii veshchestvennoi peremennoi (Short course in the theory of functions of a real variable), Moscow: Nauka, 1973. https://zbmath.org/0276.26001
Received 10.10.2024 Accepted 01.11.2024
Andrei Vladimirovich Chernov, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Applied Mathematics, Nizhny Novgorod State University, pr. Gagarina, 23, Nizhny Novgorod, 603950, Russia.
ORCID: https://orcid.org/0000-0003-1464-8249 E-mail: [email protected]
Citation: A. V. Chernov. On exact observability of a nonlinear evolutionary equation with a bounded right-hand side operator on a small interval, Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta, 2024, vol. 64, pp. 97-118.
