CC BY
8и udj- Е Ae влекут ci+ Е Ce и dj- Е Ce• Отсюда vci+ Е Be и vdj- Е Be, т.е. vevci+ = 0 и vEvdj- = 0. Аналогичным образом vEwa+ = sup(vEvci+ | i Е I) и vEwa- = inf(vEvdj— | j Е J). В результате мы получаем vEwa+ = 0 и vewa- = 0. Это означает, что (wa)+ = wa+ Е Be и (wa)- = wa- Е Be. Поэтому wa = (wa)+ + (wa)- Е BE.
Обратно, пусть b Е Be. В силу сюръективности отображения w : A ^ B выполняется равенство b = wa для некоторого элемента a Е A. Как и выше, a = r — sup(uci Е A | i Е I) = r — inf(udj Е A | j Е J) для некоторых коллекций (c Е C | i Е I) и (dj Е C | j Е J). Поэтому b = r — sup(vci Е B | i Е I) = r — inf(vdj Е B | j Е J). Это значит, что uEa = sup(uEuci | i Е I) = inf(uEudj | j Е J) и 0 = vEb = sup(vEvci | i Е I) = inf(vEvdj | j Е J). Так же как в предыдущем абзаце, 0 = sup(vEvci+ | i Е J) и 0 = inf(vEvdj- | j Е J). Следовательно, vevcí+ = 0 и vEvdj- = 0 для любых i и j. Поэтому vci+ Е Be и vdj- Е Be влечет ci+ Е Ce и dj- Е Ce. Отсюда uci+ Е Ae и udj- Е Ae, т.е. ueuci+ = 0 и ueudj- = 0. Аналогичным образом uea+ = sup(uEuci+ | i Е I) и uea- = inf(uEudj- | j Е J). В результате мы получаем uea+ = 0 и uea- = 0, т.е. a+ Е Ae и a- Е Ae. Следовательно, a = a+ + a- Е Ae.
В результате мы доказали, что отображение w является изоморфизмом между cr-расширениями u : (C, £ß) ^ (A, Aß) и v : (C, ) ^ (B, B). Теорема доказана.
Это означает, что расширение Римана C ^ RIß/Nß полностью характеризуется свойствами гранич-ности и полноты.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Захаров В.К., Серединский А.А. Новая характеризация интеграла Римана и функций, интегрируемых по Рима-ну // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 2. 16-23.
2. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1, 2. М.: Наука, 1991.
3. Захаров В.К., Михалев А.В., Серединский А.А. Характеризация пространства функций, интегрируемых по Ри-ману, посредством сечений пространства непрерывных функций, I // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 5. 6-13.
4. Захаров В.К., Серединский А.А. Description of Riemann integrable functions by means of cuts of the space of continuous functions // Междунар. конф. "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященная столетию академика С. М. Никольского (Москва, 23-29 мая 2005 г.): Тез. докл. М: Матем. ин-т им. В. А. Стеклова РАН, 2005. 370.
Поступила в редакцию 17.05.2006
УДК 514.76
О ТИПОВОМ ЧИСЛЕ УПЛОЩАЮЩИХСЯ 6-МЕРНЫХ ЭРМИТОВЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБРЫ КЭЛИ
М. Б. Банару, А. М. Банару
Дорогому Вадиму Федоровичу Кириченко к его 60-летию
1. Почти эрмитовой структурой на четномерном многообразии Ы2п называется пара {J,g = {-, •)}, где J — почти комплексная структура, д = {■, ■) — риманова метрика [1]. При этом J и д должны быть согласованы условием
^X, Ж) = {X, У), УХ, У Е ЩЫ2п).
Здесь ^(Ы2п) — модуль гладких (класса Свекторных полей на Ы2п. Многообразие с фиксированной на нем почти эрмитовой структурой называется почти эрмитовым многообразием. С каждой почти эрмитовой структурой {J,g = {■, ■)} на многообразии Ы2п связано поле дважды ковариантного кососим-метрического тензора (т.е. 2-формы) ^, определяемого равенством
^(X, У) = {X, JУ), УХ, У Е К(Ы2п) и называемого фундаментальной (или келеровой [2]) формой структуры.
Пусть (M2n\{J,g = {■, •)}) — почти эрмитово многообразие. Зафиксируем точку p Е M 2n. Пусть Tp(M2n) — касательное пространство к многообразию в точке p, {Jp,gp = {■, ■)} — почти эрмитова структура, порожденная парой {J,g = {■, ■)}. Реперы, адаптированные к почти эрмитовой структуре (или A-реперы), устроены следующим образом:
(p, £\, . .., £n, , . .., en),
где ea — собственные векторы оператора структуры Jp, отвечающие собственному значению оператора г, а e-a — собственные векторы оператора Jp, отвечающие собственному значению —i. Здесь í — \J—I; a = 1,...,n; — = a + n. Матрица оператора структуры Jp в точке p в A-репере выглядит так [3]:
( Т
G7}) =
где Tn — единичная матрица порядка n; k,j = 1,...,2n. Непосредственная проверка показывает, что матрицы римановой метрики g и фундаментальной формы F в A-репере примут соответственно вид
%Tn 0
0 ÍTn
0 ÍTn
ÍTn 0
(9kj) = —— , (Fkj) =
Пусть М6 С О — 6-мерное ориентируемое подмногообразие алгебры Кэли О. Тогда каждое из 3-векторных произведений Ра(а = 1, 2) в алгебре октав индуцирует на М6 почти эрмитову структуру {■1а,д = (■, •)}, определяемую в каждой точке р Е М6 соотношением
За(Х) = Ра(Х,в1 ,в2), а = 1, 2,
где {в1,в2} — произвольный ортонормированный базис нормального к М6 подпространства в точке р, X Е Тр(М6) [4]. Подмногообразие М6 С О называется эрмитовым, если индуцированная на нем почти эрмитова структура интегрируема. Напомним [5], что точка р Е М6 называется общей, если ео Е Тр(М6), где ео Е О — единица алгебры Кэли. Подмногообразие, состоящее только из общих точек, называется подмногообразием общего типа [5]. Все рассматриваемые далее подмногообразия М6 С О подразумеваются подмногообразиями общего типа.
Воспользуемся структурными уравнениями эрмитова подмногообразия М6 С О, записанными в А-репере (см., например, [6] или [7]):
(Ь)а = ш%/\шь + 4=£аШОнсшс А щ; у2
(1ша = -шьа А шъ + -^=еаЫ1Вксшс А шЬ] (1)
V2
= <4 Л + \ ( - £ ВД )^Acod
Здесь еаьс = £¿23, £<аЪс = е12з — компоненты тензора Кронекера порядка три [8]; = 5% 5ь — 5д 5ь ;
БНс = ±т8с + гТ1с, БЬс = = ±Т| — ТЬС, (2)
где {Т^} — компоненты конфигурационного тензора (в терминологии Грея [9] или тензора эйлеровой кривизны [10]). Здесь и далее ф = 7, 8; а, Ь, а,й,д,Н = 1, 2, 3; а = а + 3; к, ] = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. Определение [11]. 6-мерное подмногообразие алгебры Кэли называется уплощающимся, если оно является подмногообразием гиперплоскости в О.
Заметим, что уплощающимися являются 6-мерные подмногообразия Калаби [12]. К числу уплощающихся относятся и 6-мерные келеровы (общего типа) подмногообразия алгебры октав. В самом деле, эрмитово подмножество М6 С О является уплощающимся в том и только том случае, когда
т*аЬ = ±^т7аЬ, т1% = ±-рт1% (3)
Это можно объяснить следующим образом. Пусть 6-мерное почти эрмитово подмногообразие алгебры Кэли является подмногообразием гиперплоскости в О. Тогда, если пользоваться терминологией линейной алгебры, Т^ и Т7 являются "линейно зависимыми" для каждой точки подмногообразия Ы6. Исключив из рассмотрения частный случай, когда хотя бы одно из значений Т^ обращается в нуль, мы получим вышеуказанные условия (3).
6-мерное подмногообразие общего типа Ы6 С О является келеровым тогда и только тогда, когда выполняются условия [13]
Т 8--1- ¿Т 7
Т аЬ ±0ТаЬ,
Т8- = тгТ7~.
аЬ аЬ
Поэтому справедливо
Предложение 1. Всякое 6-мерное (общего типа) келерово подмногообразие алгебры Кэли является уплощающимся.
Из соотношений (3) вытекает следующее утверждение.
Предложение 2. Для всякого уплощающегося 6-мерного подмногообразия алгебры Кэли ранги матриц (Б^), (Т^), (Т7) одинаковы.
Определение [14, 15]. Типовым числом подмногообразия риманова многообразия называется ранг его второй квадратичной формы (в нашей терминологии — конфигурационного тензора).
Теорема. Типовое число всякого уплощающегося 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры Кэли не превосходит двух.
Доказательство. Продифференцировав внешним образом структурные уравнения (1) 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры октав, получим такие дифференциальные следствия:
1) ^ В1[сТ8]а = 0;
2) г1^ Б~([сТЦ1 + Б1[сТЬ]а
3) г1"7 В1{сТ7]а = 0;
4) г1^ ^^ + г1ав ЩТ^
(4)
0,
где по индексам в квадратных скобках подразумевается альтернирование. При этом = 2, 3.
Соотношения (4)1 и (4)2 равносильны системе
' Б22Т13 + Б13Т22 Б33Т182 + Б12 Т383 Б11Т23 + Б23 Ти Б33Т22 + Б22 Т383
Б23Т82 + Б12 Т23, Б23Т13 + Б13 Т23, Б13Т82 + Б12 Т83, 2Б23 Т23, 2Б13 Т83, , Б22Тп + Б11Т22 = 2Б12Т83.
Б33Т& + Б11Т83
(5)
Аналогично соотношения (4)3 и (4)4 приведут нас к такой системе:
' Б22Т13 + Б13Т22 = Б23Т12 + Б12Т23, Б33Т\2 + Б12 Т33 = Б23Т\3 + Б13 Т23, Б11Т23 + Б23 Т171 = Б13Т12 + Б12 Т13, Б33Т22 + Б22 Т373 = 2Б23 T23, Б33Т7 + Б11Т73 = 2Б13 Т73, , Б22Т11 + Б11Т22 = 2Б12Т13.
(6)
Из (5) и (6) получаем
+ Б12Т273,
( -Б22Т83 + 1Б22Т73 - Б13Т82 + Б13Т272 = -Б23Т82 + Б23Т172 - Б12Т23 -Б33Т82 + ¿Б33Т72 - Б12Т83 + ¿Б12Т73 = -Б23Т83 + ¿Б23Т73 - Б13Т83 + ¿Б13Т23, —Б11Т83 + ¿БцТ^ - Б23Т81 + гБ23Т71 = -Б13Т82 + ¿Б13Т72 - Б12Т83 + ¿Б12Т73, -Б33Т82 + Б33Т272 - Б22Т83 + Ш22Т73 = -2Б23Т83 + 2Б23Т273, -Б33Т81 + ¿Б33Т71 - Б11Т83 + ¿Б11Т73 = -2Б13Т83 + 2гБ13Т73, -Б22Т81 + Ш22Т7 - БцТ82 + ¿БцТ272 = -2Б12Т82 + 2гБ12Т72.
(8)
Принимая во внимание (2), можно переписать (7) в следующем виде:
' D22D13 = D23D12J D33 D12 = D23D13, D11D23 = D13D12 J D22 D33 = (D23 )2j D11D33 = (D13 )2, lDn D22 = (D12 )2-
Из (8) следует, что rang (Dab) < 1. Поскольку [7] rang (Dab) = rang (Dab) и матрица (Dkj) 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры октав имеет вид
(Dkj) =
Dab 0
0 Dab
то
rang (Dkj) = rang (Dab) + rang (D^) < 2.
В силу предложения 2 имеем
rang (Tj)= rang (Tj) < 2,
а значит, типовое число уплощающегося 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры октав на превосходит двух, что и требовалось доказать.
Заметим, что из приведенного доказательства следует, что типовое число уплощающегося 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры Кэли всегда четно (т.е. оно равно либо нулю, либо двум).
3. Пусть t — типовое число уплощающегося 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры Кэли. Если t = 0, то Dkj = Tjj = Tjj = 0. Структурные уравнения (1) в этом случае примут вид
dua = ul Л ub; dua = Л иь;
Получились структурные уравнения евклидова пространства C3; почти эрмитова структура на нем неизбежно окажется келеровой [13, 16]. Доказано
Предложение 3. Если для уплощающегося 6-мерного эрмитова M6 С O выполняется условие t = 0, то M6 локально изометрично евклидову пространству
C3
с канонической келеровой структурой.
Если же t ф 0, то rang (Dkj) = 2, поэтому матрица (Dkj) ненулевая, а значит, M6 не может быть келеровым многообразием [17, 13].
Напомним [16], что точка p £ M6 называется специальной, если Tp(M6) С Ь(во)^, где L(eo— ортогональное дополнение единицы алгебры Кэли. В противном случае точка p называется простой. Ясно, что совокупность всех простых точек представляет собой открытое подмногообразие MQ С M6, на котором канонически индуцируется одномерное распределение Z, порожденное ортогональными проекциями вектора eo на касательные пространства Tp(M6), p £ Mq. Такое распределение Z, а также одномерное пространство Zp С Tp(M6), p £ Mq, называются исключительными [16].
Определение [16]. Эрмитово подмногообразие M6 С O называется многообразием типа Риччи, если кривизна Риччи в каждой простой точке p £ Mq в направлении исключительного пространства Zp принимает минимальное значение.
Воспользуемся полученной В.Ф. Кириченко полной классификацией локально-симметрических эрмитовых M6 С O типа Риччи.
Теорема [16]. Эрмитово локально-симметрическое 6-мерное подмногообразие M6 С O типа Риччи локально голоморфно изометрично либо C3, либо произведению келеровых многообразий C2 и CH1, "скрученному" вдоль CH1. (Здесь CH1 обозначает комплексное гиперболическое пространство комплексной размерности один.)
В [16] доказано, что матрицы (Dkj), (Tj), (Tj) при соответствующем выборе А-репера имеют соответственно вид
Dn 0 0
0 00 I , I 000 I , I 000 0 0 0 / \000/ \ 0 0 0,
ТЦ 0 0
T7 0 0
dua = ua л uc
b
c
c
причем для случая произведения С2 на СН1 Бц = 0, ТЦ =0 и ТЦ = 0 одновременно. В этом случае ранги всех перечисленных матриц равны единице. Следовательно, ранг каждой из матриц (Б/у), (Т/8-), (Т^) локально-симметрического эрмитова Ы6 С О типа Риччи равен двум.
Предложение 4. Для всякого локально-симметрического эрмитова некелерова Ы6 С О типа Риччи Ь = 2.
Таким образом, локально-симметрические типа Риччи 6-мерные эрмитовы подмногообразия алгебры Кэли представляют собой уплощающиеся подмногообразия с типовым числом:
1) Ь = 0 в келеровом случае;
2) Ь = 2 в некелеровом случае.
Авторы выражают благодарность рецензентам за внимательное отношение к работе и замечания, которые способствовали ее улучшению.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants // Ann. Math. Pura Appl. 1980. 123, N 4. 35-58.
2. Sato T. An example of an almost Kahler manifold with pointwise constant holomorphic sectional curvature // Tokyo J. Math. 2000. 23, N 2. 387-401.
3. Banaru M. Two theorems on cosymplectic hypersurfaces of six-dimensional submanifolds of Cayley algebra //J. Harbin Inst. Techn. 2001. 8, N 1. 38-40.
4. Gray A. Vector cross products on manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. 141. 465-504.
5. Кириченко В.Ф. Почти келеровы структуры, индуцированные 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1973. № 3. 70-75.
6. Банару М.Б. Эрмитова геометрия 6-мерных подмногообразий алгебры Кэли // Матем. сб. 2002. 193, № 5. 3-16.
7. Banaru M. On the Gray-Hervella classes of AH-strictures on six-dimensional submanifolds of Cayley algebra // Annu. de l'universite de Sofia "St. Kl. Ohridski". Math. 2004. 95. 125-131.
8. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий. М.: ИЛ, 1960.
9. Gray A. Some examples of almost Hermitian manifolds // Ill. J. Math. 1966. 10, N 2. 353-366.
10. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. М.: Изд-во МГУ, 1960.
11. Банару М.Б. Об уплощающихся 6-мерных эрмитовых E-подмногообразиях алгебры Кэли // Тр. XXIV конф. молодых ученых МГУ им. М.В. Ломоносова. М.: Изд-во МГУ, 2002. 13-15.
12. Calabi E. Construction and properties of some six-dimensional almost complex manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1958. 87.407-438.
13. Кириченко В.Ф. Классификация келеровых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Изв. вузов. Матем. 1980. № 8. 32-38.
14. Kurihara H, Takagi R. A note on the type number of real hypersurfaces in Pn(C) // Tsukuba J. Math. 1998. 22. 793-802.
15. Kurihara H. The type number on real hypersurfaces in a quaternionic space form // Tsukuba J. Math. 2000. 24. 127-132.
16. Кириченко В.Ф. Эрмитова геометрия 6-мерных симметрических подмногообразий алгебры Кэли // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1994. № 3. 6-13.
Поступила в редакцию 14.02.2007
