CC BY
80
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Том XIII
19 82
№ 3
УДК 629.735.33.015.3.025.74
О ТОЧНОСТИ РАСЧЕТА АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТОНКИХ КРЫЛЬЕВ И ПРОФИЛЕЙ МЕТОДОМ ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ
Исследуется точность расчета сопротивления давления тонких крыльев и профилей без учета подсасывающих сил численным методом дискретных вихрей. Для двумерных течений приводится аналитическая оценка погрешности расчетной величины коэффициента сопротивления, подъемной силы и продольного момента.
Численный метод дискретных вихрей (1] широко используется для расчета аэродинамических характеристик самолетов при дозвуковых скоростях. Показана его высокая точность при расчете аэродинамических производных [2], индуктивной поляры [3] и нодсасызающих сил [4] крыльев различной формы в плане. В плоском потоке получено общее решение для циркуляции дискретных вихрей [5].
В данной статье приводятся результаты, дополняющие исследования точности метода дискретных вихрей с равномерной расчетной сеткой,
1. Предположим, что задача обтекання деформированной срединной поверхности крыла решена и значения циркуляции П-образных вихрей найдены. Коэффициент подъемной силы
здесь .Гу—циркуляции вихрей, Аг — шаг разбиения по размаху крыла, 5—характерная площадь, Ь!г, Ых — число равномерных разбиений по размаху и хорде крыла.
Вычислим сопротивление давления без учета подсасывающих сил. Рассмотрим две формулы суммирования элементарных сил сопротивления:
Н. Н. Глушков
.*=1 j=\
(1.1)
.V, /V
2 (®і/ аі}—і)» если />
(1.2)
ач =
3
2 ' 2 Яг'2’
если /= 1,
(1-3)
а/у —значения местных углов атаки в контрольных точках срединной поверхности крыла.
В принятой расчетной схеме каждый присоединенный вихрь крыла за исключением вихрей у передних кромок (для них индекс j = 1) окружен парой равноудаленных контрольных точек. В формуле (1.2) использована линейная интерполяция между углами атаки в этих точках, а для вихрей у кромок — линейная экстраполяция.
Пример расчета поляры крыла, имеющего крутку (<р ~—2°) и кривизну (/~ 1,5%), с отклоненным на части размаха носком (5Н = 30°) по формулам (1.2) и (1.3) показан на рисунке (кривые а и б соответственно). Пунктирные кривые соответствуют равномерному разбиению хорд на 16 частей (3 вихря на носке
крыла), сплошные —на 32 части (6 вихрей на носке). Видим, что поляра (1.3) (кривые б) существенно смещается при увеличении числа вихрей, а формула (1.2) обеспечивает устойчивый расчет поляры.
Отсутствие в явном виде решений систем уравнений относительно циркуляции дискретных вихрей крыла не позволяет провести аналитическую оценку точности формулы (1.2). Однако расчеты деформированных крыльев показывают, что характер изменения поляры крыла при сгущении расчетной сетки близок к соответствующим изменениям поляры профиля.
2. Оценим точность (1.1)—(1.3) на примере обтекания плоским несжимаемым потоком деформированных дужек с распределением местных углов атаки вида
В линейной теории известно решение плоской задачи. В случае (2.1) аэродинамические коэффициенты без учета подсасывающей силы имеют вид:
ОМ
0,06 Сх
(2.1)
Г
(2.2)
Вычислим аэродинамические коэффициенты (2.2) методом дискретных вихрей. Для этого разобьем хорду дужки (Ь) на N равных частей. В точках, соответствующих 1/4 части отрезков, разместим дискретные вихри. На 3/4 длины отрезков зададим распределение местных углов атаки согласно (2.})
,(я).
(—у—)"■ ¿-1,2,..., Л'. (2.3)
Циркуляция вихрей связана с местными углами атаки системой уравнений, имеющей матрицу А (#/;),
- - N I
а = АТ; аи= 1_ь2(г—/)* (2*4>
Коэффициент подъемной силы вычисляем по формуле
су = Гу = {е' Г) = еА~1 а = аЛТ~1 е' (2‘5)
/=1
здесь е = (1,1, . .1).
Легко показать, что транспонированная матрица Ат совпадает с матрицей обратного течения. Следовательно, компоненты вектора Ат~1 е равны циркуляциям вихрей на плоской пластине в обратном потоке. Согласно [5] циркуляции на пластине в прямом потоке распределены по закону
ДГ-/ у_1
П(« + -г)(|--5г)!
(2.6)
1-1 /п=1
я обратном потоке —
N4 /-1 ,
(2.8)
Подставляя (2.7) и (2.3) в (2.5), получим
*-*£№Гпп(.-^(1+тЬ->
¿ = 1 4 ' /=1 т = 1 4 4
Введем вспомогательное соотношение
¿ = 1 4 1 4 / ■ • / г==1 т-^ / \ / 3-5...(2п+1) /, п 1 \ / 1 \/ 2 \ ( п — 1 \
~ 46 .. .(2д+ 2) ( 2я -{- I Л^)(] + Л'Д1 +■ Л'). .Д1 + N } *2,9)
С учетом (2.9) для вычисления достаточно получить разложение
п &
(,' - 1/4)" = £ а„ П 0'-И- 3/2). (2.10)
к =0 1=1
В этом случае
С<;’ = 2*1>*.5(*> (2.11)
*=0
Приведем значения С{^ для л = 0, І, . . ., 6:
1 ... 1-3 ^ 1-3*5 /
Су - 4я 2 ; су =4- 2.4 * = 4~ 2-4-6
(' —тг-кя-)
1 1
25 N2
■)
С(3) _4^±3_7 _4‘' 2-4. ..8
С(4) _ 4 .. Ь3 ЬУ 2*4... 10
! 5-5 1 5 І \
— 7-9 № + 2-7*9 ДО )’
('
4-5 1
61
(М 1-3... 11
Су “4* 2-4... 12 І1“ 3-1! N2 6-7-11 № )*
5-7-7
17 І
°У -47Г 2-4...14 ^ 2-1МЗ З-ІЬІЗ ДО
61
11-12.13 ¿V«
(2.12)
Отметим, что (2.12) содержит только четные степени Если систему дискретных вихрей и контрольных точек сдвинуть относительно исходного положения на г, то согласно (2.8) в разложении появится добавочный член
Л1.. С{.п~^ , имеющий порядок—. Таким образом, высокая точность рассмат-N у N
риваемой численной схемы достигается благодаря удачному выбору расположения вихрей и контрольных точек.
Вычислив три коэффициента разложения (2.10)
ап — 1 > йп— I
п (2п — 3) л (л — 1) (12л2 — 56л+ 67)
; ап—2—
4 » -П-2- 96
с учетом (2.9), (2.11), определяем главный член погрешности
Я+І / і \ с<;) = 4.П ('-гг) /=1 4 7 1
(п—1)п(п+ 1)2 1 Г 1
1 ~ 12(2и—1)(2л + 1) Л/г + '¥
)]•
(2.13)
3. Оценим точность расчета сопротивления. В плоском потоке вместо (1.2) имеем
Сг =
ЛГ
Г1 (За, — я3) + 2 Ге- (аі_і 4- а*) ¿=2
(3.1)
На основании (2.4) находим вспомогательное соотношение
N
¿==1
С учетом (3.2) вместо (3.1) получаем
(3.2)
'х — у Ь — 32 ~
(3.3)
Таким образом, сумма элементарных сил сопротивления (3.!), взятая по кон-туру дужки, свернулась в один член на передней кромке. Скос а0 вычисляется
перед коомкой на расстоянии -Ху. Согласно (2.4)
4Ы
N
у_______ТІ-
2- 2 :/ —
Т.У^Ь 2/— і
/=1
(3.4)
Для дужек с деформацией (2.3) справедливо следующее рекуррентное соотношение, которое следует из (2,4):
Г(л+1> [ -У' ^3|4 ^ Г].я) + -¿г С(ул) Г<°>.
(3.5)
С учетом (2.6), (3,5) находим циркуляцию первого вихря:
Г(«>„ уг —)\{—-Vі+ — Г
11 — 1 ос0 дг 11 ( 1 ■ 21 [АЫ ^ 4т. у І 4ДМ
1-Л ' 7 ' Л=1 х 7
(3.6)
Подставляя (3.5) в (3.4), получаем рекуррентное соотношение для скосов перед кромкой дужек
Ля+1) _ __ _1_ „(я) _ __1. Г(Я)/, (ОК
яо --------------4дг ао 4-г, '-V ао '•
(3.7)
Учитывая, что С(г0) = = 2гс, из (3.3) находим
2 Л’
-V-1,
П(і + 1=1 4
21
(3.8)
Скос перед кромкой дужек определяем на основании (3.7), (3.8)
,(0)
*0
I
ААЧ ~ я-і
2А'
П (■ + -*)
і—і ' '
Ґ-—-Vі V с{к~х){ —-V
4N ) 4тс ^ Чу I
(3.9)
Подставляя (3.6), (3.9) в (3 3), получим
С<л) - 2-
2 (4) ЧЧ)
2Д?П+1
П(« + -5г)+(-йгГ /_} ' ■ \ ' /
1 \п—к
(3.10)
9—,Ученые записки ІІАГИ“ № 3
129
Используя (2.13) и разложение
Л'-1
(3.11)
получим
С?> = 2кП(1-^-'2
(«I
п (4п* __ } 4«3 + 8л2 + 5п — 6) ]
1 ~ ПТГТЯГ- о, д,2 + £Л
12 (2л — 1)з (2л — 3)
(3.12)
Для п = 0; 1; 2; 3 остаточный член «„=0; (к; О (■—0
ответственно; для л > 4 значение £„ — О
И>-
)
Если Сх вычислять по формуле, аналогичной (1.3), получим
Л’ п
С?’-'Т^ТЕГ5"’«!",=2=П
г-2
К
п(2п -+- 1) 1
1 + Т(2п — 1) " IV +
. (3.13)
Точность (3,13) значительно ниже, чем (3.12), например, при N=10, что соответствует обычному разбиению хорд, погрешность (3.13) для /г = 1ч-10 колеблется в пределах 15--50%. При этих же условиях точность (3.12) составляет 0,3—3,5%. Используя (3.5), (2.13), находим
Лп)
— 2-
п -г 1 « + 2
К+1
П
¿=1
п(п -+ 2) (л* + Зл- I) 1 1 ~~ 12 (2л — 1) (2п + 1) Л'* +°
А*
(3.14)
Таким образом, метод дискретных вихрей с равномерной расчетной сеткой позволяет с высокой точностью порядка ¡/IV2 рассчитывать коэффициенты аэродинамических сил и продольного момента деформированных несущих поверхностей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Б е л о ц е р к о в с к и й С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М., „Наука“, 1965.
2. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К. Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях М., „Наука“, 1975.
3. Му зычен ко Т. М. Расчет индуктивного сопротивления деформированного крыла сложной формы в плане. Труды ЦАГИ, вып. 1286, 1970.
4. Кудрявцев а Н. А., Тимофеев И. Я. О подсасывающей силе крыльев произвольной формы в плане при неустановившемся движении. Труды ЦАГИ, вып. 1705, 1975.
5. Л и ф а н о в И. К., Полонский Я. Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений. ПММ, т. 39, вып. 4. 1975.
Рукопись поступила 251X1 1980 г. Переработанный вариант поступил 9/VII 1981 г.
