О термофорезе неоднородных цилиндрических аэрозольных частиц Текст научной статьи по специальности «Физика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия Математика. Физика. 2015. №23 (220). Выпуск 41 45

УДК 533-72:532

О ТЕРМОФОРЕЗЕ НЕОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ

THERMOPHORESIS NON-UNIFORM OF CYLINDRICAL AEROSOL PARTICLES

‘Е.Р. Щукин, 2Н.В. Малай, Э.Л. Шулиманова E.R. Shchukin, N.V. Malay, Z.L. Shulimanova

1Объединенный институт высоких температур РАН, Россия, Москва, ул. Ижорская, д. 13/19 The Leading Scientist of Joint Institute for High Temperatures of the Russian Academy of Science,

Russia, Moscow, 13/19 Izhora St

2Белгородский национальный исследовательский университет, Россия, 308015, г.Белгород, ул. Победы, 85 Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia E-mail:malay@.bsu.edu.ru;evgrom@yandex.ru; zinaida110@yandex.ru

Ключевые слова: термофорез аэрозольной частицы цилиндрической формы Key words: thermophoresis of an aerosol particle of the cylindrical form

Аннотация. В квазистационарном приближении при числах Рейнольдса много меньших единицы решена задача о термофоретической движении в однокомпонентном газе твердой неоднородной умеренно крупной цилинжрической аэрозольной частицы с коэффициентом теплопроводности, зависящим от радиальной координаты. Проведенный численный анализ показал, что зависимость коэффициента теплопроводности от радиальной координаты может оказать значительное влияние на скорость термофореза. При одинаковых радиусах и одинаковой зависимости коэффициентов теплопроводности от радиальной координаты, скорость термофореза цилиндрических частиц меньше, чем у сферических.

Resume. The problem of thermophoretic motion in one-component gas solid non-uniform moderately large spherical aerosol particles with a thermal conductivity that depends on the radial coordinate is solved in quasistationary approximation for small Reynolds. The numerical analysis has showed that the dependence of thermal conductivity on radial coordinate can have a significant impact on the thermophoresis velocity. At identical radiuses and identical dependence of factors of heat conductivity on radial co-ordinate, the thermophoresis velocity is less than cylindrical particles, than at the spherical.

Введение

В естественных и антропогенных аэрозолях упорядоченное движение частиц относительно несущей газообразной среды часто может происходить при малых скоростях [1-4]. Поэтому целенаправленное всестороннее изучение закономерностей медленного движения аэрозольных частиц под действием сил различной природы представляет значительный интерес для механики аэрозолей. В опубликованных до настоящего времени работах по механике аэрозолей большее внимание было уделено вопросам медленного движения частиц, происходящего в изотермических условиях[1-4 ].

Но упорядоченное медленное движение частиц может происходить и в неоднородных по температуре газах, например, термофоретическое [1-10]. Это движение частиц обусловлено, молекулярной природы, термофоретической силой [1-10]. Она действует на частицы тогда, когда неоднородное распределение температуры в окрестности частиц вызвано внешним градиентом температуры. При таких условиях термофоретическое движение частиц происходит, например, в разнотемпературных каналах плоскопараллельных термопреципитаторов [11]. Появление термофоретической силы связано с передачей частицам молекулами более тёплых областей газа большего нескомпенсированного импульса. В связи с этим термофоретическая сила перемещает частицы в области с более низкой температурой [9]. Когда термофоретическая сила становится равной по величине силе сопротивления среды движению частицы, то при этом частица начинает двигаться равномерно [3-10]. Скорость этого равномерного движения относительно центра инерции газообразной среды в месте нахождения частицы называют термофоретической [1-10]. Термофоретическое движение можно широко использовать в практических приложения при

46 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е2Д Серия Математика. Физика. 2015 № 23 (220). Выпуск 41

ламинарном обтекании, содержащим частицы, нагретым газом, охлаждаемых поверхностей [3,4,11]. Например, его можно использовать при очистке небольших объёмов воздуха, отборе аэрозольных проб, нанесении, заданной толщины, специальных покрытий из аэрозольных частиц [3,4,10-12], получении методом VAD [13] высококачественных оптических волокон. Знание закономерностей термофоретического движения требуется и при определении времени образования на поверхностях тепло- и массообмена вредных отложений из аэрозольных частиц [11,12] и при решении вопросов ядерной безопасности [3,9], например, когда нужно оценивать скорости осаждения радиоактивных аэрозольных частиц, случайно испускаемых в реакторе, в местах с большим градиентом температуры [9]. Поэтому вывод формул, описывающих термофоретическое движение различного вида аэрозольных частиц с учётом их свойств, и проведение с помощью этих формул последующего анализа особенностей термофоретического движения также представляет значительный и научный и практический интерес.

Например, значительный интерес представляет изучение особенностей термофоретического движения крупных и умеренно крупных[4-10] аэрозольных частиц в связи с тем, что скорость термофореза этих частиц, в отличие от малых частиц [4,14], сильно зависит от их коэффициентов теплопроводности. К крупным частицам относят частицы с характерными числами Кнудсена Kn = Х/а <0,01, где X- средняя длина свободного пробега молекул газа, параметры a - характерные размеры частицы. У умеренно крупных частиц 0,01 < Kn < 0,3 [4-8]. Вывод формул, описывающих термофорез крупных и умеренно крупных частиц, чаще всего проводят гидродинамическим методом [3-10,15]. При этом взаимодействие молекул газа с поверхностью частицы учитывают с помощью специальных газокинетических граничных условий [4,7-10].которые получают с помощью функции распределения, описывающей поведение газа в слое Кнудсена [4,7].

Следует отметить, что в состав промышленных и естественных аэрозолей могут входить как однородные, так и неоднородные по теплофизическим свойствам твёрдые крупные и умеренно крупные сильно вытянутые аэрозольные частицы с формой поверхности близкой к цилиндрической [3-5,8-10]. Такие частицы могут образовываться в промышленности, например, при получении композиционных материалов (типа сибунита) и протекании природных вулканических процессов[1б,17]. Ранее в работах [5,8,9] была получена следующая формула для скорости термофореза твёрдых крупных и умеренно крупных длинных цилиндрических частиц, расположенных перпендикулярно внешнему градиенту температуры газа VTeco :

Ut =-/t J- VTe

f = K(0)

JT KTS

(ке + eKf) Kn)

(1 + 2cmKn)[ к e + e(1 + Kf) Kn)

где ve=^e / p„ - коэффициент кинематической вязкости газа; - температура газа в месте

нахождения частицы; Ке, s - коэффициенты теплопроводности газа и частицы; К™,ст -коэффициенты теплового и изотермического скольжений; K (T ) - коэффициент скачка

температуры [5,8,9 ]. Но с помощью приведённой формулы, оценивать скорость термофореза можно только в случае частиц с постоянным коэффициентом теплопроводности. В настоящей работе получена уже более общая формула для скорости термофореза длинной цилиндрической

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия Математика. Физика. 2015. №23 (220). Выпуск 41 47

частицы, у которой коэффициент теплопроводности s произвольным образом зависит от радиальной координаты г. С помощью этой формулы было показано, что зависимость коэффициента теплопроводности от радиальной координаты может оказать значительное влияние на величину скорости термофореза и цилиндрических частиц, что нужно учитывать при проведении оценок в практических приложениях.

В неоднородном по температуре однокомпонентном газе в поле внешнего градиента температуры VTe„ находится твёрдая умеренно крупная длинная цилиндрическая частица,

которая расположена перпендикулярно VTe„ При этом газ, взаимодействуя с поверхностью частицы, начинает двигаться вдоль её поверхности в направлении возрастания температуры. Это явление называют тепловым скольжением[з-10]. Тепловое скольжение вызывает появление термофоретической силы[8,9]. Длина частицы много больше её радиуса R. Коэффициент теплопроводности частицы s зависит от радиальной координаты г. Этот коэффициент и его производная являются непрерывно дифференцируемыми функциями. На величину градиента температуры наложено ограничение: r|vr№|/r№ << 1 [4-10]. В связи с малостью времён

релаксации температурного и гидродинамических полей системы газ - частица, описание процесса термофоретического движения проводится в квазистационарном приближении [4-10,15]. У частицы число Kn = Х/R <0,3. Поэтому, при решении задачи используется гидродинамический метод [4-10,15]. Относительные перепады температуры в окрестности частицы достаточно малы, чтобы газ можно было считать несжимаемым, а его плотность ре и коэффициенты динамической вязкости р и теплопроводности Ке - постоянными величинами [4-10]. Движение частицы происходит при малых числах Рейнольдса Re<<i и Пекле Ре<<1 [4-10], когда в уравнениях переноса импульса и тепла можно пренебречь конвективными членами [410,15]. В случае установившегося термофоретического движения частицы, действующая на частицу полная сила равна нулю [3-10]. При этом термофоретическое движение частицы происходит при постоянном давлении [4-10]. Поэтому при решении задач о скорости термофореза крупных и умеренно крупных частиц, в уравнениях Навье-Стокса [4-10,15] можно не учитывать давление. Описание процесса термофоретического движения проводится в цилиндрической системе координат, у которой ось OZ совпадает с осью вращения цилиндра, а направление полярной оси OX совпадает с направлением VTe„. Определенная в такой системе координат массовая скорость установившегося течения газа на бесконечности равна по величине скорости термофореза частицы, но противоположна ей по направлению.

При рассмотренных условиях, в системе частица - газообразная среда распределения массовой скорости V, температур газа Те и частицы Т описываются следующей системой уравнений:

Постановка задачи

Формула для скорости термофореза

48

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия Математика. Физика. 2015 № 23 (220). Выпуск 41

1 д , d _ 1 д2V К 2 dV

(r~V,) +

—0 + ^ —L > = 0,

r dr ' dr 8 r2 302 r2 r2 30

(1)

1 d , dr 1 d2r „ 1 d ,dT 1 d2T

-(r—L) +

r dr dr r d02

= 0---------(sr----) + e

r dr dr r d02

= 0

где r и в - цилиндрические координаты [5,8,9,15], Vr и V0 - компоненты массовой скорости газа в цилиндрической системе координат.

Систему уравнений (1) нужно решать совместно с, приведёнными в [8], граничными условиями (2)-(5):

Vl = cKn V дTe

r\r=R m

RT d0

2 Ir=R 9

(2)

V = cKnR

0 lr=R m

r Ц Vl]+1V

dr 1 r I r d0

+ K(0)(1 + KnP^)-^ — + K01 KnP Ve d Te

RT d0

ею

T drd0

ею

— K™ Kn\iB —

2T

R

d ( 1 dT ) 1 d2T +----------------e

(3)

T -T = Kf]KnRdTe| -K — + s—

e lr=R T dr 1 ’ e dr dr

„= —c.K Kn 1 d Te

r=R '“‘q'''eJ

r d0

2 I r=R ,

(4)

Vr I г^ю = Кю COS 0 V01 = —V„ sin 0 , ™ = Тю + r VTe J C°S 0

(5)

где ve=^e / pe - коэффициент кинематической вязкости газа, - температура газа в месте нахождения частицы. Условия (2)-(4) - это специальные газокинетические условия на поверхности частицы [8], которые позволяют учитывать динамическое взаимодействие неоднородного по температуре газа с частицей. Они записаны с учётом эффектов, линейных по

числу Кнудсена [8]. В (2)-(4) к(

(0)

коэффициенты теплового и изотермического

скольжений[5,8,9]; коэффициенты рд, рд ,рв позволяют учесть дополнительное влияние , которое оказывают на тепловое скольжение кривизна поверхности частицы и барнеттовские температурные напряжения[8]; c , cv - газокинетические коэффициентах потоков тепла и

среднемассового переноса, растекающихся в слое Кнудсена[8]; коэффициент k(t) - коэффициент скачка температуры [8,9]. Приведённые в [8], значения газокинетических коэффициентов

КТ°}, Cm , Pr ,Pr ,Pb » Cq , Cv равны:

KT0) = 1,152, Cm = 1,146, Pr =—2,103, Pr = 0,627, Pb = 3,651, K?) = 2,208 cV = 0,760, cq = 0,351.

(6)

В процессе решения граничной задачи (1)-(5) было получено следующее выражение для скорости термофореза:

Ut =—/ty~ vTe„

(7)

r

r=R

C

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Щ Серия Математика. Физика. 2015. №23 (220). Выпуск 41 49

f = *T0>{[i+Щ&л +Рв) - (1 + 4 cmKn)c; Knj^K ^ + s(S) KTP Kn^-f

+ Kn($R -P 5 )

(s) dф(S)

(8)

, -KeCqKn^S) }/(1 + 2CmKn)d

dy

d =

K (1 - cKn^(S) + s(S) (1 + K(T)Kn)

'(T )r„\ d^-

dy

c* = cv /K™,y = r/R

В выражении (8) верхним индексом “s” обозначены значения коэффициента теплопроводности г, функции ф и её производной dф|dy при у=1, т.е. у поверхности частицы.

Функция ф — зависящее от у, не расходящееся при у=о, безразмерное частное решение уравнения

2 d2ф d . . dф _

sy —т + y — (sy )——ф = 0 . ay ay ay

(9)

В общем случае зависимость функций ф от у может быть найдена в ходе численного решения (9). Если коэффициент г может быть представлен при у < 1 в виде бесконечного сходящегося ряда, т.е.

да

s = s(0) ^акук, а_о = 1, (10)

к=0

то при этом выражение для ф может быть представлено в виде следующего степенного ряда:

да

ф = уЕРпУп , Ро = 1 ■ (11)

n=0

Рекуррентное соотношение для, входящих в (11), коэффициентов fin равно:

1 n

Pn>1 =—-—— ZKn - k)(n+2)+kKPn-k ,p0 =1 (12)

n(n + 2) k=1

В случае s =s(0)(1 + ^у)7,|%у| < 1, значения, входящих в разложение (11), коэффициентов вп можно находить непосредственно по формуле

n f /^2 1 ,

(13)

p-=(-1)"«' -p0=1 ■

Из формулы (13) следует, что коэффициентам у =(n2 - 1)/n соответствуют функции ф, которые являются конечными рядами, состоящими из n членов.

В случае однородных частиц, когда s = const, функция ф = у. Если зависимость коэффициента г от у описывается функциями

s = s(0) уу ,-ю<у<га ;

s = s(0) exp(ay) , — ю < a < ю ; s = s(0)(1 + ay) 3/2, -1<a<1,

то при этом функции ф, соответственно, равны:

-У+Р ,----

Ф = у 2 , р. = д/у2 + 4 ;

Ф = 2

11 1 1 .

+---г exP(-ay)

a 2

; Ф = у + -у ■

(14)

(15)

(16) (17)

a уа J у a

Коэффициенты (14), (15) и, следовательно, формулы (16), (17) могут быть использованы, например, при оценке величины скорости термофореза частиц с большими (малыми) значениями

+

50

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия Математика. Физика. 2015 № 23 (220). Выпуск 41

коэффициента теплопроводности, соответственно, в центральной части частиц (формулы (14), (16)) и у их поверхности (формулы (15),(16) ). Выражение для скорости термофореза ит (7) при известной зависимости коэффициента теплопроводности от радиальной координаты позволяет непосредственно оценивать величину | ит | и крупных (Kn< 0,01) и умеренно крупных цилиндрических частиц. Оценивать величину термофоретической скорости умеренно крупных частиц можно в связи с тем, что при решении задачи в граничных условиях на поверхности частицы были учтены газокинетические эффекты, линейные по числу Кнудсена [5,8.9]. При постоянном коэффициенте теплопроводности, формула (7) позволяет оценивать скорость термофореза однородных по тепловым свойствам частиц.

Для сравнения приведём выражение для, приведённого в работе [18], коэффициента fr , входящего в формулу для скорости термофореза умеренно крупной сферической частицы с коэффициентом теплопроводности, зависящим от радиальной сферической координаты r

fT = 2K(0){[l + Kn(fiR +$в)-(1 + 6cmKn)4Щ ^Ф(Х) + s(S)Kf)Kn

d(p

(S) \

dy

+ Kn(P R -Pb )

( d^S') ^

s(S) 2^ cqKn^S)

(18)

d. =

2кв (1 - сЩф) + s(S )(1 + 2KT‘) Kn)

}/(1 + 2cmKn)de

dф( S)"

dy

где c* = cv / K(0), y = r / R Kn = 1/R, R - радиус частицы. Функция ф расходящееся при у=о, безразмерное частное решение уравнения

sy

2 d ф d

dy

+ — (sy ) — -2sф = 0 . dy dy

зависящее от у, не

(19)

Когда s = s(0) = const, функция ф = у. При s = s(0)у1 и s = s(0) exp(ay) функции ф имеют,

+

соответственно, следующий вид:

^1=™ I-----;--

Ф = у 2 , P = V(1 + 1) + 8

(20)

Ф = 3

1 2

2

Л

2

2 3

У a

exp(-ay)

a у a у a

Проведенный с помощью формул для коэффициентов fr

+

(21)

(7) и (18) в случае

цилиндрических и сферических частиц численный анализ показал, что:

1) зависимость коэффициентов теплопроводности этих частиц от радиальной координаты может оказать значительное влияние на величину скорости термофореза и крупных и умеренно крупных частиц;

2) при равных радиусах, скорость рассматриваемой неоднородной цилиндрической (сферической) частицы, при любом виде зависимости её коэффициента теплопроводности от радиальной координаты, больше (меньше) скорости термофореза тех однородных частиц, у которых величина коэффициента теплопроводности больше (меньше) значений коэффициента теплопроводности неоднородной частицы;

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия Математика. Физика. 2015. №23 (220). Выпуск 41 51

3) увеличение (уменьшение) значений коэффициента теплопроводности неоднородной частицы приводит к уменьшению (увеличению) её термофоретической скорости. Это обстоятельство связано с тем, что при увеличении (уменьшении) значений коэффициента теплопроводности частицы неоднородность распределения температуры вдоль поверхности частицы уменьшается (увеличивается);

4) в наибольшей степени неоднородность теплофизических свойств частицы сказывается на величине термофоретической скорости крупных частиц;

5) увеличение числа Кнудсена (Kn) приводит к сближению величин скоростей неоднородных, даже с отличающимися зависимостями s от радиальной координаты г, умеренно крупных и цилиндрических (и сферических) частиц. Это обстоятельство можно объяснить тем, что при увеличении числа Кнудсена на термофоретическое движение частиц всё большее влияние оказывают поверхностные газокинетические эффекты, а влияние коэффициентов теплопроводности частиц уменьшается;

6) при одинаковых радиусах и одинаковой зависимости коэффициентов теплопроводности от радиальной координаты, термофоретическая скорость сферических частиц больше, чем у цилиндрических.

При оценке величины f цилиндрических и сферических частиц, значения

газокинетических коэффициентов были взяты, соответственно, из [8,7].

На рис.1-4 приведены кривые, которые показывают зависимость от числа Кп отношения

fr = Ur

|VTM| умеренно крупных твёрдых цилиндрических (см. рис.1и рис.3) и сферических

(см. рис.2 и рис.4) частиц с коэффициентами теплопроводности е = е(0)ут, s = s(0)exp(oy), s(0)=0,23

Вт/м-К, находящихся в воздухе с Те»=2°° С и давлением р„=101325 Па. Кривые на рис.1,2 построены, соответственно, при у =0 (кривая 1), у =-3 (кривая 2), у =-1 (кривая 3), у =1(кривая 4), Y =3 (кривая 5) и у =3 (кривая 1), у =1(кривая 2), у =0 (кривая 3), у =-1(кривая 4), у =-3 (кривая 5). Кривые рис.3,4 показывают,соответственно зависимость f от Kn в случае a =0 (кривая 1), a =-3

(кривая 5), a =-1 (кривая 4), a =1(кривая 2), a =3 (кривая 3) и а = -3 (кривая 1), а = -1 (кривая 2), а =0 (кривая 3), а =1 (кривая 4), а =3(кривая 5 ). Для сравнения на рисунках приведены кривые зависимости f от Kn неоднородных частиц и однородных частиц,у которых у =0, a =0 .

52

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия Математика. Физика. 2015 № 23 (220). Выпуск 41

Рис.1. Кривые зависимости от числа Кнудсена (Kn) отношения f умеренно крупных твёрдых цилиндрических частиц с коэффициентом теплопроводности е = е(0) у1 . Кривые найдены при y =0 (кривая 1), y =-3 (кривая 2), y =-1 (кривая 3),y =1(кривая 4), y =3 (кривая 5).

ft

Кп

3

Рис.2. Зависимости от числа Kn коэффициента f умеренно крупных твёрдых сферических частиц с коэффициентом теплопроводности е = е(0) у1. Кривые построены при y =3 (кривая 1), y =1(кривая 2),

Y =0 (кривая 3), y =-1(кривая 4), y =-3 (кривая 5).

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия Математика. Физика. 2015. №23 (220). Выпуск 41

f

Кп

fr

Рис.3. Кривые зависимости коэффициента f от Kn твёрдых цилиндрических частиц с коэффициентом е = е(0) exp(ay) . Кривые найдены в случае a =0 (кривая 1), a =-3 (кривая 5), a =-1 (кривая 4), a =1(кривая 2), a =3 (кривая 3).

Кп

Рис.4. Зависимости от Kn отношения f умеренно крупных твёрдых сферических частиц

с коэффициентом е = е(0) exp(ay) при а = -3 (кривая 1), а = -1 (кривая 2), а =0 (кривая 3), а =1 (кривая 4),

53

а =3(кривая 5 ).

54 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ j^jj Серия Математика. Физика. 2015 № 23 (220). Выпуск 41

Список литературы

1. Фукс Н.А. Механика аэрозолей М.: Изд. АН СССР, 1955. 352 с.

2. Грин Х., Лейн В. Аэрозоли - пыли, дымы и туманы.М.:Химия,1969.428с.

3. Спурный К., Йех Ч., Седлачек Б. Аэрозоли. М.: Атомиздат, 1964. 360 с.

4. Пискунов В.Н. Динамика аэрозолей. М.: Физматлит, 2010. 296 с.

5. Яламов Ю. И., Афанасьев А. М. Термофорез цилиндрической аэрозольной частицы в режиме со скольжением / / Журнал технической физики, 1977. Т.47. №9. С.1998-2004.

6. Щукин Е.Р. О движении аэрозольных частиц с неоднородным распределением тепловых источников в поле внешних градиентов температуры и концентрации // Журнал технической физики, 1980. Т.50. Вып.6. С.1332-1335.

7. Поддоскин А.Б., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Теория термофореза умеренно крупных аэрозольных частиц// Журнал технической физики, 1982.- Т.52.- Вып.11.- С.2253-2661.

8. Яламов Ю.И., Сафиуллин Р.А. К теории термофореза цилиндрической аэрозольной частицы в умеренно разрежённом газе // Теплофизика высоких температур, 1994. Т.32. №2. С. 271 - 275.

9. Huan J. Keh, Hung J. Tu. Thermophoresis and photophoresis of cylindrical particles // Colloids and Surfaces A : Physicochem. Eng. Aspects 176 (2001) 213-223.

10. Zheng F. Thermophoresis of spherical and non-spherical particles: a review of theories and experiments // Advances in Colloid and Interface Science, 2002. V. 97. Pp. 255 - 278.

11. Щукин Е.Р., Шулиманова З.Л. Особенности осаждения за счёт термофореза аэрозольных частиц в плоскопараллельных каналах со значительными поперечными перепадами температуры // Теплофизика высоких температур/ 1994.Т.32. №5. С. 726 - 731.

12. Berger C., Harvath H., Scindler W. The deposition of soot particles from hot gas streams through pipes// Journal of Aerosol Science, 1995. V. 26. P. 211-218.

13. Kosik I., Matejec V. New way for influencing thermophoretic efficiency in the MCV process // Journal Aerosol Sciense, 1995. V.26. Рр. 399 - 407.

14. Марков М.Г., Щукин Е.Р. Термодиффузиофорез малой летучей аэрозольной частицы в многокомпонентной газовой смеси //ДАН СССР, 1984. Т.246. №3. С.604 - 609.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

16. Бутырин Г.И. Высокопористые углеродные материалы: монография. М.: Химия,1986.

192 с.

17. Ивлев И.С. Микростуктурные особенности аэрозолей вулканического происхождения// Оптика атмосферы и океана, 1996. №8. С. 1039-1057.

18. Щукин Е.Р., Малай Н.В.,Шулиманова З.Л. Движение в поле градиента температуры

двухслойной с неоднородным ядром умеренно крупной сферической аэрозольной частицы // Вестник Тамбовского гос. университета. Серия: Естественные и технические науки.

Тамбов.2014.№3.С.933-936.

References

1. Fuchs NA. The mechanics of aerosols М: lzd АН the USSR, 1955. 352 pp

2. Green Х, Lane V. Aerozoli - a dust, smokes and fogs. М: Chemistry, 1969. 428 pp.

3. Spurny K., Yeow C., Sedlacek B. Aerosols. M.: Atomizdat, 1964. 360 pp.

4. Piskunov V. N. Dynamics of aerosols. M.: Fizmatlit, 2010. 296 pp.

5. Yalamov Y. I., Afanasiev A. M. Termophores cylindrical aerosol particles in d-bench with slip // ZbTF, 1977. V. 47. No. 9. Pp. 1998-2004.

6. Schukin Е.Р. About movement of aerosol particles with non-uniform distribution of thermal sources in the field of external gradients of temperature and concentration // ZbTF, 1980. V. 50. Iss.6. Pp. 1332-1335.

7. Poddoskin A.B., Jushkanov A.A., Jalamov JU.I. Theory thermophoresa moderately large aerosol particles//ZbTF. 1982. Vol. 52. Iss.11. Pp. 2253-2661.

8. Yalamov, Y. I., A. Safiullin R. On the theory of thermophoresis of a cylindrical aerosol particle in a moderately rarefied gas// Thermophysics of high temperatures, 1994. V. 32. No. 2. Pp. 271 - 275

9. Huan J. Keh, Hung J. Tu. Thermophoresis and photophoresis of cylindrical particles // Colloids and Surfaces A : Physicochem. Eng. Aspects. 2001. V. 176. Pp. 213-223

10. Zheng F. Thermophoresis of spherical and non-spherical particles: a review of theories and experiments // Advances in Colloid and Interface Science, 2002. V. 97. Pp. 255 - 278.

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия Математика. Физика. 2015. №23 (220). Выпуск 41 55

11. ShChukin E.R., Shulimanova Z.L. Feature of sedimentation for the account thermophoresa aerosol particles in plane-parallel channels with considerable cross-section temperature drops // Thermophysics of high temperatures, 1994. V. 32. No. 5. Pp. 726-731.

12. Berger C., Harvath H., Scindler W. The deposition of soot particles from hot gas streams through pipes// Journal of Aerosol Science, 1995. V. 26. Pp. 211-218.

13. Kosik I., Matejec V. New way for influencing thermophoretic efficiency in the MCV process / / Journal Aerosol Sciense, 1995. V. 26. Рр. 399 - 407.

14. Markov M. G, Schukin E.R. Thermodiffuziophores of a small flying aerosol particle in a multicomponent gas mix//Dokl. USSR Academy of Sci., 1984. V.246. No 3. Pp.604 - 609.

15. Landau L.D., Lifshits E.M. Hydrodynamics. M.: Nauka. 1988. 736 pp.

16. Butyrin G.I. High-Porosity carbon materials: Monograph. M.: Chemistry,1986. 192 pp.

17. Ivlev I.S. Mikrostukturnye of feature of aerosols of a volcanic origin // The optic of the atmosphere and ocean, 1996. No 8. Pp. 1039-1057.

18. Shchukin E. R., Malay N.V., Sulimanova Z. L. Movement in the temperature gradient with inhomogeneous two-layer core of moderately large spherical aerosol particles// Bulletin of Tambov state University. Series: Natural and technical Sciences. Tambov.2014, No.3. Pp. 933-936.