CC BY
22
УДК 674*416
А. Н. Чемоданов, М. В. Боярский, Рен. Х. Гайнуллин, Риш. Х. Гайнуллин
О ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЯ РЕЗАНИЯ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ СТРОГАНИИ ДРЕВЕСИНЫ
Описана методика получения уравнений регрессии усилия резания при продольном строгании древесины на шпон. Приведены результаты сравнения точности отражения усилия резания уравнениями регрессии первого и второго порядков.
Ключевые слова: древесина, шпон, продольное строгание, коэффициенты регрессии, уравнения регрессии, степень соответствия.
Введение. Исследования, проводимые в лесной и деревообрабатывающей промышленности, направлены на выявление оптимальных условий протекания различных процессов и режимов работы машин и оборудования [1]. Наиболее часто в данном случае используется экспериментальный метод исследований, в результате которого получают математическое описание процесса. Решающую роль при этом играет правильный выбор вида уравнения для описания изучаемой зависимости, поскольку он влияет на степень соответствия расчетных значений экспериментальным данным [2]. В связи с этим представляет определенный теоретический и практический интерес точность определения усилия резания при продольном строгании древесины с использованием уравнений регрессии первого и второго порядков.
Целью настоящей работы является обоснование выбора вида уравнения регрессии усилия резания при продольном строгании древесины. Для этого поставлены следующие задачи: получить уравнения регрессии для определения усилия резания при продольном строгании древесины в зависимости от толщины срезаемого слоя, степени обжима и угла наклона лезвия ножа, определить степень соответствия расчетных значений, полученных с использованием уравнений регрессии, экспериментальным данным.
Для определения коэффициентов уравнения регрессии на экспериментальной установке получены значения усилия резания древесины вдоль волокон при различных толщинах срезаемого слоя, степени обжима и углах наклона лезвия ножа, представленные в табл. 1 [3].
На основе результатов данных табл. 1 возможно получение уравнения регрессии первого порядка по полному факторному плану 23, которое примет вид
где Ь0 - свободный член, Ь - линейные коэффициенты регрессии, Ьи - коэффициенты при парных взаимодействиях, Ьм - коэффициент при тройном взаимодействии. Для этого построим матрицу базисных функций (табл. 2). Коэффициенты уравнения регрессии определяются по следующим формулам
(1)
(2)
© Чемоданов А. Н., Боярский М. В., Гайнуллин Рен. Х., Гайнуллин Риш. Х., 2011.
1 М
ь = ^ I -л, О)
1 Ы
ь =—I х х у , (4)
1и N 11 и 1
1 М
Ь , =— I х х .х,.у. . (5)
и N \ 11 и 11 1
Экспериментальные данные
Т а б л и ц а 1
№ опыта Толщина шпона е, мм Степень обжима Д, % Угол наклона лезвия ножа ф, град Сила резания рб* Н Дисперсия о2 (у)
1 1,0 10 60 409 6,44
2 1,0 10 75 385 8,51
3 1,0 10 90 344 7,12
4 1,0 15 60 442 8,54
5 1,0 15 75 434 6,89
6 1,0 15 90 425 7,95
7 1,0 20 60 548 9,32
8 1,0 20 75 515 8,67
9 1,0 20 90 491 8,28
10 1,5 10 60 589 11,08
11 1,5 10 75 556 10,22
12 1,5 10 90 532 8,79
13 1,5 15 60 753 14,49
14 1,5 15 75 728 13,47
15 1,5 15 90 696 12,55
16 1,5 20 60 884 17,31
17 1,5 20 75 835 16,68
18 1,5 20 90 777 15,16
19 2,0 10 60 908 18,50
20 2,0 10 75 884 18,36
21 2,0 10 90 867 17,85
22 2,0 15 60 1023 22,07
23 2,0 15 75 1015 20,23
24 2,0 15 90 1006 19,34
25 2,0 20 60 1211 26,46
26 2,0 20 75 1129 23,58
27 2,0 20 90 1039 22,19
С использованием формул (2)-(5) получены следующие значения коэффициентов: Ьо=727,125; Ь=279,125; Ь2=95,125; Ьз=-41,875; Ь12=23,625; Ь1З=-11,375; Ь2З=-15,375; Ь12З=-17,375.
На данном этапе необходимо провести проверку значимости полученных коэффициентов. Для этого рассчитаем ^-отношение для наименьшего коэффициента Ь13= -11,375
\ь\ 11375
Iр =11375 = 35,55, (6)
р а(Ь) 0,32
где o(bi) - среднее квадратическое отклонение коэффициента, определяемое по выражению
Ф,) = .
a2( y)
14,52
= 0,32,
(7)
nN V 18 • 8
где о2(у) - дисперсия воспроизводимости, N - число опытов, п - число наблюдений в опыте.
Т а б л и ц а 2
Матрица базисных функций полного факторного плана
№ опыта Значения формальных коэффициентов Результаты опытов Дисперсия о2 (у)
Х1 Х2 Хз Х1Х2 Х1Х3 Х2Х3 Х1Х2Х3
1 - - - + + + - 409 6,44
2 + - - - - + + 908 18,50
3 - + - - + - + 548 9,32
4 + + - + - - - 1211 26,46
5 - - + + - - + 344 7,12
6 + - + - + - - 867 17,85
7 - + + - - + - 491 8,28
8 + + + + + + + 1039 22,19
Е 116,16
В качестве дисперсии воспроизводимости берется среднее арифметическое дисперсий опытов
а2(,) = а + а2 + ... + аN = И6!6 = 14,52 . (8)
N 8
Расчетное значение ^=35,55. Полученную величину tр-отношения сравниваем с табличным значением 1габл ^критерия Стьюдента. При уровне значимости q=0,05 и числе степеней свободы ^=№(п-1)=136 табличное значение 1^=1,98 << tр=35,55. Это говорит о том, что коэффициент значим. В проверке значимости остальных коэффициентов нет необходимости, поскольку их абсолютные значения больше значения меньшего коэффициента.
Уравнение регрессии в формальном виде
Рл = 727,125 + 279,125х + 95,125х2 - 41,875х3 + 23,625хх2 -
од. лин. ? ?1?2?3?12 (9)
- 11.375х1х3 - 15,375х2х3 - 17,375ххх2х3
Необходимым условием является проверка принятой модели на адекватность. В данном случае число коэффициентов после проверки их на значимость равно числу опытов плана, то есть он является насыщенным. Для проверки на адекватность таких уравнений в первую очередь используют еще один опыт в центре плана, когда х1=х2=х3=0. Тогда сумма квадратов, характеризующих адекватность модели, определится из выражения
айд = п(Рб,0ЭКс, -Рбл.0теор)2 = 18• (728-727,125)2 = 13,78, (10)
а дисперсия адекватности
а ад =—-= ^ = 13,78, (11)
ад (N + 1) - р 1
где Рбл 0 эксп. и Рбл 0 теор. - значения усилия резания в центре плана, определенные соответственно экспериментально и по выражению (9), р - число коэффициентов уравнения регрессии.
Если дисперсии адекватности оад и воспроизводимости о2(у) однородны, то принятая математическая модель адекватна. Для этого вычисляют величину Fрасч, равную
Fpacч =4^ = — = 0,96, (12)
р а2(у) 14,40 V 1
и сравнивают ее с F-распределением табличным Fтабл; если Fрасч< Fтабл, то модель адекватна.
При уровне значимости q=0,05 и числе степеней свободы ^=К(п-1)=136 и £ад=К+1-р=1, Fтабл=254>> Fрасч=0,96. Значит, проверяемая линейная модель адекватна. Перевод уравнения регрессии к натуральному виду осуществляется путем замены формальных переменных (х1, х2, х3) натуральными (е, Д, ф) с учетом формулы
х = ^ • (13)
где Xi - текущее значение 1-го фактора, X, - среднее значение 1-го фактора, ДXi - уровень варьирования 1-го фактора.
После соответствующих математических преобразований уравнение регрессии в натуральном виде
Рб = 401,375 +12,75 • е - 31,525 -А-7,792 -ю + 43,95 • е -А + 5,433-е -ю +
бд. дин ? ? ? ? /1/1\
+ 0,485-А-р-0,46 • е • А-^ ' ( )
Для получения уравнения регрессии второго порядка проделаем аналогичные действия. Воспользуемся наиболее распространенным планом второго порядка В-планом. Уравнение регрессии в данном случае имеет общий вид
Рбд.ке. = Ь0 1 Ь1Х1 1 Ь2Х2 1 Ь3Х3 1 Ь11Х1 1 Ь22Х2 1 Ь33Х3 1 Ь12Х1Х2 1 (15)
I Ьц3 Х-^ Х3 I Ь23 Х2 Х3 I Ьц23 Х~1 Х2 Х3
где Ь0 - свободный член, Ь1 - линейные коэффициенты регрессии, Ь11 - квадратичные коэффициенты регрессии, Ь1и - коэффициенты при парных взаимодействиях, Ь1и1 - коэффициент при тройном взаимодействии, Т1 - табличные коэффициенты [1], у - результаты ]-го опыта.
Для построения уравнения регрессии согласно В-плану необходимо получить коэффициенты, которые рассчитываются по выражениям
N к N
Ь = ТIУ1 -Т2IIх^, (16)
1=1 1=1 1=1
N
Ь = Т> I хцу}, (17)
1=1
N к N N
Ь,1 = Т41х^ I Т5IIХ^у 1 -Т21У1 , (18)
1 =1 =1 1 =1 1 =1
N
Ь = ТI хх у .,/'* и, (19)
1 и 11 5 V !
1 =1
N
Ьш1 = Т6 I ХХХ ^1 * и * 1 . (20)
1=1
Для определения численного значения коэффициентов построим матрицу базисных функций (табл. 3).
Т а б л и ц а 3
Матрица базисных функций В-плана
№ опыта Значения формальных коэффициентов Результаты опытов Дисперсия о2 (y)
Х1 Х2 Х3 Х22 X32 ХГХ2 ХГХэ X2-X3
1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 409 6,44
2 +1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 908 18,50
3 -1 + 1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 548 9,32
4 +1 + 1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 1211 26,46
5 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 344 7,12
6 +1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 867 17,85
7 -1 + 1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 491 8,28
8 +1 + 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 1039 22,19
9 -1 0 0 +1 0 0 0 0 0 434 6,89
10 +1 0 0 +1 0 0 0 0 0 1015 20,23
11 0 -1 0 0 +1 0 0 0 0 556 10,22
12 0 +1 0 0 +1 0 0 0 0 835 16,68
13 0 0 -1 0 0 +1 0 0 0 753 14,49
14 0 0 +1 0 0 +1 0 0 0 696 12,55
Е 197,22
С использованием формул (16)-(20) в среде Excel получены следующие коэффициенты уравнения регрессии:
b0=708,804; b=281,4; b2=104; Ьз=-33,5; bn=J5,9J4; b22=-13,086; Ьзз=15,914; bn=23,625; bi3=-11,375; b23=-15,375; Ьш=-17,375.
Далее необходимо провести проверку значимости полученных коэффициентов регрессии по t-критерию Стьюдента. Для этого рассчитывается ^-отношение для наименьшего коэффициента
|b,.| _ 11,375 а(Ь) _ 0,15
где o(bi) - среднее квадратическое отклонение коэффициента, определяемое выражени-
tp =-L^- = = 75,83, (21)
ем
a(b,) =
T + T5)a\y)_ /(0,5-0,09375)14,09 = 015 (22)
nN V 18-14
где о(у) - дисперсия воспроизводимости, определяемая по зависимости (8)
д) = ^ + + ... + ^ = 197.22 = 14,09. (23)
N 14
Полученное ^-отношение сравниваем с табличным значением 1габл t-критерия Стьюдента. При уровне значимости q=0,05 и числе степеней свободы ^=^п-1)=238 табличное значение 1табл=1,97 << tр=568,75. Это говорит о том, что коэффициент значим. В проверке значимости остальных коэффициентов нет необходимости, поскольку их абсолютные значения больше значения меньшего коэффициента.
Уравнение регрессии в формальном виде
Рбл.ке. = 708,804 + 281,4х1 + 104х2 - 33,5х3 + 15,914x2 " 13,086x2 + 15,914х32 + 23,625ххх2 - 11.375ххх3 - 15,375х2х3 - 17,375ххх2х3 .
(24)
Поверка на адекватность модели, полученной по В-плану, производится также с использованием зависимостей (10)-(12), согласно которым Fpасч=0,33. При уровне значимости q=0,05 и числе степеней свободы fy=N(n-1)=136 и £щ=№р=3, Fтабл=8,53>> Fpасч=0,33. Значит, проверяемая модель адекватна.
Перевод уравнения регрессии к натуральному виду осуществляется путем замены формальных переменных (х1, х2, х3) натуральными (е, А, ф) с учетом формулы (13).
После соответствующих математических преобразований уравнение регрессии в натуральном виде
Рб = 111,155 + 239,58• е-27,27-А-9,575-р + 63,656• е2 -0,52-А2 +
бЛ. ЛиН ' ' ' 1 ^Т 1 1 (25)
+ 0,07 • р2 +16,4 • е - А - 0,127 • е -р- 0,066 • А • р - 0,093 • е -А-у
Для определения степени соответствия расчетных значений усилия резания, найденных по уравнениям регрессии (14) и (25), и выбора более точного сравним их с экспериментальными данными по форме табл. 4.
Т а б л и ц а 4
Сопоставление результатов
№ опыта Толщина шпона е, мм Степень обжима А, % Угол наклона лезвия ножа ф, град Экспериментальное значение усилия резания Рбл, Н Усилие резания, найденное по уравнению (14), Н Расхождение с экспериментальным значением, % Усилие резания, найденное по уравнению (25), Н Расхождение с экс-перимен-тальным значением, %
1 1,0 10 60 409 412 0,73 374 8,56
2 1,0 10 75 385 380 1,30 350 9,09
3 1,0 10 90 344 349 1,43 346 0,58
4 1,0 15 60 442 482 8,30 479 7,72
5 1,0 15 75 434 452 3,98 440 1,36
6 1,0 15 90 425 422 0,71 432 1,62
7 1,0 20 60 548 551 0,54 559 1,97
8 1,0 20 75 515 523 1,53 507 1,55
9 1,0 20 90 491 495 0,81 487 0,81
10 1,5 10 60 589 663 11,16 623 5,46
11 1,5 10 75 556 638 12,85 588 5,44
12 1,5 10 90 532 612 13,07 584 8,90
13 1,5 15 60 753 773 2,59 756 0,40
14 1,5 15 75 728 733 0,68 705 3,16
15 1,5 15 90 695 692 0,43 686 1,29
16 1,5 20 60 884 884 0,00 863 2,38
17 1,5 20 75 835 828 0,84 796 4,67
18 1,5 20 90 777 772 0,64 761 2,06
19 2,0 10 60 908 914 0,66 905 0,33
20 2,0 10 75 884 895 1,23 861 2,60
21 2,0 10 90 867 876 1,03 849 2,08
22 2,0 15 60 1023 1065 3,94 1065 3,94
23 2,0 15 75 1015 1014 0,10 1002 1,28
24 2,0 15 90 1006 962 4,37 971 3,48
25 2,0 20 60 1211 1217 0,49 1198 1,07
26 2,0 20 75 1129 1132 0,27 1117 1,06
27 2,0 20 90 1039 1048 0,76 1067 2,62
Выводы:
- получены уравнения регрессии первого и второго порядков для определения усилия резания при различных толщинах срезаемого слоя, степенях обжима и углах наклона лезвия ножа относительно волокон древесины, которые могут быть использованы при проектировании новых конструкций оборудования для производства строганого шпона;
- в исследуемых диапазонах отмеченных параметров (табл. 4) видно, что выражение (14) дает низкую точность описания процесса (максимальные погрешности превышают 10%), а зависимость (25) дает пониженную точность (максимальные погрешности более 5, но менее 10%);
- приведенные уравнения необходимы для оптимизации энергосиловых показателей процесса продольного строгания древесины при получении шпона;
- необходимо проведение дальнейших исследований в более широких диапазонах изменения толщины шпона, степени обжима и угла наклона лезвия ножа с целью определения применимости того или иного уравнения.
Список литературы
1 Пижурин, А.А. Основы научных исследований в деревообработке: Учебник для вузов / А.А. Пи-журин, А.А. Пижурин. - М.: МГУЛ, 2005. - 305 с.
2. Боярский, М.В. Планирование и организация эксперимента: Учебное пособие / М.В. Боярский, Э.А. Анисимов. - Йошкар-Ола: МарГТУ, 2007. - 144 с.
3. Чемоданов, А.Н. Результаты исследования процесса продольного строгания древесины на шпон / А.Н. Чемоданов, Р.Х. Гайнуллин // Вестник МарГТУ.Сер.: Лес. Экология. Природопользование. - 2010. -№ 1. - С. 40-45.
Статья поступила в редакцию 12.10.10.
A. N. Chemodanov, M. V. Boyarsky, Ren. Kh. Gainullin, Rish. Kh. Gainullin
TO THE QUESTION ON ACCURACY OF WOODCUTTING FORCE DEFINITION
AT LONGITUDINAL PLANING
The method of getting of regression equations of cutting in longitudinal slicing of the timber to get veneer sheet is described. Results of comparison of reflection accuracy of cutting force are resulted with the first and second orders regression equations.
Key words: wood, veneer sheet, longitudinal slicing, coefficients of regression, regression equations, level of compliance.
ЧЕМОДАНОВ Александр Николаевич - кандидат технических наук, профессор кафедры деревообрабатывающих производств МарГТУ. Область научных интересов - технология и оборудование лесопромышленных складов, оборудование деревообрабатывающих производств, сушильные камеры периодического действия. Автор более 120 публикаций.
E-mail: [email protected]
БОЯРСКИЙ Михаил Владимирович - кандидат технических наук, доцент кафедры стандартизации, сертификации и товароведения МарГТУ. Область научных интересов - деревообработка, режущие инструменты. Автор более 80 публикаций.
E-mail: [email protected]
ГАЙНУЛЛИН Ренат Харисович - аспирант кафедры технологии и оборудования лесопромышленных производств МарГТУ. Область научных интересов - технология и оборудование лесозаготовительных и деревообрабатывающих производств. Автор восьми публикаций.
E-mail: [email protected]
ГАЙНУЛЛИН Ришат Харисович - студент лесопромышленного факультета МарГТУ.
E-mail: [email protected]
